金沢工業大学 2009年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは、日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。今回は金沢工業大学 2009年度 一般入試A 数学の過去問を徹底解説していきます。

金沢工業大学は「教育付加価値日本一」を目指す実践的な工科系大学として知られており、入試数学も基礎力と応用力をバランスよく問う良問が出題されています。2009年度入試も例外ではなく、教科書の例題・章末問題レベルを確実に解ける力があれば十分に対応可能な問題構成となっていました。

この記事では、各大問の問題を詳しく解説し、解法のポイントや別解、さらには類似問題での演習まで、合格に必要なすべてをお伝えします。ぜひ最後までお読みいただき、金沢工業大学合格への確かな一歩を踏み出してください！

試験概要・難易度

2009年度 金沢工業大学 一般入試A 数学の基本情報

項目	内容
試験時間	60分
配点	100点満点
解答形式	マーク式（一般試験A）
出題範囲	数学I・数学II・数学A・数学B（数列、ベクトル）
大問数	4題
難易度	標準（教科書例題〜章末問題レベル）

2009年度の全体講評

2009年度の金沢工業大学一般入試A数学は、例年通り基礎力を重視した標準的な問題構成でした。奇をてらった問題はなく、教科書の内容を確実に理解し、典型問題の解法を身につけていれば十分に高得点を狙える内容です。

この年度の特徴として、以下の点が挙げられます：

• 計算量は適度：60分という試験時間に対して、丁寧に解いても時間が足りなくなることはありません
• 誘導が丁寧：小問が段階的に配置されており、前の問題を利用して次の問題を解く構成
• 頻出分野からの出題：二次関数、三角関数、数列、ベクトルといった定番分野
• 公式の正確な運用：公式を覚えているだけでなく、適切に使える力が問われる

目標点数としては、合格ラインが6割程度と考えられるため、4問中3問を確実に得点できれば安心です。ケアレスミスを防ぎ、取れる問題を確実に取る姿勢が重要となります。

大問1：二次関数（最大値・最小値）

問題

解説・解法のポイント

（1）平方完成

平方完成は二次関数の基本中の基本です。係数を見て、$(x - p)^2 + q$ の形に変形します。

【解答】

$$f(x) = x^2 - 4x + 3$$

$$= (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3$$

$$= (x - 2)^2 - 1$$

【ポイント】

• $x^2 - 4x$ の部分を $(x - 2)^2$ にするため、$(-4 div 2)^2 = 4$ を加えて引く
• 平方完成の公式：$x^2 + bx = left(x + frac{b}{2}right)^2 - frac{b^2}{4}$

（2）頂点の座標

【解答】

平方完成の結果 $f(x) = (x - 2)^2 - 1$ より、

頂点の座標は $(2, -1)$

【ポイント】

• $y = a(x - p)^2 + q$ の形で、頂点は $(p, q)$
• $a > 0$ なら下に凸、$a < 0$ なら上に凸

（3）定義域における最大値・最小値

定義域 $0 leq x leq 5$ における最大値・最小値を求めます。

【解答】

頂点の $x$ 座標は $x = 2$ で、これは定義域 $[0, 5]$ の内部にあります。

下に凸の放物線なので：

• 最小値：$x = 2$ のとき、$f(2) = (2-2)^2 - 1 = -1$

最大値は定義域の端点で比較します：

• $f(0) = 0^2 - 4 cdot 0 + 3 = 3$
• $f(5) = 5^2 - 4 cdot 5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8$

