岩手大学 2007年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は岩手大学 2007年度（平成19年度）の数学について、徹底解説していきます！岩手大学は東北地方を代表する総合国立大学で、教育学部・理工学部・農学部など多様な学部を擁しています。数学の入試問題は、基礎〜標準レベルの良問が多く、教科書の内容をしっかり理解していれば十分対応できる内容となっています。

この記事では、2007年度の各大問について詳しく解説するとともに、解法のポイントや別解、さらには類似問題での演習まで網羅していきます。岩手大学を目指す受験生の皆さん、ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

2007年度 岩手大学 数学の基本情報

全体講評

2007年度の岩手大学数学は、例年通り基礎〜標準レベルの問題で構成されていました。特別な発想や高度なテクニックを要する問題は少なく、教科書の内容を正確に理解し、計算ミスなく解答できるかが合否を分けるポイントとなりました。

出題分野としては、以下のような典型的なテーマが取り上げられました：

• 微分・積分（関数の増減、極値、面積計算）
• ベクトル（平面・空間ベクトル、内積の応用）
• 数列（漸化式、和の計算）
• 確率（場合の数、条件付き確率）
• 二次関数・三角関数（最大・最小、方程式）

岩手大学の数学で高得点を狙うには、「基本事項の徹底理解」と「計算力の強化」が不可欠です。難問に時間を取られるよりも、解ける問題を確実に得点することが重要です。

大問1：二次関数と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

この問題は二次関数の最大・最小問題の典型例です。軸の位置と定義域の関係を正確に把握することがポイントです。

【(1)の解答】

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$
$= (x - a)^2 - a^2 + a + 2$

この二次関数は下に凸の放物線で、頂点は $(a, -a^2 + a + 2)$ です。

したがって、$f(x)$ の最小値は $-a^2 + a + 2$ です。

【(2)の解答】

$0 leq x leq 2$ における最大値を求めます。下に凸の放物線なので、最大値は定義域の端点で取ります。

軸 $x = a$ と定義域の中点 $x = 1$ の位置関係で場合分けします。

【場合分け】

① $a leq 1$ のとき（軸が定義域の中点より左側または中点上）

最大値は $x = 2$ で取ります。

$M(a) = f(2) = 4 - 4a + a + 2 = 6 - 3a$

② $a > 1$ のとき（軸が定義域の中点より右側）

最大値は $x = 0$ で取ります。

$M(a) = f(0) = a + 2$

答え：

$M(a) = begin{cases} 6 - 3a & (a leq 1) \ a + 2 & (a > 1) end{cases}$

【(3)の解答】

$M(a)$ を $a$ の関数として最小値を求めます。

• $a leq 1$ のとき：$M(a) = 6 - 3a$ は $a$ について減少関数
• $a > 1$ のとき：$M(a) = a + 2$ は $a$ について増加関数

$a = 1$ で両方の式の値を確認すると：

• $6 - 3 times 1 = 3$
• $1 + 2 = 3$

$a = 1$ で連続であり、このとき $M(a)$ は最小値 $3$ を取ります。

答え：$a = 1$ のとき最小値 $3$

別解・発展

【別解：グラフを利用した解法】

(2)では、$f(0) = a + 2$、$f(2) = 6 - 3a$ をそれぞれ計算し、$f(0) = f(2)$ となる点を求める方法もあります。

$a + 2 = 6 - 3a$
$4a = 4$
$a = 1$

この $a = 1$ を境に最大値を取る端点が切り替わることがわかります。

【発展：定義域が動く場合への応用】

この問題の考え方は、定義域が $t leq x leq t+2$ のように平行移動する問題にも応用できます。軸と定義域の位置関係を常に意識することが重要です。

大問2：微分法とその応用（関数の増減・極値）

問題

解説・解法のポイント

三次関数の微分は岩手大学で頻出のテーマです。増減表を正確に書けるかどうかがカギとなります。

【(1)の解答】

$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -1, 3$ です。

増減表：

極値を計算します：

• $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$（極大値）
• $f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$（極小値）

