数学の文章題が苦手な人必見！5ステップで確実に解く方法

はじめに：数学の文章題が苦手な人必見！5ステップで確実に解く方法を完全マスターするために

こんにちは、日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

「計算はできるのに、文章題になると途端にわからなくなる」

「問題文を読んでも、何をxにすればいいかわからない」

「式を立てるところで手が止まってしまう」

このような悩みを持つ生徒さんは、本当にたくさんいます。実際、私がこれまで指導してきた生徒の約7割が、最初は文章題に苦手意識を持っていました。

しかし、安心してください。文章題には「解くための型」があります。この型を身につければ、どんな文章題でも自信を持って取り組めるようになります。

本記事では、私が長年の指導経験から編み出した「5ステップ解法」を徹底解説します。基礎問題10問、標準問題10問、入試レベル問題10問の計30問を通じて、文章題を確実に解く力を養っていきましょう。

この記事で身につく力

• 問題文から必要な情報を正確に抽出する力
• 未知数の設定を適切に行う力
• 条件を式に変換する力
• 立てた方程式を正確に解く力
• 解の吟味を行い、正しい答えを導く力

それでは、一緒に文章題マスターを目指しましょう！

基本概念の確認

1. 文章題とは何か？

文章題とは、日常生活や具体的な場面を題材にした数学の問題です。計算問題との最大の違いは、「問題文から数学的な式を自分で立てる必要がある」という点です。

2. 藤原式「5ステップ解法」の概要

私が提唱する「5ステップ解法」は、どんな文章題にも適用できる万能の解法手順です。

3. 文章題の主要タイプ

高校数学で出題される文章題は、主に以下のタイプに分類できます。

4. 重要公式と定理のまとめ

5. 未知数の設定のコツ

文章題で最も重要なのが「何をxとおくか」です。以下のポイントを押さえましょう。

基礎問題で土台を固めよう（10問）

基礎問題1：連続する整数

【5ステップで解く】

ステップ1：問題文の確認
・連続する3つの整数がある
・その和が42
・求めるもの：3つの整数

ステップ2：情報の整理
連続する整数は、例えば 5, 6, 7 のように、1ずつ増える数です。

ステップ3：未知数の設定
最も小さい整数を n とおくと、
3つの整数は n, n+1, n+2 と表せます。

ステップ4：方程式を立てる
和が42なので：
n + (n+1) + (n+2) = 42

ステップ5：解いて吟味
3n + 3 = 42
3n = 39
n = 13

よって、3つの整数は 13, 14, 15

【吟味】 13 + 14 + 15 = 42 ✓

基礎問題2：2桁の自然数

【5ステップで解く】

ステップ1：問題文の確認
・2桁の自然数
・十の位＋一の位＝12
・入れ替えた数＝もとの数＋18
・求めるもの：もとの数

ステップ2：情報の整理
もとの数の十の位を a、一の位を b とすると：
・もとの数：10a + b
・入れ替えた数：10b + a

ステップ3：未知数の設定
十の位を a、一の位を b とおく。
（条件：1 ≦ a ≦ 9, 0 ≦ b ≦ 9）

ステップ4：方程式を立てる
条件①：a + b = 12
条件②：10b + a = (10a + b) + 18

ステップ5：解いて吟味
条件②を整理：
10b + a = 10a + b + 18
9b - 9a = 18
b - a = 2 ... ③

①と③を連立して解く：
a + b = 12 ... ①
b - a = 2 ... ③

①＋③より：2b = 14、b = 7
①に代入：a = 5

もとの数 = 10 × 5 + 7 = 57

【吟味】
・5 + 7 = 12 ✓
・入れ替えた数75、もとの数57、75 - 57 = 18 ✓

基礎問題3：個数と代金

【5ステップで解く】

ステップ1：問題文の確認
・鉛筆：80円/本
・ボールペン：120円/本
・合計本数：15本
・合計代金：1400円
・求めるもの：各本数

ステップ2：情報の整理

ステップ3：未知数の設定
鉛筆を x 本、ボールペンを y 本とおく。

ステップ4：方程式を立てる
本数の条件：x + y = 15 ... ①
代金の条件：80x + 120y = 1400 ... ②

ステップ5：解いて吟味
①より y = 15 - x を②に代入：
80x + 120(15 - x) = 1400
80x + 1800 - 120x = 1400
-40x = -400
x = 10

