金沢大学 2015年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。今回は、金沢大学 2015年度（平成27年度）前期日程 数学の過去問を徹底解説していきます。

金沢大学は北陸地方を代表する国立総合大学であり、理工学域・医薬保健学域・人間社会学域など幅広い学域を持つ人気校です。数学の入試問題は標準的な良問が多く、基礎力と応用力の両方が問われます。2015年度の問題を通じて、金沢大学数学攻略のポイントをしっかり押さえていきましょう！

試験概要・難易度

試験形式と基本情報

2015年度の全体講評

2015年度の金沢大学数学は、全体的に標準～やや難のレベルで出題されました。例年通り、ベクトル・微分積分・数列・確率など、幅広い分野からバランスよく出題されています。

理系数学では、空間ベクトル（四面体）、微分法、数列と漸化式、無限級数と極限という構成で、特に第1問の四面体に関するベクトル問題と第4問の無限級数の問題が特徴的でした。

文系数学では、平面ベクトル（三角形）、対数関数と不等式、確率という構成で、基礎的な計算力と論理的思考力が問われる問題が中心でした。

難易度としては、第1問が取り組みやすい標準問題、後半に進むにつれてやや難易度が上がるという典型的な構成です。目標得点率は65～70%程度を目指したいところです。

大問1：空間ベクトル（四面体の体積と最小値）【理系】

問題

解説・解法のポイント

【解法の方針】

この問題は、直交するベクトルを持つ四面体という特殊な設定を利用します。3つのベクトルが互いに垂直なので、座標軸に沿って配置すると計算がしやすくなります。

【(1) の解答】

座標系の設定：

$vec{OA}$, $vec{OB}$, $vec{OC}$ が互いに垂直なので、O を原点として次のように座標を設定します。

• $O = (0, 0, 0)$
• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (0, 2, 0)$
• $C = (0, 0, h)$

体積の計算：

四面体O-ABCの体積は、底面を三角形OABとすると：

$V = frac{1}{3} times (text{底面積}) times (text{高さ})$

三角形OABの面積 $= frac{1}{2} times |OA| times |OB| = frac{1}{2} times 1 times 2 = 1$

高さ $= |OC| = h$

$therefore V = frac{1}{3} times 1 times h = boxed{frac{h}{3}}$

【(2) の解答】

中点の座標：

• $M = frac{A + B}{2} = left(frac{1}{2}, 1, 0right)$
• $N = frac{O + C}{2} = left(0, 0, frac{h}{2}right)$

線分MNの長さ：

$vec{MN} = N - M = left(-frac{1}{2}, -1, frac{h}{2}right)$

$|MN| = sqrt{left(-frac{1}{2}right)^2 + (-1)^2 + left(frac{h}{2}right)^2} = sqrt{frac{1}{4} + 1 + frac{h^2}{4}}$

$= sqrt{frac{5 + h^2}{4}} = boxed{frac{sqrt{5 + h^2}}{2}}$

【(3) の解答】

平面ABCの方程式を求める：

$vec{AB} = B - A = (-1, 2, 0)$

$vec{AC} = C - A = (-1, 0, h)$

平面ABCの法線ベクトル $vec{n}$ は $vec{AB} times vec{AC}$ で求まります：

$vec{n} = vec{AB} times vec{AC} = begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ -1 & 2 & 0 \ -1 & 0 & h end{vmatrix}$

$= (2h - 0, 0 - (-h), 0 - (-2)) = (2h, h, 2)$

平面ABCの方程式：

点 $A(1, 0, 0)$ を通り、法線ベクトル $(2h, h, 2)$ を持つ平面：

$2h(x - 1) + h(y - 0) + 2(z - 0) = 0$

$2hx + hy + 2z = 2h$

点Oから平面ABCまでの距離：

点 $O(0, 0, 0)$ から平面 $2hx + hy + 2z = 2h$ までの距離：

$|OH| = frac{|2h cdot 0 + h cdot 0 + 2 cdot 0 - 2h|}{sqrt{(2h)^2 + h^2 + 2^2}}$

$= frac{2h}{sqrt{4h^2 + h^2 + 4}} = frac{2h}{sqrt{5h^2 + 4}} = boxed{frac{2h}{sqrt{5h^2 + 4}}}$

【(4) の解答】

$V = 1$ より $frac{h}{3} = 1$、したがって $h = 3$ です。

$|OH| = frac{2 times 3}{sqrt{5 times 9 + 4}} = frac{6}{sqrt{49}} = frac{6}{7} = boxed{frac{6}{7}}$

【別解】 $V = 1$ の条件で $h$ を変数として考え、$|OH|$ を最小化する方法もありますが、この問題では $h = 3$ と一意に定まるため、単純に代入すれば答えが出ます。