答え：$x = -1$ で極大値 $10$、$x = 3$ で極小値 $-22$

【(2)の解答】

方程式 $f(x) = k$ が異なる3つの実数解をもつ条件は、直線 $y = k$ が曲線 $y = f(x)$ と3点で交わることです。

これは、$k$ が極小値より大きく、極大値より小さいときに成り立ちます。

答え：$-22 < k < 10$

【(3)の解答】

曲線と直線の交点を求めます。

$x^3 - 3x^2 - 9x + 5 = -9x + 5$
$x^3 - 3x^2 = 0$
$x^2(x - 3) = 0$
$x = 0, 3$

面積を計算します。$0 leq x leq 3$ において、曲線と直線の上下関係を確認します。

$x = 1$ で確認：$f(1) = 1 - 3 - 9 + 5 = -6$、直線は $-9 + 5 = -4$

よって曲線が直線の下側にあります。

$S = int_0^3 {(-9x + 5) - (x^3 - 3x^2 - 9x + 5)} dx$
$= int_0^3 (-x^3 + 3x^2) dx$
$= left[-frac{x^4}{4} + x^3right]_0^3$
$= -frac{81}{4} + 27 = -frac{81}{4} + frac{108}{4} = frac{27}{4}$

答え：$displaystylefrac{27}{4}$

別解・発展

【別解：$frac{1}{12}$公式の利用】

三次関数と接線で囲まれた面積には公式があります。$x = 0$ が二重解であることから、これは接線との面積に相当します。

三次関数 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ と、$x = alpha$ で接する接線との間の面積は：

$S = frac{|a|}{12}(beta - alpha)^4$

（$alpha$：接点の $x$ 座標、$beta$：もう一つの交点の $x$ 座標）

本問では $a = 1$、$alpha = 0$、$beta = 3$ なので：

$S = frac{1}{12} times 3^4 = frac{81}{12} = frac{27}{4}$

大問3：数列（漸化式と和）

問題

解説・解法のポイント

この問題は特性方程式を用いない漸化式の解法の典型例です。両辺を適切な数で割ることで等比数列に帰着させます。

【(1)の解答】

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ の両辺を $3^{n+1}$ で割ります。

$displaystylefrac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = frac{2a_n}{3^{n+1}} + frac{3^n}{3^{n+1}}$

$b_{n+1} = displaystylefrac{2}{3} cdot frac{a_n}{3^n} + frac{1}{3}$

$b_{n+1} = displaystylefrac{2}{3}b_n + frac{1}{3}$

答え：$b_{n+1} = displaystylefrac{2}{3}b_n + frac{1}{3}$

【(2)の解答】

漸化式を変形して等比数列の形にします。

$b_{n+1} - 1 = displaystylefrac{2}{3}(b_n - 1)$

$c_n = b_n - 1$ とおくと、${c_n}$ は初項 $c_1 = b_1 - 1 = displaystylefrac{1}{3} - 1 = -frac{2}{3}$、公比 $displaystylefrac{2}{3}$ の等比数列です。

$c_n = -displaystylefrac{2}{3} cdot left(frac{2}{3}right)^{n-1} = -frac{2^n}{3^n}$

よって：

$b_n = 1 - displaystylefrac{2^n}{3^n}$

$a_n = 3^n b_n$ より：

$a_n = 3^n - 2^n$

答え：$a_n = 3^n - 2^n$

【(3)の解答】

$displaystylesum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (3^k - 2^k)$
$= displaystylesum_{k=1}^{n} 3^k - sum_{k=1}^{n} 2^k$
$= displaystylefrac{3(3^n - 1)}{3 - 1} - frac{2(2^n - 1)}{2 - 1}$
$= displaystylefrac{3^{n+1} - 3}{2} - (2^{n+1} - 2)$
$= displaystylefrac{3^{n+1} - 3 - 2^{n+2} + 4}{2}$
$= displaystylefrac{3^{n+1} - 2^{n+2} + 1}{2}$

答え：$displaystylefrac{3^{n+1} - 2^{n+2} + 1}{2}$

別解・発展

【別解：特性方程式を用いる方法】

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ において、特殊解として $a_n = alpha cdot 3^n$ の形を仮定します。