よって、

• 最大値：$x = 5$ のとき、最大値 8
• 最小値：$x = 2$ のとき、最小値 $-1$

【ポイント】

• 下に凸の放物線では、頂点が定義域内なら最小値は頂点での値
• 最大値は定義域の端点のうち、頂点から遠い方で取る

（4）軸が動く場合の最小値

この問題は「軸が固定で定義域が動く」タイプの典型問題です。軸 $x = 2$ と定義域 $[a, a+2]$ の位置関係で場合分けします。

【解答】

場合分けの考え方：

• 定義域の幅は 2（$a+2 - a = 2$）
• 軸 $x = 2$ が定義域のどこにあるかで最小値の取り方が変わる

【場合1】 $a + 2 leq 2$、すなわち $a leq 0$ のとき

定義域全体が軸より左側にあるので、最小値は右端 $x = a + 2$ で取る。

$$g(a) = f(a+2) = (a+2-2)^2 - 1 = a^2 - 1$$

【場合2】 $a leq 2 leq a + 2$、すなわち $0 leq a leq 2$ のとき

軸 $x = 2$ が定義域内にあるので、最小値は頂点で取る。

$$g(a) = f(2) = -1$$

【場合3】 $a geq 2$ のとき

定義域全体が軸より右側にあるので、最小値は左端 $x = a$ で取る。

$$g(a) = f(a) = (a-2)^2 - 1$$

【答え】

$$g(a) = begin{cases} a^2 - 1 & (a leq 0) \ -1 & (0 leq a leq 2) \ (a-2)^2 - 1 & (a geq 2) end{cases}$$

別解・発展

【別解】定義域の中心と軸の位置関係で考える方法

定義域 $[a, a+2]$ の中心は $x = a + 1$ です。

• $a + 1 < 2$（$a < 1$）のとき：最小値は右端
• $a + 1 = 2$（$a = 1$）のとき：最小値は頂点（定義域の中心が軸と一致）
• $a + 1 > 2$（$a > 1$）のとき：最小値は左端

ただし、軸が定義域内にある場合（$a leq 2 leq a + 2$）は常に頂点で最小値を取ることに注意が必要です。

【発展】

この「軸と定義域の位置関係」の問題は、私立工業大学の入試で頻出です。場合分けを正確に行い、境界値での連続性を確認する習慣をつけましょう。例えば、$a = 0$ のとき両方の式で $g(0) = -1$ となることを確認できます。

大問2：三角関数（三角関数の合成と方程式）

問題

解説・解法のポイント

（1）三角関数の合成

三角関数の合成は、$asintheta + bcostheta = sqrt{a^2 + b^2}sin(theta + alpha)$ の公式を使います。

【解答】

$sintheta + sqrt{3}costheta$ において、$a = 1$、$b = sqrt{3}$ なので、

$$r = sqrt{1^2 + (sqrt{3})^2} = sqrt{1 + 3} = sqrt{4} = 2$$

$alpha$ は $cosalpha = frac{a}{r} = frac{1}{2}$、$sinalpha = frac{b}{r} = frac{sqrt{3}}{2}$ を満たすので、

$$alpha = frac{pi}{3}$$

よって、

$$sintheta + sqrt{3}costheta = 2sinleft(theta + frac{pi}{3}right)$$

【ポイント】

• 合成公式：$asintheta + bcostheta = sqrt{a^2 + b^2}sin(theta + alpha)$
• $alpha$ は $cosalpha = frac{a}{sqrt{a^2+b^2}}$、$sinalpha = frac{b}{sqrt{a^2+b^2}}$ で決まる
• 三角比の値から角度を特定：$cosalpha = frac{1}{2}$、$sinalpha = frac{sqrt{3}}{2}$ なら $alpha = frac{pi}{3}$

（2）方程式を解く

【解答】

(1)の結果を使って、

$$2sinleft(theta + frac{pi}{3}right) = 1$$

$$sinleft(theta + frac{pi}{3}right) = frac{1}{2}$$

$0 leq theta < 2pi$ より、$frac{pi}{3} leq theta + frac{pi}{3} < 2pi + frac{pi}{3}$

この範囲で $sinleft(theta + frac{pi}{3}right) = frac{1}{2}$ となるのは、

$$theta + frac{pi}{3} = frac{pi}{6}, frac{5pi}{6}, frac{13pi}{6}$$

$theta + frac{pi}{3} = frac{pi}{6}$ は範囲外（$frac{pi}{6} < frac{pi}{3}$）

よって、

• $theta + frac{pi}{3} = frac{5pi}{6}$ のとき、$theta = frac{5pi}{6} - frac{pi}{3} = frac{5pi - 2pi}{6} = frac{3pi}{6} = frac{pi}{2}$
• $theta + frac{pi}{3} = frac{13pi}{6}$ のとき、$theta = frac{13pi}{6} - frac{pi}{3} = frac{13pi - 2pi}{6} = frac{11pi}{6}$

