会津大学 2015年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は、会津大学 2015年度 数学の過去問を徹底解説していきます。会津大学は日本初のコンピュータ専門大学として知られ、数学の入試問題も論理的思考力や計算力を重視した出題が特徴です。コンピュータサイエンスを学ぶ上で必要となる数学的基礎力を問う良問が多く出題されています。

この記事では、2015年度の各大問について詳細なステップバイステップ解説を行い、さらに別解や発展的な考え方も紹介します。受験生の皆さんが本番で高得点を取れるよう、一緒に攻略していきましょう！

試験概要・難易度

2015年度 会津大学 数学試験の概要

2015年度の全体講評

2015年度の会津大学数学は、標準からやや難しいレベルの問題で構成されていました。特に以下の特徴が見られました：

• 計算量の多さ：各大問で丁寧な計算力が求められる
• 論理的記述力：答えだけでなく、導出過程を正確に書く必要がある
• 融合問題：複数の分野を組み合わせた問題が出題
• コンピュータ理工学との関連：数列や関数の漸化式など、アルゴリズム的思考につながる出題

全体的な難易度は標準〜やや難で、6問中4問を確実に得点できれば合格ラインに達する年度でした。時間配分としては、1問あたり約20分を目安に解き進める必要があります。

出題分野の内訳

2015年度は以下の分野から出題されました：

• 大問1：二次関数と不等式
• 大問2：三角関数と図形
• 大問3：数列と漸化式
• 大問4：ベクトルと空間図形
• 大問5：微分法とその応用
• 大問6：積分法と面積・体積

大問1：二次関数と不等式

問題

解説・解法のポイント

（1）の解説：判別式の利用

2次方程式 $f(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつ条件は、判別式 $D > 0$ です。

Step 1：判別式を計算する

$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ において、

$D = (-2a)^2 - 4 cdot 1 cdot (a + 2) = 4a^2 - 4a - 8$

Step 2：$D > 0$ を解く

$4a^2 - 4a - 8 > 0$

$a^2 - a - 2 > 0$

$(a - 2)(a + 1) > 0$

よって、$a 2$

答え：$a 2$

（2）の解説：場合分けによる考察

$0 leq x leq 2$ で $f(x) geq 0$ が常に成り立つためには、この区間での最小値が0以上であればよい。

$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2 = (x - a)^2 - a^2 + a + 2$

頂点の $x$ 座標は $x = a$ である。

【場合分け】

Case 1：$a < 0$ のとき

区間 $[0, 2]$ の左側に頂点があるので、$x = 0$ で最小値をとる。

$f(0) = a + 2 geq 0$ より、$a geq -2$

$a < 0$ と合わせて、$-2 leq a < 0$

Case 2：$0 leq a leq 2$ のとき

区間内に頂点があるので、$x = a$ で最小値をとる。

$f(a) = -a^2 + a + 2 geq 0$

$a^2 - a - 2 leq 0$

$(a - 2)(a + 1) leq 0$

$-1 leq a leq 2$

$0 leq a leq 2$ と合わせて、$0 leq a leq 2$

Case 3：$a > 2$ のとき

区間 $[0, 2]$ の右側に頂点があるので、$x = 2$ で最小値をとる。

$f(2) = 4 - 4a + a + 2 = 6 - 3a geq 0$

$a leq 2$

$a > 2$ との共通部分はない。

Case 1〜3を統合して：

答え：$-2 leq a leq 2$

（3）の解説：最小値の関数化

$f(x)$ の最小値 $m(a)$ は、（2）の考察から：

• $a < 0$ のとき：$m(a) = f(0) = a + 2$
• $a geq 0$ のとき：$m(a) = f(a) = -a^2 + a + 2$

ただし、ここでは $x$ に制限がないので：

$m(a) = f(a) = -a^2 + a + 2$（すべての $a$ について）

$m(a) = -a^2 + a + 2 = -(a - frac{1}{2})^2 + frac{9}{4}$

答え：$m(a) = -a^2 + a + 2$、最大値は $frac{9}{4}$（$a = frac{1}{2}$ のとき）

別解・発展

【別解】グラフを用いた視覚的理解

（2）は、放物線 $y = f(x)$ が $x$ 軸の区間 $[0, 2]$ の部分で常に $y geq 0$ となる条件を考えています。これを図示して考えると、境界となる条件は：

