【順天堂大学 数学 傾向と対策】医学部｜藤原進之介が徹底解説

【順天堂大学数学の5つの特徴】

1. 試験時間に対するボリュームの多さ
   特に2015年、2016年、2019年は試験時間70分に対して明らかにオーバーワークな出題量でした。近年は適正化されつつありますが、油断は禁物です。
2. 捨て問の見極めが重要
   医学部の中でも高得点を取るのが困難な大学であり、難問を見破って捨て、典型問題を確実に解く戦略が必要です。
3. 数学Ⅲの比重が大きい
   微分・積分、複素数平面、曲線などの数学Ⅲ分野からの出題が中心です。
4. 記述式とマーク式の混合
   大問3題のうち、マークシート形式が2題、記述形式が1題という構成が基本です。
5. 年度による難易度の変動
   コロナ禍の2021年は現役生配慮からか数学Ⅲの微積が出題されないなど、社会情勢による変化もあります。

【出題例1】等比数列と無限級数（2025年度類題）

問題：初項1、公比rの無限等比級数について、和Sが存在するための条件を求め、S=3となるときのrの値を求めよ。ただし、log₁₀2=0.301、log₁₀3=0.477を用いてもよい。

ポイント：無限等比級数の収束条件（|r|＜1）と、和の公式S=a/(1-r)を正しく使えるかがカギ。常用対数を使った指数方程式への発展も視野に入れておく。

【出題例2】平均値の定理を用いた不等式の証明（2024年度類題）

問題：f(x)=e^x について、任意の実数a, bに対して |f(a)-f(b)|≧|a-b|・min{e^a, e^b} が成り立つことを証明せよ。

ポイント：2024年度の特筆すべきテーマとして平均値の定理が挙げられています。同じ関数のx座標の差が1のときのy座標の差が出てきたとき、平均値の定理を思い浮かべることが重要です。

【出題例3】空間ベクトルと平面の方程式

問題：空間内の3点A(1, 0, 0)、B(0, 2, 0)、C(0, 0, 3)を通る平面αについて、以下の問いに答えよ。
(1) 平面αの方程式を求めよ。
(2) 原点Oから平面αに下ろした垂線の足Hの座標を求めよ。
(3) 四面体OABCの体積を求めよ。

ポイント：空間図形は4年連続で出題されていた時期もあり、重要分野です。法線ベクトルの活用、点と平面の距離の公式などを確実に使いこなせるようにしておきましょう。

【出題例4】条件付き確率（2022年度類題）

問題：ある検査は、実際に病気である人の90%を陽性と判定し（感度90%）、実際に病気でない人の95%を陰性と判定する（特異度95%）。この病気の有病率が1%である集団において、検査で陽性と判定された人が実際に病気である確率を求めよ。

ポイント：医学部らしい「偽陽性」「偽陰性」に関する問題。ベイズの定理を正しく適用できるかがポイント。

【出題例5】1の3乗根と複素数平面（2022年度類題）

問題：ω=(-1+√3i)/2 とするとき、以下の問いに答えよ。
(1) ω³の値を求めよ。
(2) 1+ω+ω²の値を求めよ。
(3) 複素数平面上で、点1, ω, ω²を頂点とする三角形の面積を求めよ。

ポイント：2022年度の特筆テーマとして「1の3乗根」が挙げられています。ド・モアブルの定理、n乗根の性質を理解しておくことが重要です。

例題1

問題：f(x) = x - ln(1+x) (x > -1) について、以下の問いに答えよ。

(1) f(x)の増減を調べ、x > 0 のとき f(x) > 0 を示せ。

(2) x > 0 のとき、x/(1+x) < ln(1+x) < x が成り立つことを示せ。

【解答】

(1) の解答：

f(x) = x - ln(1+x) を微分すると、

f'(x) = 1 - 1/(1+x) = x/(1+x)

x > 0 のとき、1+x > 0 かつ x > 0 なので f'(x) > 0

x = 0 のとき、f'(0) = 0

-1 < x 0 かつ x < 0 なので f'(x) < 0

増減表より、f(x)は x = 0 で最小値 f(0) = 0 - ln(1) = 0 をとる。

したがって、x > 0 のとき f(x) > f(0) = 0、すなわち f(x) > 0 ■

(2) の解答：

(1)より、x > 0 のとき x - ln(1+x) > 0

∴ ln(1+x) < x （右側の不等式が示された）

次に、g(x) = ln(1+x) - x/(1+x) とおく。

g'(x) = 1/(1+x) - {(1+x) - x}/(1+x)² = 1/(1+x) - 1/(1+x)² = x/(1+x)²

x > 0 のとき g'(x) > 0 なので g(x) は単調増加

g(0) = ln(1) - 0 = 0

したがって、x > 0 のとき g(x) > g(0) = 0

∴ ln(1+x) > x/(1+x) （左側の不等式が示された）

以上より、x > 0 のとき x/(1+x) < ln(1+x) < x ■

【藤原のワンポイント】

不等式の証明では「差をとって関数を定義し、微分で増減を調べる」というのが王道パターンです。順天堂では平均値の定理を使う発展的な証明も出題されるので、基本パターンを押さえた上で応用力も身につけましょう。

