秋田大学 2019年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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こんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。今回は秋田大学 2019年度（平成31年度）前期日程の数学について、大問ごとに徹底解説していきます。

秋田大学は、理工学部・医学部・国際資源学部・教育文化学部を擁する国立総合大学で、特に医学部は地域医療の中核を担う人材を輩出しています。数学の入試問題は、基礎〜標準レベルの問題が中心ですが、計算力と論理的思考力をしっかり問う良問が多いのが特徴です。

この記事では、2019年度前期日程で出題された全5問を詳しく解説し、合格に必要な考え方・解法のポイント・別解まで丁寧にお伝えします。秋田大学を志望する受験生はもちろん、国公立大学の数学対策をしている方にも役立つ内容になっていますので、ぜひ最後までお読みください！

試験概要・難易度

試験形式と基本情報

項目	内容
試験年度	2019年度（平成31年度）前期日程
試験時間	理工学部・国際資源学部：90分 医学部：120分
出題形式	全問記述式
大問数	5問（学部により選択問題あり）
配点	理工学部：200点 医学部：200点 国際資源学部：200点
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B（数列・ベクトル）

2019年度の全体講評

2019年度の秋田大学数学は、例年通りの標準的な難易度でした。特に以下の特徴がありました：

• 計算量はやや多め：特に三角関数と数列の問題で丁寧な計算が求められました
• 典型問題の出題：二次関数の最大最小、数列の和と一般項、三角関数の置換積分など、教科書レベルの典型問題が中心
• 誘導の丁寧さ：小問で誘導をつけてくれているため、方針が立てやすい構成
• 完答を狙える：標準的な問題が多いため、しっかり対策していれば高得点が狙える年度

目標得点の目安：

• 理工学部志望：65〜75%（130〜150点/200点）
• 医学部志望：80%以上（160点以上/200点）
• 国際資源学部志望：60〜70%（120〜140点/200点）

出題分野一覧

大問	出題分野	難易度
第1問	整式の計算・因数分解・式の値	易
第2問	二次関数（頂点・最大最小）	易〜並
第3問	数列（Sₙから aₙ を求める・和の計算）	並
第4問	微分法・積分法（面積計算）	並
第5問	三角関数（置換による最大最小）	並〜難

大問1：整式の計算・因数分解・式の値

問題

解説・解法のポイント

(1) の解説

この因数分解は頻出公式として必ず覚えておくべきものです。

【公式】

x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)

【導出方法】

x³ + y³ + z³ - 3xyz の因数分解を導出するには、まず x + y + z = 0 のとき x³ + y³ + z³ = 3xyz が成り立つことに注目します。

z = -(x+y) を代入すると：

x³ + y³ + (-(x+y))³ = x³ + y³ - (x+y)³

= x³ + y³ - (x³ + 3x²y + 3xy² + y³)

= -3x²y - 3xy² = -3xy(x+y) = 3xyz（∵ z = -(x+y)）

したがって x + y + z は因数であり、残りの因子を求めると上記の公式が得られます。

【答え】

x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)

(2) の解説

与えられた条件：

• x + y + z = 1 ……①
• x² + y² + z² = 2 ……②
• x³ + y³ + z³ = 3 ……③

Step 1：xy + yz + zx を求める

①の両辺を2乗すると：

(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) = 1

②より x² + y² + z² = 2 を代入：

2 + 2(xy + yz + zx) = 1

xy + yz + zx = -1/2 ……④

Step 2：(1)の公式を利用

(1)より、x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)

各値を代入：

3 - 3xyz = 1 × (2 - (-1/2))

3 - 3xyz = 2 + 1/2 = 5/2

-3xyz = 5/2 - 3 = -1/2

xyz = 1/6

【答え】

xyz = 1/6

(3) の解説

Step 1：x⁴ + y⁴ + z⁴ を求める準備

(x² + y² + z²)² = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2(x²y² + y²z² + z²x²)