答え：$theta = frac{pi}{2}, frac{11pi}{6}$

（3）不等式を解く

【解答】

$$2sinleft(theta + frac{pi}{3}right) > 1$$

$$sinleft(theta + frac{pi}{3}right) > frac{1}{2}$$

$t = theta + frac{pi}{3}$ とおくと、$frac{pi}{3} leq t frac{1}{2}$ を解きます。

単位円を考えると、$sin t > frac{1}{2}$ となるのは、

$$frac{pi}{6} < t < frac{5pi}{6}$$

および

$$frac{13pi}{6} < t < frac{17pi}{6}$$

$frac{pi}{3} leq t < frac{7pi}{3}$ との共通部分を取ると、

$$frac{pi}{3} leq t < frac{5pi}{6}$$ および $$frac{13pi}{6} < t < frac{7pi}{3}$$

$theta = t - frac{pi}{3}$ に戻すと、

$$0 leq theta < frac{pi}{2}$$ および $$frac{11pi}{6} < theta < 2pi$$

答え：$0 leq theta < frac{pi}{2}$、$frac{11pi}{6} < theta < 2pi$

（4）最大値・最小値

【解答】

$y = 2sinleft(theta + frac{pi}{3}right)$ の最大値・最小値を求めます。

$-1 leq sinleft(theta + frac{pi}{3}right) leq 1$ より、

$$-2 leq y leq 2$$

最大値 2：$sinleft(theta + frac{pi}{3}right) = 1$ のとき

$theta + frac{pi}{3} = frac{pi}{2}$ より、$theta = frac{pi}{6}$

最小値 $-2$：$sinleft(theta + frac{pi}{3}right) = -1$ のとき

$theta + frac{pi}{3} = frac{3pi}{2}$ より、$theta = frac{3pi}{2} - frac{pi}{3} = frac{9pi - 2pi}{6} = frac{7pi}{6}$

答え：最大値 2（$theta = frac{pi}{6}$）、最小値 $-2$（$theta = frac{7pi}{6}$）

別解・発展

【別解】$cos$ の合成で解く方法

$sintheta + sqrt{3}costheta$ を $rcos(theta - beta)$ の形に変形することもできます。

$$sintheta + sqrt{3}costheta = 2left(frac{1}{2}sintheta + frac{sqrt{3}}{2}costhetaright)$$

$$= 2cosleft(theta - frac{pi}{6}right)$$

（加法定理 $cos(theta - beta) = costhetacosbeta + sinthetasinbeta$ より）

【発展】

三角関数の合成は、波の重ね合わせを一つの波で表現する技術であり、物理や工学で非常に重要です。金沢工業大学のような工科系大学では、このような実用的な数学力が重視されます。

大問3：数列（等差数列・等比数列と漸化式）

問題

解説・解法のポイント

（1）$a_2$、$a_3$、$a_4$ を求める

漸化式に順次代入して計算します。

【解答】

• $a_2 = 2a_1 + 3 = 2 cdot 2 + 3 = 7$
• $a_3 = 2a_2 + 3 = 2 cdot 7 + 3 = 17$
• $a_4 = 2a_3 + 3 = 2 cdot 17 + 3 = 37$

答え：$a_2 = 7$、$a_3 = 17$、$a_4 = 37$

【ポイント】

• 具体的な値を計算することで、数列の振る舞いを把握できる
• 差を取ると $a_2 - a_1 = 5$、$a_3 - a_2 = 10$、$a_4 - a_3 = 20$ と2倍ずつ増えていることがわかる