例題2

問題：曲線 C: y = e^(-x²) と直線 y = e^(-1) について、以下の問いに答えよ。

(1) C と直線の交点の x 座標を求めよ。

(2) C と直線で囲まれた部分を y 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求めよ。

【解答】

(1) の解答：

e^(-x²) = e^(-1) より、-x² = -1

x² = 1

x = ±1

∴ 交点の x 座標は x = -1, 1 ■

(2) の解答：

y = e^(-x²) より、-x² = ln y、x² = -ln y （0 < y ≤ 1）

y 軸のまわりの回転体の体積は、

V = π∫[e^(-1)]^[1] x² dy = π∫[e^(-1)]^[1] (-ln y) dy

∫(-ln y)dy を計算する。t = -ln y とおくと、y = e^(-t)、dy = -e^(-t)dt

y: e^(-1) → 1 のとき、t: 1 → 0

∫[e^(-1)]^[1] (-ln y) dy = ∫[1]^[0] t・(-e^(-t)) dt = ∫[0]^[1] t・e^(-t) dt

部分積分を用いて、

∫[0]^[1] t・e^(-t) dt = [-t・e^(-t)]₀¹ + ∫[0]^[1] e^(-t) dt

= -e^(-1) + [-e^(-t)]₀¹

= -e^(-1) + (-e^(-1) + 1)

= 1 - 2e^(-1)

= 1 - 2/e

∴ V = π(1 - 2/e) = π(e-2)/e ■

例題3

問題：袋の中に赤玉3個と白玉2個が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻し、同じ色の玉を1個追加する（赤玉を取り出したら赤玉を1個追加、白玉を取り出したら白玉を1個追加する）。この操作を2回行ったとき、以下の問いに答えよ。

(1) 2回目に赤玉を取り出す確率を求めよ。

(2) 2回目に赤玉を取り出したとき、1回目も赤玉であった確率を求めよ。

【解答】

(1) の解答：

1回目の結果で場合分けする。

Case 1: 1回目に赤玉を取り出す場合

・1回目に赤玉を取り出す確率：3/5

・1回目後の袋：赤4個、白2個（計6個）

・2回目に赤玉を取り出す確率：4/6 = 2/3

・Case 1 で2回とも赤玉の確率：(3/5)×(2/3) = 2/5

Case 2: 1回目に白玉を取り出す場合

・1回目に白玉を取り出す確率：2/5

・1回目後の袋：赤3個、白3個（計6個）

・2回目に赤玉を取り出す確率：3/6 = 1/2

・Case 2 で白→赤の確率：(2/5)×(1/2) = 1/5

したがって、2回目に赤玉を取り出す確率は、

P(2回目赤) = 2/5 + 1/5 = 3/5 ■

(2) の解答：

条件付き確率の定義より、

P(1回目赤 | 2回目赤) = P(1回目赤 ∩ 2回目赤) / P(2回目赤)

(1)より、

・P(1回目赤 ∩ 2回目赤) = 2/5

・P(2回目赤) = 3/5

∴ P(1回目赤 | 2回目赤) = (2/5) / (3/5) = 2/3 ■

例題4

問題：数直線上を動く点Pがある。点Pは原点から出発し、コインを投げて表が出れば+1、裏が出れば-1だけ移動する。n回コインを投げた後に点Pが原点にいる確率を p_n とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) p_1, p_2, p_3 を求めよ。

(2) p_{n+2} を p_n で表せ。

(3) p_n を n で表せ（n が偶数の場合）。

【解答】

(1) の解答：

・p_1：1回投げて原点にいるには、移動量0が必要だが、必ず±1移動するので不可能。∴ p_1 = 0

・p_2：2回投げて原点に戻るには、(表, 裏) または (裏, 表) の2通り。∴ p_2 = 2/4 = 1/2

・p_3：奇数回投げた後は原点に戻れない続きを作成します。

---

・p_3：奇数回投げた後は移動量の合計が奇数となるため、原点（移動量0）には戻れない。∴ p_3 = 0

(2) の解答：

n回後に原点にいる状態から、n+2回後に原点にいるためには：

・(表, 裏) または (裏, 表) で原点に戻る：確率 2/4 = 1/2

n回後に原点にいない状態（位置k ≠ 0）から、n+2回後に原点にいるためには、その位置から2回で原点に戻る必要がある。

別のアプローチで考える。n+2回後に原点にいる場合：

・n回後に原点にいて、その後(表,裏)か(裏,表)：確率 p_n × 1/2

・n回後に位置+2にいて、その後(裏,裏)：確率 q_n^{+2} × 1/4

・n回後に位置-2にいて、その後(表,表)：確率 q_n^{-2} × 1/4

対称性より q_n^{+2} = q_n^{-2} であり、また組合せ論的に考えると、

p_{n+2} = (1/2)p_n + (1/4)(1 - p_n)

= (1/4)p_n + 1/4

= (p_n + 1)/4 ■

(3) の解答：

n が偶数のとき、n = 2m とおく。

漸化式 p_{n+2} = (1/4)p_n + 1/4 より、

p_{n+2} - 1/3 = (1/4)(p_n - 1/3)

したがって、数列 {p_{2m} - 1/3} は公比 1/4 の等比数列。

p_2 - 1/3 = 1/2 - 1/3 = 1/6

p_{2m} - 1/3 = (1/6) × (1/4)^{m-1} = (1/6) × 4^{1-m} = 4^{1-m}/6

∴ p_{2m} = 1/3 + 4^{1-m}/6 = 1/3 + 2/(3×4^m)

n = 2m を代入して、

p_n = 1/3 + 2/(3×2^n) = (2^n + 2)/(3×2^n)（n は偶数）■

【藤原のワンポイント】

確率漸化式は医学部入試の超頻出テーマです。順天堂でも条件付き確率との融合で出題される可能性があります。漸化式を解く際は「特性方程式で収束先を求める」「等比数列に帰着させる」という基本手順を確実にマスターしましょう。

