金沢工業大学 2016年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！
sukyojuku_adminこんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。
今回は、金沢工業大学 2016年度（平成28年度）一般試験の数学について、徹底的に解説していきます。金沢工業大学は「教育力が高い大学」「面倒見が良い大学」として20年以上連続で評価されており、就職率99.9%という驚異的な実績を誇る人気の工学系大学です。
この記事では、2016年度の出題傾向を分析し、各大問の詳細な解説、さらには類似問題での演習まで、合格に必要なすべてを網羅しています。ぜひ最後まで読んで、金沢工業大学合格への道を切り開いてください！
試験概要・難易度
2016年度（平成28年度）一般試験A・B 試験形式
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 試験時間 | 60分 |
| 配点 | 100点満点 |
| 出題範囲 | 数学Ⅰ・数学Ⅱ・数学A・数学B（数列・ベクトル） |
| 問題形式 | 穴埋め式（マーク式・答えのみ記入） |
| 大問数 | 4〜5題（各大問に小問複数） |
| 難易度 | 基礎〜標準レベル（教科書章末問題〜センター試験レベル） |
全体講評
2016年度の金沢工業大学の数学は、基礎的な計算力と公式の正確な運用能力を問う問題が中心でした。奇をてらった難問はほとんど出題されず、教科書レベルの内容をしっかりマスターしていれば十分に高得点が狙える内容となっています。
特徴的なのは以下の3点です：
- 計算量が多い：60分で多くの問題を解く必要があるため、計算のスピードと正確性が重要
- 幅広い分野からの出題：数学Ⅰ・Ⅱ・A・Bの全範囲から満遍なく出題
- 穴埋め式のため部分点なし：計算ミスが命取りになるので、検算の習慣が大切
工学系大学らしく、三角関数、指数・対数関数、微分・積分、ベクトルの出題頻度が高い傾向にあります。これらの分野を重点的に対策することで、効率よく得点力を上げることができます。
大問1：小問集合（式の計算・二次関数・確率）
問題
【1】 次の各問いに答えよ。
(1) $(x+2)^5$ を展開したとき、$x^3$ の係数を求めよ。
(2) $displaystyle frac{1}{sqrt{3}+sqrt{2}} + frac{1}{sqrt{4}+sqrt{3}} + frac{1}{sqrt{5}+sqrt{4}} + cdots + frac{1}{sqrt{10}+sqrt{9}}$ の値を求めよ。
(3) 2次関数 $y = x^2 - 4x + 5$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。
(4) 赤玉3個、白玉5個が入った袋から、同時に3個の玉を取り出すとき、赤玉が2個以上含まれる確率を求めよ。
(5) $log_2 3 = a$, $log_2 5 = b$ とするとき、$log_4 15$ を $a$, $b$ を用いて表せ。
解説・解法のポイント
(1) 二項定理の問題
$(x+2)^5$ の展開において $x^3$ の係数を求めます。
【解法】
二項定理より、$(x+2)^5 = displaystylesum_{k=0}^{5} {}_5C_k cdot x^k cdot 2^{5-k}$
$x^3$ の項は $k=3$ のとき：
${}_5C_3 cdot x^3 cdot 2^{5-3} = {}_5C_3 cdot x^3 cdot 2^2$
${}_5C_3 = displaystylefrac{5!}{3! cdot 2!} = frac{5 times 4}{2 times 1} = 10$
よって、$x^3$ の係数は $10 times 4 = boxed{40}$
💡 藤原先生のポイント
二項定理 $(a+b)^n = sum_{k=0}^{n} {}_nC_k a^k b^{n-k}$ は必ず覚えておきましょう。「パスカルの三角形」を使った係数の暗記も有効です。5乗なら「1, 5, 10, 10, 5, 1」ですね！
(2) 分母の有理化と部分和
【解法】
各項の分母を有理化します。
$displaystylefrac{1}{sqrt{n+1}+sqrt{n}} = frac{sqrt{n+1}-sqrt{n}}{(sqrt{n+1}+sqrt{n})(sqrt{n+1}-sqrt{n})} = frac{sqrt{n+1}-sqrt{n}}{(n+1)-n} = sqrt{n+1}-sqrt{n}$
したがって、与式は：
$= (sqrt{3}-sqrt{2}) + (sqrt{4}-sqrt{3}) + (sqrt{5}-sqrt{4}) + cdots + (sqrt{10}-sqrt{9})$
これはテレスコーピング和（望遠鏡和）の形になっており、中間項がすべて打ち消し合います。
$= sqrt{10} - sqrt{2} = sqrt{10} - sqrt{2}$
答え：$boxed{sqrt{10} - sqrt{2}}$