（2）${b_n}$ の性質

$a_{n+1} = 2a_n + 3$ という形の漸化式は、「特性方程式」を使って等比数列に帰着させます。

【解答】

$b_n = a_n + 3$ より、$a_n = b_n - 3$ を漸化式に代入すると、

$$a_{n+1} = 2a_n + 3$$

$$(b_{n+1} - 3) = 2(b_n - 3) + 3$$

$$b_{n+1} - 3 = 2b_n - 6 + 3$$

$$b_{n+1} = 2b_n$$

また、$b_1 = a_1 + 3 = 2 + 3 = 5$

よって、数列 ${b_n}$ は初項 5、公比 2 の等比数列である。

【ポイント】

• $a_{n+1} = pa_n + q$ の形の漸化式は、$alpha = palpha + q$ を満たす $alpha = frac{q}{1-p}$ を使って変形
• この問題では $alpha = frac{3}{1-2} = -3$ なので、$b_n = a_n - (-3) = a_n + 3$ とおく

（3）一般項 $a_n$

【解答】

(2)より、$b_n$ は初項 5、公比 2 の等比数列なので、

$$b_n = 5 cdot 2^{n-1}$$

$a_n = b_n - 3$ より、

$$a_n = 5 cdot 2^{n-1} - 3$$

【検算】

• $a_1 = 5 cdot 2^0 - 3 = 5 - 3 = 2$ ✓
• $a_2 = 5 cdot 2^1 - 3 = 10 - 3 = 7$ ✓
• $a_3 = 5 cdot 2^2 - 3 = 20 - 3 = 17$ ✓

（4）和 $sum_{k=1}^{n} a_k$

【解答】

$$sum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (5 cdot 2^{k-1} - 3)$$

$$= 5sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} - 3n$$

$sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = 1

$sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = 1 + 2 + 4 + cdots + 2^{n-1}$ は初項 1、公比 2 の等比数列の和なので、

$$sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1$$

よって、

$$sum_{k=1}^{n} a_k = 5(2^n - 1) - 3n = 5 cdot 2^n - 5 - 3n$$

答え：$displaystylesum_{k=1}^{n} a_k = 5 cdot 2^n - 3n - 5$

【検算】

• $n = 1$：$5 cdot 2 - 3 - 5 = 10 - 8 = 2 = a_1$ ✓
• $n = 2$：$5 cdot 4 - 6 - 5 = 20 - 11 = 9 = a_1 + a_2 = 2 + 7$ ✓
• $n = 3$：$5 cdot 8 - 9 - 5 = 40 - 14 = 26 = 2 + 7 + 17$ ✓

別解・発展

【別解】漸化式を直接解く方法（階差を利用）

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3$ を繰り返し適用すると、

$$a_n = 2^{n-1}a_1 + 3(2^{n-2} + 2^{n-3} + cdots + 2 + 1)$$

$$= 2^{n-1} cdot 2 + 3 cdot frac{2^{n-1} - 1}{2 - 1}$$

$$= 2^n + 3 cdot 2^{n-1} - 3$$

$$= 2^n + 3 cdot 2^{n-1} - 3 = 2^{n-1}(2 + 3) - 3 = 5 cdot 2^{n-1} - 3$$

【発展：特性方程式の理論】

$a_{n+1} = pa_n + q$（$p neq 1$）の形の漸化式では、特性方程式 $x = px + q$ の解 $alpha = frac{q}{1-p}$ を用いて、$b_n = a_n - alpha$ とおくと $b_{n+1} = pb_n$ となり、等比数列に帰着できます。