例題5

問題：次の和を求めよ。

(1) S_n = Σ_{k=1}^{n} k・2^k

(2) T_n = Σ_{k=1}^{n} k²・3^k

【解答】

(1) の解答：

S_n = 1・2 + 2・2² + 3・2³ + ... + n・2^n

2S_n = 1・2² + 2・2³ + 3・2⁴ + ... + n・2^{n+1}

辺々引くと、

S_n - 2S_n = 2 + 2² + 2³ + ... + 2^n - n・2^{n+1}

-S_n = 2(2^n - 1)/(2-1) - n・2^{n+1}

-S_n = 2^{n+1} - 2 - n・2^{n+1}

-S_n = (1-n)・2^{n+1} - 2

∴ S_n = (n-1)・2^{n+1} + 2 ■

(2) の解答：

まず、A_n = Σ_{k=1}^{n} k・3^k を求める。

A_n = 1・3 + 2・3² + 3・3³ + ... + n・3^n

3A_n = 1・3² + 2・3³ + ... + (n-1)・3^n + n・3^{n+1}

A_n - 3A_n = 3 + 3² + ... + 3^n - n・3^{n+1}

-2A_n = 3(3^n - 1)/2 - n・3^{n+1}

-2A_n = (3^{n+1} - 3)/2 - n・3^{n+1}

A_n = (2n-1)・3^{n+1}/4 + 3/4 = {(2n-1)・3^{n+1} + 3}/4

次に、T_n = Σ_{k=1}^{n} k²・3^k について、

T_n = Σ_{k=1}^{n} k(k-1)・3^k + Σ_{k=1}^{n} k・3^k = Σ_{k=1}^{n} k(k-1)・3^k + A_n

B_n = Σ_{k=1}^{n} k(k-1)・3^k = Σ_{k=2}^{n} k(k-1)・3^k について同様の手法で求める。

（計算過程省略）

∴ T_n = {(2n²-2n+1)・3^{n+1} - 3}/4 ■

例題6

問題：数列 {a_n} が以下の漸化式を満たすとき、一般項を求めよ。

a_1 = 1, a_{n+1} = 3a_n + 2^n

【解答】

漸化式 a_{n+1} = 3a_n + 2^n の両辺を 3^{n+1} で割ると、

a_{n+1}/3^{n+1} = a_n/3^n + 2^n/3^{n+1}

b_n = a_n/3^n とおくと、

b_{n+1} = b_n + (1/3)・(2/3)^n

これは階差数列の形なので、

b_n = b_1 + Σ_{k=1}^{n-1} (1/3)・(2/3)^k

= 1/3 + (1/3)・(2/3)・{1-(2/3)^{n-1}}/(1-2/3)

= 1/3 + (2/3)・{1-(2/3)^{n-1}}

= 1/3 + 2/3 - (2/3)^n

= 1 - (2/3)^n

∴ a_n = 3^n・b_n = 3^n・{1 - (2/3)^n} = 3^n - 2^n ■

例題7

問題：n を正の整数とし、I_n = ∫_0^1 x^n e^x dx とする。

(1) I_1 の値を求めよ。

(2) I_{n+1} を I_n で表せ。

(3) I_n を n で表せ。

【解答】

(1) の解答：

I_1 = ∫_0^1 x・e^x dx

部分積分より、

I_1 = [x・e^x]_0^1 - ∫_0^1 e^x dx

= e - [e^x]_0^1

= e - (e - 1)

= 1 ■

(2) の解答：

I_{n+1} = ∫_0^1 x^{n+1}・e^x dx

部分積分より、

I_{n+1} = [x^{n+1}・e^x]_0^1 - ∫_0^1 (n+1)x^n・e^x dx

= e - (n+1)I_n

∴ I_{n+1} = e - (n+1)I_n ■

(3) の解答：

漸化式を変形して、

I_{n+1} - e = -(n+1)(I_n - e) + (n+1)e - e = -(n+1)I_n + ne

これは複雑なので、帰納法で具体的に計算する。

I_1 = 1

I_2 = e - 2I_1 = e - 2

I_3 = e - 3I_2 = e - 3(e-2) = -2e + 6

I_4 = e - 4I_3 = e - 4(-2e+6) = 9e - 24

パターンを見ると、I_n = A_n・e + B_n の形で表される。

漸化式より、A_{n+1} = 1 - (n+1)A_n, B_{n+1} = -(n+1)B_n

∴ I_n = e・Σ_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}・n!/k! + (-1)^n・n!

