金沢工業大学 2019年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

軸が定義域の左側にある → 最小値は左端 x = a で取る

m(a) = f(a) = (a - 2)² - 1

答え：
m(a) = a² - 1（a < 0 のとき）
m(a) = -1（0 ≤ a ≤ 2 のとき）
m(a) = (a - 2)² - 1（a > 2 のとき）

別解・発展

（3）について、グラフを用いた視覚的なアプローチも有効です。y = m(a) のグラフを描くと、a = 0 と a = 2 で折れ曲がる連続な関数であることがわかります。

【発展問題】m(a) の最大値を求めると、a → -∞ または a → +∞ のとき m(a) → +∞ となるため最大値は存在しません。一方、m(a) の最小値は -1（0 ≤ a ≤ 2 のとき）となります。

大問2：三角関数の方程式と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

（1）三角関数の方程式

三角関数の方程式は、sinθ や cosθ を1つの文字に置き換えることで、二次方程式に帰着させます。

Step 1：置き換え

sinθ = t とおくと、-1 ≤ t ≤ 1 の範囲で

2t² - 3t + 1 = 0

Step 2：因数分解

(2t - 1)(t - 1) = 0
t = 1/2 または t = 1

Step 3：θの値を求める

【t = 1/2 のとき】sinθ = 1/2

0 ≤ θ < 2π において、sinθ = 1/2 となる θ は

θ = π/6, 5π/6

【t = 1 のとき】sinθ = 1

θ = π/2

答え：θ = π/6, π/2, 5π/6

（2）三角関数の最大・最小

cos²θ と sinθ が混在しているので、相互関係 sin²θ + cos²θ = 1 を使って統一します。

Step 1：sinθ で統一

y = 2cos²θ + 4sinθ - 1
= 2(1 - sin²θ) + 4sinθ - 1
= 2 - 2sin²θ + 4sinθ - 1
= -2sin²θ + 4sinθ + 1

Step 2：置き換えて二次関数化

sinθ = t とおくと（-1 ≤ t ≤ 1）

y = -2t² + 4t + 1

Step 3：平方完成

y = -2(t² - 2t) + 1
= -2(t² - 2t + 1 - 1) + 1
= -2(t - 1)² + 2 + 1
= -2(t - 1)² + 3

Step 4：最大値・最小値を求める

これは上に凸の放物線で、頂点は (1, 3) です。

• t = 1 は -1 ≤ t ≤ 1 の範囲内 → 最大値 3（t = 1、すなわち θ = π/2 のとき）
• t = -1 のとき、y = -2(-1 - 1)² + 3 = -2 × 4 + 3 = -5 → 最小値 -5（θ = 3π/2 のとき）

答え：最大値 3（θ = π/2 のとき）、最小値 -5（θ = 3π/2 のとき）

別解・発展

（2）について、合成公式を使う別解も考えられます。ただし、この問題では sinθ への統一が最も効率的です。

【よくあるミス】

• 置き換えの範囲を忘れる（-1 ≤ t ≤ 1 の制限）
• sin²θ + cos²θ = 1 を cos²θ = 1 - sin²θ と変形する際の符号ミス

大問3：微分法と接線の方程式

問題

解説・解法のポイント

（1）微分の計算

多項式の微分は、べき乗の公式 (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ を使います。

f(x) = x³ - 3x² + 2
f'(x) = 3x² - 6x

答え：f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

（2）接線の方程式

接線の方程式は y - f(a) = f'(a)(x - a) で求められます。a = 1 の場合を計算しましょう。

Step 1：接点の座標を求める

f(1) = 1³ - 3 × 1² + 2 = 1 - 3 + 2 = 0
接点：(1, 0)

