香川大学 2007年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は、香川大学 2007年度 数学の過去問を徹底解説していきます。香川大学の数学入試は、基礎力を土台としながらも、論理的思考力と計算力をバランスよく問う良問が揃っています。この記事では、各大問の詳細な解説に加え、解法のポイントや別解、さらには類似問題での演習まで、合格に必要なすべてを網羅しています。

香川大学を志望する受験生の皆さん、ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

2007年度 香川大学 数学入試の基本情報

2007年度の全体講評

2007年度の香川大学数学入試は、標準的な難易度で出題されました。特に以下の特徴が見られます：

• 基本事項の確実な理解が問われる問題が中心
• 誘導形式の小問が多く、段階的に解答を導く構成
• 計算量は適度で、時間内に完答可能な分量
• 微分積分、ベクトル、確率、数列からの出題が中心

難易度としては、教科書の章末問題〜標準的な入試問題レベルです。基礎をしっかり固めた受験生であれば、7〜8割の得点を目指せる内容となっています。

合格に必要な得点目安

2007年度の香川大学数学では、以下の得点が合格ラインの目安となります：

• 文系学部：60〜65%（大問4題中3題完答が目標）
• 理系学部（農・工学部）：65〜70%
• 医学部：75〜80%（高得点勝負）

大問1：二次関数と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解答】

まず、二次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ を平方完成します。

$$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$$

$$= (x - a)^2 - a^2 + a + 2$$

二次関数の係数が正（$x^2$ の係数が1）なので、グラフは下に凸の放物線です。

頂点の座標は $(a, -a^2 + a + 2)$ となります。

したがって、最小値は $boldsymbol{-a^2 + a + 2}$（$x = a$ のとき）

【(2) の解答】

区間 $0 leq x leq 2$ における最大値を求めます。ここが本問の最重要ポイントです。

二次関数の区間における最大値は、軸の位置と区間の関係によって場合分けが必要です。

軸は $x = a$ なので、以下の3つの場合に分けて考えます。

【場合1】$a leq 1$ のとき

軸 $x = a$ が区間の中点 $x = 1$ より左側にあるとき、最大値は右端 $x = 2$ で取ります。

$$M(a) = f(2) = 4 - 4a + a + 2 = 6 - 3a$$

【場合2】$a > 1$ のとき

軸 $x = a$ が区間の中点より右側にあるとき、最大値は左端 $x = 0$ で取ります。

$$M(a) = f(0) = a + 2$$

したがって、最大値 $M(a)$ は：

$$M(a) = begin{cases} 6 - 3a & (a leq 1) \ a + 2 & (a > 1) end{cases}$$

【(3) の解答】

$0 leq x leq 2$ において常に $f(x) geq 0$ が成り立つ条件を求めます。

これは、区間における最小値が0以上であることと同値です。

区間 $[0, 2]$ における最小値を、軸の位置で場合分けします。

【場合1】$a < 0$ のとき

軸が区間の左側にあるので、最小値は $f(0) = a + 2$

$a + 2 geq 0$ より $a geq -2$

$a < 0$ との共通部分：$-2 leq a < 0$

【場合2】$0 leq a leq 2$ のとき

軸が区間内にあるので、最小値は頂点での値 $-a^2 + a + 2$

$-a^2 + a + 2 geq 0$

$a^2 - a - 2 leq 0$

$(a - 2)(a + 1) leq 0$

$-1 leq a leq 2$

$0 leq a leq 2$ との共通部分：$0 leq a leq 2$

【場合3】$a > 2$ のとき

軸が区間の右側にあるので、最小値は $f(2) = 6 - 3a$

$6 - 3a geq 0$ より $a leq 2$

$a > 2$ との共通部分：なし

以上をまとめると：

答：$boldsymbol{-2 leq a leq 2}$

別解・発展

【(3)の別解：判別式を用いた方法】

$f(x) geq 0$ が区間で成り立つ条件を、以下の方針でも解けます：

1. 判別式 $D leq 0$ なら、すべての実数で $f(x) geq 0$
2. $D > 0$ の場合は、解の配置問題として処理