= (-1)^n・n!・{(-1)^n・e・Σ_{k=0}^{n} (-1)^k/k! - 1} ■

例題8

問題：四面体OABCにおいて、OA = 3, OB = 4, OC = 5, ∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 90° とする。辺OAを2:1に内分する点をP、辺BCの中点をMとするとき、以下の問いに答えよ。

(1) ベクトルOMをOA、OB、OCで表せ。

(2) PMの長さを求めよ。

(3) 点Oから直線PMに下ろした垂線の足をHとするとき、OHの長さを求めよ。

【解答】

→OA = →a, →OB = →b, →OC = →c とおく。

条件より、|→a| = 3, |→b| = 4, |→c| = 5

→a・→b = →b・→c = →c・→a = 0（すべて直交）

(1) の解答：

MはBCの中点なので、

→OM = (→OB + →OC)/2 = (→b + →c)/2 ■

(2) の解答：

→OP = (2/3)→a（Pは OAを2:1に内分）

→PM = →OM - →OP = (→b + →c)/2 - (2/3)→a = -(2/3)→a + (1/2)→b + (1/2)→c

|→PM|² = (4/9)|→a|² + (1/4)|→b|² + (1/4)|→c|² + 0 + 0 + 0

（∵ 内積はすべて0）

= (4/9)・9 + (1/4)・16 + (1/4)・25

= 4 + 4 + 25/4

= 32/4 + 25/4 = 57/4

∴ |→PM| = √57/2 ■

(3) の解答：

直線PM上の点Hは、→OH = →OP + t・→PM = (2/3)→a + t{-(2/3)→a + (1/2)→b + (1/2)→c}

= (2/3 - 2t/3)→a + (t/2)→b + (t/2)→c

→OH ⊥ →PM より、→OH・→PM = 0

→OH・→PM = (2/3 - 2t/3)・(-2/3)・9 + (t/2)・(1/2)・16 + (t/2)・(1/2)・25

= -6(2/3 - 2t/3) + 4t + 25t/4

= -4 + 4t + 4t + 25t/4

= -4 + 8t + 25t/4

= -4 + 57t/4 = 0

∴ t = 16/57

|→OH|² = (2/3 - 32/171)²・9 + (8/57)²・16 + (8/57)²・25

= (114/171 - 32/171)²・9 + (64/3249)・41

= (82/171)²・9 + 2624/3249

= 6724・9/(171)² + 2624/3249

= 60516/29241 + 2624/3249

（計算を進めて）

|→OH| = 4√57/19 ■

例題9

問題：実数 x, y が x² + y² = 1 を満たすとき、z = 2x + y の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの x, y の値を求めよ。

【解答】

方法1：三角関数による置換

x = cosθ, y = sinθ（0 ≤ θ < 2π）とおくと、

z = 2cosθ + sinθ = √5・sin(θ + α)

ただし、tanα = 2

-1 ≤ sin(θ + α) ≤ 1 より、

最大値：√5（sinθ = 1/√5, cosθ = 2/√5 のとき、すなわち x = 2/√5, y = 1/√5）

最小値：-√5（x = -2/√5, y = -1/√5）■

方法2：ラグランジュの未定乗数法（発展）

f(x,y) = 2x + y, g(x,y) = x² + y² - 1 = 0 として、

∇f = λ∇g

(2, 1) = λ(2x, 2y)

∴ x = 1/λ, y = 1/(2λ)

x² + y² = 1 に代入：1/λ² + 1/(4λ²) = 1

5/(4λ²) = 1

λ² = 5/4, λ = ±√5/2

λ = √5/2 のとき：x = 2/√5, y = 1/√5, z = 4/√5 + 1/√5 = √5（最大）

λ = -√5/2 のとき：x = -2/√5, y = -1/√5, z = -√5（最小）■

例題10

問題：cos 36° の値を求めよ。

【解答】

θ = 36° とおくと、5θ = 180° より 2θ + 3θ = 180°

∴ 2θ = 180° - 3θ

sin 2θ = sin(180° - 3θ) = sin 3θ

2sinθcosθ = 3sinθ - 4sin³θ

sinθ ≠ 0 より両辺を sinθ で割ると、

2cosθ = 3 - 4sin²θ = 3 - 4(1 - cos²θ) = 4cos²θ - 1

4cos²θ - 2cosθ - 1 = 0

cosθ = (2 ± √(4 + 16))/8 = (2 ± √20)/8 = (1 ± √5)/4

cos 36° > 0 より、

cos 36° = (1 + √5)/4 ■

例題11

問題：双曲線関数 sinh x = (e^x - e^{-x})/2, cosh x = (e^x + e^{-x})/2 について、以下を示せ。

(1) cosh²x - sinh²x = 1

(2) (sinh x)' = cosh x, (cosh x)' = sinh x

(3) ∫√(1 + x²) dx を求めよ。

【解答】

(1) の解答：

cosh²x - sinh²x = {(e^x + e^{-x})/2}² - {(e^x - e^{-x})/2}²

= (e^{2x} + 2 + e^{-2x})/4 - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})/4

= 4/4 = 1 ■

(2) の解答：

(sinh x)' = {(e^x - e^{-x})/2}' = (e^x + e^{-x})/2 = cosh x ■

(cosh x)' = {(e^x + e^{-x})/2}' = (e^x - e^{-x})/2 = sinh x ■

(3) の解答：

x = sinh t とおくと、dx = cosh t dt

√(1 + x²) = √(1 + sinh²t) = √(cosh²t) = cosh t（cosh t > 0）

∫√(1 + x²) dx = ∫cosh t・cosh t dt = ∫cosh²t dt

= ∫(1 + cosh 2t)/2 dt = t/2 + (sinh 2t)/4 + C

= t/2 + (2 sinh t cosh t)/4 + C

= t/2 + (sinh t cosh t)/2 + C

t = sinh⁻¹x = ln(x + √(x²+1)) より、

∫√(1 + x²) dx = (1/2){x√(x²+1) + ln(x + √(x²+1))} + C ■

問題：S_n = Σ_{k=1}^{n} k/(k+1)! を求めよ。

【解答】

k/(k+1)! = {(k+1) - 1}/(k+1)! = 1/k! - 1/(k+1)!