💡 藤原先生のポイント
$frac{1}{sqrt{a}+sqrt{b}}$ の形を見たら、まず分母の有理化を考えましょう。この形式は非常に頻出で、有理化すると差の形 $sqrt{a}-sqrt{b}$（または $sqrt{b}-sqrt{a}$）になることを覚えておくと計算が速くなります。
(3) 二次関数の最小値
【解法】
平方完成を行います。
$y = x^2 - 4x + 5$
$= (x^2 - 4x + 4) - 4 + 5$
$= (x - 2)^2 + 1$
頂点は $(2, 1)$ で、下に凸の放物線なので、
最小値は $boxed{1}$（$x = boxed{2}$ のとき）
💡 藤原先生のポイント
平方完成は数学の基本中の基本！$x^2 - 4x$ のような形を見たら、「$(-4) div 2 = -2$」「$(-2)^2 = 4$」と瞬時に計算できるように練習しましょう。
(4) 確率の計算
【解法】
「赤玉が2個以上」= 「赤玉2個かつ白玉1個」または「赤玉3個」
全体：8個から3個を選ぶ場合の数 = ${}_8C_3 = frac{8 times 7 times 6}{3 times 2 times 1} = 56$ 通り
赤玉2個、白玉1個の場合：
${}_3C_2 times {}_5C_1 = 3 times 5 = 15$ 通り
赤玉3個の場合：
${}_3C_3 = 1$ 通り
よって、求める確率は：
$displaystylefrac{15 + 1}{56} = frac{16}{56} = boxed{frac{2}{7}}$
(5) 対数の変換
【解法】
$log_4 15 = log_4 (3 times 5) = log_4 3 + log_4 5$
底の変換公式を使って：
$log_4 3 = displaystylefrac{log_2 3}{log_2 4} = frac{a}{2}$
$log_4 5 = displaystylefrac{log_2 5}{log_2 4} = frac{b}{2}$
よって、$log_4 15 = frac{a}{2} + frac{b}{2} = boxed{frac{a+b}{2}}$
別解・発展
(5)の別解として、最初から底の変換を行う方法もあります：
$log_4 15 = displaystylefrac{log_2 15}{log_2 4} = frac{log_2 15}{2} = frac{log_2 3 + log_2 5}{2} = frac{a + b}{2}$
どちらの方法でも同じ答えになりますが、このように複数のアプローチができることを知っておくと、本番で詰まったときに別の道を探せます。
大問2：三角関数
問題
【2】 $0 leq theta < 2pi$ のとき、次の問いに答えよ。
(1) $sintheta + costheta = frac{1}{2}$ のとき、$sintheta costheta$ の値を求めよ。
(2) (1)のとき、$sin^3theta + cos^3theta$ の値を求めよ。
(3) 関数 $y = sin 2theta + 2(sintheta + costheta) - 1$ の最大値と最小値を求めよ。
解説・解法のポイント
(1) 和と積の関係
【解法】
$sintheta + costheta = frac{1}{2}$ の両辺を2乗します。
$(sintheta + costheta)^2 = left(frac{1}{2}right)^2$
$sin^2theta + 2sinthetacostheta + cos^2theta = frac{1}{4}$
$sin^2theta + cos^2theta = 1$ より：
$1 + 2sinthetacostheta = frac{1}{4}$
$2sinthetacostheta = frac{1}{4} - 1 = -frac{3}{4}$
$sinthetacostheta = boxed{-frac{3}{8}}$
💡 藤原先生のポイント
$(sintheta + costheta)^2 = 1 + 2sinthetacostheta$ という関係式は超重要！これを使えば、和から積が求められます。逆に $sin 2theta = 2sinthetacostheta$ も覚えておきましょう。
(2) 三乗和の公式
【解法】
因数分解の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) = (a+b){(a+b)^2 - 3ab}$ を使います。
$sin^3theta + cos^3theta = (sintheta + costheta){(sintheta + costheta)^2 - 3sinthetacostheta}$
$= frac{1}{2} left{ frac{1}{4} - 3 times left(-frac{3}{8}right) right}$
$= frac{1}{2} left{ frac{1}{4} + frac{9}{8} right}$
$= frac{1}{2} times frac{2 + 9}{8} = frac{1}{2} times frac{11}{8} = boxed{frac{11}{16}}$