この手法は、より複雑な漸化式（$a_{n+1} = pa_n + f(n)$ の形など）を解く際の基礎となります。

大問4：ベクトル（平面ベクトルと内積）

問題

解説・解法のポイント

（1）$cosangle BAC$ を求める

内積の定義 $vec{b} cdot vec{c} = |vec{b}||vec{c}|costheta$ を使います。

【解答】

$$vec{b} cdot vec{c} = |vec{b}||vec{c}|cosangle BAC$$

$$6 = 3 cdot 4 cdot cosangle BAC$$

$$cosangle BAC = frac{6}{12} = frac{1}{2}$$

答え：$cosangle BAC = frac{1}{2}$

【ポイント】

• 内積から角度を求める基本公式
• $cosangle BAC = frac{1}{2}$ より、$angle BAC = 60°$

（2）三角形 ABC の面積

【解答】

$cosangle BAC = frac{1}{2}$ より、$sinangle BAC = sqrt{1 - left(frac{1}{2}right)^2} = sqrt{frac{3}{4}} = frac{sqrt{3}}{2}$

三角形の面積公式より、

$$S = frac{1}{2}|vec{b}||vec{c}|sinangle BAC = frac{1}{2} cdot 3 cdot 4 cdot frac{sqrt{3}}{2} = 3sqrt{3}$$

答え：$S = 3sqrt{3}$

【別解】面積公式 $S = frac{1}{2}sqrt{|vec{b}|^2|vec{c}|^2 - (vec{b} cdot vec{c})^2}$ を使う方法

$$S = frac{1}{2}sqrt{9 cdot 16 - 36} = frac{1}{2}sqrt{144 - 36} = frac{1}{2}sqrt{108} = frac{1}{2} cdot 6sqrt{3} = 3sqrt{3}$$

（3）$overrightarrow{AP}$ を表す

内分点の位置ベクトルの公式を使います。

【解答】

点 P は辺 BC を $2:1$ に内分するので、

$$overrightarrow{AP} = frac{1 cdot overrightarrow{AB} + 2 cdot overrightarrow{AC}}{2 + 1} = frac{vec{b} + 2vec{c}}{3}$$

答え：$overrightarrow{AP} = frac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}$

【ポイント】

• 内分点の公式：線分 BC を $m:n$ に内分する点 P について、$overrightarrow{AP} = frac{noverrightarrow{AB} + moverrightarrow{AC}}{m + n}$
• または、$overrightarrow{AP} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{BP} = vec{b} + frac{2}{3}overrightarrow{BC} = vec{b} + frac{2}{3}(vec{c} - vec{b}) = frac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}$

（4）$|overrightarrow{AP}|$ を求める

【解答】

$$|overrightarrow{AP}|^2 = left|frac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}right|^2$$

$$= frac{1}{9}|vec{b}|^2 + 2 cdot frac{1}{3} cdot frac{2}{3}(vec{b} cdot vec{c}) + frac{4}{9}|vec{c}|^2$$

$$= frac{1}{9} cdot 9 + frac{4}{9} cdot 6 + frac{4}{9} cdot 16$$

$$= 1 + frac{24}{9} + frac{64}{9}$$

$$= 1 + frac{88}{9} = frac{9 + 88}{9} = frac{97}{9}$$

$$|overrightarrow{AP}| = frac{sqrt{97}}{3}$$

答え：$|overrightarrow{AP}| = frac{sqrt{97}}{3}$

【ポイント】

• ベクトルの大きさの2乗は $|vec{a}|^2 = vec{a} cdot vec{a}$
• 展開公式：$|vec{a} + vec{b}|^2 = |vec{a}|^2 + 2vec{a} cdot vec{b} + |vec{b}|^2$

（5）直線 AP と辺 BC が垂直になる条件

【解答】

直線 AP と辺 BC が垂直 ⟺ $overrightarrow{AP} perp overrightarrow{BC}$ ⟺ $overrightarrow{AP} cdot overrightarrow{BC} = 0$