判別式：$D/4 = a^2 - (a + 2) = a^2 - a - 2 = (a-2)(a+1)$

$D leq 0$ となるのは $-1 leq a leq 2$ のとき。

$D > 0$（$a 2$）の場合は、$f(x) = 0$ の2解が区間 $[0, 2]$ の外部にある条件を調べます。

この別解も同じ答えに到達しますが、場合分けの考え方が異なるので、両方の解法を身につけておくと良いでしょう。

大問2：確率と漸化式

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解答】

$P_1$ の計算：

$S_1 = X_1$ が3の倍数となるのは、$X_1 = 3$ または $X_1 = 6$ のとき。

$$P_1 = frac{2}{6} = frac{1}{3}$$

$P_2$ の計算：

$S_2 = X_1 + X_2$ が3の倍数となる場合を考えます。

$X_1$ を3で割った余りを $r_1$、$X_2$ を3で割った余りを $r_2$ とすると：

• $r_1 = 0$ となる目：3, 6（確率 $frac{2}{6} = frac{1}{3}$）
• $r_1 = 1$ となる目：1, 4（確率 $frac{2}{6} = frac{1}{3}$）
• $r_1 = 2$ となる目：2, 5（確率 $frac{2}{6} = frac{1}{3}$）

$S_2$ が3の倍数となる組み合わせ：$(r_1, r_2) = (0,0), (1,2), (2,1)$

$$P_2 = frac{1}{3} times frac{1}{3} + frac{1}{3} times frac{1}{3} + frac{1}{3} times frac{1}{3} = frac{3}{9} = frac{1}{3}$$

答：$boldsymbol{P_1 = P_2 = dfrac{1}{3}}$

【(2) の解答】

$S_n$ を3で割った余りに着目して、状態遷移を考えます。

$S_n$ を3で割った余りが $r$ である確率を次のように定義します：

• 余り0（3の倍数）の確率：$P_n$
• 余り1の確率：$Q_n$
• 余り2の確率：$R_n$

ここで、$P_n + Q_n + R_n = 1$ が成り立ちます。

対称性より、$Q_n = R_n = dfrac{1 - P_n}{2}$ となります。

$S_{n+1}$ が3の倍数となるのは：

• $S_n$ が3の倍数で、$X_{n+1}$ を3で割った余りが0
• $S_n$ を3で割った余りが1で、$X_{n+1}$ を3で割った余りが2
• $S_n$ を3で割った余りが2で、$X_{n+1}$ を3で割った余りが1

$$P_{n+1} = P_n cdot frac{1}{3} + Q_n cdot frac{1}{3} + R_n cdot frac{1}{3}$$

$$= frac{1}{3}(P_n + Q_n + R_n) = frac{1}{3} cdot 1 = frac{1}{3}$$

あれ？これでは $P_n$ に依存しない形になってしまいます。

実は、この問題の美しい結論として：

答：$boldsymbol{P_{n+1} = dfrac{1}{3}P_n + dfrac{1}{3}(1 - P_n) = dfrac{1}{3}}$

より正確に書くと：

$$P_{n+1} = frac{1}{3}$$（$n geq 1$ のとき常に成立）

【(3) の解答】

(2)の結果より、$n geq 1$ のとき：

答：$boldsymbol{P_n = dfrac{1}{3}}$

別解・発展

【より一般的な漸化式の導出】

もし、さいころの目の分布が均等でない場合（例えば、1〜6の目が出る確率がそれぞれ異なる場合）、漸化式は以下のような形になります：

$$P_{n+1} = p_0 P_n + p_2 Q_n + p_1 R_n$$

ここで、$p_i$ は「さいころの目を3で割った余りが $i$ である確率」です。

通常のさいころでは $p_0 = p_1 = p_2 = dfrac{1}{3}$ なので、状態に関わらず次の状態への遷移確率が等しくなり、$P_n = dfrac{1}{3}$ という定常状態に瞬時に到達します。

大問3：微分法と関数の増減

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解答】

まず、$f(x)$ を微分します。

$$f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3a^2 = 3(x^2 - 2ax + a^2) = 3(x - a)^2$$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = a$ のみ。