したがって、x²y² + y²z² + z²x² を求める必要があります。

Step 2：x²y² + y²z² + z²x² を求める

(xy + yz + zx)² = x²y² + y²z² + z²x² + 2xyz(x + y + z)

④より xy + yz + zx = -1/2、(2)より xyz = 1/6、①より x + y + z = 1 を代入：

(-1/2)² = x²y² + y²z² + z²x² + 2 × (1/6) × 1

1/4 = x²y² + y²z² + z²x² + 1/3

x²y² + y²z² + z²x² = 1/4 - 1/3 = -1/12

Step 3：x⁴ + y⁴ + z⁴ を計算

(x² + y² + z²)² = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2(x²y² + y²z² + z²x²)

2² = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2 × (-1/12)

4 = x⁴ + y⁴ + z⁴ - 1/6

x⁴ + y⁴ + z⁴ = 4 + 1/6 = 25/6

【答え】

x⁴ + y⁴ + z⁴ = 25/6

別解・発展

【別解：ニュートンの恒等式を用いる方法】

x, y, z を3次方程式 t³ - pt² + qt - r = 0 の3解とすると、解と係数の関係より：

• p = x + y + z = 1
• q = xy + yz + zx = -1/2
• r = xyz = 1/6

ニュートンの恒等式を用いると、Sₖ = xᵏ + yᵏ + zᵏ について：

S₄ = pS₃ - qS₂ + rS₁

S₄ = 1 × 3 - (-1/2) × 2 + (1/6) × 1 = 3 + 1 + 1/6 = 25/6

この方法は計算がシンプルで、高次の場合にも応用できます。

大問2：二次関数（頂点・最大最小）

問題

解説・解法のポイント

(i) の解説

平方完成による頂点の導出：

f(x) = x² - 4ax + 3a²

= (x² - 4ax + 4a²) - 4a² + 3a²

= (x - 2a)² - a²

したがって、放物線 y = f(x) は下に凸で、頂点は：

【答え】

頂点：(2a, -a²)

(ii) の解説

y = f(x) = (x - 2a)² - a² は下に凸の放物線で、軸は x = 2a です。

区間 0 ≤ x ≤ 2 における最小値は、軸の位置による場合分けが必要です。

【場合分け】

Case 1：2a < 0、すなわち a < 0 のとき

軸 x = 2a は区間の左側にあるので、区間内で単調増加。

最小値は x = 0 で m(a) = f(0) = 3a²

Case 2：0 ≤ 2a ≤ 2、すなわち 0 ≤ a ≤ 1 のとき

軸 x = 2a は区間内にあるので、頂点で最小。

最小値は m(a) = -a²

Case 3：2a > 2、すなわち a > 1 のとき

軸 x = 2a は区間の右側にあるので、区間内で単調減少。

最小値は x = 2 で m(a) = f(2) = 4 - 8a + 3a² = 3a² - 8a + 4

【答え】

(iii) の解説

各場合について m(a) の最大値を調べます。

Case 1：a < 0 のとき

m(a) = 3a² は a = 0 に近づくほど 0 に近づく。a → -∞ で +∞ に発散。

この区間での最大値は存在しない（境界 a = 0 は含まない）が、a → 0⁻ で m(a) → 0

Case 2：0 ≤ a ≤ 1 のとき

m(a) = -a² は a = 0 で最大値 0 をとる。

Case 3：a > 1 のとき

m(a) = 3a² - 8a + 4 = 3(a - 4/3)² - 4/3

軸 a = 4/3 > 1 なので、a > 1 の範囲で a = 4/3 のとき最小値 -4/3。

a → 1⁺ で m(a) → 3 - 8 + 4 = -1

a → +∞ で m(a) → +∞

全体の最大値：

3つの区間を通じて、m(a) の最大値は a = 0 のとき m(0) = 0 です。

【答え】

m(a) の最大値は 0、そのとき a = 0

別解・発展

【グラフを用いた視覚的理解】

m(a) のグラフを描くと：

• a < 0：上に凸の放物線の一部（ただし a² の係数は正なので下に凸）
• 0 ≤ a ≤ 1：原点を頂点とする下向きの放物線
• a > 1：下に凸の放物線

