香川大学 2011年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。今回は香川大学 2011年度（平成23年度）の数学入試問題を徹底解説していきます。香川大学は四国を代表する総合国立大学であり、教育学部・法学部・経済学部・医学部・農学部・工学部など多彩な学部を有しています。数学の入試問題は基礎から標準レベルの出題が中心ですが、計算力と論理的思考力が問われる良問が揃っています。

この記事では、2011年度の各大問について問題の再現・詳細な解説・別解・発展的な視点まで余すところなくお伝えします。香川大学を目指す受験生はもちろん、数学の実力を高めたい全ての方に役立つ内容となっています。それでは、一緒に完全攻略を目指しましょう！

試験概要・難易度

2011年度 香川大学 数学入試の基本情報

全体講評

2011年度の香川大学数学入試は、例年通りの標準的な難易度で出題されました。特徴としては以下の点が挙げられます：

• 二次関数：最大・最小問題、グラフと直線の関係を問う典型的な出題
• 数列：漸化式から一般項を求める問題、数学的帰納法による証明
• ベクトル：平面・空間ベクトルの基本計算と図形への応用
• 微分積分：関数の増減・極値、定積分の計算と面積
• 確率：場合の数と確率の基本、条件付き確率

全体として、教科書の章末問題レベルをしっかりマスターしていれば6〜7割の得点は十分可能です。ただし、計算ミスを防ぐ丁寧さと、記述式の答案を論理的に構成する力が求められます。以下、各大問を詳しく見ていきましょう。

大問1：二次関数の最大・最小

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解説】

まず、二次関数 f(x) = x² - 2ax + a + 2 を平方完成します。

f(x) = x² - 2ax + a + 2
= (x - a)² - a² + a + 2

この関数は下に凸の放物線で、頂点は (a, -a² + a + 2) です。

定義域に制限がない場合、最小値は頂点の y 座標となるので：

最小値 = -a² + a + 2

【(2)の解説】最大値 M(a) の場合分け

0 ≤ x ≤ 2 における最大値を求めます。下に凸の放物線なので、最大値は区間の端点で取ります。

端点での値を計算すると：

• f(0) = 0 - 0 + a + 2 = a + 2
• f(2) = 4 - 4a + a + 2 = -3a + 6

f(0) と f(2) の大小を比較します：

f(0) ≥ f(2) ⟺ a + 2 ≥ -3a + 6 ⟺ 4a ≥ 4 ⟺ a ≥ 1

したがって：

【(3)の解説】最小値 m(a) の場合分け

頂点の x 座標が a なので、軸 x = a と区間 [0, 2] の位置関係で場合分けします。

場合1：a < 0 のとき（軸が区間の左側）

区間内で f(x) は単調増加するため、最小値は左端 x = 0 で取る。

m(a) = f(0) = a + 2

場合2：0 ≤ a ≤ 2 のとき（軸が区間内）

最小値は頂点で取る。

m(a) = f(a) = -a² + a + 2

場合3：a > 2 のとき（軸が区間の右側）

区間内で f(x) は単調減少するため、最小値は右端 x = 2 で取る。

m(a) = f(2) = -3a + 6

【(4)の解説】M(a) - m(a) の最小値

M(a) と m(a) の組み合わせで場合分けが必要です。

場合A：a < 0 のとき

M(a) = -3a + 6, m(a) = a + 2

M(a) - m(a) = (-3a + 6) - (a + 2) = -4a + 4

a → 0⁻ で最小値 4 に近づく

場合B：0 ≤ a < 1 のとき

M(a) = -3a + 6, m(a) = -a² + a + 2

M(a) - m(a) = (-3a + 6) - (-a² + a + 2) = a² - 4a + 4 = (a - 2)²

この区間で a = 1⁻ のとき最小で、(1-2)² = 1

場合C：1 ≤ a ≤ 2 のとき

M(a) = a + 2, m(a) = -a² + a + 2

M(a) - m(a) = (a + 2) - (-a² + a + 2) = a²

a = 1 のとき最小で、1² = 1

場合D：a > 2 のとき

M(a) = a + 2, m(a) = -3a + 6

M(a) - m(a) = (a + 2) - (-3a + 6) = 4a - 4

a → 2⁺ で最小値 4 に近づく

各場合を比較すると、場合B と場合C で最小値 1 を取ることがわかります。

別解・発展

【別解：グラフを用いた視覚的理解】

M(a) - m(a) は「区間における関数の振幅」を表します。放物線の軸が区間の中央（x = 1）に位置するとき、左右対称性により振幅が最も小さくなることが予想できます。実際、a = 1 のとき f(x) = (x-1)² + 2 となり、