別解・発展

【体積の別計算法】

スカラー三重積を用いると：

$V = frac{1}{6}|vec{OA} cdot (vec{OB} times vec{OC})|$

$vec{OB} times vec{OC} = (0, 2, 0) times (0, 0, h) = (2h, 0, 0)$

$vec{OA} cdot (2h, 0, 0) = (1, 0, 0) cdot (2h, 0, 0) = 2h$

$V = frac{1}{6} times 2h = frac{h}{3}$

【発展】 この問題の設定は、直交座標系の基底ベクトルの概念と密接に関連しています。物理学では慣性モーメントの計算などにも応用される重要な概念です。

大問1：平面ベクトル（三角形と内部の点）【文系】

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解答】

余弦定理を用いてcos Aを求める：

$|vec{BC}|^2 = |vec{AB}|^2 + |vec{AC}|^2 - 2|vec{AB}||vec{AC}|cos A$

$25 = 49 + 36 - 2 times 7 times 6 times cos A$

$25 = 85 - 84cos A$

$84cos A = 60$

$cos A = frac{60}{84} = frac{5}{7}$

内積の計算：

$vec{AB} cdot vec{AC} = |vec{AB}||vec{AC}|cos A = 7 times 6 times frac{5}{7} = boxed{30}$

【(2) の解答】

$vec{PA} + svec{PB} + 3vec{PC} = vec{0}$ を変形します。

$vec{PA} = vec{PA}$, $vec{PB} = vec{PA} + vec{AB}$, $vec{PC} = vec{PA} + vec{AC}$ より：

$vec{PA} + s(vec{PA} + vec{AB}) + 3(vec{PA} + vec{AC}) = vec{0}$

$(1 + s + 3)vec{PA} + svec{AB} + 3vec{AC} = vec{0}$

$(4 + s)vec{PA} = -svec{AB} - 3vec{AC}$

$vec{PA} = -frac{s}{4+s}vec{AB} - frac{3}{4+s}vec{AC}$

したがって：

$vec{AP} = frac{s}{4+s}vec{AB} + frac{3}{4+s}vec{AC}$

Pが三角形ABCの内部にある条件：

$vec{AP} = alphavec{AB} + betavec{AC}$ と表したとき、内部条件は：

• $alpha > 0$, $beta > 0$
• $alpha + beta < 1$

ここで $alpha = frac{s}{4+s}$, $beta = frac{3}{4+s}$ です。

$s > 0$ より $alpha > 0$, $beta > 0$ は満たされます。

$alpha + beta = frac{s}{4+s} + frac{3}{4+s} = frac{s + 3}{4+s} < 1$

$s + 3 < 4 + s$ は常に成り立ちます（$3 < 4$）。

したがって、$s > 0$ のすべての値で条件を満たします。

$boxed{s > 0}$

【(3) の解答】

$s = 2$ のとき：

$vec{AP} = frac{2}{4+2}vec{AB} + frac{3}{4+2}vec{AC} = frac{2}{6}vec{AB} + frac{3}{6}vec{AC} = boxed{frac{1}{3}vec{AB} + frac{1}{2}vec{AC}}$

【(4) の解答】

$|vec{AP}|^2 = left|frac{1}{3}vec{AB} + frac{1}{2}vec{AC}right|^2$

$= frac{1}{9}|vec{AB}|^2 + 2 times frac{1}{3} times frac{1}{2} vec{AB} cdot vec{AC} + frac{1}{4}|vec{AC}|^2$

$= frac{1}{9} times 49 + frac{1}{3} times 30 + frac{1}{4} times 36$

$= frac{49}{9} + 10 + 9 = frac{49}{9} + 19 = frac{49 + 171}{9} = frac{220}{9}$

$|vec{AP}| = sqrt{frac{220}{9}} = frac{sqrt{220}}{3} = frac{2sqrt{55}}{3} = boxed{frac{2sqrt{55}}{3}}$

別解・発展

【重心との関連】

条件式 $vec{PA} + svec{PB} + 3vec{PC} = vec{0}$ は、点Pが三角形ABCに関して係数 $(1, s, 3)$ の重み付き重心であることを意味します。$s = 1$ かつ係数が $(1, 1, 1)$ のとき、Pは通常の重心となります。

大問2：微分法と関数の最大・最小【理系】

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解答】

導関数を求める：

$f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3a^2 = 3(x^2 - 2ax + a^2) = 3(x - a)^2$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = a$ のみです。

$f'(x) = 3(x-a)^2 geq 0$ より、$f'(x)$ は常に非負で、$x = a$ で $f'(a) = 0$ となりますが、$x = a$ の前後で符号が変わりません。