$overrightarrow{BC} = overrightarrow{AC} - overrightarrow{AB} = vec{c} - vec{b}$

$$overrightarrow{AP} cdot overrightarrow{BC} = left(frac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}right) cdot (vec{c} - vec{b})$$

$$= frac{1}{3}vec{b} cdot vec{c} - frac{1}{3}|vec{b}|^2 + frac{2}{3}|vec{c}|^2 - frac{2}{3}vec{b} cdot vec{c}$$

$$= -frac{1}{3}vec{b} cdot vec{c} - frac{1}{3} cdot 9 + frac{2}{3} cdot 16$$

$$= -frac{1}{3}vec{b} cdot vec{c} - 3 + frac{32}{3}$$

$$= -frac{1}{3}vec{b} cdot vec{c} + frac{23}{3}$$

これが 0 になるとき、

$$-frac{1}{3}vec{b} cdot vec{c} + frac{23}{3} = 0$$

$$vec{b} cdot vec{c} = 23$$

答え：$vec{b} cdot vec{c} = 23$

別解・発展

【発展：中線定理との関連】

もし P が BC の中点（$1:1$ に内分）であれば、AP は中線となります。中線の長さは中線定理によって求められ、

$$|overrightarrow{AM}|^2 = frac{2|vec{b}|^2 + 2|vec{c}|^2 - |vec{c} - vec{b}|^2}{4}$$

この公式もベクトルの計算で導出できます。

【発展：垂直条件の幾何学的意味】

$vec{b} cdot vec{c} = 23$ のとき、$cosangle BAC = frac{23}{12} > 1$ となり、これは実現不可能です。つまり、与えられた条件（$|vec{b}| = 3$、$|vec{c}| = 4$）のもとでは、AP と BC が垂直になることはありません。これは重要な考察ポイントです。

この年度の重要テーマと対策

2009年度の出題分析

2009年度の金沢工業大学入試数学では、以下の4つの大テーマが出題されました：

大問	テーマ	出題範囲	重要度
大問1	二次関数の最大・最小	数学I	★★★★★
大問2	三角関数の合成	数学II	★★★★☆
大問3	漸化式と数列の和	数学B	★★★★★
大問4	平面ベクトルと内積	数学B	★★★★☆

頻出テーマへの対策

1. 二次関数（毎年出題）

• 平方完成は完璧にできるようにする
• 軸と定義域の位置関係による場合分けをマスター
• 最大値・最小値の問題は、グラフを描いて視覚的に確認
• 文字を含む場合の場合分けの境界を正確に求める

2. 三角関数（頻出）

• 三角関数の合成は必須（$sin$ 型、$cos$ 型の両方）
• 方程式・不等式は置換して範囲に注意
• 単位円を使った解法に慣れる
• 加法定理・倍角の公式は確実に

3. 数列（頻出）

• 等差・等比数列の一般項と和の公式
• 漸化式のパターン別解法（$a_{n+1} = pa_n + q$ など）
• 特性方程式の使い方
• $Sigma$ 計算（とくに等比数列の和）

4. ベクトル（頻出）

• 内積の計算と幾何学的意味
• 位置ベクトルによる点の表現（内分・外分）
• 大きさの計算（$|vec{a}|^2 = vec{a} cdot vec{a}$）
• 垂直条件（内積 = 0）

効率的な学習法

1. 教科書の例題・練習問題を完璧に：金沢工業大学の問題は教科書レベルが中心
2. 計算ミスを減らす練習：マーク式では部分点がないため、計算精度が重要
3. 時間配分の練習：60分で4題、1題あたり15分が目安
4. 過去問演習：出題パターンに慣れ、時間感覚を身につける

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：二次関数の最大・最小（軸の移動）

【解答・解説】

Step 1：平方完成

$$f(x) = -x^2 + 6x - 5 = -(x^2 - 6x) - 5 = -(x - 3)^2 + 9 - 5 = -(x - 3)^2 + 4$$

頂点 $(3, 4)$、上に凸の放物線

Step 2：場合分け

上に凸なので、軸 $x = 3$ が定義域内にあれば最大値は頂点で、なければ軸に近い方の端点で最大値を取る。

【場合1】 $a + 1 leq 3$、すなわち $a leq 2$ のとき

定義域が軸より左側 → 最大値は右端 $x = a + 1$

$$M(a) = f(a+1) = -(a+1-3)^2 + 4 = -(a-2)^2 + 4$$

【場合2】 $a leq 3 leq a + 1$、すなわち $2 leq a leq 3$ のとき

軸が定義域内 → 最大値は頂点

$$M(a) = 4$$

【場合3】 $a geq 3$ のとき

定義域が軸より右側 → 最大値は左端 $x = a$

$$M(a) = f(a) = -(a-3)^2 + 4$$

【答え】

$$M(a) = begin{cases} -(a-2)^2 + 4 & (a leq 2) \ 4 & (2 leq a leq 3) \ -(a-3)^2 + 4 & (a geq 3) end{cases}$$

