【慈恵会医科大学 数学 傾向と対策】医学部｜藤原進之介が徹底解説

【例題4】確率漸化式

【解答・解説】

位置を3で割った余りで状態を分類します。

状態0：位置が3の倍数

状態1：位置を3で割ると余り1

状態2：位置を3で割ると余り2

さいころの目1〜6を3で割った余りは：1, 2, 0, 1, 2, 0

つまり、余り0, 1, 2 の目がそれぞれ確率 1/3 で出ます。

状態遷移の確率行列を考えると：

pₙ₊₁ = (1/3)pₙ + (1/3)qₙ + (1/3)rₙ = 1/3

（ここで qₙ は状態1にいる確率、rₙ は状態2にいる確率で、pₙ + qₙ + rₙ = 1）

対称性から qₙ = rₙ となり、漸化式を解くと：

pₙ = 1/3 + (2/3)・(−1/3)^(n-1)

または、n → ∞ で pₙ → 1/3 に収束することも確認できます。

数列・漸化式（実際の出題例＋詳細解説）

慈恵医大では数列単独の大問は少ないですが、確率や極限と組み合わせて出題されることがあります。

【例題5】漸化式と極限

【解答・解説】

(1) 数学的帰納法で示す。

n = 1：a₁ = 1 なので 1 ≤ a₁ < 2 ✓

n = k で成立を仮定：1 ≤ aₖ < 2

このとき aₖ₊₁ = √(2 + aₖ)

1 ≤ aₖ より aₖ₊₁ = √(2 + aₖ) ≥ √3 > 1 ✓

aₖ < 2 より aₖ₊₁ = √(2 + aₖ) < √4 = 2 ✓

(2) f(x) = √(2 + x) とおくと、1 ≤ x x

（∵ f(x) > x ⟺ √(2+x) > x ⟺ 2+x > x² ⟺ x² - x - 2 < 0 ⟺ -1 < x < 2）

よって {aₙ} は単調増加。(1)より上に有界なので収束する。

極限値を α とすると α = √(2 + α)

α² = 2 + α より α² - α - 2 = 0

(α - 2)(α + 1) = 0

α > 0 より α = 2

(3) bₙ = 2 - aₙ とおく。

bₙ₊₁ = 2 - aₙ₊₁ = 2 - √(2 + aₙ) = 2 - √(4 - bₙ)

= 2 - 2√(1 - bₙ/4)

bₙ → 0 なので、√(1 - bₙ/4) ≈ 1 - bₙ/8 - ... を用いて

bₙ₊₁ ≈ 2 - 2(1 - bₙ/8) = bₙ/4

したがって lim(n→∞) bₙ₊₁/bₙ = 1/4

図形・ベクトル（実際の出題例＋詳細解説）

空間図形・ベクトルは慈恵医大の第4問で頻出です。座標設定の工夫が重要になります。

【例題6】空間ベクトルと平面

【解答・解説】

座標を設定：O(0,0,0), A(3,0,0), B(0,4,0), C(0,0,5)

(1) AB = √(9+16) = 5, BC = √(16+25) = √41, CA = √(25+9) = √34

ベクトルを用いて：

→AB = (-3, 4, 0), →AC = (-3, 0, 5)

→AB × →AC = (20, 15, 12)

|→AB × →AC| = √(400 + 225 + 144) = √769

面積 = (1/2)√769

(2) 四面体の体積 V = (1/6)|OA||OB||OC| = (1/6)・3・4・5 = 10

V = (1/3)・S_ABC・OH より

10 = (1/3)・(1/2)√769・OH

OH = 60/√769 = 60√769/769

(3) 内接球の半径を r とすると

V = (r/3)(S_OAB + S_OBC + S_OCA + S_ABC)

S_OAB = 6, S_OBC = 10, S_OCA = 7.5

10 = (r/3)(6 + 10 + 7.5 + √769/2)

r = 30/(23.5 + √769/2)

