岩手県立大学 2016年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

Step 2：具体的な値を確認

まず、各項の値を確認しましょう：

Step 3：部分分数分解のテクニック

aₙ = 2ⁿ⁺¹ - 3 の逆数の和を求めるために、次の関係を利用します：

aₙ₊₁ - 2aₙ = (2ⁿ⁺² - 3) - 2(2ⁿ⁺¹ - 3) = 2ⁿ⁺² - 3 - 2ⁿ⁺² + 6 = 3

これより：aₙ₊₁ = 2aₙ + 3（元の漸化式と一致）

この関係から：

別の方法として、次の恒等式を使います：

ここで aₙ + 3 = 2ⁿ⁺¹ なので：

Step 4：和を計算

直接計算が複雑になるため、この問題では具体的な形で答えを表現します：

これは望遠鏡和（テレスコーピング）の形に変形できます。以下の関係を用います：

一般的な閉じた形での表現が困難なため、和の形のままで答えとします：

答：Σ[k=1 to n] 1/(2ᵏ⁺¹ - 3) = 1 + 1/5 + 1/13 + ... + 1/(2ⁿ⁺¹ - 3)

（注：実際の入試では、より簡潔な形で表現できる数列が出題されることが多いです。）

別解・発展

漸化式の解法パターン

「aₙ₊₁ = paₙ + q」型の漸化式は、以下の手順で解きます：

1. 特性方程式 α = pα + q を解いて α を求める
2. 変形：aₙ₊₁ - α = p(aₙ - α) の形にする
3. 等比数列として一般項を求める

他の漸化式のパターンも押さえておきましょう：

• aₙ₊₁ = paₙ + f(n)：階差数列や特殊解を利用
• aₙ₊₁ = paₙ + qⁿ：両辺をqⁿ⁺¹で割る
• aₙ₊₂ + paₙ₊₁ + qaₙ = 0：特性方程式t² + pt + q = 0を解く

大問4：確率（条件付き確率と期待値）

問題

解説・解法のポイント

基本設定の確認

赤玉3個、白玉2個の計5個から復元抽出（取り出して戻す）を3回行います。

• 赤玉が出る確率：p = 3/5
• 白玉が出る確率：q = 2/5
• 試行回数：n = 3

これは二項分布 B(3, 3/5)に従います。

[問1] 赤玉がちょうど2回出る確率

3回中2回が赤玉、1回が白玉となる確率です。

答：54/125

[問2] 赤玉が少なくとも1回出る確率

「少なくとも1回」は余事象を使うと楽に計算できます。

余事象：「赤玉が1回も出ない」= 「3回とも白玉」

答：117/125

[問3] 赤玉が出た回数の期待値

二項分布B(n, p)の期待値は E(X) = np です。

答：9/5（= 1.8）回

【確認】定義から計算する方法：

[問4] 条件付き確率

条件付き確率の公式：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)

A：赤玉がちょうど2回出る
B：赤玉が少なくとも1回出る

A∩B = A（Aが起これば必ずBも起こる）なので：

答：6/13

別解・発展

条件付き確率の考え方

条件付き確率P(A|B)は「Bが起こったという条件のもとでAが起こる確率」です。

イメージとしては、全事象をBに限定して、その中でAが起こる割合を考えます。

今回の問題では、「赤玉が少なくとも1回出た」という情報が与えられたとき、その中で「ちょうど2回」だった確率を求めています。

二項分布の重要公式

• 確率関数：P(X = k) = ₙCₖ × pᵏ × (1-p)ⁿ⁻ᵏ
• 期待値：E(X) = np
• 分散：V(X) = np(1-p)
• 標準偏差：σ(X) = √{np(1-p)}

大問5：図形と方程式（円と直線）

問題

解説・解法のポイント

[問1] 2点で交わる条件

Step 1：中心と直線の距離を求める

円C：x² + y² = 4 の中心は原点O(0, 0)、半径は r = 2

直線ℓ：x - y + k = 0（標準形に変形）

点と直線の距離の公式より：

Step 2：交点の条件

円と直線が異なる2点で交わる条件は d < r

答：-2√2 < k < 2√2

[問2] 線分ABの長さ

方法1：弦の長さの公式を使う

半径r、中心から直線までの距離dのとき、弦の長さは：

答：AB = √(16 - 2k²)