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練習問題2：三角関数の方程式

【解答・解説】

Step 1：$cos 2theta$ を $sintheta$ で表す

倍角の公式 $cos 2theta = 1 - 2sin^2theta$ を使う。

$$(1 - 2sin^2theta) + 3sintheta - 2 = 0$$

$$-2sin^2theta + 3sintheta - 1 = 0$$

$$2sin^2theta - 3sintheta + 1 = 0$$

Step 2：$sintheta = t$ とおいて解く

$$2t^2 - 3t + 1 = 0$$

$$(2t - 1)(t - 1) = 0$$

$$t = frac{1}{2}, 1$$

Step 3：$theta$ を求める

• $sintheta = frac{1}{2}$ のとき：$theta = frac{pi}{6}, frac{5pi}{6}$
• $sintheta = 1$ のとき：$theta = frac{pi}{2}$

答え：$theta = frac{pi}{6}, frac{pi}{2}, frac{5pi}{6}$

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練習問題3：漸化式と一般項

【解答・解説】

Step 1：特性方程式を解く

$x = 3x + 4$ より、$-2x = 4$、$x = -2$

Step 2：$b_n = a_n - (-2) = a_n + 2$ とおく

$$a_{n+1} + 2 = 3a_n + 4 + 2 = 3a_n + 6 = 3(a_n + 2)$$

$$b_{n+1} = 3b_n$$

Step 3：${b_n}$ の一般項

$b_1 = a_1 + 2 = 3$、公比 3 の等比数列

$$b_n = 3 cdot 3^{n-1} = 3^n$$

Step 4：$a_n$ を求める

$$a_n = b_n - 2 = 3^n - 2$$

答え：$a_n = 3^n - 2$

【検算】$a_1 = 3 - 2 = 1$ ✓、$a_2 = 9 - 2 = 7 = 3 cdot 1 + 4$ ✓

まとめ：2009年度を攻略するポイント

2009年度の金沢工業大学数学入試を振り返ると、以下のポイントが重要です：

1. 基礎の徹底：すべての問題が教科書レベルの基礎知識で解ける
2. 典型パターンの習得：二次関数の場合分け、三角関数の合成、漸化式の解法など
3. 計算力：マーク式では途中点がないため、正確な計算が必須
4. 時間管理：60分で4題、焦らず確実に解く

金沢工業大学の数学は、奇問・難問ではなく、基礎力と応用力をバランスよく問う良問揃いです。教科書と傍用問題集を丁寧にこなし、過去問で傾向を掴めば、必ず合格点に到達できます。

日本数学塾・数強塾で金沢工業大学合格を目指そう

ここまで2009年度の過去問を詳しく解説してきましたが、いかがでしたか？

「解説を読めば理解できるけど、自力で解けるか不安…」
「もっと効率的に数学力を伸ばしたい…」
「自分に合った学習計画を立ててほしい…」

そんな皆さんには、日本数学塾・数強塾をおすすめします！

日本数学塾・数強塾の特徴

• 数学専門：数学に特化した指導で、効率的に実力アップ
• 個別最適化：一人ひとりの理解度・目標に合わせたカリキュラム
• オンライン対応：全国どこからでも受講可能
• プロ講師陣：大学入試を知り尽くした講師が丁寧に指導
• 過去問対策：志望校の傾向に合わせた実践的な演習