整数・その他（実際の出題例＋詳細解説）

整数問題は近年の慈恵医大で定番化しており、論理的な思考力が試されます。

【例題7】整数方程式

【解答・解説】

与式を変形すると：

x³ - x² + y³ - y² + z³ - z² = 0

x²(x - 1) + y²(y - 1) + z²(z - 1) = 0

各項 t²(t - 1) について分析すると：

• t = 0 のとき：0
• t = 1 のとき：0
• t ≥ 2 のとき：正
• t ≤ -1 のとき：負

3つの項の和が0になる条件を考えます。

Case 1：すべての項が0の場合

x, y, z ∈ {0, 1} より、(x, y, z) は {0, 1} から3つ選ぶ組み合わせで 8通り

Case 2：正の項と負の項が打ち消し合う場合

例えば x ≥ 2, y ≤ -1, z ∈ {0, 1} の場合を考える。

x²(x-1) + y²(y-1) = 0

x²(x-1) = -y²(y-1) = y²(1-y)

x = 2 のとき：4・1 = 4 = y²(1-y)

y = -1：1・2 = 2 ≠ 4

y = -2：4・3 = 12 ≠ 4

整数解なし。

同様に他のケースを調べても、Case 1以外に解は存在しません。

答：(x, y, z) = (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1) の 8組

【例題8】整数の性質と不等式評価

【解答・解説】

2025 = 81 × 25 = 3⁴ × 5² なので √2025 = 45

√p + √q = 45 ... ①

両辺を2乗すると：

p + q + 2√(pq) = 2025

2√(pq) = 2025 - p - q

右辺が非負かつ偶数である必要があり、さらに √(pq) が有理数であるためには pq が完全平方数である必要があります。

①より √p = 45 - √q なので、p = (45 - √q)² = 2025 - 90√q + q

p が整数なら 90√q も整数、つまり √q が有理数。

√q が自然数でなければ p は自然数にならないので、q は完全平方数。

q = k² (k は自然数、k < 45) とおくと

√p = 45 - k

p = (45 - k)²

したがって (p, q) = ((45-k)², k²) で k = 1, 2, ..., 44

p ≤ q の条件を入れると k ≥ 23

答：(p, q) = ((45-k)², k²) (k = 1, 2, ..., 44) の44組
（順序を区別しない場合は22組 + (p, q) = (45², 0) は不適なので22組）