Step 2：接線の傾きを求める

f'(1) = 3 × 1² - 6 × 1 = 3 - 6 = -3
傾き：-3

Step 3：接線の方程式を求める

y - 0 = -3(x - 1)
y = -3x + 3

答え：y = -3x + 3

（3）極値を求める

極値を求めるには、f'(x) = 0 となる x を求め、増減表を作成します。

Step 1：f'(x) = 0 を解く

3x(x - 2) = 0
x = 0 または x = 2

Step 2：増減表を作成

Step 3：極値を計算

f(0) = 0³ - 3 × 0² + 2 = 2（極大値）
f(2) = 2³ - 3 × 2² + 2 = 8 - 12 + 2 = -2（極小値）

答え：極大値 2（x = 0 のとき）、極小値 -2（x = 2 のとき）

別解・発展

【発展】曲線外の点から引いた接線

点 (3, 5) から曲線 y = x³ - 3x² + 2 に引いた接線の本数を求める問題も頻出です。この場合、接点を (t, f(t)) とおいて接線の方程式を立て、(3, 5) を通る条件から t の方程式を導きます。

大問4：等差数列と等比数列

問題

解説・解法のポイント

（1）等差数列の一般項

等差数列の一般項は aₙ = a₁ + (n - 1)d で求められます。

aₙ = 3 + (n - 1) × 4
= 3 + 4n - 4
= 4n - 1

答え：aₙ = 4n - 1

【検算のコツ】n = 1, 2, 3 を代入して確認！

• a₁ = 4 × 1 - 1 = 3 ✓
• a₂ = 4 × 2 - 1 = 7（= 3 + 4）✓
• a₃ = 4 × 3 - 1 = 11（= 7 + 4）✓

（2）等差数列の和

等差数列の和の公式は2通りあります：

• Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2（初項と末項がわかるとき）
• Sₙ = na₁ + n(n-1)d/2（初項と公差がわかるとき）

ここでは2番目の公式を使います。

Sₙ = n × 3 + n(n - 1) × 4 / 2
= 3n + 2n(n - 1)
= 3n + 2n² - 2n
= 2n² + n

答え：Sₙ = 2n² + n = n(2n + 1)

（3）不等式を満たす最小の n

Sₙ > 500 を解きます。

2n² + n > 500
2n² + n - 500 > 0

Step 1：方程式 2n² + n - 500 = 0 を解く

解の公式を使用：

n = (-1 ± √(1 + 4000)) / 4
= (-1 ± √4001) / 4

Step 2：√4001 を評価

63² = 3969、64² = 4096 なので、63 < √4001 < 64

より正確には、63.25² ≈ 4000.56 なので √4001 ≈ 63.25

n = (-1 + 63.25) / 4 ≈ 62.25 / 4 ≈ 15.56

Step 3：検算

• S₁₅ = 2 × 15² + 15 = 450 + 15 = 465 < 500
• S₁₆ = 2 × 16² + 16 = 512 + 16 = 528 > 500 ✓

答え：n = 16

別解・発展

【別解】試行法

計算が苦手な場合、n = 10, 15, 16 などを順に代入して確認する方法も有効です。

• S₁₀ = 2 × 100 + 10 = 210
• S₁₅ = 2 × 225 + 15 = 465
• S₁₆ = 2 × 256 + 16 = 528 ✓

大問5：平面ベクトル

問題

解説・解法のポイント

（1）内分点の位置ベクトル

点 P は辺 AB を 2:1 に内分する点です。内分点の公式を使いましょう。

内分点の公式：線分 AB を m:n に内分する点 P の位置ベクトルは

OP⃗ = (nOA⃗ + mOB⃗) / (m + n)

AB を 2:1 に内分するので、m = 2, n = 1 として

OP⃗ = (1 × a⃗ + 2 × b⃗) / (2 + 1)
= (a⃗ + 2b⃗) / 3
= (1/3)a⃗ + (2/3)b⃗

答え：OP⃗ = (1/3)a⃗ + (2/3)b⃗

（2）直線の交点を求める

この問題は、2つの直線のパラメータ表示を利用して交点を求めます。

Step 1：点 M の位置ベクトル

M は OA の中点なので

OM⃗ = (1/2)a⃗

Step 2：直線 MP 上の点を表す

直線 MP 上の点は、実数 s を用いて

OX⃗ = (1 - s)OM⃗ + sOP⃗
= (1 - s) × (1/2)a⃗ + s × {(1/3)a⃗ + (2/3)b⃗}
= (1/2 - s/2)a⃗ + (s/3)a⃗ + (2s/3)b⃗
= (1/2 - s/2 + s/3)a⃗ + (2s/3)b⃗
= (1/2 - s/6)a⃗ + (2s/3)b⃗