これらを繋ぎ合わせると、a = 0 で m(a) = 0 が全体の最大となることが視覚的にも確認できます。

大問3：数列（Sₙから aₙ を求める・和の計算）

問題

解説・解法のポイント

(i) の解説

Sₙ から aₙ を求める公式：

• n ≥ 2 のとき：aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁
• n = 1 のとき：a₁ = S₁

Step 1：n ≥ 2 の場合

aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁

= [(1/3)n³ - (5/2)n² + (1/6)n] - [(1/3)(n-1)³ - (5/2)(n-1)² + (1/6)(n-1)]

各項を展開：

(n-1)³ = n³ - 3n² + 3n - 1

(n-1)² = n² - 2n + 1

したがって：

Sₙ₋₁ = (1/3)(n³ - 3n² + 3n - 1) - (5/2)(n² - 2n + 1) + (1/6)(n - 1)

= (1/3)n³ - n² + n - 1/3 - (5/2)n² + 5n - 5/2 + (1/6)n - 1/6

= (1/3)n³ - (7/2)n² + (37/6)n - 3

よって：

aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁

= [(1/3)n³ - (5/2)n² + (1/6)n] - [(1/3)n³ - (7/2)n² + (37/6)n - 3]

= n² - 6n + 3

Step 2：n = 1 の確認

a₁ = S₁ = (1/3)(1)³ - (5/2)(1)² + (1/6)(1) = 1/3 - 5/2 + 1/6

= 2/6 - 15/6 + 1/6 = -12/6 = -2

一方、aₙ = n² - 6n + 3 に n = 1 を代入：

a₁ = 1 - 6 + 3 = -2 ✓

n = 1 でも成り立つので：

【答え】

aₙ = n² - 6n + 3

(ii) の解説

aₙ² = (n² - 6n + 3)² = n⁴ - 12n³ + 42n² - 36n + 9

公式の準備：

• Σk = n(n+1)/2
• Σk² = n(n+1)(2n+1)/6
• Σk³ = {n(n+1)/2}²
• Σk⁴ = n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)/30

Σ(k=1 to n) aₖ² = Σ(k⁴ - 12k³ + 42k² - 36k + 9)

= Σk⁴ - 12Σk³ + 42Σk² - 36Σk + 9n

各項を計算：

Σk⁴ = n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)/30

Σk³ = n²(n+1)²/4

Σk² = n(n+1)(2n+1)/6

Σk = n(n+1)/2

これらを代入して整理すると（計算は省略）：

【答え】

Σ(k=1 to n) aₖ² = n(n+1)(2n+1)(3n²-33n+91)/30 - 9n² + 9n

（※答えの形は計算の進め方により異なる場合があります）

(iii) の解説

aₙ = n² - 6n + 3 > 0 を解きます。

Step 1：判別式の確認

n² - 6n + 3 = 0 の解：

n = (6 ± √(36-12))/2 = (6 ± √24)/2 = 3 ± √6

Step 2：数値の確認

√6 ≈ 2.449 なので：

3 - √6 ≈ 0.551

3 + √6 ≈ 5.449

したがって、n² - 6n + 3 > 0 となるのは n < 3 - √6 または n > 3 + √6

n は自然数なので、n > 5.449 より n ≥ 6

確認：

a₅ = 25 - 30 + 3 = -2 < 0

a₆ = 36 - 36 + 3 = 3 > 0 ✓

【答え】

aₙ > 0 となる最小の n は 6

別解・発展

【Sₙ の構造についての考察】

別解・発展（続き）

【Sₙ の構造についての考察】

Sₙ = (1/3)n³ - (5/2)n² + (1/6)n という形を見ると、これは n の3次式です。一般に、Sₙ が n の k 次式のとき、aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ は n の (k-1) 次式になります。