厳選！合格するための練習問題10問

以下に、慈恵医大対策として厳選した練習問題10問を、詳細解答付きで紹介します。実際の入試レベルを意識した問題ですので、時間を計って取り組んでください。

【練習問題1】確率（基本〜標準）

【解答】

9個の球を区別して考え、箱A, B, Cにそれぞれ3個ずつ入れる方法の総数は：

₉C₃ × ₆C₃ × ₃C₃ = 84 × 20 × 1 = 1680 通り

(1) 各箱に赤1個、白1個、青1個が入る場合を数える。

箱Aに入る赤球の選び方：3通り

箱Aに入る白球の選び方：3通り

箱Aに入る青球の選び方：3通り

箱Bに入る赤球の選び方：2通り

箱Bに入る白球の選び方：2通り

箱Bに入る青球の選び方：2通り

箱Cは残りで決まる：1通り

合計：3³ × 2³ = 27 × 8 = 216 通り

確率 = 216/1680 = 9/70

(2) 「どの箱にも同じ色2個以上入らない」= (1)と同じ条件

（各箱に3個ずつ入れて、同色2個以上なしということは、各箱に3色1個ずつ）

したがって確率 = 9/70

【練習問題2】確率（標準〜やや難）

【解答】

9枚から4枚を選んで並べる総数：₉P₄ = 9 × 8 × 7 × 6 = 3024 通り

(1) 4の倍数となる条件：下2桁が4の倍数

1〜9から作れる2桁で4の倍数：12, 16, 24, 28, 32, 36, 48, 52, 56, 64, 68, 72, 76, 84, 92, 96

（0を含まないので04, 08, 20, 40, 60, 80は除外）

これらを数え上げ、各パターンについて上2桁の並べ方を計算：

下2桁の決め方：16通り

残り7枚から2枚を選んで並べる：₇P₂ = 42通り

合計：16 × 42 = 672通り

確率 = 672/3024 = 2/9

(2) 12の倍数 = 3の倍数 かつ 4の倍数

3の倍数となる条件：各位の数字の和が3の倍数

(1)で求めた4の倍数のうち、4つの数字の和が3の倍数となるものを数える。

1+2+...+9 = 45（3の倍数）なので、選ばない5つの和も3の倍数のときに条件を満たす。

詳細な数え上げにより、確率 = 2/27

【練習問題3】微分積分（標準）

【解答】

(1) y' = 3x² - 3 より、点Pにおける接線の傾きは 3t² - 3

接線 ℓ：y - (t³ - 3t) = (3t² - 3)(x - t)

y = (3t² - 3)x - 3t³ + 3t + t³ - 3t

y = (3t² - 3)x - 2t³

(2) 曲線と接線の交点を求める：

x³ - 3x = (3t² - 3)x - 2t³

x³ - 3t²x + 2t³ = 0

(x - t)²(x + 2t) = 0

x = t（重解）, x = -2t

t > 1 より -2t < t なので、囲まれる部分は -2t ≤ x ≤ t

S(t) = ∫₋₂ₜᵗ {(3t² - 3)x - 2t³ - (x³ - 3x)} dx

= ∫₋₂ₜᵗ {-x³ + 3t²x - 2t³} dx

= ∫₋₂ₜᵗ -(x - t)²(x + 2t) dx

x - t = u とおくと、x = -2t で u = -3t、x = t で u = 0

S(t) = ∫₋₃ₜ⁰ -u²(u + 3t) du = ∫₀³ᵗ u²(u + 3t) du

= [u⁴/4 + t·u³]₀³ᵗ = 81t⁴/4 + 27t⁴ = 189t⁴/4

(3) t > 1 で S(t) = 189t⁴/4 は単調増加

t → 1+ で S(t) → 189/4（最小値は存在せず、下限が189/4）

【練習問題4】微分積分（やや難）

【解答】

(1) eˣ = ax の解を α, β（α < β）とする。

0 < x < α, β ax

α < x < β で eˣ < ax

V(a) = π∫ₐᵝ {(ax)² - (eˣ)²} dx

= π∫ₐᵝ (a²x² - e²ˣ) dx

= π[a²x³/3 - e²ˣ/2]ₐᵝ

eᵅ = aα, eᵝ = aβ を用いて整理する。

(2) dV/da = 0 となる条件を求め、a = e のとき最小となることを示す。

（陰関数の微分法を用いてα, βのaによる微分を計算）

答：a = e

【練習問題5】数列と極限（標準）

【解答】

(1) aₙ₊₁ - √2 = (aₙ + 2)/(aₙ + 1) - √2 = (aₙ + 2 - √2aₙ - √2)/(aₙ + 1)

= ((1 - √2)aₙ + 2 - √2)/(aₙ + 1) = (1 - √2)(aₙ - √2)/(aₙ + 1)

同様に aₙ₊₁ + √2 = (1 + √2)(aₙ + √2)/(aₙ + 1)

bₙ₊₁ = (aₙ₊₁ - √2)/(aₙ₊₁ + √2) = (1 - √2)/(1 + √2) · (aₙ - √2)/(aₙ + √2)

= (1 - √2)²/((1 + √2)(1 - √2)) · bₙ = (3 - 2√2)/(-1) · bₙ

bₙ₊₁ = (2√2 - 3)bₙ

(2) b₁ = (2 - √2)/(2 + √2) = (2 - √2)²/2 = (3 - 2√2)/2

bₙ = b₁ · (2√2 - 3)ⁿ⁻¹ = (3 - 2√2)/2 · (2√2 - 3)ⁿ⁻¹

= -(3 - 2√2)/2 · (3 - 2√2)ⁿ⁻¹ · (-1)ⁿ⁻¹

= (-1)ⁿ/2 · (3 - 2√2)ⁿ

aₙ = √2 · (1 + bₙ)/(1 - bₙ)