Step 3：直線 OB 上の点の条件

点 Q は直線 OB 上にあるので、OQ⃗ = tb⃗ の形で表せます。
つまり、a⃗ の係数が 0 になる条件を求めます。

1/2 - s/6 = 0
s/6 = 1/2
s = 3

Step 4：OQ⃗ を求める

s = 3 を代入：

OQ⃗ = (2 × 3/3)b⃗ = 2b⃗

答え：OQ⃗ = 2b⃗

【補足】OQ⃗ = 2b⃗ ということは、Q は OB の延長線上（OB を 2:1 に外分する点）にあります。

（3）ベクトルの大きさの2乗

|OP⃗|² を求めるには、内積の性質 |v⃗|² = v⃗ · v⃗ を使います。

Step 1：OP⃗ · OP⃗ を展開

|OP⃗|² = OP⃗ · OP⃗
= {(1/3)a⃗ + (2/3)b⃗} · {(1/3)a⃗ + (2/3)b⃗}
= (1/9)|a⃗|² + 2 × (1/3) × (2/3) × a⃗ · b⃗ + (4/9)|b⃗|²
= (1/9)|a⃗|² + (4/9)a⃗ · b⃗ + (4/9)|b⃗|²

Step 2：数値を代入

|a⃗| = 3、|b⃗| = 2、a⃗ · b⃗ = 2 より

|OP⃗|² = (1/9) × 9 + (4/9) × 2 + (4/9) × 4
= 1 + 8/9 + 16/9
= 1 + 24/9
= 1 + 8/3
= 3/3 + 8/3
= 11/3

答え：|OP⃗|² = 11/3

別解・発展

【別解】（2）について、メネラウスの定理を使う方法

△OAB と直線 MPQ について、メネラウスの定理を適用することもできます。ただし、ベクトルによる解法の方が計算が明快なことが多いです。

【発展】面積比の問題への応用として、△OPQ と △OAB の面積比を求める問題も頻出です。

この年度の重要テーマと対策

2019年度の出題傾向分析

2019年度の金沢工業大学の数学入試を分析すると、以下の特徴が浮かび上がります。

【頻出分野ランキング】

【合格のための5つの対策ポイント】

① 教科書の例題・章末問題を完璧に

金沢工業大学の数学は、教科書レベルの問題が中心です。難問集に手を出すよりも、教科書の例題と章末問題を何度も繰り返し、確実に解けるようにしましょう。「基礎問題精講」レベルの問題集が最適です。

② 計算力の強化

60分で4〜5問を解くには、正確で素早い計算力が必須です。毎日15分でいいので、計算練習を習慣化しましょう。特に、因数分解、平方完成、分数計算は必須スキルです。

③ 公式の暗記と使い分け

以下の公式は、見た瞬間に使えるレベルまで暗記しましょう：

• 二次関数の平方完成
• 三角関数の相互関係（sin²θ + cos²θ = 1 など）
• 微分公式（(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹）
• 等差・等比数列の一般項と和の公式
• 内分点・外分点の公式

④ 場合分けの練習

二次関数の最大・最小問題や、絶対値を含む問題では場合分けが必要になります。「いつ」「どのように」場合分けするかを、典型問題で練習しておきましょう。

⑤ 過去問演習（最低5年分）

金沢工業大学の過去問を5年分以上解くことで、出題パターンが見えてきます。同じタイプの問題が繰り返し出題されることが多いので、過去問演習は非常に効果的です。

【時間配分の目安】

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

ここからは、2019年度の出題傾向に合わせた練習問題を3問用意しました。実際に手を動かして解いてみてください！

【練習問題1】二次関数の最大・最小（応用）

【解答・解説】

Step 1：平方完成

f(x) = -x² + 6x - 5
= -(x² - 6x) - 5
= -(x² - 6x + 9 - 9) - 5
= -(x - 3)² + 9 - 5
= -(x - 3)² + 4