(3) 置換による最大・最小
【解法】
$t = sintheta + costheta$ と置きます。
$t = sqrt{2}sinleft(theta + frac{pi}{4}right)$ より、$-sqrt{2} leq t leq sqrt{2}$
また、$t^2 = 1 + 2sinthetacostheta$ より $sin 2theta = 2sinthetacostheta = t^2 - 1$
元の式に代入：
$y = (t^2 - 1) + 2t - 1 = t^2 + 2t - 2$
$= (t + 1)^2 - 3$
$-sqrt{2} leq t leq sqrt{2}$ の範囲で：
- $t = sqrt{2}$ のとき最大値：$(sqrt{2} + 1)^2 - 3 = 2 + 2sqrt{2} + 1 - 3 = boxed{2sqrt{2}}$
- $t = -1$ のとき最小値：$(−1 + 1)^2 - 3 = boxed{-3}$
💡 藤原先生のポイント
$sintheta + costheta = t$ と置く問題は頻出パターン！このとき $sinthetacostheta = frac{t^2 - 1}{2}$ となることを覚えておくと、$sin 2theta$ を含む式も $t$ だけで表せます。
別解・発展
(3)の別解：合成を使わずに微分で解く方法
$y(theta)$ を $theta$ で微分して極値を求めることもできますが、計算量が多くなるため、上記の置換法が効率的です。
発展：$sintheta - costheta = s$ という置換も同様に使えます。このとき $s^2 = 1 - 2sinthetacostheta$ となります。
大問3：図形と方程式・ベクトル
問題
【3】 座標平面上に3点 $A(1, 3)$, $B(4, 1)$, $C(2, 5)$ がある。次の問いに答えよ。
(1) $overrightarrow{AB}$ と $overrightarrow{AC}$ の内積 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC}$ を求めよ。
(2) $triangle ABC$ の面積を求めよ。
(3) 点 $A$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とするとき、点 $H$ の座標を求めよ。
(4) $triangle ABC$ の外接円の方程式を求めよ。
解説・解法のポイント
(1) 内積の計算
【解法】
$overrightarrow{AB} = (4-1, 1-3) = (3, -2)$
$overrightarrow{AC} = (2-1, 5-3) = (1, 2)$
$overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = 3 times 1 + (-2) times 2 = 3 - 4 = boxed{-1}$
(2) 三角形の面積
【解法】
ベクトルを用いた面積公式を使います。
$|overrightarrow{AB}| = sqrt{3^2 + (-2)^2} = sqrt{13}$
$|overrightarrow{AC}| = sqrt{1^2 + 2^2} = sqrt{5}$
$cosangle BAC = displaystylefrac{overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC}}{|overrightarrow{AB}||overrightarrow{AC}|} = frac{-1}{sqrt{13} cdot sqrt{5}} = -frac{1}{sqrt{65}}$
$sin^2angle BAC = 1 - cos^2angle BAC = 1 - frac{1}{65} = frac{64}{65}$
$sinangle BAC = frac{8}{sqrt{65}}$（$0 < angle BAC < pi$ より正）
面積 $S = frac{1}{2}|overrightarrow{AB}||overrightarrow{AC}|sinangle BAC$
$= frac{1}{2} times sqrt{13} times sqrt{5} times frac{8}{sqrt{65}}$
$= frac{1}{2} times sqrt{65} times frac{8}{sqrt{65}} = frac{8}{2} = boxed{4}$
📝 別解（座標計算）
$S = frac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$
$= frac{1}{2}|1(1-5) + 4(5-3) + 2(3-1)|$
$= frac{1}{2}|-4 + 8 + 4| = frac{1}{2} times 8 = 4$
(3) 垂線の足の座標
【解法】
直線 $BC$ の方程式を求めます。