(3) aₙ - √2 = 2√2 · bₙ/(1 - bₙ)

bₙ → 0 なので aₙ - √2 ≈ 2√2 · bₙ

(aₙ - √2) · 3ⁿ ≈ 2√2 · (-1)ⁿ/2 · (3 - 2√2)ⁿ · 3ⁿ

= √2 · (-1)ⁿ · (3(3 - 2√2))ⁿ

= √2 · (-1)ⁿ · (9 - 6√2)ⁿ

9 - 6√2 ≈ 0.51... < 1 なので (9 - 6√2)ⁿ → 0

lim(n→∞) (aₙ - √2)·3ⁿ = 0

【練習問題6】ベクトル（標準）

【解答】

(1) →OP = (2/3)→a

→OQ = →OB + (1/3)→BC = →b + (1/3)(→c - →b) = (2/3)→b + (1/3)→c

→OR = →OP + (3/5)→PQ

= (2/3)→a + (3/5){(2/3)→b + (1/3)→c - (2/3)→a}

= (2/3)→a + (3/5)·(2/3)→b + (3/5)·(1/3)→c - (3/5)·(2/3)→a

= (2/3 - 2/5)→a + (2/5)→b + (1/5)→c

→OR = (4/15)→a + (2/5)→b + (1/5)→c

(2) →OS = t·→OR（t > 0）とおく。

→OS = (4t/15)→a + (2t/5)→b + (t/5)→c

Sが平面ABC上 ⟺ 係数の和 = 1

4t/15 + 2t/5 + t/5 = 1

4t/15 + 6t/15 + 3t/15 = 1

13t/15 = 1

t = 15/13

→OS = (4/13)→a + (6/13)→b + (3/13)→c

【練習問題7】空間図形（やや難）

【解答】

(1) 正四面体の1辺の長さをaとする。

正四面体の外接球の半径R = a√6/4

R = 1 より a = 4/√6 = 2√6/3

(2) 正四面体の重心Gは球の中心Oと一致する。

辺ABの中点Mについて、三角形ABGを考える。

AG = a·√6/4 = 1（外接球の半径）

正四面体で、頂点Aから底面BCDに下ろした垂線の足をHとすると、

重心Gは線分AH上にあり、AG:GH = 3:1

M は辺ABの中点なので、三角形ABH（Hは辺CDの中点）を考える。

OM = |→OG + →GM| で計算

OM = √2/3

(3) 6つの中点を頂点とする八面体は、正八面体となる。

正八面体の1辺 = a/2 = √6/3

正八面体の体積 = (√2/3)·(辺の長さ)³ = (√2/3)·(√6/3)³

= (√2/3)·(6√6/27) = 2√12/27 = 4√3/27

【練習問題8】整数問題（標準）

【解答】

n を 5 で割った余りで分類する。

n ≡ 0 (mod 5) のとき：n² + 1 ≡ 1 (mod 5)

n ≡ 1 (mod 5) のとき：n² + 1 ≡ 2 (mod 5)

n ≡ 2 (mod 5) のとき：n² + 1 ≡ 5 ≡ 0 (mod 5) ✓

n ≡ 3 (mod 5) のとき：n² + 1 ≡ 10 ≡ 0 (mod 5) ✓

n ≡ 4 (mod 5) のとき：n² + 1 ≡ 17 ≡ 2 (mod 5)

n² + 1 が 5 で割り切れる ⟺ n ≡ 2, 3 (mod 5)

25 で割り切れる条件：

n = 5k + 2 のとき：n² + 1 = 25k² + 20k + 5 = 5(5k² + 4k + 1)

5k² + 4k + 1 ≡ 1 (mod 5)（k ≡ 0, 1, 2, 3, 4 すべてで）なので 25 で割り切れない。

n = 5k + 3 のとき：n² + 1 = 25k² + 30k + 10 = 5(5k² + 6k + 2)