$alpha cdot 3^{n+1} = 2alpha cdot 3^n + 3^n$
$3alpha = 2alpha + 1$
$alpha = 1$

よって特殊解は $3^n$ です。$a_n - 3^n$ を考えると：

$a_{n+1} - 3^{n+1} = 2(a_n - 3^n)$

初項 $a_1 - 3 = 1 - 3 = -2$、公比 $2$ の等比数列より：

$a_n - 3^n = -2 cdot 2^{n-1} = -2^n$
$a_n = 3^n - 2^n$

大問4：ベクトル（平面ベクトル）

問題

解説・解法のポイント

ベクトルの問題では、位置ベクトルの一次結合表示と交点の条件を使いこなすことが重要です。

【(1)の解答】

点 $D$ は辺 $BC$ を $2:1$ に内分するので：

$overrightarrow{AD} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{BD} = vec{b} + displaystylefrac{2}{3}overrightarrow{BC}$
$= vec{b} + displaystylefrac{2}{3}(vec{c} - vec{b})$
$= displaystylefrac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}$

点 $E$ は辺 $AC$ の中点なので：

$overrightarrow{AE} = displaystylefrac{1}{2}vec{c}$

答え：$overrightarrow{AD} = displaystylefrac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}$、$overrightarrow{AE} = displaystylefrac{1}{2}vec{c}$

【(2)の解答】

$P$ は直線 $AD$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて：

$overrightarrow{AP} = soverrightarrow{AD} = sleft(displaystylefrac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}right) = frac{s}{3}vec{b} + frac{2s}{3}vec{c}$

また、$P$ は直線 $BE$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて：

$overrightarrow{AP} = overrightarrow{AB} + toverrightarrow{BE} = vec{b} + tleft(displaystylefrac{1}{2}vec{c} - vec{b}right)$
$= (1-t)vec{b} + displaystylefrac{t}{2}vec{c}$

$vec{b}$、$vec{c}$ は一次独立なので、係数を比較します：

$displaystylefrac{s}{3} = 1 - t$ ... ①
$displaystylefrac{2s}{3} = frac{t}{2}$ ... ②

②より $t = displaystylefrac{4s}{3}$

①に代入：$displaystylefrac{s}{3} = 1 - frac{4s}{3}$

$displaystylefrac{s + 4s}{3} = 1$

$s = displaystylefrac{3}{5}$

よって：

$overrightarrow{AP} = displaystylefrac{1}{5}vec{b} + frac{2}{5}vec{c}$

答え：$overrightarrow{AP} = displaystylefrac{1}{5}vec{b} + frac{2}{5}vec{c}$

【(3)の解答】

$|overrightarrow{AP}|^2 = left|display

【(3)の解答】（続き）

$|overrightarrow{AP}|^2 = left|displaystylefrac{1}{5}vec{b} + frac{2}{5}vec{c}right|^2$
$= displaystylefrac{1}{25}|vec{b}|^2 + 2 cdot frac{1}{5} cdot frac{2}{5}(vec{b} cdot vec{c}) + frac{4}{25}|vec{c}|^2$
$= displaystylefrac{1}{25} times 9 + frac{4}{25} times 6 + frac{4}{25} times 16$
$= displaystylefrac{9}{25} + frac{24}{25} + frac{64}{25}$
$= displaystylefrac{97}{25}$

よって：

$|overrightarrow{AP}| = displaystylefrac{sqrt{97}}{5}$

答え：$displaystylefrac{sqrt{97}}{5}$

別解・発展

【別解：メネラウスの定理を用いる方法】

(2)において、三角形 $ABE$ と直線 $DP$ に対してメネラウスの定理を適用することもできます。ただし、ベクトルによる解法の方が汎用性が高く、計算も明確です。

【発展：チェバの定理との関連】

この問題で得られた点 $P$ の位置は、チェバの定理を用いて検証することができます。三角形の内部における交点の位置を求める問題では、ベクトル・メネラウス・チェバの3つの方法を使い分けられるようにしておくと便利です。

大問5：確率

問題

解説・解法のポイント

これは反復試行の確率と期待値の典型問題です。復元抽出であることに注意しましょう。

【(1)の解答】

赤玉が出る確率は $p = displaystylefrac{3}{6} = frac{1}{2}$

赤玉以外が出る確率は $q = 1 - displaystylefrac{1}{2} = frac{1}{2}$

$n = 3$ 回中、赤玉がちょうど2回出る確率は：

$P = {}_3C_2 times left(displaystylefrac{1}{2}right)^2 times left(frac{1}{2}right)^1$
$= 3 times displaystylefrac{1}{4} times frac{1}{2}$
$= displaystylefrac{3}{8}$