方法2：連立方程式を解く

y = x + k を x² + y² = 4 に代入：

解と係数の関係より、2つの解をα, βとすると：

α + β = -k、αβ = (k² - 4)/2

2点A(α, α+k), B(β, β+k)の距離は：

よって AB = √(16 - 2k²) ✓

[問3] AB = 2 となるkの値

-2√2 < k < 2√2 の範囲内であることを確認：

√6 ≈ 2.45、2√2 ≈ 2.83 なので、±√6 は範囲内 ✓

答：k = ±√6

別解・発展

円と直線の位置関係まとめ

大問6：三角関数（方程式と最大・最小）

問題

解説・解法のポイント

[問1] 三角方程式を解く

Step 1：因数分解

sinθ = t とおくと：

Step 2：θを求める

sinθ = 1/2 のとき：

θ = π/6, 5π/6

sinθ = 1 のとき：

θ = π/2

答：θ = π/6, π/2, 5π/6

[問2] sinθ + cosθ の最大・最小

Step 1：合成する

Step 2：最大・最小を求める

0 ≤ θ < 2π のとき、π/4 ≤ θ + π/4 < 2π + π/4

sin関数の最大値は1、最小値は-1なので：

• 最大値：√2 × 1 = √2（θ + π/4 = π/2、すなわち θ = π/4 のとき）
• 最小値：√2 × (-1) = -√2（θ + π/4 = 3π/2、すなわち θ = 5π/4 のとき）

答：最大値 √2（θ = π/4）、最小値 -√2（θ = 5π/4）

[問3] sin²θ + sinθcosθ の最大・最小

Step 1：2倍角の公式で変形

Step 2：さらに合成

よって：

Step 3：最大・最小を求める

sin(2θ - π/4) は -1 ≤ sin(2θ - π/4) ≤ 1 の範囲をとるので：

• 最大値：1/2 + √2/2 = (1 + √2)/2
• 最小値：1/2 - √2/2 = (1 - √2)/2

答：最大値 (1 + √2)/2、最小値 (1 - √2)/2

別解・発展

三角関数の合成公式

a sinθ + b cosθ = √(a² + b²) sin(θ + α)

ただし、cosα = a/√(a² + b²)、sinα = b/√(a² + b²)

2倍角の公式（頻出）

• sin2θ = 2sinθcosθ
• cos2θ = cos²θ - sin²θ = 1 - 2sin²θ = 2cos²θ - 1
• sin²θ = (1 - cos2θ)/2
• cos²θ = (1 + cos2θ)/2

この年度の重要テーマと対策

2016年度の出題傾向分析

2016年度の岩手県立大学の数学を分析すると、以下のような特徴が見られます：

1. 空間ベクトル（頻出度：★★★★★）</h4

1. 空間ベクトル（頻出度：★★★★★）

直方体を題材とした空間ベクトルの問題は、岩手県立大学の定番です。内分点の座標計算、ベクトルの長さ、なす角の余弦（cos）を求める問題が頻出します。

対策ポイント：

• 座標系の設定に慣れる（頂点Aを原点に置くパターン）
• 内分点・外分点の公式を確実に使えるようにする
• 内積の計算を素早く正確に行う練習
• 空間図形の可視化（図を描く習慣）

2. 微分・積分（頻出度：★★★★★）

極値の計算、曲線とx軸で囲まれる面積、接線に関する問題は毎年のように出題されます。特に3次関数の増減と面積計算は必須です。

対策ポイント：

• 導関数の計算を確実に（積の微分、商の微分、合成関数の微分）
• 増減表を素早く正確に作成する
• 定積分の計算練習（特に絶対値を含む積分）
• 面積を求める際の上下関係の把握

3. 数列（頻出度：★★★★☆）

漸化式から一般項を求める問題、数列の和を計算する問題が出題されます。特に「aₙ₊₁ = paₙ + q」型の漸化式は頻出です。

対策ポイント：

• 等差数列・等比数列の基本公式の暗記
• 漸化式の各パターンの解法を身につける
• Σ計算の公式と計算技術
• 階差数列の利用

4. 確率（頻出度：★★★★☆）

反復試行の確率、条件付き確率、期待値の計算が出題されます。二項分布の理解が重要です。

対策ポイント：

• 場合の数（順列・組合せ）の確実な計算
• 余事象の利用（「少なくとも」の問題）
• 条件付き確率の公式 P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
• 期待値・分散の計算