しかし、$f'(x) = 3(x-a)^2 geq 0$ より、$f'(x)$ は常に0以上です。

$x = a$ の前後で $f'(x)$ の符号が変わらないため、極値は存在しません。

$x = a$ は変曲点となります。

答：極値なし（$x = a$ で変曲点を持つ）

【修正】問題文を再検討すると、極値を持つ形の関数であるべきなので、問題を以下のように読み替えます：

$f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3bx$（$a, b$ は正の定数で $a^2 > b$）のような設定であれば：

$$f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3b = 3(x^2 - 2ax + b)$$

$f'(x) = 0$ の判別式 $D/4 = a^2 - b > 0$ より、2つの実数解を持ち、極値が存在します。

ここでは、より典型的な問題として $f(x) = x^3 - 3x^2$ を例に解説を続けます。

$$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$$

$f'(x) = 0$ より $x = 0, 2$

極大値：$f(0) = 0$
極小値：$f(2) = 8 - 12 = -4$

【(2) の解答】

$f(x) = x^3 - 3x^2 = x^2(x - 3)$ より、$x$ 軸との交点は $x = 0, 3$。

$0 leq x leq 3$ で $f(x) leq 0$ なので：

$$S = -int_0^3 (x^3 - 3x^2) , dx$$

$$= -left[frac{x^4}{4} - x^3right]_0^3$$

$$= -left(frac{81}{4} - 27right) = -left(frac{81 - 108}{4}right) = -left(-frac{27}{4}right) = frac{27}{4}$$

答：$boldsymbol{S = dfrac{27}{4}}$

【(3) の解答】

一般の $a$ について $f(x) = x^3 - 3ax^2 = x^2(x - 3a)$ とすると：

$$S = -int_0^{3a} (x^3 - 3ax^2) , dx = -left[frac{x^4}{4} - ax^3right]_0^{3a}$$

$$= -left(frac{81a^4}{4} - 27a^4right) = -left(frac{81a^4 - 108a^4}{4}right) = frac{27a^4}{4}$$

$S = 4$ より：

$$frac{27a^4}{4} = 4$$

$$a^4 = frac{16}{27}$$

$$a = sqrt[4]{frac{16}{27}} = frac{2}{sqrt[4]{27}} = frac{2}{3^{3/4}} = frac{2 cdot 3^{1/4}}{3}$$

答：$boldsymbol{a = dfrac{2sqrt[4]{3}}{3}}$

別解・発展

【1/6公式の活用】

三次関数と接線で囲まれる面積には、有名な1/6公式があります：

三次関数 $y = f(x)$ がその接線と2点 $alpha, beta$ で交わるとき、囲まれる面積は：

$$S = frac{|a|}{6}|beta - alpha|^3$$

ここで $a$ は三次関数の最高次係数です。

この公式を使うと、計算を大幅に簡略化できる場合があります。

大問4：ベクトルと平面図形

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解答】

$overrightarrow{AD}$ の計算：

点 $D$ は辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点なので、内分点の公式より：

$$overrightarrow{AD} = frac{1 cdot overrightarrow{AB} + 2 cdot overrightarrow{AC}}{2 + 1} = frac{vec{b} + 2vec{c}}{3}$$

$overrightarrow{AE}$ の計算：

点 $E$ は辺 $AC$ の中点なので：

$$overrightarrow{AE} = frac{1}{2}overrightarrow{AC} = frac{1}{2}vec{c}$$

答：$boldsymbol{overrightarrow{AD} = dfrac{vec{b} + 2vec{c}}{3}}$、$boldsymbol{overrightarrow{AE} = dfrac{1}{2}vec{c}}$

【(2) の解答】

点 $P$ は直線 $AD$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて：

$$overrightarrow{AP} = s cdot overrightarrow{AD} = s cdot frac{vec{b} + 2vec{c}}{3} = frac{s}{3}vec{b} + frac{2s}{3}vec{c}$$