答え：$displaystylefrac{3}{8}$

【(2)の解答】

「少なくとも1回」は余事象を使います。

赤玉が1回も出ない確率は：

$left(displaystylefrac{1}{2}right)^4 = frac{1}{16}$

よって、少なくとも1回出る確率は：

$1 - displaystylefrac{1}{16} = frac{15}{16}$

答え：$displaystylefrac{15}{16}$

【(3)の解答】

$X$ は二項分布 $B(5, displaystylefrac{1}{2})$ に従います。

二項分布の期待値の公式 $E(X) = np$ より：

$E(X) = 5 times displaystylefrac{1}{2} = frac{5}{2}$

答え：$displaystylefrac{5}{2}$

別解・発展

【別解：期待値を定義から計算】

$E(X) = displaystylesum_{k=0}^{5} k cdot P(X=k)$
$= displaystylesum_{k=0}^{5} k cdot {}_5C_k left(frac{1}{2}right)^k left(frac{1}{2}right)^{5-k}$
$= displaystylefrac{1}{32} sum_{k=0}^{5} k cdot {}_5C_k$

$k cdot {}_5C_k = 5 cdot {}_{4}C_{k-1}$ を用いると：

$= displaystylefrac{5}{32} sum_{k=1}^{5} {}_{4}C_{k-1} = frac{5}{32} times 2^4 = frac{5}{2}$

【発展：分散の計算】

二項分布 $B(n, p)$ の分散は $V(X) = np(1-p)$ で与えられます。本問では：

$V(X) = 5 times displaystylefrac{1}{2} times frac{1}{2} = frac{5}{4}$

大問6：積分法（面積・体積）

問題

解説・解法のポイント

三角関数の積分は岩手大学で頻出です。特に部分積分の計算に習熟しておくことが重要です。

【(1)の解答】

$0 leq x leq pi$ において $sin x geq 0$ なので：

$S = displaystyleint_0^{pi} sin x , dx$
$= left[-cos xright]_0^{pi}$
$= -cospi - (-cos 0)$
$= -(-1) + 1$
$= 2$

答え：$S = 2$

【(2)の解答】

回転体の体積の公式を用います：

$V = pidisplaystyleint_0^{pi} sin^2 x , dx$

半角の公式 $sin^2 x = displaystylefrac{1 - cos 2x}{2}$ を用いて：

$V = pidisplaystyleint_0^{pi} frac{1 - cos 2x}{2} , dx$
$= displaystylefrac{pi}{2}int_0^{pi} (1 - cos 2x) , dx$
$= displaystylefrac{pi}{2}left[x - frac{sin 2x}{2}right]_0^{pi}$
$= displaystylefrac{pi}{2}left{left(pi - frac{sin 2pi}{2}right) - left(0 - frac{sin 0}{2}right)right}$
$= displaystylefrac{pi}{2} times pi$
$= displaystylefrac{pi^2}{2}$

答え：$V = displaystylefrac{pi^2}{2}$

【(3)の解答】

部分積分を用います。$displaystyleint f'g = fg - int fg'$ において：

$f' = sin x$、$g = x$ とおくと、$f = -cos x$、$g' = 1$

$displaystyleint_0^{pi} xsin x , dx = left[-xcos xright]_0^{pi} - int_0^{pi} (-cos x) , dx$
$= left[-xcos xright]_0^{pi} + int_0^{pi} cos x , dx$
$= left[-xcos x + sin xright]_0^{pi}$
$= (-pi cdot (-1) + sinpi) - (0 + sin 0)$
$= pi + 0 - 0$
$= pi$

答え：$pi$

別解・発展

【発展：ウォリスの公式への接続】

$displaystyleint_0^{pi} sin^n x , dx$ の形の積分は、漸化式を用いて計算できます（ウォリス積分）。$n = 2$ の場合は：

$I_2 = displaystyleint_0^{pi} sin^2 x , dx = frac{pi}{2}$

これは回転体の体積計算で用いた結果と一致します。

【発展：$int_0^{pi} x^2sin x , dx$ への応用】

部分積分を2回適用すると：

$displaystyleint_0^{pi} x^2sin x , dx = pi^2 - 4$

このような計算パターンを覚えておくと、応用問題にも対応できます。

この年度の重要テーマと対策

2007年度の出題傾向分析

2007年度の岩手大学数学を分析すると、以下の特徴が見られます：

岩手大学数学攻略のための5つのポイント

分野別の具体的対策

【微分・積分】

• 三次関数の増減表を素早く正確に書けるようにする
• 面積計算では上下関係の確認を怠らない
• 部分積分・置換積分の使い分けを練習する
• $frac{1}{6}$公式、$frac{1}{12}$公式を覚えておく