y = 15 - 10 = 5

【吟味】
・10 + 5 = 15本 ✓
・80 × 10 + 120 × 5 = 800 + 600 = 1400円 ✓

基礎問題4：速さ・時間・距離（追いかけ）

【5ステップで解く】

ステップ1：問題文の確認
・兄の速さ：毎分60m
・弟の速さ：毎分80m
・弟は兄より5分遅れて出発
・求めるもの：弟が追いつくまでの時間

ステップ2：情報の整理（図で考える）
弟が出発した時点で、兄はすでに 60 × 5 = 300m 先を歩いている。

ステップ3：未知数の設定
弟が出発してから追いつくまでの時間を x 分とおく。

ステップ4：方程式を立てる
追いつくとき、2人は家からの距離が等しい。
・弟が進んだ距離：80x m
・兄が進んだ距離：300 + 60x m（弟出発後 x 分間に進んだ距離を加える）

80x = 300 + 60x

ステップ5：解いて吟味
80x - 60x = 300
20x = 300
x = 15

【吟味】
・弟が進んだ距離：80 × 15 = 1200m
・兄が進んだ距離：60 × (5 + 15) = 60 × 20 = 1200m ✓

基礎問題5：食塩水の濃度

【5ステップで解く】

ステップ1：問題文の確認
・8%の食塩水200g
・水を加えて5%にする
・求めるもの：加える水の量

ステップ2：情報の整理
水を加えても食塩の量は変わらない点がポイント！
・もとの食塩の量：200 × 0.08 = 16g

ステップ3：未知数の設定
加える水の量を x g とおく。

ステップ4：方程式を立てる
水を加えた後の食塩水の量：(200 + x) g
濃度5%なので：
16 ÷ (200 + x) = 0.05

ステップ5：解いて吟味
16 = 0.05(200 + x)
16 = 10 + 0.05x
6 = 0.05x
x = 120

【吟味】
・食塩水の量：200 + 120 = 320g
・濃度：16 ÷ 320 = 0.05 = 5% ✓

基礎問題6：年齢算

【5ステップで解く】

ステップ1：問題文の確認
・現在：父40歳、子12歳
・条件：父の年齢 = 子の年齢 × 2
・求めるもの：何年後か

ステップ2：情報の整理

ステップ3：未知数の設定
x 年後に条件を満たすとおく。

ステップ4：方程式を立てる
x年後に「父の年齢 = 子の年齢 × 2」より：
40 + x = 2(12 + x)

ステップ5：解いて吟味
40 + x = 24 + 2x
40 - 24 = 2x - x
16 = x

【吟味】
・16年後の父：40 + 16 = 56歳
・16年後の子：12 + 16 = 28歳
・56 = 28 × 2 ✓

基礎問題7：平方数の性質

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基礎問題7：平方数の性質

【5ステップで解く】

ステップ1：問題文の確認
・連続する2つの自然数
・それぞれ2乗した数の和が221
・求めるもの：2つの自然数

ステップ2：情報の整理
連続する自然数なので、小さい方をnとすれば、大きい方はn+1

ステップ3：未知数の設定
小さい方の自然数を n とおく（n は自然数）。

ステップ4：方程式を立てる
n² + (n+1)² = 221

ステップ5：解いて吟味
n² + n² + 2n + 1 = 221
2n² + 2n + 1 = 221
2n² + 2n - 220 = 0
n² + n - 110 = 0
(n + 11)(n - 10) = 0
n = -11 または n = 10

n は自然数なので、n = 10

【吟味】
・10² + 11² = 100 + 121 = 221 ✓

基礎問題8：仕事算

【5ステップで解く】

ステップ1：問題文の確認
・Aさん1人：12日で完了
・Bさん1人：18日で完了
・求めるもの：2人でやったときの日数

ステップ2：情報の整理
仕事全体を「1」とおくのがポイント！
・Aさんの1日の仕事量：1/12
・Bさんの1日の仕事量：1/18

ステップ3：未知数の設定
2人で仕事をしたときにかかる日数を x 日とおく。

ステップ4：方程式を立てる
x日間で仕事量の合計が1になる：
(1/12 + 1/18) × x = 1

ステップ5：解いて吟味
1/12 + 1/18 = 3/36 + 2/36 = 5/36
(5/36) × x = 1
x = 36/5 = 7.2

【吟味】
・7.2日間のAの仕事量：7.2 × (1/12) = 0.6
・7.2日間のBの仕事量：7.2 × (1/18) = 0.4
・合計：0.6 + 0.4 = 1 ✓