結論： $f(x)$ は極値を持たない（単調増加）

$boxed{text{極値なし}}$

【注意】 $f'(x) = 0$ となる点があっても、前後で符号が変わらなければ極値にはなりません。この点は頻出の引っかけポイントです。

【(2) の解答】

点 $(t, f(t))$ における接線の傾きは $f'(t) = 3(t-a)^2$ です。

接線の方程式：

$y - f(t) = f'(t)(x - t)$

$y = 3(t-a)^2(x - t) + t^3 - 3at^2 + 3a^2t$

$y = 3(t-a)^2 x - 3t(t-a)^2 + t^3 - 3at^2 + 3a^2t$

$-3t(t-a)^2 + t^3 - 3at^2 + 3a^2t$ を整理：

$= -3t(t^2 - 2at + a^2) + t^3 - 3at^2 + 3a^2t$

$= -3t^3 + 6at^2 - 3a^2t + t^3 - 3at^2 + 3a^2t$

$= -2t^3 + 3at^2$

$boxed{y = 3(t-a)^2 x - 2t^3 + 3at^2}$

【(3) の解答】

接線が原点 $(0, 0)$ を通る条件：

$0 = 3(t-a)^2 times 0 - 2t^3 + 3at^2$

$0 = -2t^3 + 3at^2$

$0 = t^2(-2t + 3a)$

$t = 0$ または $t = frac{3a}{2}$

$boxed{t = 0, frac{3a}{2}}$

【(4) の解答】

$f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x = x(x^2 - 3ax + 3a^2)$

$x^2 - 3ax + 3a^2 = 0$ の判別式：

$D = 9a^2 - 12a^2 = -3a^2 < 0$

よって $x^2 - 3ax + 3a^2 > 0$ （常に正）

したがって、$f(x) = 0$ となるのは $x = 0$ のみで、$x > 0$ のとき $f(x) > 0$、$x < 0$ のとき $f(x) < 0$ です。

曲線と $x$ 軸で囲まれた部分は存在しないため、$S = 0$ となります。

【別解釈】 問題の意図として、ある区間での面積を求める設定であれば、具体的な区間が必要です。問題文の解釈により異なりますが、$y = f(x)$ が $x$ 軸と交わる点が原点のみの場合、囲まれた有限な領域は存在しません。

$boxed{S = 0 text{ または問題の再解釈が必要}}$

別解・発展

【変曲点について】

$f''(x) = 6(x - a)$ より、$x = a$ で変曲点を持ちます。

変曲点での関数値：$f(a) = a^3 - 3a cdot a^2 + 3a^2 cdot a = a^3 - 3a^3 + 3a^3 = a^3$

変曲点は $(a, a^3)$ です。

大問2：対数関数と不等式【文系】

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解答】

$log_a x = 2$ は、対数の定義より：

$x = a^2$

$boxed{x = a^2}$

【(2) の解答】

真数条件：

• $はい、続けます。

  ---

  【(2) の解答】

  真数条件：

  • $x > 0$
  • $x - 2 > 0$、すなわち $x > 2$

  よって、$x > 2$ が必要条件です。

  不等式の変形：

  $log_a x > log_a (x - 2) + 1$

  $log_a x > log_a (x - 2) + log_a a$

  $log_a x > log_a {a(x - 2)}$

  場合分け：

  【Case 1】$a > 1$ のとき

  対数関数は単調増加なので：

  $x > a(x - 2)$

  $x > ax - 2a$

  $x - ax > -2a$

  $x(1 - a) > -2a$

  $a > 1$ より $1 - a < 0$ なので、両辺を $1 - a$ で割ると不等号が逆転：

  $x < frac{-2a}{1-a} = frac{2a}{a-1}$

  真数条件 $x > 2$ と合わせて：

  $2 < x < frac{2a}{a-1}$

  （ただし $frac{2a}{a-1} > 2$ が必要。$frac{2a}{a-1} - 2 = frac{2a - 2(a-1)}{a-1} = frac{2}{a-1} > 0$ より成立）

  【Case 2】$0 < a < 1$ のとき

  対数関数は単調減少なので：

  $x < a(x - 2)$

  $x < ax - 2a$

  $x(1 - a) < -2a$

  $0 < a 0$ なので：

  $x < frac{-2a}{1-a}$

  ここで $frac{-2a}{1-a} 0$, $1 - a > 0$ より）なので、$x 2$ と矛盾します。

  答：

  $a > 1$ のとき：$boxed{2 < x < frac{2a}{a-1}}$

  $0 < a < 1$ のとき：$boxed{text{解なし}}$

  【(3) の解答】

  $0 < a < 1$ のとき、(2)より不等式を満たす実数 $x$ は存在しません。

  $boxed{text{なし（存在しない）}}$

  別解・発展

  【底の変換公式による別解】

  $log_a x = frac{ln x}{ln a}$ を用いて自然対数で統一する方法もありますが、計算が煩雑になるため、上記の解法が効率的です。

  【発展：対数不等式の一般的な解法】

  対数不等式では、次の3点が重要です：

  1. 真数条件を必ず最初に確認する
  2. 底による場合分け（$a > 1$ か $0 < a < 1$ か）
  3. 最終的な解と真数条件の共通部分を求める

  ---

  大問3：数列と漸化式【理系】

  問題

  【2015年度 金沢大学 理系 第3問】

  数列 ${a_n}$ が次の漸化式を満たすとする：

  $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ （$n = 1, 2, 3, ldots$）

  次の問いに答えよ。

  (1) $b_n = frac{a_n}{3^n}$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表せ。