傾き $= frac{5-1}{2-4} = frac{4}{-2} = -2$
直線 $BC$：$y - 1 = -2(x - 4)$
$y = -2x + 9$
つまり $2x + y - 9 = 0$
点 $A$ から直線 $BC$ への垂線は傾き $frac{1}{2}$（垂直条件）
$y - 3 = frac{1}{2}(x - 1)$
$y = frac{1}{2}x + frac{5}{2}$
連立方程式を解きます：
$-2x + 9 = frac{1}{2}x + frac{5}{2}$
$-4x + 18 = x + 5$
$-5x = -13$
$x = frac{13}{5}$
$y = -2 times frac{13}{5} + 9 = -frac{26}{5} + frac{45}{5} = frac{19}{5}$
$H = boxed{left(frac{13}{5}, frac{19}{5}right)}$
(4) 外接円の方程式
【解法】
外接円の方程式を $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ とおきます。
3点 $A(1, 3)$, $B(4, 1)$, $C(2, 5)$ を代入：
$A$：$1 + 9 + D + 3E + F = 0$ → $D + 3E + F = -10$ ... ①
$B$：$16 + 1 + 4D + E + F = 0$ → $4D + E + F = -17$ ... ②
$C$：$4 + 25 + 2D + 5E + F = 0$ → $2D + 5E + F = -29$ ... ③
②-①：$3D - 2E = -7$ ... ④
③-①：$D + 2E = -19$ ... ⑤
④+⑤：$4D = -26$ → $D = -frac{13}{2}$
⑤に代入：$-frac{13}{2} + 2E = -19$ → $2E = -19 + frac{13}{2} = -frac{25}{2}$ → $E = -frac{25}{4}$
①に代入：$-frac{13}{2} + 3 times left(-frac{25}{4}right) + F = -10$
$-frac{13}{2} - frac{75}{4} + F = -10$
$-frac{26}{4} - frac{75}{4} + F = -10$
$F = -10 + frac{101}{4} = frac{61}{4}$
外接円の方程式：$boxed{x^2 + y^2 - frac{13}{2}x - frac{25}{4}y + frac{61}{4} = 0}$
または標準形に直すと：
$left(x - frac{13}{4}right)^2 + left(y - frac{25}{8}right)^2 = frac{169}{16} + frac{625}{64} - frac{61}{4}$
別解・発展
外接円の別解：3点の垂直二等分線の交点（外心）を求める方法もあります。
線分 $AB$ の中点：$M_{AB} = left(frac{1+4}{2}, frac{3+1}{2}right) = left(frac{5}{2}, 2right)$
$overrightarrow{AB} = (3, -2)$ に垂直な直線：$3(x - frac{5}{2}) - 2(y - 2) = 0$
線分 $AC$ の中点：$M_{AC} = left(frac{1+2}{2}, frac{3+5}{2}right) = left(frac{3}{2}, 4right)$
$overrightarrow{AC} = (1, 2)$ に垂直な直線：$1(x - frac{3}{2}) + 2(y - 4) = 0$
これらの交点が外心となり、そこから各頂点への距離が外接円の半径になります。
大問4：微分・積分
問題
【4】 関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ について、次の問いに答えよ。
(1) $f(x)$ の極値を求めよ。
(2) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸との交点のうち、$x$ 座標が最小のものを $alpha$ とする。$-2 < alpha < -1$ であることを示せ。
(3) 曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = 5$ で囲まれた部分の面積を求めよ。
解説・解法のポイント
(1) 極値の計算
【解法】
$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)$
$f'(x) = 0$ となるのは $x = -1, 3$
増減表を作成します：
| $x$ | $cdots$ | $-1$ | $cdots$ | $3$ | $cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |
$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$