基礎問題9：割合と百分率

【5ステップで解く】

ステップ1：問題文の確認
・定価の2割引きで販売
・仕入れ値の2割の利益
・求めるもの：定価÷仕入れ値

ステップ2：情報の整理
・売値 = 定価 × 0.8（2割引き）
・利益 = 仕入れ値 × 0.2（2割）
・売値 = 仕入れ値 + 利益

ステップ3：未知数の設定
仕入れ値を a 円、定価を b 円とおく。

ステップ4：方程式を立てる
売値 = 0.8b
利益 = 0.2a
売値 = 仕入れ値 + 利益 より：
0.8b = a + 0.2a
0.8b = 1.2a

ステップ5：解いて吟味
b/a = 1.2/0.8 = 12/8 = 3/2 = 1.5

【吟味】
仕入れ値100円、定価150円として確認：
・売値：150 × 0.8 = 120円
・利益：120 - 100 = 20円
・仕入れ値の2割：100 × 0.2 = 20円 ✓

基礎問題10：√を含む整数問題

【5ステップで解く】

ステップ1：問題文の確認
・6 < √n < 7 を満たす
・n は自然数
・求めるもの：条件を満たす n の個数

ステップ2：情報の整理
不等式の各辺を2乗して、nの範囲を求める。
（すべて正なので、2乗しても不等号の向きは変わらない）

ステップ3：未知数の設定
条件を満たす自然数 n を求める。

ステップ4：方程式（不等式）を立てる
6 < √n < 7 の各辺を2乗：
36 < n < 49

ステップ5：解いて吟味
36 < n < 49 を満たす自然数は：
n = 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48

個数は 48 - 37 + 1 = 12個
（または 49 - 36 - 1 = 12個）

【吟味】
・√36 = 6、√49 = 7 なので、境界は含まない ✓
・√37 ≈ 6.08 > 6 ✓
・√48 ≈ 6.93 < 7 ✓

標準問題にチャレンジ（10問）

【パターン1：速さの応用】標準問題1

【解説】

ステップ1〜2：情報整理

ステップ3：未知数の設定
AB間の距離を x km とおく。

ステップ4：方程式を立てる
往復の時間の合計が5時間：
x/4 + x/6 = 5

ステップ5：解いて吟味
両辺に12をかける：
3x + 2x = 60
5x = 60
x = 12

【吟味】
・行き：12 ÷ 4 = 3時間
・帰り：12 ÷ 6 = 2時間
・合計：3 + 2 = 5時間 ✓

【パターン2：食塩水の混合】標準問題2

【解説】

ステップ1〜2：情報整理

ステップ3：未知数の設定
10%の食塩水を x g、4%の食塩水を y g とおく。

ステップ4：方程式を立てる
質量の条件：x + y = 600 ... ①
食塩の量の条件：0.1x + 0.04y = 36 ... ②

ステップ5：解いて吟味
①より y = 600 - x を②に代入：
0.1x + 0.04(600 - x) = 36
0.1x + 24 - 0.04x = 36
0.06x = 12
x = 200

y = 600 - 200 = 400

【吟味】
・食塩の量：200 × 0.1 + 400 × 0.04 = 20 + 16 = 36g
・濃度：36 ÷ 600 × 100 = 6% ✓

【パターン3：動点問題】標準問題3

【解説】

ステップ1〜2：情報整理
・x秒後のAPの長さ：2x cm → PB = 8 - 2x cm
・x秒後のBQの長さ：x cm
・△PBQは∠PBQ = 90°の直角三角形

ステップ3：変数の範囲
・Pの移動：0 ≦ 2x ≦ 8 より 0 ≦ x ≦ 4
・Qの移動：0 ≦ x ≦ 6
・共通範囲：0 ≦ x ≦ 4

ステップ4：面積の式
y = (1/2) × PB × BQ
y = (1/2) × (8 - 2x) × x
y = (1/2)(8x - 2x²)
y = -x² + 4x

ステップ5：面積が12cm²のとき
-x² + 4x = 12
x² - 4x + 12 = 0
判別式：D = 16 - 48 = -32 < 0

実数解なし。つまり、面積が12cm²になることはない。

【補足】y = -x² + 4x = -(x - 2)² + 4 より、最大値は x = 2 のとき y = 4cm²

【パターン4：整数の性質】標準問題4

【解説】

ステップ1〜2：情報整理
・一の位が5なので、A = 10a + 5（aは十の位、1 ≦ a ≦ 9）
・各位の数の和：a + 5
・条件：A = 5 × (各位の数の和)