頂点：(3, 4)、軸：x = 3、上に凸の放物線

Step 2：場合分け

上に凸なので、最大値は軸が定義域内にあれば頂点で、なければ軸に近い端点で取ります。

【場合1】a + 3 < 3、すなわち a < 0 のとき

軸が定義域の右側 → 最大値は右端 x = a + 3 で

M(a) = f(a + 3) = -(a + 3 - 3)² + 4 = -a² + 4

【場合2】a ≤ 3 ≤ a + 3、すなわち 0 ≤ a ≤ 3 のとき

軸が定義域内 → 最大値は頂点で

M(a) = f(3) = 4

軸が定義域の左側 → 最大値は左端 x = a で

M(a) = f(a) = -(a - 3)² + 4

答え：
M(a) = -a² + 4（a < 0 のとき）
M(a) = 4（0 ≤ a ≤ 3 のとき）
M(a) = -(a - 3)² + 4（a > 3 のとき）

【練習問題2】積分法と面積

【解答・解説】

Step 1：交点を求める

x² - 2x = x
x² - 3x = 0
x(x - 3) = 0
x = 0, 3

Step 2：上下関係を確認

0 < x < 3 の範囲で、x = 1 を代入すると

• 放物線：1² - 2 × 1 = -1
• 直線：1

直線が上にあります。

Step 3：面積を計算

S = ∫₀³ {x - (x² - 2x)} dx
= ∫₀³ (3x - x²) dx
= [3x²/2 - x³/3]₀³
= (3 × 9/2 - 27/3) - 0
= 27/2 - 9
= 27/2 - 18/2
= 9/2

答え：S = 9/2

【別解】1/6公式を使う

放物線と直線が2点 x = α, β で交わるとき、面積は

S = |a|/6 × (β - α)³

ここで a = 1（x² の係数）、α = 0、β = 3 なので

S = 1/6 × 3³ = 27/6 = 9/2 ✓

【練習問題3】等比数列と無限級数

【解答・解説】

（1）等比数列の一般項

等比数列の一般項は bₙ = b₁ × rⁿ⁻¹

bₙ = 8 × (1/2)ⁿ⁻¹ = 8 / 2ⁿ⁻¹ = 2³ / 2ⁿ⁻¹ = 2³⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ = 2⁴⁻ⁿ

答え：bₙ = 8 × (1/2)ⁿ⁻¹ = 2⁴⁻ⁿ

（2）等比数列の和

公比 r ≠ 1 のとき、等比数列の和は Tₙ = b₁(1 - rⁿ) / (1 - r)

Tₙ = 8 × {1 - (1/2)ⁿ} / (1 - 1/2)
= 8 × {1 - (1/2)ⁿ} / (1/2)
= 16 × {1 - (1/2)ⁿ}
= 16 - 16 × (1/2)ⁿ
= 16 - 2⁴⁻ⁿ

答え：Tₙ = 16{1 - (1/2)ⁿ} = 16 - 2⁴⁻ⁿ

（3）無限級数の和

|r| < 1 のとき、無限等比級数の和は S = b₁ / (1 - r)

ここで |1/2| < 1 なので収束します。

S = 8 / (1 - 1/2) = 8 / (1/2) = 16

または、Tₙ の極限として

lim(n→∞) Tₙ = lim(n→∞) 16{1 - (1/2)ⁿ} = 16 × 1 = 16

答え：無限級数の和 = 16

まとめ：2019年度を振り返って

2019年度の金沢工業大学の数学入試は、基礎力の完成度が試される良問揃いでした。改めてポイントを整理しておきましょう。

【2019年度 重要ポイントのまとめ】

• 二次関数：平方完成は必須スキル。定義域が動く問題は場合分けの練習を！
• 三角関数：置き換えによる二次方程式への帰着がカギ。相互関係を使いこなそう！
• 微分法：接線の方程式、極値の求め方は頻出。増減表を正確に書けるように！
• 数列：一般項と和の公式を正確に使えることが大前提。検算の習慣を！
• ベクトル：内分点・外分点の公式、内積の計算は必須。図を描きながら解こう！

【合格への最短ルート】

1. 教科書の例題・章末問題を3周する
2. 「基礎問題精講」レベルの問題集で演習
3. 過去問5年分を時間を計って解く
4. 間違えた問題を分析し、弱点を克服
5. 本番1週間前は計算ミス対策に集中

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