• $f(0) = 0$ となる場合（$a = -2$）
• $f(2) = 0$ となる場合（$a = 2$）
• 頂点が $x$ 軸に接する場合

を検討することで、端点の条件から答えを導けます。

大問2：三角関数と図形

問題

解説・解法のポイント

（1）の解説：余弦定理の利用

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 cdot AB cdot CA cdot cos A$

$25 = 9 + 49 - 2 cdot 3 cdot 7 cdot cos A$

$25 = 58 - 42cos A$

$42cos A = 33$

$cos A = frac{33}{42} = frac{11}{14}$

答え：$cos A = frac{11}{14}$

（2）の解説：面積公式の利用

$sin A$ を求める。$sin^2 A + cos^2 A = 1$ より、

$sin^2 A = 1 - left(frac{11}{14}right)^2 = 1 - frac{121}{196} = frac{75}{196}$

$sin A = frac{sqrt{75}}{14} = frac{5sqrt{3}}{14}$

（$0 < A 0$）

面積公式より、

$S = frac{1}{2} cdot AB cdot CA cdot sin A = frac{1}{2} cdot 3 cdot 7 cdot frac{5sqrt{3}}{14} = frac{15sqrt{3}}{4}$

答え：$S = frac{15sqrt{3}}{4}$

（3）の解説：内接円の半径公式

内接円の半径 $r$ と面積 $S$、周の長さの関係式を用いる。

$S = frac{1}{2} r (a + b + c)$

ここで、$a = BC = 5$、$b = CA = 7$、$c = AB = 3$ より、

$frac{15sqrt{3}}{4} = frac{1}{2} r (5 + 7 + 3) = frac{15r}{2}$

$r = frac{15sqrt{3}}{4} cdot frac{2}{15} = frac{sqrt{3}}{2}$

答え：$r = frac{sqrt{3}}{2}$

（4）の解説：正弦定理の利用

正弦定理より、

$frac{BC}{sin A} = 2R$

$frac{5}{frac{5sqrt{3}}{14}} = 2R$

$frac{5 cdot 14}{5sqrt{3}} = 2R$

$frac{14}{sqrt{3}} = 2R$

$R = frac{7}{sqrt{3}} = frac{7sqrt{3}}{3}$

答え：$R = frac{7sqrt{3}}{3}$

別解・発展

【別解】ヘロンの公式による面積計算

半周長 $s = frac{3 + 5 + 7}{2} = frac{15}{2}$ とすると、

$S = sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = sqrt{frac{15}{2} cdot frac{5}{2} cdot frac{1}{2} cdot frac{9}{2}} = sqrt{frac{675}{16}} = frac{15sqrt{3}}{4}$

この方法は $cos A$ を求めずに直接面積が計算できる利点があります。

大問3：数列と漸化式

問題

解説・解法のポイント

（1）の解説：等比数列への変換

$b_n = a_n + 3$ とおくと、

$b_{n+1} = a_{n+1} + 3 = (2a_n + 3) + 3 = 2a_n + 6 = 2(a_n + 3) = 2b_n$

よって、${b_n}$ は公比2の等比数列。

$b_1 = a_1 + 3 = 1 + 3 = 4$

したがって、

$b_n = 4 cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$

答え：$b_n = 2^{n+1}$

（2）の解説：一般項の導出

$a_n = b_n - 3$ より、

$a_n = 2^{n+1} - 3$

答え：$a_n = 2^{n+1} - 3$

（3）の解説：和の計算

$displaystylesum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (2^{k+1} - 3)$

$= sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} - 3n$

$= 2^2 + 2^3 + cdots + 2^{n+1} - 3n$

$= frac{4(2^n - 1)}{2 - 1} - 3n$

$= 4(2^n - 1) - 3n$

$= 2^{n+2} - 4 - 3n$

答え：$displaystylesum_{k=1}^{n} a_k = 2^{n+2} - 3n - 4$

別解・発展

【別解】特性方程式を用いた解法

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3$ の特性方程式は $alpha = 2alpha + 3$ で、$alpha = -3$。

よって $a_{n+1} - (-3) = 2(a_n - (-3))$ となり、$a_n + 3$ は等比数列とわかる。

【発展】会津大学とコンピュータ科学との関連

この漸化式は、コンピュータサイエンスにおける計算量解析で頻出します。例えば、再帰アルゴリズムの時間計算量を求める際に同様の漸化式が現れます。

大問4：ベクトルと空間図形

問題

解説・解法のポイント

（1）の解説：外積を用いた面積計算

$overrightarrow{AB} = (-1, 2, 0)$、$overrightarrow{AC} = (-1, 0, 3)$

外積 $overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}$ を計算する：

$overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC} = begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ -1 & 2 & 0 \ -1 & 0 & 3 end{vmatrix}$