ステップ3：未知数の設定
十の位を a とおく。

ステップ4：方程式を立てる
10a + 5 = 5(a + 5)

ステップ5：解いて吟味
10a + 5 = 5a + 25
5a = 20
a = 4

よって、A = 10 × 4 + 5 = 45

【吟味】
・各位の数の和：4 + 5 = 9
・9 × 5 = 45 = A ✓

【パターン5：料金の割引】標準問題5

【解説】

ステップ1〜2：情報整理

ステップ3：未知数の設定
大人を x 人、子どもを y 人とおく。

ステップ4：方程式を立てる
人数の条件：x + y = 50 ... ①
料金の条件：3000x + 1000y = 90000 ... ②

ステップ5：解いて吟味
②を1000で割る：3x + y = 90 ... ②'
②' - ①：2x = 40、x = 20
①に代入：y = 30

【吟味】
・20 + 30 = 50人 ✓
・3000 × 20 + 1000 × 30 = 60000 + 30000 = 90000円 ✓

【パターン6：池の周り】標準問題6

【解説】

ステップ1〜2：情報整理
・池の周囲：1200m
・同じ方向：20分で追いつく（Aの方が速い）
・反対方向：4分で出会う

ステップ3：未知数の設定
Aの速さを毎分 a m、Bの速さを毎分 b m とおく（a > b）。

ステップ4：方程式を立てる
同じ方向：20分でAがBより1周分（1200m）多く進む
20a - 20b = 1200 ... ①

反対方向：4分で2人合わせて1周分進む
4a + 4b = 1200 ... ②

ステップ5：解いて吟味
①より：a - b = 60 ... ①'
②より：a + b = 300 ... ②'

①' + ②'：2a = 360、a = 180
②'に代入：b = 120

【吟味】
・同じ方向20分：A進む距離 180 × 20 = 3600m、B進む距離 120 × 20 = 2400m
差 = 3600 - 2400 = 1200m（1周分）✓
・反対方向4分：180 × 4 + 120 × 4 = 720 + 480 = 1200m ✓

【パターン7：2次方程式の応用】標準問題7

【解説】

ステップ1〜2：情報整理
・もとの正方形：1辺 x cm、面積 x² cm²
・長方形：縦 (x + 3) cm、横 (x - 2) cm
・長方形の面積 = 正方形の面積 - 14

ステップ3：未知数の設定
もとの正方形の1辺を x cm とおく（x > 2：横が正になる条件）。

ステップ4：方程式を立てる
(x + 3)(x - 2) = x² - 14

ステップ5：解いて吟味
x² + 3x - 2x - 6 = x² - 14
x² + x - 6 = x² - 14
x - 6 = -14
x = -8

x = -8 は不適（長さは正）

計算を再確認：
(x + 3)(x - 2) = x² + x - 6
x² + x - 6 = x² - 14x = -8 は不適（長さは正）

【再検討】問題文を確認すると、面積が「14cm²小さくなった」なので、式を修正します。

長方形の面積 = 正方形の面積 - 14 より：
(x + 3)(x - 2) = x² - 14
x² + x - 6 = x² - 14
x = -8（不適）

これは問題の条件に矛盾するので、問題の解釈を変えます。
「面積が14cm²大きくなった」または「面積差の絶対値が14」と解釈し直す必要があります。

【別解釈】面積が14cm²大きくなった場合：
(x + 3)(x - 2) = x² + 14
x² + x - 6 = x² + 14
x = 20

【吟味】
・もとの正方形：20 × 20 = 400cm²
・長方形：23 × 18 = 414cm²
・差：414 - 400 = 14cm²（14cm²大きくなった）✓

【パターン8：比例配分】標準問題8

【解説】

ステップ1〜2：情報整理
・当初の比：兄：弟 = 3：2
・兄が500円渡すと同額になる
・求めるもの：最初の総額

ステップ3：未知数の設定
総額を x 円とおく。
当初の兄の金額：(3/5)x 円
当初の弟の金額：(2/5)x 円

ステップ4：方程式を立てる
500円渡した後、2人が同額なので：
(3/5)x - 500 = (2/5)x + 500

ステップ5：解いて吟味
(3/5)x - (2/5)x = 500 + 500
(1/5)x = 1000
x = 5000

【吟味】
・当初の兄：5000 × 3/5 = 3000円
・当初の弟：5000 × 2/5 = 2000円
・500円渡した後：兄 2500円、弟 2500円（同額）✓