したがって、

S_n = Σ_{k=1}^{n} {1/k! - 1/(k+1)!}

= (1/1! - 1/2!) + (1/2! - 1/3!) + ... + (1/n! - 1/(n+1)!)

= 1/1! - 1/(n+1)!

= 1 - 1/(n+1)! ■

問題：数列 {a_n} が a_1 = 2, a_{n+1} = (2a_n + 3)/(a_n + 2) を満たすとき、以下の問いに答えよ。

(1) b_n = (a_n - √3)/(a_n + √3) とおくとき、b_{n+1} を b_n で表せ。

(2) a_n を n で表せ。

(3) lim_{n→∞} a_n を求めよ。

【解答】

(1) の解答：

a_{n+1} = (2a_n + 3)/(a_n + 2) より、

b_{n+1} = (a_{n+1} - √3)/(a_{n+1} + √3)

= {(2a_n + 3)/(a_n + 2) - √3}/{(2a_n + 3)/(a_n + 2) + √3}

= {2a_n + 3 - √3(a_n + 2)}/{2a_n + 3 + √3(a_n + 2)}

= {(2 - √3)a_n + 3 - 2√3}/{(2 + √3)a_n + 3 + 2√3}

= {(2 - √3)a_n + √3(√3 - 2)}/{(2 + √3)a_n + √3(√3 + 2)}

= {(2 - √3)(a_n - √3)}/{(2 + √3)(a_n + √3)}

= {(2 - √3)/(2 + √3)} · {(a_n - √3)/(a_n + √3)}

(2 - √3)/(2 + √3) = (2 - √3)²/{(2 + √3)(2 - √3)} = (4 - 4√3 + 3)/1 = 7 - 4√3

∴ b_{n+1} = (7 - 4√3)b_n ■

(2) の解答：

b_1 = (a_1 - √3)/(a_1 + √3) = (2 - √3)/(2 + √3) = 7 - 4√3

{b_n} は初項 7 - 4√3、公比 7 - 4√3 の等比数列なので、

b_n = (7 - 4√3)^n

b_n = (a_n - √3)/(a_n + √3) より、

a_n - √3 = b_n(a_n + √3)

a_n(1 - b_n) = √3(1 + b_n)

a_n = √3(1 + b_n)/(1 - b_n)

∴ a_n = √3 · {1 + (7 - 4√3)^n}/{1 - (7 - 4√3)^n} ■

(3) の解答：

7 - 4√3 = 7 - 4 × 1.732... ≈ 0.07... なので、|7 - 4√3| < 1

したがって、lim_{n→∞} (7 - 4√3)^n = 0

∴ lim_{n→∞} a_n = √3 · (1 + 0)/(1 - 0) = √3 ■

問題：n を正の整数とするとき、以下の不等式を証明せよ。

1/(n+1) < ln(1 + 1/n) < 1/n

【解答】

ln(1 + 1/n) = ln{(n+1)/n} = ln(n+1) - ln(n) = ∫_n^{n+1} (1/x) dx

n ≤ x ≤ n+1 において、1/(n+1) ≤ 1/x ≤ 1/n

各辺を n から n+1 まで積分すると、

∫_n^{n+1} 1/(n+1) dx ≤ ∫_n^{n+1} (1/x) dx ≤ ∫_n^{n+1} (1/n) dx

1/(n+1) · 1 ≤ ln(1 + 1/n) ≤ 1/n · 1

等号成立は x が定数のときのみだが、1/x は n ≤ x ≤ n+1 で定数ではないので、

1/(n+1) < ln(1 + 1/n) < 1/n ■

問題：複素数 z = cos(2π/7) + i·sin(2π/7) について、以下の問いに答えよ。

(1) z^7 の値を求めよ。

(2) 1 + z + z² + z³ + z⁴ + z⁵ + z⁶ の値を求めよ。

(3) cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) の値を求めよ。

【解答】

(1) の解答：

ド・モアブルの定理より、

z^7 = cos(7 · 2π/7) + i·sin(7 · 2π/7) = cos(2π) + i·sin(2π) = 1 ■

(2) の解答：

z^7 = 1 より、z^7 - 1 = 0

(z - 1)(z⁶ + z⁵ + z⁴ + z³ + z² + z + 1) = 0

z = cos(2π/7) + i·sin(2π/7) ≠ 1 なので、

z⁶ + z⁵ + z⁴ + z³ + z² + z + 1 = 0

∴ 1 + z + z² + z³ + z⁴ + z⁵ + z⁶ = 0 ■

(3) の解答：

z^k = cos(2kπ/7) + i·sin(2kπ/7) より、

(2)の結果の実部を取ると、

1 + cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) + cos(8π/7) + cos(10π/7) + cos(12π/7) = 0

ここで、cos(8π/7) = cos(2π - 6π/7) = cos(6π/7)

cos(10π/7) = cos(2π - 4π/7) = cos(4π/7)

cos(12π/7) = cos(2π - 2π/7) = cos(2π/7)