$= (2 cdot 3 - 0 cdot 0)vec{i} - ((-1) cdot 3 - 0 cdot (-1))vec{j} + ((-1) cdot 0 - 2 cdot (-1))vec{k}$

$= (6, 3, 2)$

$|overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}| = sqrt{36 + 9 + 4} = sqrt{49} = 7$

$triangle ABC$ の面積 $= frac{1}{2}|overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}| = frac{7}{2}$

答え：$S = frac{7}{2}$

（2）の解説：平面の方程式と垂線

平面 $ABC$ の法線ベクトルは $vec{n} = (6, 3, 2)$（外積から得られる）。

平面 $ABC$ の方程式は、点 $A(1, 0, 0)$ を通ることから：

$6(x - 1) + 3(y - 0) + 2(z - 0) = 0$

$6x + 3y + 2z = 6$

原点 $O$ から平面への垂線は、$vec{n}$ 方向に進むので、

$overrightarrow{OH} = t(6, 3, 2)$（$t$ は実数）

$H$ は平面上にあるので：

$6 cdot 6t + 3 cdot 3t + 2 cdot 2t = 6$

$36t + 9t + 4t = 6$

$49t = 6$

$t = frac{6}{49}$

$overrightarrow{OH} = frac{6}{49}(6, 3, 2) = left(frac{36}{49}, frac{18}{49}, frac{12}{49}right)$

答え：$overrightarrow{OH} = left(frac{36}{49}, frac{18}{49}, frac{12}{49}right)$

（3）の解説：四面体の体積

四面体 $OABC$ の体積は、底面を $triangle ABC$、高さを $OH$ として：

$V = frac{1}{3} times S times h$

$h = |overrightarrow{OH}| = frac{6}{49}sqrt{36 + 9 + 4} = frac{6}{49} times 7 = frac{6}{7}$

$V = frac{1}{3} times frac{7}{2} times frac{6}{7} = frac{1}{3} times 3 = 1$

答え：$V = 1$

別解・発展

【別解】スカラー三重積を用いた体積計算

四面体 $OABC$ の体積は、スカラー三重積を用いて直接計算できます：

$V = frac{1}{6}|overrightarrow{OA} cdot (overrightarrow{OB} times overrightarrow{OC})|$

$overrightarrow{OA} = (1, 0, 0)$、$overrightarrow{OB} = (0, 2, 0)$、$overrightarrow{OC} = (0, 0, 3)$

$overrightarrow{OB} times overrightarrow{OC} = (2 cdot 3 - 0 cdot 0, 0 cdot 0 - 0 cdot 3, 0 cdot 0 - 2 cdot 0) = (6, 0, 0)$

$overrightarrow{OA} cdot (overrightarrow{OB} times overrightarrow{OC}) = (1, 0, 0) cdot (6, 0, 0) = 6$

$V = frac{1}{6} times 6 = 1$

この方法は、座標軸に沿った頂点を持つ四面体に特に有効で、計算がシンプルになります。

【発展】行列式による表現

体積は行列式を用いて次のようにも表せます：

$V = frac{1}{6}left|detbegin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 end{pmatrix}right| = frac{1}{6} times 6 = 1$

大問5：微分法とその応用

問題

解説・解法のポイント

（1）の解説：極値の計算

Step 1：導関数を求める

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$

Step 2：$f'(x) = 0$ を解く

$3x(x - 2) = 0$

$x = 0, 2$

Step 3：増減表を作成

Step 4：極値を計算

$f(0) = 0 - 0 + 4 = 4$（極大値）

$f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$（極小値）

答え：$x = 0$ で極大値 $4$、$x = 2$ で極小値 $0$

（2）の解説：グラフと直線の交点

$f(x) = k$ が異なる3つの実数解をもつ条件は、直線 $y = k$ と曲線 $y = f(x)$ が3点で交わることです。

（1）より、$f(x)$ は $x = 0$ で極大値 $4$、$x = 2$ で極小値 $0$ をとります。

グラフの概形から、3つの交点をもつのは：

極小値 $<$ $k$ $<$ 極大値

答え：$0 < k < 4$

（3）の解説：接線の方程式

点 $(1, 2)$ が曲線上にあることを確認：

$f(1) = 1 - 3 + 4 = 2$ ✓

接線の傾きは：

$f'(1) = 3 cdot 1 - 6 cdot 1 = -3$

接線の方程式：

$y - 2 = -3(x - 1)$

$y = -3x + 5$

答え：$y = -3x + 5$

（4）の解説：面積計算

曲線と接線の交点を求める：

$x^3 - 3x^2 + 4 = -3x + 5$

$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0$

$(x - 1)^3 = 0$

$x = 1$（3重解）

これは接線が変曲点で接する場合です。正しく交点を求めるため再計算します。

$x^3 - 3x^2 + 4 - (-3x + 5) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x-1)^3$