• f(0) = 1 + 2 = 3
• f(1) = 0 + 2 = 2（最小）
• f(2) = 1 + 2 = 3（最大）

よって M(1) - m(1) = 3 - 2 = 1 となります。

【発展】この問題は、「区間における二次関数の最大・最小」という頻出テーマです。センター試験や共通テストでも繰り返し出題されており、場合分けの技術を磨くのに最適な問題です。

大問2：数列と漸化式

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解説】

漸化式 aₙ₊₁ = 2aₙ + 3ⁿ の両辺を 3ⁿ⁺¹ で割ります。

aₙ₊₁ / 3ⁿ⁺¹ = 2aₙ / 3ⁿ⁺¹ + 3ⁿ / 3ⁿ⁺¹

bₙ₊₁ = (2/3) · (aₙ / 3ⁿ) + 1/3

bₙ₊₁ = (2/3)bₙ + 1/3

【(2)の解説】

bₙ₊₁ = (2/3)bₙ + 1/3 は「階比型漸化式」です。

特性方程式 α = (2/3)α + 1/3 を解くと：

α - (2/3)α = 1/3
(1/3)α = 1/3
α = 1

cₙ = bₙ - 1 とおくと：

cₙ₊₁ = bₙ₊₁ - 1 = (2/3)bₙ + 1/3 - 1 = (2/3)bₙ - 2/3 = (2/3)(bₙ - 1) = (2/3)cₙ

よって {cₙ} は公比 2/3 の等比数列で：

c₁ = b₁ - 1 = a₁/3 - 1 = 1/3 - 1 = -2/3

cₙ = c₁ · (2/3)ⁿ⁻¹ = (-2/3) · (2/3)ⁿ⁻¹ = -2ⁿ / 3ⁿ

したがって：

【(3)の解説】

bₙ = aₙ / 3ⁿ より：

aₙ = 3ⁿ · bₙ = 3ⁿ · (1 - (2/3)ⁿ) = 3ⁿ - 3ⁿ · (2/3)ⁿ

【検算】

• a₁ = 3 - 2 = 1 ✓
• a₂ = 9 - 4 = 5
• 漸化式で確認：2a₁ + 3¹ = 2·1 + 3 = 5 = a₂ ✓

【(4)の解説】

Sₙ = Σ(k=1 to n) aₖ = Σ(k=1 to n) (3ᵏ - 2ᵏ)

= Σ(k=1 to n) 3ᵏ - Σ(k=1 to n) 2ᵏ

= 3(3ⁿ - 1)/(3 - 1) - 2(2ⁿ - 1)/(2 - 1)

= (3ⁿ⁺¹ - 3)/2 - (2ⁿ⁺¹ - 2)

別解・発展

【別解：直接法による一般項の導出】

漸化式 aₙ₊₁ = 2aₙ + 3ⁿ を直接解くこともできます。

特解として aₙ = k · 3ⁿ の形を仮定すると：

k · 3ⁿ⁺¹ = 2k · 3ⁿ + 3ⁿ
3k = 2k + 1
k = 1

よって特解は aₙ = 3ⁿ。同次方程式 aₙ₊₁ = 2aₙ の一般解は C · 2ⁿ なので：

aₙ = 3ⁿ + C · 2ⁿ

初期条件 a₁ = 1 より：

1 = 3 + 2C
C = -1

したがって aₙ = 3ⁿ - 2ⁿ（同じ結果）

大問3：ベクトルと図形

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解説】

内積の定義より：

→a · →b = |→a| |→b| cos∠AOB = 3 · 4 · cos60° = 12 · (1/2)