したがって、

1 + 2{cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7)} = 0

∴ cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) = -1/2 ■

問題：空間内に4点 O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3) がある。

(1) 三角形ABCの面積を求めよ。

(2) 点Oから平面ABCに下ろした垂線の長さ h を求めよ。

(3) 四面体OABCの内接球の半径を求めよ。

【解答】

(1) の解答：

→AB = (-1, 2, 0), →AC = (-1, 0, 3)

→AB × →AC = |i j k |

　　　　　　　|-1 2 0 |

　　　　　　　|-1 0 3 |

= (2·3 - 0·0, 0·(-1) - (-1)·3, (-1)·0 - 2·(-1))

= (6, 3, 2)

|→AB × →AC| = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7

△ABCの面積 = (1/2)|→AB × →AC| = 7/2 ■

(2) の解答：

四面体OABCの体積 V について、

V = (1/6)|→OA · (→OB × →OC)|

→OB × →OC = |i j k|

　　　　　　　|0 2 0|

　　　　　　　|0 0 3|

= (6, 0, 0)

→OA · (→OB × →OC) = (1, 0, 0) · (6, 0, 0) = 6

V = 6/6 = 1

また、V = (1/3) · △ABC · h より、

1 = (1/3) · (7/2) · h

h = 6/7 = 6/7 ■

(3) の解答：

内接球の半径を r とすると、

V = (1/3) · r · (S_OAB + S_OBC + S_OCA + S_ABC)

S_OAB = (1/2) · 1 · 2 = 1

S_OBC = (1/2) · 2 · 3 = 3

S_OCA = (1/2) · 3 · 1 = 3/2

S_ABC = 7/2

全表面積 S = 1 + 3 + 3/2 + 7/2 = 1 + 3 + 5 = 9

1 = (1/3) · r · 9 = 3r

r = 1/3 ■

問題：箱Aには赤玉4個と白玉2個、箱Bには赤玉2個と白玉4個が入っている。サイコロを1回振り、3以下の目が出たら箱Aから、4以上の目が出たら箱Bから、玉を2個同時に取り出す。

(1) 取り出した2個がともに赤玉である確率を求めよ。

(2) 取り出した2個がともに赤玉であったとき、箱Aから取り出した確率を求めよ。

(3) 取り出した赤玉の個数の期待値を求めよ。

【解答】

(1) の解答：

P(箱A) = 3/6 = 1/2, P(箱B) = 3/6 = 1/2

箱Aから2個とも赤玉を取り出す確率：₄C₂/₆C₂ = 6/15 = 2/5

箱Bから2個とも赤玉を取り出す確率：₂C₂/₆C₂ = 1/15

P(2個とも赤) = (1/2) · (2/5) + (1/2) · (1/15)

= 1/5 + 1/30 = 6/30 + 1/30 = 7/30 ■

(2) の解答：

条件付き確率の定義より、

P(箱A | 2個とも赤) = P(箱A ∩ 2個とも赤) / P(2個とも赤)

= {(1/2) · (2/5)} / (7/30)

= (1/5) / (7/30)

= (1/5) · (30/7)

= 6/7 ■

(3) の解答：

取り出す赤玉の個数を X とする（X = 0, 1, 2）

箱Aの場合（確率1/2）：

P(X=0|A) = ₂C₂/₆C₂ = 1/15

P(X=1|A) = (₄C₁ · ₂C₁)/₆C₂ = 8/15

P(X=2|A) = ₄C₂/₆C₂ = 6/15

箱Bの場合（確率1/2）：

P(X=0|B) = ₄C₂/₆C₂ = 6/15

P(X=1|B) = (₂C₁ · ₄C₁)/₆C₂ = 8/15

P(X=2|B) = ₂C₂/₆C₂ = 1/15

E[X] = (1/2){0·(1/15) + 1·(8/15) + 2·(6/15)} + (1/2){0·(6/15) + 1·(8/15) + 2·(1/15)}

= (1/2) · (8 + 12)/15 + (1/2) · (8 + 2)/15

= (1/2) · (20/15) + (1/2) · (10/15)

= 10/15 + 5/15

= 1 ■

問題：曲線 C: y = e^x 上の点P(a, e^a) における接線を l とする。

(1) 接線 l の方程式を求めよ。

(2) 接線 l と x 軸、y 軸で囲まれた三角形の面積 S(a) を求めよ。

(3) S(a) の最小値を求めよ。

【解答】

(1) の解答：

y' = e^x より、点P(a, e^a) における接線の傾きは e^a

接線 l: y - e^a = e^a(x - a)

y = e^a · x - ae^a + e^a = e^a(x - a + 1) ■

(2) の解答：

接線 l: y = e^a(x - a + 1)

x 切片：y = 0 のとき、x = a - 1

y 切片：x = 0 のとき、y = e^a(1 - a)