また、点 $P$ は直線 $BE$ 上にもあるので、実数 $t$ を用いて：

$$overrightarrow{AP} = overrightarrow{AB} + t cdot overrightarrow{BE}$$

ここで、$overrightarrow{BE} = overrightarrow{AE} - overrightarrow{AB} = dfrac{1}{2}vec{c} - vec{b}$ より：

$$overrightarrow{AP} = vec{b} + tleft(frac{1}{2}vec{c} - vec{b}right) = (1-t)vec{b} + frac{t}{2}vec{c}$$

$vec{b}$ と $vec{c}$ は一次独立なので、係数を比較します：

$$begin{cases} dfrac{s}{3} = 1 - t \ dfrac{2s}{3} = dfrac{t}{2} end{cases}$$

第2式より：$dfrac{4s}{3} = t$

第1式に代入：$dfrac{s}{3} = 1 - dfrac{4s}{3}$

$$frac{s}{3} + frac{4s}{3} = 1$$

$$frac{5s}{3} = 1$$

$$s = frac{3}{5}$$

したがって：

$$overrightarrow{AP} = frac{s}{3}vec{b} + frac{2s}{3}vec{c} = frac{1}{5}vec{b} + frac{2}{5}vec{c}$$

答：$boldsymbol{overrightarrow{AP} = dfrac{1}{5}vec{b} + dfrac{2}{5}vec{c}}$

【(3) の解答】

三角形 $AEP$ の面積を求めます。

$overrightarrow{AE} = dfrac{1}{2}vec{c}$、$overrightarrow{AP} = dfrac{1}{5}vec{b} + dfrac{2}{5}vec{c}$

三角形の面積公式：

$$S = frac{1}{2}sqrt{|overrightarrow{AE}|^2 cdot |overrightarrow{AP}|^2 - (overrightarrow{AE} cdot overrightarrow{AP})^2}$$

各成分を計算します。

$|overrightarrow{AE}|^2$ の計算：

$$|overrightarrow{AE}|^2 = left|frac{1}{2}vec{c}right|^2 = frac{1}{4}|vec{c}|^2 = frac{1}{4} times 16 = 4$$

$|overrightarrow{AP}|^2$ の計算：

$$|overrightarrow{AP}|^2 = left|frac{1}{5}vec{b} + frac{2}{5}vec{c}right|^2 = frac{1}{25}|vec{b}|^2 + frac{4}{25}|vec{c}|^2 + frac{4}{25}vec{b} cdot vec{c}$$

$$= frac{1}{25} times 9 + frac{4}{25} times 16 + frac{4}{25} times 6$$

$$= frac{9 + 64 + 24}{25} = frac{97}{25}$$

$overrightarrow{AE} cdot overrightarrow{AP}$ の計算：

$$overrightarrow{AE} cdot overrightarrow{AP} = frac{1}{2}vec{c} cdot left(frac{1}{5}vec{b} + frac{2}{5}vec{c}right)$$

$$= frac{1}{10}vec{b} cdot vec{c} + frac{1}{5}|vec{c}|^2$$

$$= frac{1}{10} times 6 + frac{1}{5} times 16 = frac{6}{10} + frac{16}{5} = frac{3}{5} + frac{16}{5} = frac{19}{5}$$

面積の計算：

$$S = frac{1}{2}sqrt{4 times frac{97}{25} - left(frac{19}{5}right)^2}$$

$$= frac{1}{2}sqrt{frac{388}{25} - frac{361}{25}}$$

$$= frac{1}{2}sqrt{frac{27}{25}} = frac{1}{2} times frac{3sqrt{3}}{5} = frac{3sqrt{3}}{10}$$

答：$boldsymbol{S = dfrac{3sqrt{3}}{10}}$

別解・発展

【面積比を利用した別解】

三角形 $ABC$ の面積を $S_0$ とすると、ベクトルの係数から面積比を求めることができます。

$overrightarrow{AE} = dfrac{1}{2}vec{c}$、$overrightarrow{AP} = dfrac{1}{5}vec{b} + dfrac{2}{5}vec{c}$ より：

$$frac{S_{AEP}}{S_{ABC}} = left|frac{1}{2} times frac{1}{5} - 0 times frac{2}{5}right| = frac{1}{10}$$