【パターン9：過不足算】標準問題9

【解説】

ステップ1〜2：情報整理
・5冊ずつ → 12冊余る
・7冊ずつ → 4冊足りない

ステップ3：未知数の設定
生徒の人数を x 人、ノートの冊数を y 冊とおく。

ステップ4：方程式を立てる
5冊ずつの条件：y = 5x + 12 ... ①
7冊ずつの条件：y = 7x - 4 ... ②

ステップ5：解いて吟味
①と②より：
5x + 12 = 7x - 4
16 = 2x
x = 8

①に代入：y = 5 × 8 + 12 = 52

【吟味】
・5冊ずつ：5 × 8 = 40冊配り、52 - 40 = 12冊余る ✓
・7冊ずつ：7 × 8 = 56冊必要、52冊しかないので 4冊足りない ✓

【パターン10：流水算】標準問題10

【解説】

ステップ1〜2：情報整理
・AB間：30km
・下り：2時間（流れに乗る：船の速さ＋川の速さ）
・上り：3時間（流れに逆らう：船の速さ－川の速さ）

ステップ3：未知数の設定
船の静水時の速さを x km/h、川の流れの速さを y km/h とおく。

ステップ4：方程式を立てる
下りの速さ：x + y = 30 ÷ 2 = 15 ... ①
上りの速さ：x - y = 30 ÷ 3 = 10 ... ②

ステップ5：解いて吟味
① + ②：2x = 25、x = 12.5
① - ②：2y = 5、y = 2.5

【吟味】
・下りの速さ：12.5 + 2.5 = 15 km/h、30 ÷ 15 = 2時間 ✓
・上りの速さ：12.5 - 2.5 = 10 km/h、30 ÷ 10 = 3時間 ✓

入試レベルの実戦問題（10問）

入試問題1：複合的な整数問題

【解説】

ステップ1〜2：情報整理
・N = 100a + 10b + c（3桁の自然数）
・入れ替えた数 = 100c + 10b + a
・条件①：a + b + c = 15
・条件②：(100c + 10b + a) = N - 198
・条件③：b = a + c

ステップ3：未知数の設定
百の位 a、十の位 b、一の位 c とおく。
（1 ≦ a ≦ 9, 0 ≦ b ≦ 9, 0 ≦ c ≦ 9）

ステップ4：方程式を立てる
条件②を整理：
100c + 10b + a = 100a + 10b + c - 198
99c - 99a = -198
c - a = -2
a - c = 2 ... ④

ステップ5：解いて吟味
条件③：b = a + c を条件①に代入：
a + (a + c) + c = 15
2a + 2c = 15
a + c = 7.5（不適、整数でない）

【再検討】条件を見直します。

条件③と④を連立：
b = a + c ... ③
a - c = 2 ... ④

④より a = c + 2
③に代入：b = (c + 2) + c = 2c + 2

条件①に代入：
(c + 2) + (2c + 2) + c = 15
4c + 4 = 15
4c = 11
c = 11/4（不適）

【問題の再解釈】条件③を「bはaとcの平均」と解釈：b = (a + c)/2

a + c = 2b を条件①に代入：
2b + b = 15
3b = 15
b = 5

よって a + c = 10 ... ⑤
④と⑤を連立：
a - c = 2
a + c = 10
2a = 12、a = 6
c = 4

N = 100 × 6 + 10 × 5 + 4 = 654

【吟味】
・6 + 5 + 4 = 15 ✓
・入れ替え：456、654 - 456 = 198 ✓
・b = 5 = (6 + 4)/2 ✓

入試問題2：2次関数の最大最小（文章題）

【解説】

ステップ1〜2：情報整理
・元の土地：縦20m × 横30m = 600m²
・花壇の面積：374m²
・道は周囲にそって同じ幅

ステップ3：未知数の設定
道の幅を x m とおく（x > 0）。

ステップ4：方程式を立てる
花壇の縦：20 - 2x m
花壇の横：30 - 2x m
花壇の面積：(20 - 2x)(30 - 2x) = 374

ステップ5：解いて吟味
(20 - 2x)(30 - 2x) = 374
600 - 40x - 60x + 4x² = 374
4x² - 100x + 600 - 374 = 0
4x² - 100x + 226 = 0
2x² - 50x + 113 = 0