今回の場合、Sₙ が3次式なので aₙ は2次式となり、実際に aₙ = n² - 6n + 3 という2次式が得られました。この関係性を知っておくと、計算結果の検算にも役立ちます。

【差分演算子を用いた別解】

差分演算子 Δ を用いると、Δf(n) = f(n+1) - f(n) と定義されます。これを用いると：

aₙ₊₁ - aₙ = Δaₙ = Δ(n² - 6n + 3) = 2n - 5

これは等差数列の形になっており、aₙ の階差数列が 2n - 5 であることがわかります。

大問4：微分法・積分法（面積計算）

問題

解説・解法のポイント

(i) の解説

交点の条件：

x³ - 3x = ax を解きます。

x³ - 3x - ax = 0

x(x² - 3 - a) = 0

x(x² - (3 + a)) = 0

これより x = 0 または x² = 3 + a

原点以外の2点で交わる条件：

x² = 3 + a が x ≠ 0 の実数解を2つ持つためには：

3 + a > 0

a > -3

【答え】

a > -3

(ii) の解説

a > -3 のとき、交点の x 座標は x = 0, ±√(3+a) です。

α = √(3+a) とおくと、交点は x = -α, 0, α です。

面積の計算：

曲線と直線で囲まれる部分は、[-α, 0] と [0, α] の2つの領域です。

y = x³ - 3x と y = ax の上下関係を調べます：

f(x) = x³ - 3x - ax = x(x² - (3+a)) = x(x - α)(x + α)

・-α < x 0（曲線が上）

・0 < x < α のとき：f(x) < 0（直線が上）

面積 S の計算：

S = ∫₋α⁰ (x³ - 3x - ax) dx + ∫₀^α (ax - x³ + 3x) dx

対称性より：

S = 2∫₀^α (ax + 3x - x³) dx = 2∫₀^α ((a+3)x - x³) dx

= 2[(a+3)x²/2 - x⁴/4]₀^α

= 2[(a+3)α²/2 - α⁴/4]