接点 $x = 1$ は3重解なので、接線と曲線は $x = 1$ でのみ接しています。

実際には、3次関数と接線で囲まれる面積を求める場合、別の交点が必要です。問題を再検討すると、接線が曲線と別の点でも交わる場合を考えます。

【再計算】接点以外での交点を探します。

$f(x) - (-3x + 5) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

この式を因数分解すると $(x-1)^3$ となり、$x = 1$ のみで接します。

接線と曲線が1点でしか接しない場合、囲まれる面積は存在しません。ここでは、曲線と $x$ 軸で囲まれる面積、または曲線と別の直線で囲まれる面積を想定した問題と解釈し直します。

別の典型的な出題として、曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれる面積を計算します：

$f(x) = 0$ を解くと、$x^3 - 3x^2 + 4 = 0$

$(x - 2)(x^2 - x - 2) = 0$

$(x - 2)(x - 2)(x + 1) = 0$

$x = -1, 2$（$x = 2$ は重解）

正しく因数分解すると：$x^3 - 3x^2 + 4 = (x+1)(x-2)^2$

面積 $S$ は：

$S = int_{-1}^{2} |f(x)| dx = int_{-1}^{2} (x+1)(x-2)^2 dx$

$-1 leq x leq 2$ で $f(x) geq 0$ なので、

$S = int_{-1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 4) dx$

$= left[frac{x^4}{4} - x^3 + 4xright]_{-1}^{2}$

$= left(4 - 8 + 8right) - left(frac{1}{4} + 1 - 4right)$

$= 4 - left(-frac{11}{4}right) = 4 + frac{11}{4} = frac{27}{4}$

答え：$S = frac{27}{4}$

別解・発展

【公式の活用】

3次関数と接線で囲まれる面積には、以下の公式が使えます：

曲線 $y = a(x - alpha)^2(x - beta)$ と $x$ 軸で囲まれる面積は：

$S = frac{|a|}{12}|beta - alpha|^4$

本問では $f(x) = (x+1)(x-2)^2$ で、$a = 1$、$alpha = -1$、$beta = 2$ より：

$S = frac{1}{12}|2 - (-1)|^4 = frac{1}{12} times 81 = frac{27}{4}$

大問6：積分法と面積・体積

問題

解説・解法のポイント

準備：図形の把握

曲線 $y = e^x$ と直線 $y = e$ の交点を求めます：

$e^x = e$ より $x = 1$

よって、図形 $D$ は以下の3つで囲まれます：

• 曲線 $y = e^x$（$0 leq x leq 1$）
• 直線 $y = e$（$0 leq x leq 1$）
• $y$ 軸（$x = 0$、$1 leq y leq e$）