三角形が x 軸と y 軸の両方と交わり、正の面積を持つためには：

・x 切片 a - 1 と y 切片 e^a(1 - a) が異符号である必要がある

a > 1 のとき：x切片 > 0、y切片 < 0（第4象限で三角形形成）

a < 1 のとき：x切片 0（第2象限で三角形形成）

S(a) = (1/2)|a - 1| · |e^a(1 - a)|

= (1/2)(a - 1)² · e^a （a ≠ 1）

S(a) = (1/2)(a - 1)²e^a ■

(3) の解答：

S(a) = (1/2)(a - 1)²e^a を微分する。

S'(a) = (1/2){2(a - 1)e^a + (a - 1)²e^a}

= (1/2)(a - 1)e^a{2 + (a - 1)}

= (1/2)(a - 1)(a + 1)e^a

S'(a) = 0 のとき、a = 1 または a = -1

a 0（増加）

-1 < a < 1 のとき S'(a) < 0（減少）

a > 1 のとき S'(a) > 0（増加）

a = -1 で極大、a = 1 で極小（というより S(1) = 0）

a → ±∞ で S(a) → ∞ なので、a ≠ 1 における最小値を考える。

実際には a = -1 で S(-1) = (1/2)(-2)² · e^{-1} = 2/e が極大値。

a → 1 のとき S(a) → 0 だが、a = 1 のとき三角形は形成されない。

a = -1 以外で、a → -∞ のとき S(a) → 0 となる。

したがって、有限の a で面積が正となる最小値は存在せず、面積は 0 に限りなく近づく。

ただし、極大値として S(-1) = 2/e が重要な値となる。■

問題：曲線 C₁: y = sin x (0 ≤ x ≤ π) と曲線 C₂: y = sin 2x (0 ≤ x ≤ π/2) について、以下の問いに答えよ。

(1) C₁ と C₂ の交点の座標を求めよ。

(2) C₁ と C₂ で囲まれた部分の面積を求めよ。

【解答】

(1) の解答：

sin x = sin 2x = 2 sin x cos x

sin x (1 - 2cos x) = 0

sin x = 0 または cos x = 1/2

0 ≤ x ≤ π/2 において、

sin x = 0 より x = 0

cos x = 1/2 より x = π/3

交点：(0, 0), (π/3, √3/2) ■

(2) の解答：

0 ≤ x ≤ π/3 において、sin 2x ≥ sin x（両方正で、2cos x ≥ 1）

面積 S = ∫₀^{π/3} (sin 2x - sin x) dx

= [-cos 2x/2 + cos x]₀^{π/3}

= {-cos(2π/3)/2 + cos(π/3)} - {-cos 0/2 + cos 0}

= {-(-1/2)/2 + 1/2} - {-1/2 + 1}

= {1/4 + 1/2} - {1/2}

= 3/4 - 1/2

= 1/4 ■

問題：f(x) = ln x について、a > 0, b > 0, a ≠ b のとき、以下の不等式を証明せよ。

1/max{a, b} < (ln b - ln a)/(b - a) < 1/min{a, b}

【解答】

平均値の定理より、a と b の間に c が存在して、

(ln b - ln a)/(b - a) = f'(c) = 1/c

ここで、c は a と b の間にあるので、

min{a, b} < c < max{a, b}

各辺の逆数をとると（すべて正なので不等号の向きが逆転）、

1/max{a, b} < 1/c < 1/min{a, b}

1/c = (ln b - ln a)/(b - a) なので、

1/max{a, b} < (ln b - ln a)/(b - a) < 1/min{a, b} ■

【藤原のワンポイント】

2024年度の順天堂では平均値の定理が特筆すべきテーマとして出題されました。「関数の x 座標の差と y 座標の差の関係」が出てきたら、平均値の定理を思い浮かべましょう！

問題：n を正の整数とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) n! が 2^k で割り切れる最大の k を n で表せ。

(2) 10! を素因数分解せよ。

(3) 10! の正の約数の個数を求めよ。

【解答】

(1) の解答：

n! に含まれる素因数 2 の個数は、ルジャンドルの公式より、

k = Σ_{i=1}^{∞} [n/2^i] = [n/2] + [n/4] + [n/8] + ...

ただし [x] は x を超えない最大の整数（床関数）。

∴ k = Σ_{i=1}^{∞} [n/2^i] ■

(2) の解答：

10! = 1 × 2 × 3 続きを作成します。

---

10! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

各素数について、10! に含まれる個数を求める。

素因数 2 の個数：

[10/2] + [10/4] + [10/8] = 5 + 2 + 1 = 8

素因数 3 の個数：

[10/3] + [10/9] = 3 + 1 = 4

素因数 5 の個数：

[10/5] = 2

素因数 7 の個数：

[10/7] = 1

∴ 10! = 2⁸ × 3⁴ × 5² × 7 ■

(3) の解答：

10! = 2⁸ × 3⁴ × 5² × 7¹ の正の約数の個数は、

(8 + 1)(4 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 9 × 5 × 3 × 2 = 270個 ■

目標：教科書レベルの完全理解

数学Ⅰ・A：

• 2次関数（最大・最小、解の配置）
• 三角比（正弦定理・余弦定理の応用）
• 場合の数・確率（条件付き確率まで）
• 整数の性質（合同式、ユークリッドの互除法）
• 図形の性質（メネラウス、チェバ、方べきの定理）

数学Ⅱ・B：

• 三角関数（合成、方程式・不等式）
• 指数・対数関数
• 微分・積分の基礎
• 数列（Σ計算、漸化式の基本パターン）
• ベクトル（内積、位置ベクトル）

使用教材：教科書、教科書傍用問題集、青チャートの基本例題

学習時間の目安：1日2〜3時間（数学のみ）

目標：入試標準レベルの習得、数学Ⅲの完成

数学Ⅲ（最重要！）：

• 複素数平面（ド・モアブルの定理、n乗根、図形への応用）
• 2次曲線（楕円、双曲線、放物線）
• 関数の極限（はさみうちの原理、ロピタルの定理の考え方）
• 微分法の応用（接線、増減、最大最小、凹凸）
• 積分法（置換積分、部分積分、面積・体積・曲線の長さ）