= (a+3)α² - α⁴/2

ここで α² = 3 + a より α⁴ = (3+a)² なので：

S = (a+3)(a+3) - (a+3)²/2

= (a+3)² - (a+3)²/2

= (a+3)²/2

【答え】

S = (a+3)²/2

(iii) の解説

S = (a+3)²/2 において、a > -3 の範囲で最小値を求めます。

S = (a+3)²/2 は a = -3 で最小値 0 をとりますが、a > -3 という条件があるため、a = -3 は含まれません。

a → -3⁺ のとき S → 0⁺ となりますが、S = 0 を達成する a は存在しません。

したがって、S の最小値は存在しない（下限は 0 だが達成されない）となります。

ただし、問題の意図として a ≥ -3 を含む場合：

【答え】

S の最小値は 0（a = -3 のとき）
※ a > -3 の条件下では最小値は存在せず、下限が 0

別解・発展

【1/6 公式の活用】

3次関数と直線で囲まれる面積には「1/6 公式」が使えます。

f(x) - g(x) = x(x-α)(x+α) = x(x² - α²) の形のとき：

・[-α, 0] での面積 = α⁴/4 × (1/2) = α⁴/8（係数による補正あり）

より一般的には、f(x) - g(x) = A(x-p)(x-q)(x-r) のとき、各区間の面積は積分計算または公式で求められます。

【パラメータを用いた見方】

t = a + 3 とおくと、t > 0 のもとで S = t²/2 です。

これは原点を頂点とする放物線の t > 0 の部分であり、t → 0⁺ で S → 0 となることが明らかです。

大問5：三角関数（置換による最大最小）

問題

解説・解法のポイント

(i) の解説

Step 1：sinθcosθ を t で表す

t = 2 + sinθ + cosθ より

t - 2 = sinθ + cosθ ……①

①の両辺を2乗すると：

(t - 2)² = (sinθ + cosθ)²

(t - 2)² = sin²θ + 2sinθcosθ + cos²θ

(t - 2)² = 1 + 2sinθcosθ

したがって：

2sinθcosθ = (t - 2)² - 1 = t² - 4t + 4 - 1 = t² - 4t + 3

sinθcosθ = (t² - 4t + 3)/2

Step 2：t の範囲を求める

sinθ + cosθ = √2 sin(θ + π/4) を用います。

0 ≤ θ ≤ π より π/4 ≤ θ + π/4 ≤ 5π/4

この範囲で sin(θ + π/4) の値域を調べます：

• θ + π/4 = π/4 のとき（θ = 0）：sin(π/4) = √2/2
• θ + π/4 = π/2 のとき（θ = π/4）：sin(π/2) = 1（最大）
• θ + π/4 = π のとき（θ = 3π/4）：sin(π) = 0
• θ + π/4 = 5π/4 のとき（θ = π）：sin(5π/4) = -√2/2（最小）

したがって：-√2/2 ≤ sin(θ + π/4) ≤ 1

-1 ≤ √2 sin(θ + π/4) ≤ √2

-1 ≤ sinθ + cosθ ≤ √2

t = 2 + sinθ + cosθ より：

1 ≤ t ≤ 2 + √2

【答え】

(ii) の解説

f(θ) = 2 + 2sinθ + 2cosθ + 2sinθcosθ

= 2 + 2(sinθ + cosθ) + 2sinθcosθ

(i)より：

• sinθ + cosθ = t - 2
• sinθcosθ = (t² - 4t + 3)/2

代入すると：

f(θ) = 2 + 2(t - 2) + 2 × (t² - 4t + 3)/2

= 2 + 2t - 4 + t² - 4t + 3

= t² - 2t + 1

= (t - 1)²

【答え】

f(θ) = (t - 1)² = t² - 2t + 1

(iii) の解説

g(t) = (t - 1)² とおくと、1 ≤ t ≤ 2 + √2 における最大・最小を求めます。

g(t) = (t - 1)² は t = 1 で最小値 0、t が 1 から離れるほど増加します。

最小値：

t = 1 のとき g(1) = 0

このとき sinθ + cosθ = t - 2 = -1

√2 sin(θ + π/4) = -1 より sin(θ + π/4) = -√2/2

θ + π/4 = 5π/4（0 ≤ θ ≤ π の範囲で）

θ = π

最大値：

t = 2 + √2 のとき g(2 + √2) = (2 + √2 - 1)² = (1 + √2)² = 1 + 2√2 + 2 = 3 + 2√2

このとき sinθ + cosθ = √2

√2 sin(θ + π/4) = √2 より sin(θ + π/4) = 1

θ + π/4 = π/2

θ = π/4

【答え】

別解・発展

【別解：直接微分による方法】

f(θ) = 2 + 2sinθ + 2cosθ + 2sinθcosθ = 2 + 2sinθ + 2cosθ + sin2θ

f'(θ) = 2cosθ - 2sinθ + 2cos2θ

= 2cosθ - 2sinθ + 2(cos²θ - sin²θ)

= 2cosθ - 2sinθ + 2(cosθ + sinθ)(cosθ - sinθ)

= 2(cosθ - sinθ)(1 + cosθ + sinθ)

f'(θ) = 0 となるのは：

• cosθ = sinθ、すなわち θ = π/4
• 1 + cosθ + sinθ = 0

後者について、cosθ + sinθ = -1 となる θ は、0 ≤ θ ≤ π で θ = π です。

増減表を書いて確認すると、θ = π/4 で最大、θ = π で最小となることがわかります。

【発展：和積の公式との関連】

sinθ + cosθ の置換は入試頻出のテクニックです。この置換により：

• sinθcosθ（積）を和の2乗で表現できる
• 2変数問題を1変数問題に帰着できる
• 三角関数の最大最小問題が2次関数の問題に変換される

この手法は「t = sinθ + cosθ 置換」と呼ばれ、多くの大学入試で出題されています。

この年度の重要テーマと対策

2019年度の出題傾向分析

2019年度の秋田大学数学では、以下の重要テーマが出題されました：

1. 対称式・基本対称式の活用（大問1）

x + y + z、xy + yz + zx、xyz という基本対称式を用いて、高次の対称式を求める問題は定番です。

対策ポイント：

• x³ + y³ + z³ - 3xyz の因数分解公式を暗記する
• ニュートンの恒等式を理解しておく
• (x + y + z)² や (xy + yz + zx)² の展開を素早くできるようにする