【(2)の解説】

P は OA を 2:1 に内分するので：

→OP = (2/3)→a

Q は OB を 1:3 に内分するので：

→OQ = (1/4)→b

【(3)の解説】

R は直線 AQ 上にあるので、実数 s を用いて：

→OR = (1-s)→OA + s→OQ = (1-s)→a + s · (1/4)→b = (1-s)→a + (s/4)→b

また R は直線 BP 上にあるので、実数 t を用いて：

→OR = (1-t)→OB + t→OP = (1-t)→b + t · (2/3)→a = (2t/3)→a + (1-t)→b

→a と →b は一次独立なので、係数を比較すると：

1 - s = 2t/3 ... ①
s/4 = 1 - t ... ②

②より s = 4(1 - t) = 4 - 4t

①に代入：1 - (4 - 4t) = 2t/3
-3 + 4t = 2t/3
-9 + 12t = 2t
10t = 9
t = 9/10

s = 4 - 4 · (9/10) = 4 - 36/10 = 4/10 = 2/5

したがって：

→OR = (2 · 9/10 · 1/3)→a + (1 - 9/10)→b = (6/10)→a + (1/10)→b

【(4)の解説】

△OPR の面積を求めるため、→OP と →OR を使います。

→OP = (2/3)→a
→OR = (3/5)→a + (1/10)→b

△OPR の面積 S は：

S = (1/2)|→OP × →OR|（外積の大きさ）

平面ベクトルでは、次の公式を使います：

S = (1/2)|x₁y₂ - x₂y₁| （ただし →OP = x₁→a + y₁→b, →OR = x₂→a + y₂→b）

→OP = (2/3)→a + 0→b
→OR = (3/5)→a + (1/10)→b

△OAB の面積 S₀ を基準として：

S₀ = (1/2)|→a||→b|sin60° = (1/2) · 3 · 4 · (√3/2) = 3√3

△OPR の面積は：

S = |(2/3) · (1/10) - 0 · (3/5)| · S₀ = |2/30| · 3√3 = (1/15) · 3√3

別解・発展

【別解：面積比を用いた方法】

チェバの定理やメネラウスの定理を用いて、各三角形の面積比を直接求める方法もあります。R の位置が分かれば、△OPR/△OAB の比を計算できます。

大問3：ベクトルと図形（続き）

別解・発展（続き）

【別解：面積比を用いた方法】

チェバの定理やメネラウスの定理を用いて、各三角形の面積比を直接求める方法もあります。

まず、△OAB の面積 S₀ = 3√3 を基準とします。

→OR = (3/5)→a + (1/10)→b と表されることから、R は →a 方向に 3/5、→b 方向に 1/10 の位置にあります。

△OPR と △OAB の面積比は、2つのベクトルが張る平行四辺形の面積比で求められます：

△OPR / △OAB = |det([2/3, 0; 3/5, 1/10])| = |(2/3)(1/10) - 0 · (3/5)| = 2/30 = 1/15

よって △OPR = (1/15) × 3√3 = √3/5

【発展：空間ベクトルへの拡張】

この問題を空間に拡張すると、四面体の体積計算などに応用できます。空間ベクトルでは、スカラー三重積 →a · (→b × →c) を用いて体積を計算します。香川大学でも空間ベクトルの出題があるため、平面での基本をしっかり押さえた上で空間への拡張も練習しておきましょう。

大問4：微分法と関数の増減

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解説】

f(x) = x³ - 3x² - 9x + k を微分します。

f'(x) = 3x² - 6x - 9 = 3(x² - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)