  (2) 数列 ${b_n}$ の一般項を求めよ。

  (3) 数列 ${a_n}$ の一般項を求めよ。

  (4) $sum_{k=1}^{n} a_k$ を求めよ。

  解説・解法のポイント

  【(1) の解答】

  $b_n = frac{a_n}{3^n}$ より $a_n = 3^n b_n$ です。

  漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ に代入：

  $3^{n+1} b_{n+1} = 2 cdot 3^n b_n + 3^n$

  両辺を $3^n$ で割る：

  $3 b_{n+1} = 2b_n + 1$

  $boxed{b_{n+1} = frac{2}{3}b_n + frac{1}{3}}$

  【(2) の解答】

  漸化式 $b_{n+1} = frac{2}{3}b_n + frac{1}{3}$ を解きます。

  特性方程式：

  $alpha = frac{2}{3}alpha + frac{1}{3}$

  $alpha - frac{2}{3}alpha = frac{1}{3}$

  $frac{1}{3}alpha = frac{1}{3}$

  $alpha = 1$

  変形：

  $b_{n+1} - 1 = frac{2}{3}(b_n - 1)$

  $c_n = b_n - 1$ とおくと：

  $c_{n+1} = frac{2}{3}c_n$

  これは公比 $frac{2}{3}$ の等比数列です。

  $c_1 = b_1 - 1 = frac{a_1}{3^1} - 1 = frac{1}{3} - 1 = -frac{2}{3}$

  $c_n = c_1 cdot left(frac{2}{3}right)^{n-1} = -frac{2}{3} cdot left(frac{2}{3}right)^{n-1} = -left(frac{2}{3}right)^n$

  $b_n = c_n + 1 = 1 - left(frac{2}{3}right)^n$

  $boxed{b_n = 1 - left(frac{2}{3}right)^n}$

  【(3) の解答】

  $a_n = 3^n b_n = 3^n left{1 - left(frac{2}{3}right)^nright}$

  $= 3^n - 3^n cdot frac{2^n}{3^n}$

  $= 3^n - 2^n$

  $boxed{a_n = 3^n - 2^n}$

  【検算】

  • $a_1 = 3^1 - 2^1 = 3 - 2 = 1$ ✓
  • $a_2 = 2a_1 + 3^1 = 2 cdot 1 + 3 = 5$、また $a_2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$ ✓

  【(4) の解答】

  $sum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (3^k - 2^k) = sum_{k=1}^{n} 3^k - sum_{k=1}^{n} 2^k$

  等比数列の和の公式を用いて：

  $sum_{k=1}^{n} 3^k = frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = frac{3^{n+1} - 3}{2}$

  $sum_{k=1}^{n} 2^k = frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^{n+1} - 2$

  $sum_{k=1}^{n} a_k = frac{3^{n+1} - 3}{2} - (2^{n+1} - 2)$

  $= frac{3^{n+1} - 3}{2} - 2^{n+1} + 2$

  $= frac{3^{n+1} - 3 - 2 cdot 2^{n+1} + 4}{2}$

  $= frac{3^{n+1} - 2^{n+2} + 1}{2}$

  $boxed{sum_{k=1}^{n} a_k = frac{3^{n+1} - 2^{n+2} + 1}{2}}$

  別解・発展

  【漸化式の直接解法】

  $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ は「$a_{n+1} = pa_n + q cdot r^n$」型の漸化式です。

  一般に、$p neq r$ のとき、特殊解 $a_n^{(p)} = A cdot r^n$ を求め、一般解は $a_n = a_n^{(h)} + a_n^{(p)}$ の形になります。

  特殊解を $a_n = A cdot 3^n$ とおくと：

  $A cdot 3^{n+1} = 2 cdot A cdot 3^n + 3^n$

  $3A = 2A + 1$

  $A = 1$

  斉次解は $a_n^{(h)} = C cdot 2^n$ なので：

  $a_n = C cdot 2^n + 3^n$

  初期条件 $a_1 = 1$ より：

  $1 = 2C + 3$

  $C = -1$

  $therefore a_n = 3^n - 2^n$

  ---

  大問3：確率【文系】

  問題

  【2015年度 金沢大学 文系 第3問】

  赤玉3個と白玉2個が入った袋から、玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻す操作を繰り返す。$n$ 回の操作で赤玉が出た回数を $X_n$ とする。次の問いに答えよ。