2. 二次関数の場合分け（大問2）

定義域に対する軸の位置による場合分けは、二次関数の最大最小問題の核心です。

対策ポイント：

• 軸が「区間の左」「区間内」「区間の右」の3パターンを整理する
• 場合分けの境界値で値が一致することを確認する癖をつける
• 最大最小を求めた後、その最大/最小を求める「2段階の最適化」に慣れる

3. 数列の和と一般項（大問3）

Sₙ から aₙ を求める問題は基本中の基本ですが、計算ミスに注意が必要です。

対策ポイント：

• aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁（n ≥ 2）と a₁ = S₁ の両方を必ず確認
• Σk⁴ までの公式を使いこなせるようにする
• 2次不等式の解法を確実に

4. 3次関数と直線の囲む面積（大問4）

面積計算では、交点の座標を正確に求め、上下関係を把握することが重要です。

対策ポイント：

• 因数分解を活用して交点を効率よく求める
• 対称性を利用して計算を簡略化する
• 1/6公式、1/12公式などの面積公式を活用する

5. 三角関数の置換（大問5）

t = sinθ + cosθ の置換は頻出テクニックです。

対策ポイント：

• sinθ + cosθ = √2 sin(θ + π/4) の変形に習熟する
• t の範囲を正確に求める（合成を使った値域計算）
• 置換後の関数の最大最小を丁寧に解く

秋田大学数学攻略のための学習アドバイス

【基礎固めが最重要】

秋田大学の数学は、教科書レベルの問題を確実に解けることが合格の鍵です。難問奇問は少なく、標準的な問題で高得点を取ることが求められます。

【計算力の強化】

90分（理工学部）で5問を解くためには、計算のスピードと正確さが不可欠です。日頃から計算練習を怠らないようにしましょう。

【過去問演習】

秋田大学の過去問を5年分以上解き、出題傾向を把握してください。似たような問題が繰り返し出題される傾向があります。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：対称式（大問1関連）

【解答・解説】

(1) x² + y² の計算

(x + y)² = x² + 2xy + y² より

x² + y² = (x + y)² - 2xy = 3² - 2×1 = 9 - 2 = 7

(2) x³ + y³ の計算

x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)

= 3³ - 3×1×3 = 27 - 9 = 18

(3) x⁴ + y⁴ の計算

(x² + y²)² = x⁴ + 2x²y² + y⁴ より

x⁴ + y⁴ = (x² + y²)² - 2(xy)² = 7² - 2×1² = 49 - 2 = 47

練習問題2：二次関数の最大最小（大問2関連）

【解答・解説】

f(x) = x² - 2ax + 2 = (x - a)² - a² + 2

軸：x = a、頂点：(a, 2 - a²)

場合分け：

Case 1：a < 0 のとき（今回は a > 0 なので該当なし）

Case 2：0 ≤ a ≤ 2 のとき

軸が区間内にあるので、最小値は頂点で：

m(a) = 2 - a²

Case 3：a > 2 のとき

軸が区間の右側にあるので、x = 2 で最小：

m(a) = f(2) = 4 - 4a + 2 = 6 - 4a

m(a) の最大値：

• 0 0 なので達成されない）、a → 0⁺ で m → 2
• a = 2 で m(2) = 2 - 4 = -2
• a > 2 で m(a) = 6 - 4a < 6 - 8 = -2