f'(x) = 0 となるのは x = -1, 3

増減表を作成します：

極値を計算します：

x = -1 のとき（極大値）：

f(-1) = (-1)³ - 3(-1)² - 9(-1) + k = -1 - 3 + 9 + k = k + 5

x = 3 のとき（極小値）：

f(3) = 27 - 27 - 27 + k = k - 27

【(2)の解説】

y = f(x) のグラフが x 軸と異なる3点で交わるためには、三次関数が極大値と極小値を持ち、かつ：

• 極大値 > 0
• 極小値 < 0

の両方を満たす必要があります。

極大値 > 0 ⟺ k + 5 > 0 ⟺ k > -5

極小値 < 0 ⟺ k - 27 < 0 ⟺ k < 27

【(3)の解説】

k = 11 のとき、f(x) = x³ - 3x² - 9x + 11

まず、f(x) = 0 の解を求めます。

f(1) = 1 - 3 - 9 + 11 = 0 なので、x = 1 は解です。

因数分解すると：

f(x) = (x - 1)(x² - 2x - 11)

x² - 2x - 11 = 0 を解くと：

x = (2 ± √(4 + 44))/2 = (2 ± √48)/2 = 1 ± 2√3

よって、f(x) = 0 の3つの解は：

x = 1 - 2√3, 1, 1 + 2√3

ここで α = 1 - 2√3 ≈ -2.46, β = 1, γ = 1 + 2√3 ≈ 4.46 とおきます。

グラフの形状から：

• α < x 0
• β < x < γ では f(x) < 0

求める面積 S は：

S = ∫[α→β] f(x) dx - ∫[β→γ] f(x) dx = ∫[α→β] f(x) dx + ∫[β→γ] |f(x)| dx

f(x) = (x - α)(x - β)(x - γ) と因数分解されているので、1/6公式を2回適用します。

【1/6公式の適用】

三次関数 y = a(x - α)(x - β)(x - γ)（α < β < γ）について：

∫[α→β] y dx = -a(β - α)³(γ - α)/12 ... ※符号に注意

今回は a = 1、α = 1 - 2√3、β = 1、γ = 1 + 2√3 なので：

β - α = 1 - (1 - 2√3) = 2√3
γ - β = (1 + 2√3) - 1 = 2√3
γ - α = (1 + 2√3) - (1 - 2√3) = 4√3

区間 [α, β] での積分：

∫[α→β] f(x) dx = (1/12)(β - α)³(γ - β) = (1/12)(2√3)³(2√3) = (1/12) · 24√3 · 2√3 · √3

計算を丁寧に行います：

(2√3)³ = 8 · 3√3 = 24√3
(1/12) · 24√3 · 2√3 = (1/12) · 48 · 3 = (1/12) · 144 = 12

区間 [β, γ] での積分：

∫[β→γ] |f(x)| dx = (1/12)(γ - β)³(β - α) = (1/12)(2√3)³(2√3) = 12

したがって：

別解・発展

【別解：直接積分による計算】

1/6公式を使わず、直接積分することも可能です。

F(x) = ∫f(x) dx = (1/4)x⁴ - x³ - (9/2)x² + 11x + C

各区間で定積分を計算し、絶対値を取って足し合わせます。計算量は増えますが、公式を忘れた場合の保険になります。

【発展：3次関数と面積の関係】

三次関数が x 軸と3点で交わる場合、2つの「こぶ」の面積比は常に 1:1 になるという性質があります。これは、三次関数の対称性に由来します。この問題でも、両方の面積が 12 で等しくなっていることが確認できます。