【数列】

• 等差数列・等比数列の基本公式を完璧に
• 漸化式の4つの基本パターンをマスター
• $Sigma$計算の公式を正確に使えるようにする

【ベクトル】

• 内分点・外分点の位置ベクトルの公式
• 直線の交点をベクトルで求める方法
• 内積の計算と図形への応用

【確率】

• 反復試行の確率の公式
• 余事象を使った計算
• 条件付き確率の考え方
• 期待値・分散の計算

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2007年度の問題の理解を深めるために、類似問題を3問用意しました。ぜひ挑戦してみてください！

【練習問題1】二次関数の最大・最小

【解答・解説】

$f(x) = -(x-2)^2 + 3$ より、頂点は $(2, 3)$ で上に凸の放物線です。

場合分け：

① $0 < a < 2$ のとき

軸 $x = 2$ は定義域の外（右側）にあるので、$x = a$ で最大値を取ります。

$M(a) = f(a) = -a^2 + 4a - 1$

② $a geq 2$ のとき

軸 $x = 2$ は定義域内にあるので、$x = 2$ で最大値を取ります。

$M(a) = f(2) = 3$

答え：

$M(a) = begin{cases} -a^2 + 4a - 1 & (0 < a < 2) \ 3 & (a geq 2) end{cases}$

【練習問題2】漸化式と一般項

【解答・解説】

漸化式を変形します。特性方程式 $alpha = 3alpha - 4$ より $alpha = 2$

$a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2)$

$b_n = a_n - 2$ とおくと、${b_n}$ は初項 $b_1 = a_1 - 2 = 0$、公比 $3$ の等比数列です。

$b_1 = 0$ より、すべての $n$ について $b_n = 0$ となります。

よって $a_n = 2$（定数列）

答え：$a_n = 2$

【補足】初項が特性方程式の解と一致する場合、定数列になります。別の初期値、例えば $a_1 = 5$ であれば：

$a_n = 2 + 3^{n-1} cdot 3 = 2 + 3^n$

【練習問題3】ベクトルと面積

【解答・解説】

(1)の解答

内積の定義より：

$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}||vec{b}|costheta$
$3 = 2 times 3 times costheta$
$costheta = displaystylefrac{1}{2}$

$0 leq theta leq pi$ より：

答え：$theta = displaystylefrac{pi}{3}$（60°）

(2)の解答

三角形の面積公式を用います：

$S = displaystylefrac{1}{2}|vec{a}||vec{b}|sintheta$
$= displaystylefrac{1}{2} times 2 times 3 times sinfrac{pi}{3}$
$= displaystylefrac{1}{2} times 6 times frac{sqrt{3}}{2}$
$= displaystylefrac{3sqrt{3}}{2}$

答え：$S = displaystylefrac{3sqrt{3}}{2}$

【別解】$S = displaystylefrac{1}{2}sqrt{|vec{a}|^2|vec{b}|^2 - (vec{a} cdot vec{b})^2}$ を用いると：

$S = displaystylefrac{1}{2}sqrt{4 times 9 - 9} = frac{1}{2}sqrt{27} = frac{3sqrt{3}}{2}$

日本数学塾・数強塾で岩手大学合格を目指そう

ここまで2007年度の岩手大学数学を詳しく解説してきました。いかがでしたでしょうか？

岩手大学の数学は、基礎〜標準レベルの良問で構成されています。難問奇問は少なく、教科書の内容をしっかり理解し、典型問題の解法パターンを身につけていれば、十分に高得点が狙えます。

しかし、「わかっているつもり」と「実際に解ける」の間には大きな差があります。一人で勉強していると：

• 自分の弱点に気づきにくい
• 効率的な勉強方法がわからない
• モチベーションの維持が難しい
• 質問したいときにすぐ聞けない

といった壁にぶつかることがあります。

数強塾・日本数学塾の特徴

無料体験授業のご案内

「数学の成績を上げたい」「岩手大学に合格したい」という方は、ぜひ一度無料体験授業を受けてみてください。

実際の授業を体験していただき、講師との相性や授業の雰囲気を確認した上で、入塾をご検討いただけます。