よって、m(a) の最大値は a → 0⁺ で 2 に近づく（a > 0 の条件下では最大値は達成されない）

a = 0 を含めれば、最大値は 2（a = 0 のとき）

練習問題3：三角関数の置換（大問5関連）

【問題】

0 ≤ θ ≤ π/2 とする。t = sinθ + cosθ とおくとき、

(1) t のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) sinθcosθ を t で表せ。

(3) sin³θ + cos³θ を t で表し、その最大値と最小値を求めよ。

【解答・解説】

(1) t の範囲

t = sinθ + cosθ = √2 sin(θ + π/4)

0 ≤ θ ≤ π/2 より π/4 ≤ θ + π/4 ≤ 3π/4

この範囲で sin(θ + π/4) は √2/2 ≤ sin(θ + π/4) ≤ 1

よって 1 ≤ t ≤ √2

(2) sinθcosθ を t で表す

t² = sin²θ + 2sinθ

(2) sinθcosθ を t で表す（続き）

t² = sin²θ + 2sinθcosθ + cos²θ = 1 + 2sinθcosθ

よって sinθcosθ = (t² - 1)/2

(3) sin³θ + cos³θ の最大最小

因数分解の公式 a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) を用いると：

sin³θ + cos³θ = (sinθ + cosθ)(sin²θ - sinθcosθ + cos²θ)

= t(1 - sinθcosθ)

= t(1 - (t² - 1)/2)

= t((2 - t² + 1)/2)

= t(3 - t²)/2

= (3t - t³)/2

g(t) = (3t - t³)/2 とおき、1 ≤ t ≤ √2 での最大最小を求めます。

g'(t) = (3 - 3t²)/2 = 3(1 - t²)/2

1 ≤ t ≤ √2 の範囲では t ≥ 1 なので t² ≥ 1、したがって g'(t) ≤ 0

よって g(t) は単調減少。

最大値：t = 1 のとき g(1) = (3 - 1)/2 = 1

（このとき θ = 0 または θ = π/2）

最小値：t = √2 のとき g(√2) = (3√2 - 2√2)/2 = √2/2 = √2/2

（このとき θ = π/4）

秋田大学合格のための年間学習計画

高校3年生の学習スケジュール

時期	学習内容	目標
4月〜6月	・数学Ⅰ・A・Ⅱ・Bの総復習 ・基礎問題精講などで基礎固め ・苦手分野の洗い出し	基礎事項の完全定着
7月〜8月	・数学Ⅲの完成（理系） ・標準問題の演習 ・夏期講習での集中学習	全範囲の学習完了
9月〜10月	・共通テスト対策開始 ・秋田大学過去問に着手 ・模試の復習を徹底	共通テスト7割以上
11月〜12月	・共通テスト演習を本格化 ・過去問5年分以上を解く ・時間配分の練習	共通テスト目標点突破
1月	・共通テスト直前対策 ・本番形式の演習 ・体調管理	共通テスト本番で実力発揮
2月	・二次試験対策に集中 ・秋田大学の傾向に特化 ・記述答案の完成度を上げる	二次試験で合格点確保

分野別の重点学習項目

【数学Ⅰ・A】

• 二次関数の最大最小（場合分け）★★★
• 三角比と図形への応用 ★★
• 場合の数・確率 ★★★
• 整数の性質 ★★

【数学Ⅱ・B】

• 三角関数の方程式・不等式 ★★★
• 指数・対数関数 ★★
• 微分法・積分法（数Ⅱ範囲）★★★
• 数列（漸化式・和の計算）★★★
• ベクトル（平面・空間）★★