大問5：確率と場合の数

問題

解説・解法のポイント

【基本の確認】

9個の球から3個を取り出す場合の数（全事象）：

₉C₃ = 9!/(3!·6!) = (9·8·7)/(3·2·1) = 84通り

【(1)の解説】

3個とも同じ色になる場合を数えます。

• 赤球3個：₃C₃ = 1通り
• 白球3個：₄C₃ = 4通り
• 青球3個：₂C₃ = 0通り（青球は2個しかないので不可能）

合計：1 + 4 + 0 = 5通り

【(2)の解説】

3個とも異なる色 = 赤1個、白1個、青1個

₃C₁ × ₄C₁ × ₂C₁ = 3 × 4 × 2 = 24通り

【(3)の解説】

「少なくとも1個は赤球」の余事象は「赤球が0個」= 白球と青球のみ

白球4個と青球2個の計6個から3個を選ぶ：

₆C₃ = 20通り

余事象の確率：P(赤球0個) = 20/84 = 5/21

【(4)の解説】条件付き確率

条件付き確率の定義：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

事象B：赤球がちょうど2個

赤球2個を選ぶ：₃C₂ = 3通り
残り1個を赤以外（白4個＋青2個＝6個）から選ぶ：₆C₁ = 6通り
よって B の場合の数：3 × 6 = 18通り

事象A∩B：赤球がちょうど2個で、残り1個が白球

赤球2個を選ぶ：₃C₂ = 3通り
白球1個を選ぶ：₄C₁ = 4通り
よって A∩B の場合の数：3 × 4 = 12通り

別解・発展

【別解：(4)の直感的理解】

赤球2個が決まった状態で、残り1個を選ぶ状況を考えます。残りの球は白4個＋青2個＝6個です。この6個から1個を選んで白球である確率は：

4/6 = 2/3

これは条件付き確率の計算と一致します。

【発展：確率の加法定理との関係】

(1)〜(3)の確率を用いて、様々な確率を計算することができます。例えば：

P(2色が含まれる) = 1 - P(1色のみ) - P(3色) = 1 - 5/84 - 24/84 = 55/84

大問6：対数関数と方程式

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解説】

n桁の整数 N は 10ⁿ⁻¹ ≤ N < 10ⁿ を満たします。

対数を取ると：n - 1 ≤ log₁₀N < n

つまり、log₁₀N の整数部分 + 1 = 桁数 です。

log₁₀(2¹⁰⁰) = 100 · log₁₀2 = 100 × 0.3010 = 30.10

30.10 の整数部分は 30 なので：

【(2)の解説】

真数条件：x > 0 かつ x - 2 > 0 より x > 2

対数の性質より：

log₂x + log₂(x - 2) = log₂[x(x - 2)] = 3

対数を外すと：

x(x - 2) = 2³ = 8
x² - 2x - 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0
x = 4, -2

真数条件 x > 2 を満たすのは：

【(3)の解説】

真数条件：x + 1 > 0 かつ x - 1 > 0 より x > 1

対数の性質より：

log₃(x + 1) + log₃(x - 1) = log₃[(x + 1)(x - 1)] = log₃(x² - 1) < 2

底が3（> 1）なので、不等号の向きは変わらない：

x² - 1 < 3² = 9
x² < 10
-√10 < x < √10

真数条件 x > 1 との共通部分を求めると：

別解・発展

【(1)の発展：最高位の数字】

log₁₀(2¹⁰⁰) = 30.10 より、2¹⁰⁰ = 10³⁰·¹⁰ = 10⁰·¹⁰ × 10³⁰

10⁰·¹⁰ ≈ 1.259... なので、2¹⁰⁰ の最高位の数字は 1 です。

【発展：対数方程式の応用】

対数方程式・不等式では、真数条件の確認が最重要です。解を求めた後、必ず真数条件を満たすかチェックしましょう。

大問7：数学的帰納法（理系・医学部）

問題

解説・解法のポイント

【証明】

与えられた等式を P(n) : Σ(k=1 to n) k(k+1) = n(n+1)(n+2)/3 とおく。

【Ⅰ】n = 1 のとき

（左辺）= 1·2 = 2

（右辺）= 1·2·3/3 = 6/3 = 2

左辺 = 右辺 より、P(1) は成り立つ。

【Ⅱ】n = k（k は自然数）のとき P(k) が成り立つと仮定する。

すなわち、

1·2 + 2·3 + ... + k(k+1) = k(k+1)(k+2)/3 ... (＊)

が成り立つと仮定する。

【Ⅲ】n = k + 1 のとき P(k+1) が成り立つことを示す。

（左辺）= 1·2 + 2·3 + ... + k(k+1) + (k+1)(k+2)

仮定(＊)より：

= k(k+1)(k+2)/3 + (k+1)(k+2)

= (k+1)(k+2) · [k/3 + 1]