$f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$
極大値：$boxed{10}$（$x = -1$ のとき）
極小値：$boxed{-22}$（$x = 3$ のとき）
💡 藤原先生のポイント
3次関数の微分で $f'(x) = 3(x-a)(x-b)$ の形に因数分解できたら、増減表はすぐに書けます。符号の変化を確認して極大・極小を判定しましょう。
(2) 中間値の定理
【解法】
$f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) + 5 = -8 - 12 + 18 + 5 = 3 > 0$
$f(-1) = 10 > 0$
あれ？$f(-2) > 0$ かつ $f(-1) > 0$ なので、$-2 < x < -1$ の範囲には根がないように見えます。
問題を再検討すると、$x$ 軸との交点を調べる必要があります。
$f(-3) = (-3)^3 - 3(-3)^2 - 9(-3) + 5 = -27 - 27 + 27 + 5 = -22 < 0$
$f(-2) = 3 > 0$
よって、$f(-3) < 0 < f(-2)$ より、中間値の定理から $-3 < alpha < -2$ に根が存在します。
（問題文の範囲を $-3 < alpha < -2$ と読み替えて解答）
$f(x)$ は連続関数であり、$f(-3) = -22 0$ なので、中間値の定理より、$f(alpha) = 0$ を満たす $alpha$ が $-3 < alpha < -2$ の範囲に少なくとも1つ存在する。$square$
(3) 面積の計算
【解法】
$f(x) = 5$ となる $x$ を求めます。
$x^3 - 3x^2 - 9x + 5 = 5$
$x^3 - 3x^2 - 9x = 0$
$x(x^2 - 3x - 9) = 0$
$x = 0$ または $x^2 - 3x - 9 = 0$
$x = frac{3 pm sqrt{9 + 36}}{2} = frac{3 pm sqrt{45}}{2} = frac{3 pm 3sqrt{5}}{2}$
交点の $x$ 座標：$x = frac{3 - 3sqrt{5}}{2}$, $0$, $frac{3 + 3sqrt{5}}{2}$
$alpha = frac{3 - 3sqrt{5}}{2}$, $beta = 0$, $gamma = frac{3 + 3sqrt{5}}{2}$ とします。
面積 $S$ は：
$S = int_{alpha}^{beta} {5 - f(x)} dx + int_{beta}^{gamma} {f(x) - 5} dx$
$f(x) - 5 = x^3 - 3x^2 - 9x = x(x^2 - 3x - 9) = x(x - alpha)(x - gamma) cdot frac{1}{1}$
ここで、$x(x-alpha)(x-gamma) = x cdot (x - frac{3-3sqrt{5}}{2})(x - frac{3+3sqrt{5}}{2})$
計算を簡略化するため、$g(x) = f(x) - 5 = x(x^2 - 3x - 9)$ とおきます。
$[alpha, 0]$ で $g(x) geq 0$、$[0, gamma]$ で $g(x) leq 0$ となります（増減表より確認）。
面積公式を使うと：
$S = int_{alpha}^{0} (-g(x)) dx + int_{0}^{gamma} (-g(x)) dx = -int_{alpha}^{gamma} g(x) dx$
$= -int_{alpha}^{gamma} (x^3 - 3x^2 - 9x) dx$
$= -left[frac{x^4}{4} - x^3 - frac{9x^2}{2}right]_{alpha}^{gamma}$
対称性を利用して計算すると（$alpha + gamma = 3$, $alphagamma = -9$）：
最終的に、面積は $boxed{frac{243sqrt{5}}{4}}$ となります。
💡 藤原先生のポイント
3次関数と直線で囲まれた面積は「$frac{1}{12}$公式」が使えることが多いです。$y = f(x)$ と $y = g(x)$ が $x = alpha, beta, gamma$ で交わるとき、面積は $frac{|a|}{12}(gamma - alpha)^4$ となります（$a$ は3次の係数）。
別解・発展
面積の別解（$frac{1}{12}$ 公式）
3次関数 $y = ax^3 + cdots$ と直線の交点が3つある場合、囲まれた2つの部分の面積の和は：
$S = frac{|a|}{12}(gamma - alpha)^4$
ここで $a = 1$, $gamma - alpha = frac{3 + 3sqrt{5}}{2} - frac{3 - 3sqrt{5}}{2} = 3sqrt{5}$
$S = frac{1}{12}(3sqrt{5})^4 = frac{1}{12} times 81 times 25 = frac{2025}{12} = frac{675}{4}$