【数学Ⅲ】（理系のみ）

• 極限（数列・関数）★★
• 微分法とその応用 ★★★
• 積分法（面積・体積）★★★
• 複素数平面 ★★

★★★：最重要、★★：重要

おすすめ参考書・問題集

【基礎固め】

• 『基礎問題精講』（旺文社）：基礎の確認に最適
• 『チャート式 基礎からの数学』（数研出版）：教科書レベルの総復習

【標準演習】

• 『標準問題精講』（旺文社）：秋田大学レベルに最適
• 『重要問題集』（数研出版）：幅広い問題演習に

【過去問対策】

• 『秋田大学 赤本』（教学社）：必須
• 類似レベルの国公立大学過去問も併用

医学部志望者向け追加対策

医学部数学の特徴

秋田大学医学部の数学は、理工学部と同じ問題ですが、試験時間が120分と長く、より丁寧な記述が求められます。また、合格には80%以上の得点が目安となるため、ミスを極力減らす必要があります。

医学部合格のための数学戦略

1. 完答を目指す問題を見極める

5問中4問以上の完答が理想です。難問に時間をかけすぎず、確実に解ける問題から片付けましょう。

2. 記述の丁寧さ

部分点を確実に取るため、論理の飛躍のない答案を心がけてください。「〜より」「したがって」などの接続を適切に使いましょう。

3. 検算の習慣

120分あれば検算の時間を確保できます。特に計算問題は必ず見直しを行いましょう。

4. 過去問の徹底研究

医学部は倍率が高いため、過去問を10年分以上解いて傾向を完全に把握することをおすすめします。

よくある質問（FAQ）

Q1. 秋田大学の数学は難しいですか？

A. 国公立大学の中では標準的な難易度です。教科書の例題・章末問題レベルをしっかり理解していれば、十分に対応できます。奇問・難問は少なく、基礎力を問う良問が多いのが特徴です。

Q2. 数学が苦手でも秋田大学に合格できますか？

A. はい、可能です。秋田大学の数学は基礎〜標準レベルの問題が中心なので、苦手な人でも正しい方法で学習すれば得点源にできます。特に、基礎問題を繰り返し解いて定着させることが重要です。

Q3. 過去問はいつから始めるべきですか？

A. 理想的には9月〜10月頃から着手してください。ただし、基礎が固まっていない状態で過去問を解いても効果は薄いので、まずは基礎固めを優先しましょう。

Q4. 共通テストと二次試験、どちらを重視すべきですか？

A. 学部によって配点比率が異なりますが、一般的には共通テストと二次試験の両方をバランスよく対策することが重要です。共通テストで高得点を取れれば、二次試験での精神的余裕も生まれます。

Q5. 試験当日のアドバイスはありますか？

A. 以下の点を心がけてください：

• 最初の10分で全問題を見渡し、解く順番を決める
• 得意な問題から解き始める
• 1問に固執しすぎない（目安：1問15〜18分）
• 最後に見直しの時間を確保する
• 分からない問題でも部分点を狙う記述を心がける

日本数学塾・数強塾で秋田大学合格を目指そう

ここまで、秋田大学2019年度の数学過去問を詳しく解説してきました。いかがでしたでしょうか？

秋田大学の数学は、基礎をしっかり固め、標準問題を確実に解ける力があれば十分に高得点が狙えます。しかし、独学では「どこから手をつければいいかわからない」「自分の解答の何が間違っているのかわからない」といった悩みを抱える受験生も多いのではないでしょうか。

日本数学塾・数強塾の特徴

【日本数学塾】

日本数学塾は、数学専門のオンライン塾として、全国の受験生をサポートしています。

• ✅ 完全1対1のオンライン個別指導
• ✅ 生徒一人ひとりに合わせたカリキュラム
• ✅ 現役東大生・難関大出身の講師陣
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• ✅ 数学専門だからこそできる深い指導
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最後に

秋田大学合格への道のりは、決して簡単ではありません。しかし、正しい方法で努力を続ければ、必ず結果はついてきます。

この記事で解説した2019年度の問題は、秋田大学数学の典型的なパターンを網羅しています。ぜひ繰り返し復習し、類似問題にも挑戦してください。

皆さんの合格を心より応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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※この記事は2019年度秋田大学前期日程の数学入試問題を基に作成しています。最新の入試情報は、必ず秋田大学公式サイトでご確認ください。
※問題の著作権は秋田大学に帰属します。