同様に 25 で割り切れない。

n² + 1 が 25 で割り切れる正の整数 n は存在しない

【練習問題9】複素数平面（標準〜やや難）

【解答】

|z| = 1 より z = e^(iθ) = cos θ + i sin θ （0 ≤ θ < 2π）とおける。

1/z = e^(-iθ) = cos θ - i sin θ

w = z + 1/z = 2cos θ

w = u + iv（u, v は実数）とおくと

u = 2cos θ, v = 0

-1 ≤ cos θ ≤ 1 より -2 ≤ u ≤ 2

軌跡は実軸上の線分 -2 ≤ x ≤ 2, y = 0

【練習問題10】総合問題（難）

【解答】

(1) S₁ = ∫₀¹ e^(-x²) dx

（注：この積分は初等関数では表せないが、定積分の形で答えとする）

(2) f(x) = xe^(-x²) は x > 1/√2 で単調減少である。

f'(x) = e^(-x²) + x·(-2x)e^(-x²) = e^(-x²)(1 - 2x²)

f'(x) 1/√2

n ≥ 1 のとき、区間 [n, n+1] で f(x) は単調減少なので：

f(n+1) < f(x) < f(n) （n < x < n+1）

各辺を n から n+1 まで積分すると：

f(n+1)·1 < ∫ₙⁿ⁺¹ f(x) dx < f(n)·1

(n+1)e^(-(n+1)²) < ∫ₙⁿ⁺¹ xe^(-x²) dx < ne^(-n²) ■

(3) (2)の不等式で n = 1, 2, 3, ... と加えると：

左辺の和：Σ(n=1 to ∞) (n+1)e^(-(n+1)²) = Σ(m=2 to ∞) me^(-m²)

右辺の和：Σ(n=1 to ∞) ne^(-n²)

中辺：Σ(n=1 to ∞) ∫ₙⁿ⁺¹ xe^(-x²) dx = ∫₁^∞ xe^(-x²) dx = [-e^(-x²)/2]₁^∞ = e^(-1)/2

したがって：

Σ(m=2 to ∞) me^(-m²) < e^(-1)/2 < Σ(n=1 to ∞) ne^(-n²)

Σ(n=1 to ∞) ne^(-n²) - e^(-1) < e^(-1)/2 < Σ(n=1 to ∞) ne^(-n²)

e^(-1)/2 < Σ(n=1 to ∞) ne^(-n²) < e^(-1)/2 + e^(-1) = 3e^(-1)/2

すなわち、1/(2e) < Σ(n=1 to ∞) ne^(-n²) < 3/(2e)

（数値では約 0.184 < Σ < 約 0.552）

年間学習ロードマップ

慈恵医大合格を目指す受験生のために、1年間の学習計画を提示します。高3の4月からスタートする場合を想定していますが、高2生は前倒しで進めてください。

【第1期】基礎固め期（4月〜6月）

【第2期】標準問題演習期（7月〜9月）

【第3期】応用力養成期（10月〜11月）

【第4期】直前演習期（12月〜2月）

時期別の到達目標チェックリスト

藤原おすすめ参考書ランキング

慈恵医大数学対策に最適な参考書を、用途別にランキング形式で紹介します。

【基礎固め部門】

【標準〜応用部門】

【難関レベル部門】

【分野別対策部門】

【過去問対策部門】

藤原流 参考書活用の3原則

1. 1冊を完璧に：何冊も手を出すより、1冊を繰り返し解いて完全に身につける方が効果的です。
2. 解説を読んで終わりにしない：解説を読んだ後、必ず自力で解き直すこと。「わかった」と「できる」は違います。
3. 間違えた問題こそ宝：正解した問題より、間違えた問題を重点的に復習。1週間後に再挑戦する習慣をつけましょう。

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ここまで慈恵医大数学の傾向と対策を詳しく解説してきましたが、いかがでしたでしょうか。

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