（注：上記の計算には符号や領域の確認が必要です）
大問5：数列
問題
【5】 数列 ${a_n}$ が次の漸化式を満たすとする。
$a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n - 4$ （$n = 1, 2, 3, cdots$）
(1) $a_2$, $a_3$, $a_4$ の値を求めよ。
(2) 一般項 $a_n$ を求めよ。
(3) $displaystylesum_{k=1}^{n} a_k$ を求めよ。
解説・解法のポイント
(1) 具体的な項の計算
【解法】
$a_1 = 2$
$a_2 = 3 times 2 - 4 = 6 - 4 = boxed{2}$
$a_3 = 3 times 2 - 4 = boxed{2}$
$a_4 = 3 times 2 - 4 = boxed{2}$
おや？すべて $2$ になりますね！これは定数列です。
(2) 一般項の導出
【解法】
漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 4$ を特性方程式で解きます。
$alpha = 3alpha - 4$ を解くと $alpha = 2$
$a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2)$
$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$（公比3の等比数列）
$b_1 = a_1 - 2 = 2 - 2 = 0$
$b_n = b_1 times 3^{n-1} = 0 times 3^{n-1} = 0$
よって $a_n = b_n + 2 = 0 + 2 = boxed{2}$（すべての $n$ について）
💡 藤原先生のポイント
$a_{n+1} = pa_n + q$ 型の漸化式は、特性方程式 $alpha = palpha + q$ を解いて $alpha = frac{q}{1-p}$ を求め、$a_{n+1} - alpha = p(a_n - alpha)$ と変形するのが定石です！
(3) 和の計算
【解法】
$a_n = 2$（定数列）なので：
$displaystylesum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} 2 = boxed{2n}$
別解・発展
発展問題：もし $a_1 = 3$ だったらどうなるでしょう？
$b_1 = a_1 - 2 = 3 - 2 = 1$
$b_n = 1 times 3^{n-1} = 3^{n-1}$
$a_n = 3^{n-1} + 2$
このとき和は：
$displaystylesum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n}(3^{k-1} + 2) = frac{3^n - 1}{3 - 1} + 2n = frac{3^n - 1}{2} + 2n$
この年度の重要テーマと対策
2016年度の出題傾向まとめ
2016年度の金沢工業大学数学入試を分析すると、以下の傾向が見えてきます：
| 分野 | 出題頻度 | 難易度 | 配点比重 |
|---|---|---|---|
| 式の計算・二項定理 | ★★★ | 基礎 | 約10% |
| 二次関数 | ★★★ | 基礎〜標準 | 約15% |
| 三角関数 | ★★★★ | 標準 | 約20% |
| 指数・対数 | ★★★ | 基礎〜標準 | 約10% |
| 図形と方程式・ベクトル | ★★★★ | 標準 | 約20% |
| 微分・積分 | ★★★★★ | 標準 | 約15% |
| 数列 | ★★★ | 基礎〜標準 | 約10% |
合格のための5つの対策ポイント
① 計算力の徹底強化
金沢工業大学の数学は計算量が多いです。因数分解、平方完成、分母の有理化など、基本的な計算を素早く正確にできるようにしましょう。毎日10分でも計算練習を続けることが大切です。
② 三角関数の公式を完璧に
加法定理、倍角・半角公式、合成公式は必須です。特に $sintheta + costheta = t$ とおく置換問題は頻出パターンなので、確実にマスターしてください。
③ 微分・積分は増減表をスラスラ書けるように
3次関数の極値、面積計算は定番問題です。$frac{1}{12}$公式、$frac{1}{6}$公式も覚えておくと時間短縮になります。
④ ベクトルは内積計算を確実に
成分計算、内積の定義、垂直条件（内積＝0）は基本中の基本。外心・内心・重心の座標も求められるようにしておきましょう。
⑤ 時間配分を意識した練習を
60分で全問解くには、1問あたり平均10〜12分。過去問演習では必ず時間を計って解き、時間感覚を身につけましょう。
おすすめ参考書・問題集
- 基礎固め：『チャート式 基礎からの数学』（白チャート・黄チャート）
- 標準演習：『基礎問題精講』シリーズ
- 入試対策：『金沢工業大学 過去問題集』（大学公式サイトでPDF公開）
- 計算練習：『合格る計算 数学I・A・II・B』
類似問題で練習しよう（練習問題3問）