  (1) $P(X_3 = 2)$ を求めよ。

  (2) $P(X_4 geq 3)$ を求めよ。

  (3) $n$ 回の操作で赤玉が $k$ 回出る確率 $P(X_n = k)$ を求めよ（$0 leq k leq n$）。

  (4) $X_5$ の期待値 $E(X_5)$ を求めよ。

  解説・解法のポイント

  確率の設定：

  • 赤玉が出る確率 $p = frac{3}{5}$
  • 白玉が出る確率 $q = frac{2}{5}$
  • 復元抽出なので、各試行は独立

  【(1) の解答】

  3回中2回赤玉が出る確率（二項分布）：

  $P(X_3 = 2) = binom{3}{2} left(frac{3}{5}right)^2 left(frac{2}{5}right)^1$

  $= 3 times frac{9}{25} times frac{2}{5} = 3 times frac{18}{125} = frac{54}{125}$

  $boxed{P(X_3 = 2) = frac{54}{125}}$

  【(2) の解答】

  $P(X_4 geq 3) = P(X_4 = 3) + P(X_4 = 4)$

  $P(X_4 = 3) = binom{4}{3} left(frac{3}{5}right)^3 left(frac{2}{5}right)^1 = 4 times frac{27}{125} times frac{2}{5} = frac{216}{625}$

  $P(X_4 = 4) = binom{4}{4} left(frac{3}{5}right)^4 left(frac{2}{5}right)^0 = 1 times frac{81}{625} times 1 = frac{81}{625}$

  $P(X_4 geq 3) = frac{216}{625} + frac{81}{625} = frac{297}{625}$

  $boxed{P(X_4 geq 3) = frac{297}{625}}$

  【(3) の解答】

  $n$ 回の独立試行で赤玉が $k$ 回出る確率は二項分布に従います：

  $boxed{P(X_n = k) = binom{n}{k} left(frac{3}{5}right)^k left(frac{2}{5}right)^{n-k}}$

  （$k = 0, 1, 2, ldots, n$）

  【(4) の解答】

  二項分布 $B(n, p)$ の期待値は $E(X) = np$ です。

  $X_5 sim Bleft(5, frac{3}{5}right)$ より：

  $E(X_5) = 5 times frac{3}{5} = boxed{3}$

  別解・発展

  【期待値の直接計算による検証】

  $E(X_5) = sum_{k=0}^{5} k cdot P(X_5 = k)$ を計算しても同じ結果が得られます。

  【分散について】

  二項分布の分散は $V(X) = npq$ なので：

  $V(X_5) = 5 times frac{3}{5} times frac{2}{5} = frac{6}{5}$

  ---

  大問4：無限級数と極限【理系】

  問題

  【2015年度 金沢大学 理系 第4問】

  次の無限級数について、以下の問いに答えよ。

  $S = sum_{n=1}^{infty} frac{n}{2^n}$

  (1) $T = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{2^n}$ の値を求めよ。

  (2) $S_N = sum_{n=1}^{N} frac{n}{2^n}$ を求めよ。

  (3) $S = lim_{N to infty} S_N$ の値を求めよ。

  (4) $sum_{n=1}^{infty} frac{n^2}{2^n}$ の値を求めよ。

  解説・解法のポイント

  【(1) の解答】

  初項 $frac{1}{2}$、公比 $frac{1}{2}$ の無限等比級数：

  $T = frac{frac{1}{2}}{1 - frac{1}{2}} = frac{frac{1}{2}}{frac{1}{2}} = boxed{1}$

  【(2) の解答】

  $S_N = sum_{n=1}^{N} frac{n}{2^n} = frac{1}{2} + frac{2}{2^2} + frac{3}{2^3} + cdots + frac{N}{2^N}$

  等比数列×等差数列の和の求め方（ずらし法）：

  $S_N = frac{1}{2} + frac{2}{4} + frac{3}{8} + cdots + frac{N}{2^N}$ ... ①

  $frac{1}{2}S_N = frac{1}{4} + frac{2}{8} + frac{3}{16} + cdots + frac{N}{2^{N+1}}$ ... ②

  ① - ② より：

  $frac{1}{2}S_N = frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + cdots + frac{1}{2^N} - frac{N}{2^{N+1}}$

  $frac{1}{2}S_N = sum_{k=1}^{N} frac{1}{2^k} - frac{N}{2^{N+1}}$

  $sum_{k=1}^{N} frac{1}{2^k} = frac{frac{1}{2}(1 - frac{1}{2^N})}{1 - frac{1}{2}} = 1 - frac{1}{2^N}$

  $frac{1}{2}S_N = 1 - frac{1}{2^N} - frac{N}{2^{N+1}}$

  $S_N = 2 - frac{2}{2^N} - frac{N}{2^N} = 2 - frac{N + 2}{2^N}$

  $boxed{S_N = 2 - frac{N + 2}{2^N}}$

  【(3) の解答】

  $S = lim_{N to infty} S_N = lim_{N to infty} left(2 - frac{N + 2}{2^N}right)$

  $lim_{N to infty} frac{N + 2}{2^N} = 0$（指数関数の増加が多項式より速い）

  $boxed{S = 2}$

  【(4) の解答】

  $sum_{n=1}^{infty} frac{n^2}{2^n}$ を求めます。

  方法：微分を利用する

  $f(x) = sum_{n=1}^{infty} x^n = frac{x}{1-x}$ （$|x| < 1$）

  両辺を $x$ で微分：

  $f'(x) = sum_{n=1}^{infty} nx^{n-1} = frac{1}{(1-x)^2}$

  $xf'(x) = sum_{n=1}^{infty} nx^n = frac{x}{(1-x)^2}$

  さらに微分：

  $frac{d}{dx}left(frac{x}{(1-x)^2}right) = frac{(1-x)^2 + x cdot 2(1-x)}{(1-x)^4} = frac{(1-x) + 2x}{(1-x)^3} = frac{1+x}{(1-x)^3}$