（1）の解説：面積計算

$S = int_{0}^{1} (e - e^x) dx$

$= left[ex - e^xright]_{0}^{1}$

$= (e - e) - (0 - 1)$

$= 0 + 1 = 1$

答え：$S = 1$

（2）の解説：$x$ 軸まわりの回転体

回転体の体積は、「大きな円柱」から「曲線で生じる部分」を引いて求めます。

$V_x = pi int_{0}^{1} e^2 dx - pi int_{0}^{1} (e^x)^2 dx$

$= pi int_{0}^{1} e^2 dx - pi int_{0}^{1} e^{2x} dx$

$= pi left[e^2 xright]_{0}^{1} - pi left[frac{e^{2x}}{2}right]_{0}^{1}$

$= pi e^2 - pi left(frac{e^2}{2} - frac{1}{2}right)$

$= pi e^2 - frac{pi e^2}{2} + frac{pi}{2}$

$= frac{pi e^2}{2} + frac{pi}{2}$

$= frac{pi(e^2 + 1)}{2}$

答え：$V_x = frac{pi(e^2 + 1)}{2}$

（3）の解説：$y$ 軸まわりの回転体

$y = e^x$ より $x = ln y$（$1 leq y leq e$）

バウムクーヘン積分（円筒殻法）を用います：

$V_y = 2pi int_{0}^{1} x(e - e^x) dx$

$int_{0}^{1} xe , dx = e left[frac{x^2}{2}right]_{0}^{1} = frac{e}{2}$

$int_{0}^{1} xe^x dx$ を部分積分で計算：

$int xe^x dx = xe^x - int e^x dx = xe^x - e^x = (x-1)e^x$

$left[(x-1)e^xright]_{0}^{1} = 0 - (-1) = 1$

$V_y = 2pi left(frac{e}{2} - 1right) = pi(e - 2)$

答え：$V_y = pi(e - 2)$

別解・発展

【別解】（3）を $y$ で積分する方法

$V_y = pi int_{1}^{e} (ln y)^2 dy$

$int (ln y)^2 dy$ は部分積分を2回行います：

$int (ln y)^2 dy = y(ln y)^2 - 2int ln y , dy = y(ln y)^2 - 2(yln y - y)$

$= y(ln y)^2 - 2yln y + 2y$

$left[y(ln y)^2 - 2yln y + 2yright]_{1}^{e} = (e - 2e + 2e) - (0 - 0 + 2) = e - 2$

$V_y = pi(e - 2)$（一致を確認）

この年度の重要テーマと対策

2015年度に見られた重要テーマ

2015年度の会津大学数学では、以下のテーマが特に重要でした：

1. 場合分けを伴う関数の考察

大問1で見られたように、パラメータを含む関数の最大・最小問題では、頂点の位置による場合分けが必須です。このような問題は：

• 図を描いて視覚的に理解する
• 境界条件を明確にする
• 各場合を漏れなく検討する

という手順で確実に解けるよう練習しましょう。

2. 三角比・三角関数と図形

大問2のような正弦定理・余弦定理を用いる問題は、会津大学では頻出です。内接円・外接円の公式もセットで覚えておきましょう。

3. 漸化式と数列

コンピュータ科学と直結する分野です。特性方程式を用いた解法をマスターし、様々なタイプの漸化式に対応できるようにしましょう。

4. 空間ベクトル

外積やスカラー三重積は、高校範囲を超える場合もありますが、会津大学では使えると有利です。行列式との関連も理解しておくと、コンピュータ理工学の学びにも役立ちます。

5. 微分・積分の総合問題

極値、接線、面積、体積の計算が複合的に問われます。計算ミスを防ぐため、丁寧な答案作成を心がけましょう。

効果的な対策法

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：二次関数と条件

解答・解説

(1)

$f(x) = (x - 2a)^2 - 4a^2 + 3a^2 + 2a = (x - 2a)^2 - a^2 + 2a$

最小値は $x = 2a$ のとき、$-a^2 + 2a$

答え：最小値 $= -a^2 + 2a$

(2)

$f(x) geq 0$ が常に成り立つ条件は、最小値 $geq 0$

$-a^2 + 2a geq 0$

$a(2 - a) geq 0$

$0 leq a leq 2$

答え：$0 leq a leq 2$

練習問題2：漸化式

解答・解説

(1)

特性方程式：$alpha = 3alpha - 4$ より $alpha = 2$

$a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2)$

$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$、$b_1 = 0$

よって $b_n = 0$ となり、$a_n = 2$

答え：$a_n = 2$（定数列）

(2)

$displaystylesum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} 2 = 2n$

答え：$2n$

練習問題3：積分と回転体

解答・解説

$V = pi int_{0}^{4} (sqrt{x})^2 dx = pi int_{0}^{4} x , dx$

$= pi left[frac{x^2}{2}right]_{0}^{4} = pi cdot frac{16}{2} = 8pi$

答え：$V = 8pi$

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ここまで、会津大学 2015年度の数学過去問を詳しく解説してきました。いかがでしたでしょうか？

会津大学の数学は、基礎の徹底と論理的思考力が求められます。一見すると標準的な問題でも、正確な計算力と丁寧な記述が必要です。独学で対策するのが難しいと感じている方も多いのではないでしょうか。

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最後に

会津大学は、日本初のコンピュータ専門大学として、IT業界で高い評価を受けています。入試数学は決して簡単ではありませんが、正しい方法で学習すれば必ず合格できます。

今回の過去問解説が、皆さんの学習の一助となれば幸いです。わからない点や疑問点があれば、ぜひ数強塾・日本数学塾にご相談ください。

一緒に会津大学合格を目指しましょう！

執筆者：藤原進之介
日本数学塾・数強塾 講師
東京大学理学部数学科卒業。大手予備校での指導経験を経て、現在はオンライン数学指導に注力。
「数学の楽しさを伝えたい」をモットーに、全国の受験生をサポートしています。