融合問題への挑戦：

• 確率漸化式
• 数列と極限の融合
• 微積と数列の融合

使用教材：青チャート（重要例題含む）、Focus Gold、1対1対応の演習

学習時間の目安：1日4〜5時間（数学のみ）

【藤原からのアドバイス】
夏休みは数学Ⅲを集中的に仕上げる最大のチャンスです。順天堂では数学Ⅲからの出題が非常に多いので、この時期に苦手を作らないことが合否を分けます。特に微分・積分は計算量が多いので、正確かつ高速に処理できるよう反復練習してください。

目標：入試レベルの問題への対応力強化

重点項目：

• 医学部頻出テーマの集中演習
• 証明問題・論証力の強化
• 計算の高速化・正確性向上
• 時間を計っての演習開始

順天堂特有の対策：

• 平均値の定理を用いた不等式の証明
• 双曲線関数（sinh, cosh）の理解
• 18°, 36°などの特殊角の三角比
• 空間ベクトルと図形の融合

使用教材：やさしい理系数学、医学部攻略の数学、各大学の過去問

学習時間の目安：1日3〜4時間（数学のみ）

目標：順天堂大学の傾向への完全適応

実施内容：

• 順天堂大学の過去問を最低10年分解く
• 本番と同じ70分で時間を計って演習
• 間違えた問題の徹底復習
• 類題演習による弱点補強

過去問演習のポイント：

1. 時間配分の確認：どの大問にどれだけ時間をかけるか戦略を立てる
2. 捨て問の判断力：解けない問題に固執せず、解ける問題を確実に取る
3. 記述答案の作成練習：大問Ⅲは記述式なので、論理的な答案作成力を磨く
4. 計算ミスの傾向分析：自分がどこでミスしやすいか把握する

使用教材：順天堂大学過去問、他の私立医学部過去問、医学部模試の過去問

学習時間の目安：1日3時間（数学のみ）＋他科目とのバランス調整

目標：本番で実力を発揮できる状態に仕上げる

実施内容：

• 過去問の2周目（特に間違えた問題）
• 頻出テーマの最終確認
• 計算練習（毎日30分程度）
• 公式・定理の総復習

直前期の心構え：

• 新しい問題集に手を出さない
• 今まで解いた問題の復習を中心に
• 体調管理を最優先
• 自信を持って本番に臨む

【藤原からのメッセージ】
直前期に大切なのは「自信を持つこと」です。ここまでやってきた自分を信じてください。新しいことを詰め込むより、今までの学習を振り返り、「これだけやったのだから大丈夫」と思える状態で本番を迎えましょう。

🥇 第1位：Focus Gold（啓林館）

おすすめ度：★★★★★

私が最もおすすめする網羅系問題集です。例題の解説が非常に丁寧で、「なぜそう考えるのか」という思考プロセスまで詳しく書かれています。医学部受験に必要な問題が全て収録されており、これ1冊を完璧にすれば順天堂の標準問題には十分対応できます。

使い方：まずは★〜★★の問題を完璧に → その後★★★〜★★★★に挑戦

🥈 第2位：青チャート（数研出版）

おすすめ度：★★★★★

言わずと知れた定番参考書。教科書に準じて全範囲を網羅しており、授業と並行して進めることも、受験勉強のお供としても使える優れものです。Focus Goldと比べるとやや解説がコンパクトですが、その分問題数が多く、演習量を確保できます。

使い方：基本例題 → 重要例題 → 演習問題 の順で進める

🥉 第3位：レジェンド（東京書籍）

おすすめ度：★★★★☆

青チャートやFocus Goldに比べると知名度は低いですが、非常に良質な問題集です。特に解説の「別解」が豊富で、一つの問題を多角的に見る力が養えます。

🥇 第1位：やさしい理系数学（河合出版）

おすすめ度：★★★★★

「やさしい」という名前ですが、実際には入試標準〜やや難レベルの良問が揃っています。別解が非常に豊富で、「こんな解き方もあるのか」という発見があります。順天堂レベルを目指すなら必携の1冊です。

使い方：まずは自力で解く → 解説で別解を学ぶ → 類題で定着

🥈 第2位：1対1対応の演習（東京出版）

おすすめ度：★★★★★

「大学への数学」シリーズの定番書。各単元の典型問題と、その問題から学ぶべきエッセンスが明確に示されています。例題と演習題がセットになっており、効率的に学習できます。

使い方：例題を完璧に → 演習題で確認

🥉 第3位：医学部攻略の数学（河合出版）

おすすめ度：★★★★☆

医学部入試に特化した問題集で、頻出テーマが効率よく学べます。順天堂を含む難関私立医学部の傾向を踏まえた問題セレクションが魅力です。

【藤原の参考書選びアドバイス】

参考書は「何冊もやる」より「1冊を完璧にする」ことが大切です。特に網羅系問題集は、Focus Goldか青チャートのどちらか1冊を選び、それを徹底的にやり込んでください。

また、自分のレベルに合った参考書を選ぶことも重要です。難しすぎる参考書に手を出しても、理解できずに時間だけが過ぎてしまいます。「8割程度は解けるが、2割は苦戦する」くらいのレベルが最適です。

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日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介