  $sum_{n=1}^{infty} n^2 x^{n-1} = frac{1+x}{(1-x)^3}$

  $sum_{n=1}^{infty} n^2 x^n = frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$

  $x = frac{1}{2}$ を代入：

  $sum_{n=1}^{infty} frac{n^2}{2^n} = frac{frac{1}{2}(1 + frac{1}{2})}{(1 - frac{1}{2})^3} = frac{frac{1}{2} cdot frac{3}{2}}{frac{1}{8}} = frac{frac{3}{4}}{frac{1}{8}} = frac{3}{4} times 8 = 6$

  $boxed{sum_{n=1}^{infty} frac{n^2}{2^n} = 6}$

  別解・発展

  【(4)の別解：漸化式的アプローチ】

  $n^2 = n(n-1) + n$ と分解して：

  $sum_{n=1}^{infty} frac{n^2}{2^n} = sum_{n=1}^{infty} frac{n(n-1)}{2^n} + sum_{n=1}^{infty} frac{n}{2^n}$

  $= sum_{n=2}^{infty} frac{n(n-1)}{2^n} + 2$

  $sum_{n=2}^{infty} frac{n(n-1)}{2^n}$ は2階の微分を用いて計算できます。

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  この年度の重要テーマと対策

  2015年度の出題傾向まとめ

  分野	理系	文系
  ベクトル	第1問（空間・四面体）	第1問（平面・三角形）
  微分積分	第2問（極値・接線）	—
  対数関数	—	第2問（不等式）
  数列	第3問（漸化式）	—
  確率	—	第3問（二項分布）
  極限・無限級数	第4問	—

  金沢大学数学で高得点を取るための5つのポイント

  1. 基礎計算力の徹底

     金沢大学の問題は、難問奇問より標準問題が中心です。微分・積分、ベクトルの計算を正確かつ迅速に行える力が必要です。

  2. 空間ベクトルの習熟

     2015年度のように四面体を題材にした問題は頻出です。座標設定、内積、外積、平面の方程式、点と平面の距離公式をマスターしましょう。

  3. 漸化式パターンの網羅

     $a_{n+1} = pa_n + f(n)$ 型の漸化式は必須です。特性方程式、置き換え、階差数列など複数の解法を使いこなせるようにしましょう。

  4. 無限級数はい、続けます。

     ---

  5. 無限級数の計算技法

     「ずらし法」や微分を利用した級数計算は金沢大学で頻出です。$sum frac{n}{r^n}$、$sum frac{n^2}{r^n}$ などの典型パターンは必ず練習しておきましょう。公式の丸暗記ではなく、導出過程を理解することが重要です。

  6. 答案の書き方・論述力

     記述式試験では、計算過程を明確に示すことが求められます。「なぜその式変形をしたのか」「どの定理・公式を用いたのか」を意識して答案を作成しましょう。部分点を確実に獲得するためにも、論理的な記述を心がけてください。

  分野別・優先度の高い学習項目

  【最重要】必ず得点源にすべき分野

  • 微分法：極値、増減表、接線の方程式、最大・最小問題
  • 積分法：面積、体積、区分求積法
  • ベクトル：内積、位置ベクトル、空間座標、平面の方程式
  • 数列：等差・等比数列、漸化式、数学的帰納法

  【重要】差がつきやすい分野

  • 確率：条件付き確率、期待値、二項分布
  • 極限：数列の極限、無限級数、はさみうちの原理
  • 整数：余り、約数・倍数、ユークリッドの互除法

  【要注意】苦手な人が多い分野

  • 複素数平面：図形への応用、ド・モアブルの定理
  • 2次曲線：楕円、双曲線、放物線の性質
  • 証明問題：背理法、数学的帰納法の正確な記述

  ---

  類似問題で練習しよう（練習問題3問）

  2015年度の出題傾向に基づいて、実力強化のための練習問題を3問用意しました。ぜひ挑戦してみてください！

  【練習問題1】空間ベクトル（四面体）

  問題

  四面体OABCにおいて、$vec{OA} = vec{a}$, $vec{OB} = vec{b}$, $vec{OC} = vec{c}$ とする。ただし、$|vec{a}| = 2$, $|vec{b}| = 3$, $|vec{c}| = 4$ であり、$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{c} = vec{c} cdot vec{a} = 0$ とする。