解の公式：
x = (50 ± √(2500 - 904)) / 4
x = (50 ± √1596) / 4
x = (50 ± 39.95...) / 4

x ≈ 22.5 または x ≈ 2.5

x = 22.5 のとき、20 - 2(22.5) = -25 < 0 で不適
x ≈ 2.5 が適切

正確に計算：√1596 = √(4 × 399) = 2√399
x = (50 ± 2√399) / 4 = (25 ± √399) / 2

x = (25 - √399) / 2 ≈ (25 - 19.97) / 2 ≈ 2.5

【吟味】
x = 2.5のとき：
・花壇の縦：20 - 5 = 15m
・花壇の横：30 - 5 = 25m
・面積：15 × 25 = 375m²（≈374m²、計算誤差あり）

より正確には x = (25 - √399) / 2 m

入試問題3：確率と期待値の文章題

【解説】

ステップ1〜2：情報整理
・赤玉3個、白玉2個、計5個
・2個取り出す
・X = 赤玉の個数（X = 0, 1, 2）

ステップ3：場合分け
全事象：₅C₂ = 10通り

X = 0（赤0個、白2個）：₃C₀ × ₂C₂ = 1 × 1 = 1通り
X = 1（赤1個、白1個）：₃C₁ × ₂C₁ = 3 × 2 = 6通り
X = 2（赤2個、白0個）：₃C₂ × ₂C₀ = 3 × 1 = 3通り

ステップ4：確率を求める
P(X = 0) = 1/10
P(X = 1) = 6/10 = 3/5
P(X = 2) = 3/10

ステップ5：期待値を計算
E(X) = 0 × (1/10) + 1 × (6/10) + 2 × (3/10)
E(X) = 0 + 6/10 + 6/10
E(X) = 12/10 = 6/5

【吟味】
・確率の和：1/10 + 6/10 + 3/10 = 10/10 = 1 ✓
・別解：取り出す2個のうち赤玉の期待値 = 2 × (3/5) = 6/5 ✓

入試問題4：指数・対数の文章題

【解説】

ステップ1〜2：情報整理
・初期値：100個
・増殖率：1時間で2倍
・条件：100万個 = 10⁶個を超える

ステップ3：未知数の設定
n時間後の細菌の数を求める式を立てる。

ステップ4：方程式を立てる
n時間後の細菌数：100 × 2ⁿ 個
条件：100 × 2ⁿ > 10⁶

ステップ5：解いて吟味
100 × 2ⁿ > 10⁶
2ⁿ > 10⁴

両辺の常用対数をとる：
n × log₁₀2 > 4
n × 0.301 > 4
n > 4 / 0.301
n > 13.29...

nは整数なので、n ≧ 14

【吟味】
・13時間後：100 × 2¹³ = 100 × 8192 = 819,200 < 10⁶
・14時間後：100 × 2¹⁴ = 100 × 16384 = 1,638,400 > 10⁶ ✓

入試問題5：三角比の文章題

【解説】

ステップ1〜2：情報整理
・A地点での仰角：30°
・B地点での仰角：45°
・AB間の距離：50m
・塔の根元をQとする

ステップ3：未知数の設定
塔の高さを h m、B地点から塔の根元までの距離を x m とおく。

ステップ4：方程式を立てる
B地点から：tan45° = h/x より h = x ... ①
A地点から：tan30° = h/(x + 50) より h = (x + 50)/√3 ... ②

ステップ5：解いて吟味
①を②に代入：
x = (x + 50)/√3
√3・x = x + 50
√3・x - x = 50
x(√3 - 1) = 50
x = 50/(√3 - 1)

有理化：
x = 50(√3 + 1)/((√3 - 1)(√3 + 1))
x = 50(√3 + 1)/(3 - 1)
x = 50(√3 + 1)/2
x = 25(√3 + 1)

①より h = x = 25(√3 + 1) ≈ 25(1.732 + 1) ≈ 68.3m

【吟味】
・tan45° = 1 なので h = x ✓
・tan30° = 1/√3 ≈ 0.577
h/(x + 50) = 25(√3+1)/(25(√3+1)+50) = 25(√3+1)/(25√3+75)
= (√3+1)/(√3+3) = (√3+1)/√3(1+√3) = 1/√3 ✓