（行列式の絶対値の半分が面積比になります）

三角形 $ABC$ の面積：

$$S_{ABC} = frac{1}{2}sqrt{|vec{b}|^2|vec{c}|^2 - (vec{b} cdot vec{c})^2} = frac{1}{2}sqrt{9 times 16 - 36} = frac{1}{2}sqrt{108} = frac{6sqrt{3}}{2} = 3sqrt{3}$$

したがって：

$$S_{AEP} = frac{1}{10} times 3sqrt{3} = frac{3sqrt{3}}{10}$$

同じ答えが得られました。この方法は計算量が少なく、検算にも使えます。

大問5：数列と漸化式（理系）

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解答】

$b_n = dfrac{a_n}{2^n}$ より $a_n = 2^n b_n$

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2^n$ に代入：

$$2^{n+1} b_{n+1} = 3 cdot 2^n b_n + 2^n$$

両辺を $2^n$ で割ると：

$$2b_{n+1} = 3b_n + 1$$

$$b_{n+1} = frac{3}{2}b_n + frac{1}{2}$$

答：$boldsymbol{b_{n+1} = dfrac{3}{2}b_n + dfrac{1}{2}}$

【(2) の解答】

$b_{n+1} = dfrac{3}{2}b_n + dfrac{1}{2}$ を解きます。

特性方程式：

$$x = frac{3}{2}x + frac{1}{2}$$

$$x - frac{3}{2}x = frac{1}{2}$$

$$-frac{1}{2}x = frac{1}{2}$$

$$x = -1$$

$b_n - (-1) = b_n + 1$ とおくと：

$$b_{n+1} + 1 = frac{3}{2}b_n + frac{1}{2} + 1 = frac{3}{2}b_n + frac{3}{2} = frac{3}{2}(b_n + 1)$$

数列 ${b_n + 1}$ は初項 $b_1 + 1 = dfrac{a_1}{2} + 1 = dfrac{1}{2} + 1 = dfrac{3}{2}$、公比 $dfrac{3}{2}$ の等比数列です。

$$b_n + 1 = frac{3}{2} cdot left(frac{3}{2}right)^{n-1} = left(frac{3}{2}right)^n$$

$$b_n = left(frac{3}{2}right)^n - 1 = frac{3^n}{2^n} - 1 = frac{3^n - 2^n}{2^n}$$

答：$boldsymbol{b_n = dfrac{3^n - 2^n}{2^n}}$

【(3) の解答】

$a_n = 2^n b_n$ より：

$$a_n = 2^n cdot frac{3^n - 2^n}{2^n} = 3^n - 2^n$$

答：$boldsymbol{a_n = 3^n - 2^n}$

【(4) の解答】

$$sum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (3^k - 2^k) = sum_{k=1}^{n} 3^k - sum_{k=1}^{n} 2^k$$

等比数列の和の公式を適用：

$$sum_{k=1}^{n} 3^k = frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = frac{3^{n+1} - 3}{2}$$

$$sum_{k=1}^{n} 2^k = frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^{n+1} - 2$$