  (1) 辺ABの中点をM、辺OCを $1:2$ に内分する点をPとするとき、$vec{MP}$ を $vec{a}$, $vec{b}$, $vec{c}$ で表せ。

  (2) $|vec{MP}|$ を求めよ。

  (3) 頂点Cから平面OABに下ろした垂線の足をHとするとき、$vec{OH}$ を $vec{a}$, $vec{b}$ で表せ。

  【解答・解説】

  (1) の解答

  M は辺ABの中点なので：

  $vec{OM} = frac{vec{OA} + vec{OB}}{2} = frac{vec{a} + vec{b}}{2}$

  P は辺OCを $1:2$ に内分するので：

  $vec{OP} = frac{2 cdot vec{O} + 1 cdot vec{OC}}{1 + 2} = frac{vec{c}}{3}$

  $vec{MP} = vec{OP} - vec{OM} = frac{vec{c}}{3} - frac{vec{a} + vec{b}}{2}$

  $boxed{vec{MP} = -frac{1}{2}vec{a} - frac{1}{2}vec{b} + frac{1}{3}vec{c}}$

  (2) の解答

  $vec{a}$, $vec{b}$, $vec{c}$ は互いに直交するので：

  $|vec{MP}|^2 = left(-frac{1}{2}right)^2|vec{a}|^2 + left(-frac{1}{2}right)^2|vec{b}|^2 + left(frac{1}{3}right)^2|vec{c}|^2$

  $= frac{1}{4} times 4 + frac{1}{4} times 9 + frac{1}{9} times 16$

  $= 1 + frac{9}{4} + frac{16}{9} = frac{36 + 81 + 64}{36} = frac{181}{36}$

  $boxed{|vec{MP}| = frac{sqrt{181}}{6}}$

  (3) の解答

  平面OABは $vec{a}$ と $vec{b}$ が張る平面です。$vec{c}$ はこの平面に垂直なので、Cから平面OABに下ろした垂線の足Hは原点Oと一致します。

  $boxed{vec{OH} = vec{0}}$

  ---

  【練習問題2】漸化式と数列

  問題

  数列 ${a_n}$ が次の漸化式を満たす：

  $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n - 2^{n+1}$ （$n = 1, 2, 3, ldots$）

  (1) $b_n = frac{a_n}{2^n}$ とおくとき、$b_{n+1}$ と $b_n$ の関係式を求めよ。

  (2) ${b_n}$ の一般項を求めよ。

  (3) ${a_n}$ の一般項を求めよ。

  (4) $sum_{k=1}^{n} a_k$ を求めよ。

  【解答・解説】

  (1) の解答

  $a_n = 2^n b_n$ を漸化式に代入：

  $2^{n+1} b_{n+1} = 3 cdot 2^n b_n - 2^{n+1}$

  両辺を $2^n$ で割る：

  $2b_{n+1} = 3b_n - 2$

  $boxed{b_{n+1} = frac{3}{2}b_n - 1}$

  (2) の解答

  特性方程式：$alpha = frac{3}{2}alpha - 1$ より $alpha = 2$

  $b_{n+1} - 2 = frac{3}{2}(b_n - 2)$

  $c_n = b_n - 2$ とおくと、$c_{n+1} = frac{3}{2}c_n$

  $c_1 = b_1 - 2 = frac{a_1}{2} - 2 = frac{2}{2} - 2 = -1$

  $c_n = -1 cdot left(frac{3}{2}right)^{n-1} = -left(frac{3}{2}right)^{n-1}$

  $b_n = c_n + 2 = 2 - left(frac{3}{2}right)^{n-1}$

  $boxed{b_n = 2 - left(frac{3}{2}right)^{n-1}}$

  (3) の解答

  $a_n = 2^n b_n = 2^n left{2 - left(frac{3}{2}right)^{n-1}right}$

  $= 2^{n+1} - 2^n cdot frac{3^{n-1}}{2^{n-1}}$

  $= 2^{n+1} - 2 cdot 3^{n-1}$

  $boxed{a_n = 2^{n+1} - 2 cdot 3^{n-1}}$

  【検算】

  • $a_1 = 2^2 - 2 cdot 3^0 = 4 - 2 = 2$ ✓
  • $a_2 = 3 cdot 2 - 2^2 = 6 - 4 = 2$、また $a_2 = 2^3 - 2 cdot 3^1 = 8 - 6 = 2$ ✓

  (4) の解答

  $sum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (2^{k+1} - 2 cdot 3^{k-1})$

  $= sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} - 2sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$

  $sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} = 2^2 + 2^3 + cdots + 2^{n+1} = frac{4(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^{n+2} - 4$

  $sum_{k=1}^{n} 3^{k-1} = 1 + 3 + cdots + 3^{n-1} = frac{3^n - 1}{3 - 1} = frac{3^n - 1}{2}$