金沢工業大学志望者へのサポート

金沢工業大学の数学は基礎重視ですが、その「基礎」を確実に身につけるには正しい方法論が必要です。私たちは以下のようなサポートを提供しています：

• 基礎力診断テスト：現在の実力を正確に把握し、弱点を特定
• 分野別集中講座：二次関数、三角関数、数列、ベクトルなど頻出分野を徹底強化
• 計算力トレーニング：マーク式試験で必須の計算精度を向上
• 過去問演習＆解説：金沢工業大学の出題傾向に合わせた実践演習
• 模擬試験：本番を想定した時間配分の練習

無料体験授業のご案内

「本当に自分に合うかな？」「どんな授業か試してみたい」という方のために、無料体験授業をご用意しています。

合格者の声

藤原進之介からのメッセージ

最後までお読みいただき、ありがとうございます。

金沢工業大学の数学は、決して難しくありません。しかし、「簡単」と「確実に解ける」は別物です。基礎的な問題だからこそ、ケアレスミスが命取りになり、取りこぼしが合否を分けることになります。

大切なのは、以下の3つです：

1. 基礎を完璧にする：教科書レベルの問題を、考えなくても手が動くレベルまで
2. 典型問題のパターンを身につける：解法の引き出しを増やす
3. 実戦練習を積む：時間内に正確に解く訓練

この記事で解説した2009年度の問題も、すべてこの3つができていれば満点が狙えます。

もし一人で勉強していて不安を感じたら、ぜひ日本数学塾・数強塾に相談してください。私たちは、皆さん一人ひとりの「わからない」に寄り添い、「できる！」に変えるお手伝いをします。

金沢工業大学は、教育に対する熱意と実践的なカリキュラムで知られる素晴らしい大学です。皆さんの合格を心から応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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付録：金沢工業大学 数学入試 重要公式集

最後に、金沢工業大学の数学入試で頻出の公式をまとめておきます。試験直前の確認にお使いください。

二次関数

• 平方完成：$ax^2 + bx + c = aleft(x + frac{b}{2a}right)^2 - frac{b^2 - 4ac}{4a}$
• 頂点：$left(-frac{b}{2a}, -frac{b^2 - 4ac}{4a}right)$
• 判別式：$D = b^2 - 4ac$（解の個数判定）

三角関数

• 加法定理：$sin(alpha pm beta) = sinalphacosbeta pm cosalphasinbeta$
• 加法定理：$cos(alpha pm beta) = cosalphacosbeta mp sinalphasinbeta$
• 倍角の公式：$sin 2theta = 2sinthetacostheta$
• 倍角の公式：$cos 2theta = cos^2theta - sin^2theta = 2cos^2theta - 1 = 1 - 2sin^2theta$
• 合成：$asintheta + bcostheta = sqrt{a^2 + b^2}sin(theta + alpha)$

数列

• 等差数列の一般項：$a_n = a_1 + (n-1)d$
• 等差数列の和：$S_n = frac{n(a_1 + a_n)}{2} = frac{n{2a_1 + (n-1)d}}{2}$
• 等比数列の一般項：$a_n = a_1 cdot r^{n-1}$
• 等比数列の和：$S_n = frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$（$r neq 1$）
• 漸化式 $a_{n+1} = pa_n + q$ の解法：$alpha = frac{q}{1-p}$ として $b_n = a_n - alpha$

ベクトル

• 内積：$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}||vec{b}|costheta$
• 成分表示での内積：$vec{a} cdot vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$
• 大きさ：$|vec{a}| = sqrt{vec{a} cdot vec{a}}$
• 垂直条件：$vec{a} perp vec{b} Leftrightarrow vec{a} cdot vec{b} = 0$
• 内分点：$overrightarrow{OP} = frac{noverrightarrow{OA} + moverrightarrow{OB}}{m + n}$（$m:n$ に内分）

微分・積分（数学II範囲）

• 導関数の定義：$f'(x) = lim_{h to 0}frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
• $x^n$ の微分：$(x^n)' = nx^{n-1}$
• $x^n$ の積分：$int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n neq -1$）
• 面積：$S = int_a^b |f(x) - g(x)| dx$

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