$$sum_{k=1}^{n} a_k = frac{3^{n+1} - 3}{2} - (2^{n+1} - 2)$$

$$= frac{3^{n+1} - 3 - 2^{n+2} + 4}{2} = frac{3^{n+1} - 2^{n+2} + 1}{2}$$

答：$boldsymbol{displaystylesum_{k=1}^{n} a_k = dfrac{3^{n+1} - 2^{n+2} + 1}{2}}$

別解・発展

【漸化式の直接解法】

$a_{n+1} = 3a_n + 2^n$ の形は「$a_{n+1} = pa_n + q^n$」型の漸化式です。

$p neq q$ のとき、特殊解 $a_n = alpha cdot q^n$ を求めます：

$$alpha q^{n+1} = p cdot alpha q^n + q^n$$

$$alpha q = palpha + 1$$

$$alpha(q - p) = 1$$

$$alpha = frac{1}{q - p} = frac{1}{2 - 3} = -1$$

一般解は $a_n = C cdot 3^n + (-1) cdot 2^n = C cdot 3^n - 2^n$

初期条件 $a_1 = 1$ より：$3C - 2 = 1$、$C = 1$

したがって、$a_n = 3^n - 2^n$

この年度の重要テーマと対策

2007年度の頻出分野

2007年度の香川大学数学入試では、以下の分野が重点的に出題されました：

合格のための学習戦略

1. 基礎固めを最優先に

香川大学の数学は、教科書レベルの基本事項を確実に理解しているかを問う問題が中心です。奇をてらった難問は少なく、基礎力があれば十分に対応できます。

• 教科書の例題・練習問題を完璧に
• 公式の導出過程も理解する
• 章末問題レベルまでしっかり演習

2. 場合分けの訓練

二次関数の最大・最小問題など、場合分けが必要な問題が頻出です。「どの条件で場合分けするか」を瞬時に判断できるよう訓練しましょう。

• 軸と定義域の位置関係
• パラメータの正負による分類
• 絶対値を含む式の処理

3. 計算力の強化

香川大学では計算量が多めの問題も出題されます。時間内に正確に計算を進める力を養いましょう。

• 積分計算の反復練習
• ベクトルの内積・大きさの計算
• 数列の和の計算

4. 記述式答案の書き方

香川大学は完全記述式です。論理的で読みやすい答案を書く練習も欠かせません。

• 場合分けの条件を明確に書く
• 計算過程を省略しすぎない
• 最終的な答えを明示する

おすすめの参考書・問題集

1. 『チャート式 基礎からの数学』（青チャート） - 基礎固めに最適
2. 『標準問題精講』 - 香川大学レベルの演習に
3. 『国公立大学標準問題集 CanPass』 - 実戦形式の演習
4. 『香川大学 赤本』 - 過去問演習は必須

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：二次関数の最大・最小

【解答・解説】

$f(x) = -(x^2 - 4ax) - 3a^2 + 2a = -(x - 2a)^2 + 4a^2 - 3a^2 + 2a = -(x - 2a)^2 + a^2 + 2a$

グラフは上に凸の放物線で、軸は $x = 2a$、頂点の $y$ 座標は $a^2 + 2a$ です。

【場合分け】

（i）$2a < 0$、すなわち $a < 0$ のとき

$a > 0$ より、この場合は存在しません。

（ii）$0 leq 2a leq 3$、すなわち $0 leq a leq dfrac{3}{2}$ のとき

軸が区間内にあるので、最大値は頂点で取ります。

$$M(a) = a^2 + 2a$$

（iii）$2a > 3$、すなわち $a > dfrac{3}{2}$ のとき

軸が区間の右側にあるので、最大値は $x = 3$ で取ります。

$$M(a) = f(3) = -9 + 12a - 3a^2 + 2a = -3a^2 + 14a - 9$$

答：

$$M(a) = begin{cases} a^2 + 2a & left(0 dfrac{3}{2}right) end{cases}$$

数強塾の特徴

無料体験授業のご案内

「本当に自分に合うか分からない...」という方のために、無料体験授業をご用意しています。

最後に ― 藤原進之介からのメッセージ

香川大学の数学は、決して「才能」で決まるものではありません。正しい方法で、十分な演習を積めば、必ず合格点に到達できます。

大切なのは：

• 基礎を疎かにしないこと
• 分からない問題を放置しないこと
• 繰り返し演習して「解ける」状態を作ること

この記事が、皆さんの香川大学合格への一歩になれば幸いです。

数学で困ったことがあれば、いつでも日本数学塾・数強塾を頼ってください。私たち講師一同、皆さんの合格を全力でサポートします！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

※本記事は2007年度香川大学入試の傾向を踏まえた解説記事です。実際の入試問題とは異なる場合があります。最新の入試情報は、香川大学公式サイトおよび各種過去問題集をご確認ください。
※記事内の問題は、香川大学入試の出題傾向に基づいた類題・予想問題を含みます。