5. 図形と方程式（頻出度：★★★☆☆）

円と直線の位置関係、軌跡、領域に関する問題が出題されます。

対策ポイント：

• 点と直線の距離の公式
• 円の方程式と接線の公式
• 2直線の交点、2円の交点の求め方
• 領域を図示する練習

6. 三角関数（頻出度：★★★☆☆）

三角方程式・不等式、三角関数の最大・最小、合成の問題が出題されます。

対策ポイント：

• 三角関数の合成公式のマスター
• 2倍角・半角の公式の活用
• 単位円を使った方程式の解法
• グラフの概形を素早く描く

合格に向けた学習戦略

時期別学習計画

得点戦略

岩手県立大学の数学で高得点を取るためのポイント：

1. 計算ミスをなくす：標準的な問題が多いため、計算ミスが命取り。検算の習慣をつける。
2. 記述力を磨く：論理的で読みやすい答案を書く練習。途中式も丁寧に。
3. 時間配分を意識：120分で4〜6問。難問にこだわりすぎず、取れる問題を確実に。
4. 頻出分野を重点的に：空間ベクトル、微積分、数列は最優先で対策。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2016年度の問題と同じテーマの練習問題を用意しました。解いてみて、理解度をチェックしましょう！

練習問題1：空間ベクトル

解答・解説

(1) →APの表現

座標系を設定します。A = (0, 0, 0)として：

• B = (3, 0, 0)、D = (0, 4, 0)、E = (0, 0, 2)
• F = (3, 0, 2)、G = (3, 4, 2)、H = (0, 4, 2)

点Pは辺FGを2:1に内分するので：

ベクトル表現では：

答：→AP = →AB + (2/3)→AD + →AE

(2) |→PQ|の計算

点Qは辺DHの中点なので：

→PQ = Q - P = (0-3, 4-8/3, 1-2) = (-3, 4/3, -1)

答：|→PQ| = √106/3

(3) cos∠APQの計算

→PA = -→AP = (-3, -8/3, -2)

→PQ = (-3, 4/3, -1)

答：cos∠APQ = 67/√19186 = 67√19186/19186

練習問題2：微分・積分

解答・解説

(1) 極値を求める

増減表：

答：x = 1で極大値4、x = 3で極小値0

(2) 面積Sを求める

f(x) = x³ - 6x² + 9x = x(x² - 6x + 9) = x(x-3)² なので、x軸との交点は x = 0, 3（重解）

0 ≤ x ≤ 3 で f(x) ≥ 0 なので：

答：S = 27/4

(3) 接線の方程式

答：y = 9x

練習問題3：確率と期待値

解答・解説

(1) 4回とも同じ目が出る確率

全事象：6⁴ = 1296通り

4回とも同じ目：6通り（1,1,1,1）〜（6,6,6,6）

答：1/216

(2) 最大値が5となる確率

「最大値が5」= 「すべて5以下」−「すべて4以下」

答：41/144

(3) X₁ + X₂ + X₃ + X₄の期待値

サイコロ1回の期待値：E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 7/2

期待値の線形性より：

答：14

日本数学塾・数強塾で岩手県立大学合格を目指そう

最後に：合格への道のり

岩手県立大学の数学は、決して難問奇問は出ません。しかし、だからこそ「当たり前のことを当たり前にできる力」が試されます。

大切なのは：

1. 基礎の徹底：公式や定理を「使える」レベルまで理解する
2. 計算力の強化：ミスなく素早く計算できる力を身につける
3. 過去問演習：出題傾向を把握し、時間配分を体に覚えさせる
4. 記述力の向上：論理的で読みやすい答案を書く練習をする

これらを一人で完璧にこなすのは難しいかもしれません。でも、正しい方法で努力すれば、必ず結果はついてきます。

私たち日本数学塾・数強塾は、あなたの「合格したい」という気持ちを全力でサポートします。一緒に頑張りましょう！

日本数学塾・数強塾 代表
藤原 進之介