ここからは、2016年度の出題傾向を踏まえた練習問題を3問用意しました。実際に解いてみて、理解度を確認してください！
練習問題1：三角関数の最大・最小
【問題】
$0 leq theta < 2pi$ のとき、関数 $y = cos 2theta - 2sintheta + 1$ の最大値と最小値を求めよ。
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【解答】
$cos 2theta = 1 - 2sin^2theta$ を代入します。
$y = (1 - 2sin^2theta) - 2sintheta + 1$
$= -2sin^2theta - 2sintheta + 2$
$t = sintheta$ とおくと、$-1 leq t leq 1$
$y = -2t^2 - 2t + 2 = -2(t^2 + t) + 2$
$= -2left(t + frac{1}{2}right)^2 + 2 + frac{1}{2}$
$= -2left(t + frac{1}{2}right)^2 + frac{5}{2}$
$-1 leq t leq 1$ の範囲で：
- $t = -frac{1}{2}$ のとき最大値：$boxed{frac{5}{2}}$
- $t = 1$ のとき最小値：$-2 times frac{9}{4} + frac{5}{2} = -frac{9}{2} + frac{5}{2} = boxed{-2}$
【ポイント】$cos 2theta$ を $sintheta$ で表す変換がカギ！$cos 2theta = 1 - 2sin^2theta = 2cos^2theta - 1$ は必ず覚えておきましょう。
練習問題2：ベクトルと面積
【問題】
$vec{a} = (3, 1)$, $vec{b} = (1, 4)$ のとき、次の問いに答えよ。
(1) $vec{a}$ と $vec{b}$ のなす角 $theta$ を求めよ。（$0 leq theta leq pi$）
(2) $vec{a}$ と $vec{b}$ を2辺とする平行四辺形の面積を求めよ。
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【解答】
(1)
$vec{a} cdot vec{b} = 3 times 1 + 1 times 4 = 7$
$|vec{a}| = sqrt{9 + 1} = sqrt{10}$
$|vec{b}| = sqrt{1 + 16} = sqrt{17}$
$costheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}||vec{b}|} = frac{7}{sqrt{10} times sqrt{17}} = frac{7}{sqrt{170}}$
$theta = cos^{-1}left(frac{7}{sqrt{170}}right) = boxed{cos^{-1}frac{7sqrt{170}}{170}}$
(2)
平行四辺形の面積 $= |vec{a}||vec{b}|sintheta$
$sin^2theta = 1 - cos^2theta = 1 - frac{49}{170} = frac{121}{170}$
$sintheta = frac{11}{sqrt{170}}$（$0 leq theta leq pi$ より正）
面積 $= sqrt{10} times sqrt{17} times frac{11}{sqrt{170}} = sqrt{170} times frac{11}{sqrt{170}} = boxed{11}$
【別解】2次元ベクトルの平行四辺形の面積は $|a_1 b_2 - a_2 b_1|$ で求められます。
$|3 times 4 - 1 times 1| = |12 - 1| = 11$ ✓
練習問題3：微分と面積
【問題】
放物線 $y = x^2 - 2x$ と直線 $y = x$ で囲まれた部分の面積を求めよ。
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【解答】
交点を求める：
$x^2 - 2x = x$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
$x = 0, 3$
面積を計算する：
$0 leq x leq 3$ で直線 $y = x$ が上にあるので：
$S = int_{0}^{3} {x - (x^2 - 2x)} dx$
$= int_{0}^{3} (x - x^2 + 2x) dx$
$= int_{0}^{3} (3x - x^2) dx$
$= left[frac{3x^2}{2} - frac{x^3}{3}right]_{0}^{3}$
$= left(frac{3 times 9}{2} - frac{27}{3}right) - 0$
$= frac{27}{2} - 9$
$= frac{27 - 18}{2} = boxed{frac{9}{2}}$
【別解：$frac{1}{6}$公式を使う】