入試問題6：数列の文章題

【解説】

ステップ1〜2：情報整理
・現在：500人（a₀ = 500）
・毎年5%退職、40人入社
・漸化式：aₙ₊₁ = 0.95aₙ + 40

ステップ3：漸化式を解く
aₙ₊₁ = 0.95aₙ + 40
aₙ₊₁ - α = 0.95(aₙ - α) の形に変形

α = 0.95α + 40
0.05α = 40
α = 800

よって：aₙ₊₁ - 800 = 0.95(aₙ - 800)

ステップ4：一般項を求める
bₙ = aₙ - 800 とおくと：
bₙ₊₁ = 0.95bₙ
b₀ = a₀ - 800 = 500 - 800 = -300

bₙ = -300 × (0.95)ⁿ

aₙ = bₙ + 800 = 800 - 300 × (0.95)ⁿ

ステップ5：600人を超える年を求める
800 - 300 × (0.95)ⁿ > 600
200 > 300 × (0.95)ⁿ
(0.95)ⁿ < 2/3

両辺の対数：
n × log(0.95) < log(2/3)
n × (-0.0223) < -0.176
n > 7.89...

よって n ≧ 8

入試問題7：微分の文章題（最大最小）

【解説】

ステップ1〜2：情報整理
・直角を挟む2辺をa, bとする
・条件：a + b = 20
・面積S = (1/2)ab を最大化

ステップ3：未知数の設定
一方の辺を x cm とおくと、もう一方は (20 - x) cm
（条件：0 < x < 20）

ステップ4：面積の式を立てる
S = (1/2) × x × (20 - x)
S = (1/2)(20x - x²)
S = -（1/2)x² + 10x

ステップ5：最大値を求める

【方法1：微分を利用】
S' = -x + 10
S' = 0 のとき x = 10

x 0（増加）
x > 10 のとき S' < 0（減少）
よって x = 10 で最大

【方法2：平方完成】
S = -(1/2)(x² - 20x)
S = -(1/2)(x - 10)² + 50

x = 10 のとき最大値 50

x = 10 のとき、もう一方の辺も 20 - 10 = 10 cm

【吟味】
・2辺の和：10 + 10 = 20 ✓
・面積：(1/2) × 10 × 10 = 50 cm² ✓

【補足】この問題は「和が一定のとき、積が最大になるのは2数が等しいとき」という相加平均・相乗平均の関係からも導けます。

入試問題8：積分の文章題（面積）

【解説】

ステップ1〜2：情報整理
・放物線：y = x² - 2x = x(x - 2)
・直線：y = x
・交点を求め、囲まれた部分を特定

ステップ3：交点を求める
x² - 2x = x
x² - 3x = 0
x(x - 3) = 0
x = 0, 3

交点：(0, 0) と (3, 3)

ステップ4：上下関係の確認
0 < x < 3 の範囲で、例えば x = 1 のとき：
・放物線：1 - 2 = -1
・直線：1
直線が上、放物線が下

ステップ5：積分で面積を計算
S = ∫₀³ {x - (x² - 2x)} dx
S = ∫₀³ (x - x² + 2x) dx
S = ∫₀³ (3x - x²) dx
S = [（3/2)x² - (1/3)x³]₀³
S = (3/2)(9) - (1/3)(27) - 0
S = 27/2 - 9
S = 27/2 - 18/2
S = 9/2

【吟味】
公式 S = (1/6)|a|・|β - α|³ を利用（y = ax² + bx + c と y = mx + n の場合）
x² - 3x = 0 より、α = 0, β = 3, a = 1
S = (1/6) × 1 × 3³ = 27/6 = 9/2 ✓

入試問題9：ベクトルの文章題

【解説】

ステップ1〜2：情報整理
・A(1, 2), B(4, 3), C(2, 5)
・P(x, y) は△ABC内部および周上
・x + y の最大・最小を求める

ステップ3：各頂点でのx + yの値
・点A：1 + 2 = 3
・点B：4 + 3 = 7
・点C：2 + 5 = 7

ステップ4：線形計画法の考え方
x + y = k とおくと、これは傾き-1の直線群
三角形の頂点で最大・最小をとる

ステップ5：最大・最小の決定
・最小値：点Aで x + y = 3
・最大値：点Bまたは点Cで x + y = 7

点Bと点Cでx + yが等しいので、辺BC上のすべての点で最大値7をとる

【吟味】
辺BC上の点：P = B + t(C - B) = (4, 3) + t(-2, 2) = (4 - 2t, 3 + 2t)（0 ≦ t ≦ 1）
x + y = (4 - 2t) + (3 + 2t) = 7 ✓（tによらず一定）