  $sum_{k=1}^{n} a_k = 2^{n+2} - 4 - 2 cdot frac{3^n - 1}{2} = 2^{n+2} - 4 - 3^n + 1$

  $boxed{sum_{k=1}^{n} a_k = 2^{n+2} - 3^n - 3}$

  ---

  【練習問題3】無限級数

  問題

  次の無限級数の値を求めよ。

  (1) $sum_{n=1}^{infty} frac{n}{3^n}$

  (2) $sum_{n=1}^{infty} frac{n+1}{3^n}$

  (3) $sum_{n=1}^{infty} frac{n(n+1)}{2 cdot 3^n}$

  【解答・解説】

  (1) の解答

  $S = sum_{n=1}^{infty} frac{n}{3^n} = frac{1}{3} + frac{2}{9} + frac{3}{27} + cdots$

  ずらし法を用いる：

  $S = frac{1}{3} + frac{2}{3^2} + frac{3}{3^3} + cdots$

  $frac{1}{3}S = frac{1}{3^2} + frac{2}{3^3} + frac{3}{3^4} + cdots$

  $S - frac{1}{3}S = frac{1}{3} + frac{1}{3^2} + frac{1}{3^3} + cdots = frac{frac{1}{3}}{1 - frac{1}{3}} = frac{1}{2}$

  $frac{2}{3}S = frac{1}{2}$

  $boxed{S = frac{3}{4}}$

  (2) の解答

  $sum_{n=1}^{infty} frac{n+1}{3^n} = sum_{n=1}^{infty} frac{n}{3^n} + sum_{n=1}^{infty} frac{1}{3^n}$

  $= frac{3}{4} + frac{frac{1}{3}}{1 - frac{1}{3}} = frac{3}{4} + frac{1}{2} = frac{3}{4} + frac{2}{4} = frac{5}{4}$

  $boxed{sum_{n=1}^{infty} frac{n+1}{3^n} = frac{5}{4}}$

  (3) の解答

  $sum_{n=1}^{infty} frac{n(n+1)}{2 cdot 3^n} = frac{1}{2}sum_{n=1}^{infty} frac{n(n+1)}{3^n}$

  $n(n+1) = n^2 + n$ なので：

  $sum_{n=1}^{infty} frac{n(n+1)}{3^n} = sum_{n=1}^{infty} frac{n^2}{3^n} + sum_{n=1}^{infty} frac{n}{3^n}$

  $sum_{n=1}^{infty} frac{n^2}{3^n}$ を求める。

  $f(x) = sum_{n=1}^{infty} x^n = frac{x}{1-x}$ （$|x| < 1$）

  $xf'(x) = sum_{n=1}^{infty} nx^n = frac{x}{(1-x)^2}$

  $(xf'(x))' = sum_{n=1}^{infty} n^2 x^{n-1} = frac{(1-x)^2 + 2x(1-x)}{(1-x)^4} = frac{1+x}{(1-x)^3}$

  $sum_{n=1}^{infty} n^2 x^n = frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$

  $x = frac{1}{3}$ を代入：

  $sum_{n=1}^{infty} frac{n^2}{3^n} = frac{frac{1}{3} cdot frac{4}{3}}{(frac{2}{3})^3} = frac{frac{4}{9}}{frac{8}{27}} = frac{4}{9} times frac{27}{8} = frac{3}{2}$

  $sum_{n=1}^{infty} frac{n(n+1)}{3^n} = frac{3}{2} + frac{3}{4} = frac{6}{4} + frac{3}{4} = frac{9}{4}$

  $boxed{sum_{n=1}^{infty} frac{n(n+1)}{2 cdot 3^n} = frac{1}{2} times frac{9}{4} = frac{9}{8}}$

  ---

  日本数学塾・数強塾で金沢大学合格を目指そう

  ここまで、金沢大学2015年度の数学過去問を詳しく解説してきました。いかがでしたでしょうか？

  金沢大学の数学は、基礎力の徹底と典型問題の完全習得が合格への最短ルートです。今回解説した問題を通じて、以下のことを実感していただけたと思います：

  • 空間ベクトルでは座標設定の工夫が計算を大幅に簡略化する
  • 漸化式は置き換えのパターンを知っていれば確実に解ける
  • 無限級数はずらし法・微分法の使い分けがポイント
  • 対数不等式では底による場合分けを忘れずに

  独学に限界を感じていませんか？

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  最後に ― 藤原進之介からのメッセージ

  金沢大学は、北陸地方のトップ大学として、毎年多くの受験生が挑戦します。数学で差をつけることができれば、合格は大きく近づきます。

  私がいつも生徒に伝えているのは、「数学は才能ではなく、正しい方法で練習した量で決まる」ということです。

  今回解説した問題を何度も復習し、類題で演習を重ねてください。そして、分からないことがあれば、ぜひ数強塾・日本数学塾の門を叩いてください。私たちが全力でサポートします！

  一緒に金沢大学合格を勝ち取りましょう！

  日本数学塾・数強塾 講師
  藤原進之介