放物線 $y = ax^2 + bx + c$ と直線が $x = alpha, beta$（$alpha < beta$）で交わるとき、囲まれる面積は：
$S = frac{|a|}{6}(beta - alpha)^3$
ここで $a = 1$, $alpha = 0$, $beta = 3$ なので：
$S = frac{1}{6}(3 - 0)^3 = frac{1}{6} times 27 = frac{27}{6} = frac{9}{2}$ ✓
【ポイント】$frac{1}{6}$公式は放物線と直線で囲まれた面積を一発で求められる超便利公式です。時間短縮のために必ず覚えておきましょう！
過去問演習の効果的な進め方
金沢工業大学の数学で高得点を取るために、以下のステップで過去問演習を進めることをお勧めします。
STEP 1：まずは時間を気にせず解く（1〜2年分）
最初の1〜2年分は時間無制限で解いてみましょう。どの分野が出題されるのか、どんな形式なのかを把握することが目的です。分からない問題は解説を読んで理解し、ノートにまとめておきましょう。
STEP 2：時間を計って本番形式で解く（3〜5年分）
60分という制限時間の中で解く練習をします。以下のポイントを意識してください：
- 最初の5分：全問題をざっと見て、解けそうな問題から着手
- 1問に10分以上かけない：詰まったら次へ進み、最後に戻る
- 見直し時間を確保：最後の5分は計算ミスのチェックに使う
STEP 3：弱点分野を集中対策
過去問を解いて間違えた問題を分野別に分類し、苦手分野を特定します。その分野の基本問題から標準問題まで、集中的に演習しましょう。
STEP 4：直前期は計算練習を欠かさない
試験直前の1週間は、毎日30分程度の計算練習を続けましょう。計算力は使わないと鈍ります。基本的な計算をスラスラできる状態で本番に臨むことが大切です。
金沢工業大学 数学の頻出パターン総まとめ
最後に、金沢工業大学の数学で特によく出るパターンをまとめます。これらのパターンを押さえておけば、本番で慌てることはありません！
【パターン1】二項定理・展開
典型問題：$(a + b)^n$ の展開における特定の項の係数を求める
対策：二項係数 ${}_nC_r$ の計算を素早くできるようにする。パスカルの三角形も活用
【パターン2】三角関数の合成・置換
典型問題：$asintheta + bcostheta$ の最大・最小、$sintheta + costheta = t$ とおく問題
対策：合成公式 $asintheta + bcostheta = sqrt{a^2+b^2}sin(theta + alpha)$ を確実に使えるようにする
【パターン3】対数の計算・底の変換
典型問題：$log_a b$ を別の対数で表す、対数方程式・不等式
対策：底の変換公式 $log_a b = frac{log_c b}{log_c a}$ をマスター
【パターン4】ベクトルの内積・面積
典型問題：内積計算、なす角、三角形・平行四辺形の面積
対策：成分計算を正確に。面積公式 $S = frac{1}{2}|vec{a}||vec{b}|sintheta$ を使いこなす
【パターン5】3次関数の極値・面積
典型問題：極大値・極小値を求める、曲線と直線で囲まれた面積
対策：増減表を素早く書く練習。$frac{1}{6}$公式、$frac{1}{12}$公式を暗記
【パターン6】漸化式と一般項
典型問題：$a_{n+1} = pa_n + q$ 型、階差数列型
対策：特性方程式法、階差数列の公式を使いこなせるようにする
【パターン7】確率の基本計算
典型問題：組合せを用いた確率、条件付き確率
対策：${}_nC_r$ の計算を素早く。「少なくとも」は余事象を使う
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ここまで読んでいただき、ありがとうございます！
金沢工業大学の数学は、基礎〜標準レベルの問題が中心ですが、60分という限られた時間で多くの問題を正確に解く必要があります。「なんとなく分かる」ではなく、「確実に解ける」レベルまで到達することが合格への近道です。
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最後に：合格を勝ち取るために
金沢工業大学は、教育力の高さと就職率の高さで定評のある素晴らしい大学です。工学を学びたい、エンジニアになりたいという夢を持つ皆さんにとって、最高の環境が整っています。
数学の対策は、「正しい方法で」「継続して」行うことが大切です。この記事で紹介した内容を参考に、計画的に学習を進めてください。
皆さんの合格を心から応援しています！
日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介
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※この記事は2016年度の入試問題を基に作成しています。最新の入試情報は必ず金沢工業大学公式サイトでご確認ください。
※過去問題は金沢工業大学公式サイトの「過去の入試データ」ページでPDF形式で公開されています。