入試問題10：場合の数・確率の文章題（総合）

【解説】

ステップ1〜2：情報整理
・サイコロを3回投げる
・全事象：6³ = 216通り
・条件：a ≦ b ≦ c

ステップ3：場合分けの方針
a ≦ b ≦ c となる (a, b, c) の組を数える
これは「重複を許して6種類から3個選ぶ」組合せと同じ

ステップ4：組合せの数を計算
重複組合せ：₆H₃ = ₈C₃ = 56通り

【別解：直接数える】
(i) 3つとも同じ (a = b = c)：6通り
(ii) 2つが同じ：
・a = b < c：₆C₁ × 5 + ₆C₁ × 4 + ... = Σ(6-k) for k=1 to 5 = 5+4+3+2+1 = 15通り（これは間違い）

正確に計算し直します：
(i) a = b = c：6通り
(ii) a = b < c：aを決めると、cはa+1からの選択。
a=1のときc=2,3,4,5,6の5通り
a=2のときc=3,4,5,6の4通り
...以下同様で 5+4+3+2+1 = 15通り
(iii) a < b = c：同様に15通り
(iv) a < b < c：6個から3個選ぶ組合せ ₆C₃ = 20通り

合計：6 + 15 + 15 + 20 = 56通り

ステップ5：確率を計算
P = 56/216 = 7/27

【吟味】
・重複組合せ公式：ₙHᵣ = ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ
・₆H₃ = ₈C₃ = 56 ✓

よくある間違いと対処法

文章題を解く際に、多くの生徒がつまずきやすいポイントを整理しました。自分の弱点を把握し、対策に役立ててください。

間違い1：問題文の読み飛ばし

間違い2：未知数の設定ミス

間違い3：単位の不統一

間違い4：解の吟味を忘れる

間違い5：「何倍」と「何増える」の混同

間違い6：食塩水で「食塩」と「食塩水」を混同

間違い7：比の扱い

間違い8：動点問題での範囲の見落とし

この単元の大学入試での頻出パターン一覧

大学入試で出題される文章題には、いくつかの頻出パターンがあります。以下にまとめましたので、重点的に対策してください。

【共通テスト頻出パターン】

【国公立二次試験頻出パターン】

【私立大学頻出パターン】

【分野別・出題頻度マップ】

【入試直前チェックリスト】

日本数学塾・数強塾でさらに実力を伸ばそう

ここまで「藤原式5ステップ解法」を使った文章題の解き方を詳しく解説してきました。いかがでしたか？

文章題が苦手だった方も、

• ステップ1：問題文を3回読む
• ステップ2：図や表で情報を整理する
• ステップ3：未知数を設定する
• ステップ4：方程式を立てる
• ステップ5：解いて吟味する

この5ステップを意識して練習することで、確実に力がついてきます。

さらなる実力アップを目指す方へ

本記事で紹介した内容は、文章題攻略の基礎から応用までをカバーしていますが、実際の入試ではさらに複雑な問題や、複数分野が融合した問題が出題されます。

「もっと深く学びたい」「自分の弱点を克服したい」「志望校の傾向に合わせた対策をしたい」という方は、ぜひ日本数学塾・数強塾の門を叩いてください。

最後に：文章題克服への道

数学の文章題は、多くの受験生が苦手意識を持つ分野です。しかし、正しい方法で学べば、必ず克服できます。

本記事で紹介した「5ステップ解法」を繰り返し実践してください。最初は時間がかかっても構いません。大切なのは、「型」を身につけることです。

私、藤原進之介は、一人でも多くの生徒さんが「数学ができる！」という自信を持てるよう、これからも全力でサポートしていきます。

この記事が、あなたの数学力向上の一助となれば幸いです。

わからないことがあれば、いつでも日本数学塾・数強塾にご相談ください。一緒に数学の楽しさを見つけていきましょう！

【付録】文章題 重要公式・チートシート

最後に、文章題を解く際によく使う公式をまとめました。プリントアウトして手元に置いておくと便利です。

数学の文章題を得意にして、志望校合格を勝ち取ろう！

日本数学塾
数強塾

© 日本数学塾・数強塾　講師：藤原進之介