= (k+1)(k+2) · (k + 3)/3

= (k+1)(k+2)(k+3)/3

（右辺）= (k+1)(k+1+1)(k+1+2)/3 = (k+1)(k+2)(k+3)/3

左辺 = 右辺 より、P(k+1) も成り立つ。

【結論】

別解・発展

【別解：直接計算による証明】

k(k+1) = k² + k と分解して：

Σ(k=1 to n) k(k+1) = Σk² + Σk = n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2

通分して計算：

= n(n+1)/6 · [(2n+1) + 3] = n(n+1)(2n+4)/6 = n(n+1) · 2(n+2)/6 = n(n+1)(n+2)/3

【発展：組合せ論的解釈】

n(n+1)(n+2)/3 = 2 · ₙ₊₂C₃ と書けます。これは、n+2 個から3個を選ぶ組合せの数の2倍です。この等式には、組合せ論的な意味があります。

この年度の重要テーマと対策

2011年度の出題傾向まとめ

2011年度の香川大学数学入試を分析すると、以下の重要テーマが浮かび上がります。

香川大学数学攻略のための5つの対策ポイント

【ポイント1】基礎計算力の徹底強化

香川大学の数学は、基礎〜標準レベルの問題が中心です。しかし、だからこそ計算ミスが命取りになります。特に以下の計算を確実にできるよう訓練しましょう：

• 二次関数の平方完成
• 因数分解（特に三次式）
• 等比数列の和の公式
• 定積分の計算（置換積分、部分積分）
• 組合せ ₙCᵣ の計算

【ポイント2】場合分けの訓練

2011年度の大問1でも見られたように、香川大学では場合分けを要する問題が頻出です。場合分けのコツは：

• 何を基準に分けるか明確にする（軸の位置、パラメータの符号など）
• 境界値での挙動を確認する
• 各場合で答えが連続するか（つながるか）確認する

【ポイント3】記述式答案の書き方

香川大学は全問記述式です。採点者に伝わる答案を書くために：

• 「〜より」「〜なので」「したがって」など接続詞を使って論理展開を明確に
• 途中計算も適度に残す（検算のためにも有効）
• 図やグラフを効果的に使う（特にベクトル、関数の問題）
• 最終的な答えは枠で囲むか下線を引く

【ポイント4】頻出分野の重点対策

香川大学では以下の分野が特に頻出です：

【ポイント5】時間配分の戦略

120分で5〜7題を解く場合、1題あたり15〜20分が目安です。以下の戦略を推奨します：

1. 最初の5分：全問に目を通し、解きやすそうな問題を把握
2. 得意分野から着手：確実に得点できる問題を先に解く
3. 詰まったら飛ばす：1問に20分以上かけない
4. 最後の10分：見直し・検算の時間を確保

おすすめ参考書・問題集

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2011年度の香川大学の問題と同傾向の練習問題を3問用意しました。実際に手を動かして解いてみましょう！

【練習問題1】二次関数の最大・最小（大問1類題）

【練習問題2】漸化式と一般項（大問2類題）

【練習問題3】確率と条件付き確率（大問5類題）

よくある質問（FAQ）

日本数学塾・数強塾で香川大学合格を目指そう

ここまで2011年度の香川大学数学入試を詳しく解説してきました。いかがでしたでしょうか？

香川大学の数学は、基礎をしっかり固めれば必ず得点できる良問揃いです。しかし、独学で勉強していると：

• 「この解法で合っているのかわからない...」
• 「記述式の書き方がこれでいいのか不安...」
• 「苦手分野をどう克服すればいいかわからない...」

といった悩みを抱えることも多いでしょう。

そんなあなたにおすすめなのが、日本数学塾・数強塾です！

合格者の声

最後に ― 藤原進之介からのメッセージ

香川大学の数学は、正しい方法で努力すれば必ず結果がついてきます。この記事で解説した2011年度の問題も、一つひとつは決して難しくありません。大切なのは、基礎を徹底し、典型問題のパターンを身につけ、本番で実力を発揮することです。

「数学が苦手...」「どう勉強すればいいかわからない...」という方も、諦めないでください。私たち日本数学塾・数強塾は、そんなあなたの味方です。一緒に香川大学合格を勝ち取りましょう！

質問や相談があれば、いつでも無料体験授業でお待ちしています。

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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