青山学院大学 2011年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！
sukyojuku_adminこんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。今回は青山学院大学 2011年度の数学入試問題を徹底解説していきます。MARCHの一角である青山学院大学は、洗練された出題と適切な難易度で知られていますが、しっかりとした対策をすれば必ず攻略できます。この記事では、各大問の詳細な解説はもちろん、解法のポイントや別解、そして類似問題での練習まで、合格に必要な情報をすべてお届けします。ぜひ最後までお付き合いください！
試験概要・難易度
2011年度 青山学院大学 数学入試の基本情報
| 項目 | 全学部日程 | 理工学部（個別学部日程） |
|---|---|---|
| 試験時間 | 60分 | 100分 |
| 配点 | 100点 | 150点 |
| 出題形式 | マークシート（空欄補充） | 記述式＋マーク式 |
| 大問数 | 4題 | 5題 |
| 出題範囲 | 数学Ⅰ・A・Ⅱ・B | 数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲ |
2011年度の全体講評
2011年度の青山学院大学数学は、例年通りの標準的な難易度でした。全学部日程では、基礎〜標準レベルの問題が中心で、教科書の章末問題レベルをしっかりマスターしていれば十分に対応可能な内容でした。一方、理工学部では数学Ⅲの微分積分が出題され、計算力と正確性が求められる問題構成となっていました。
難易度評価：★★★☆☆（標準）
特徴的だったのは以下の点です：
- 小問集合で幅広い分野から出題（計算力重視）
- 三角関数と積分の融合問題が出題
- 確率の問題は場合分けが重要
- ベクトルは空間図形との融合
- 数列では漸化式の標準問題
合格ラインは全学部日程で70〜75%程度、理工学部で65〜70%程度と推測されます。時間配分を意識しながら、取れる問題を確実に得点することが合格への鍵となります。
大問1：小問集合（計算問題・基本事項の確認）
問題
【問1】次の各問いに答えよ。
(1) $x = dfrac{1}{2-sqrt{3}}$ のとき、$x^2 - 4x + 1$ の値を求めよ。
(2) $log_2 3 = a$, $log_2 5 = b$ とするとき、$log_4 45$ を $a$, $b$ で表せ。
(3) $0 leq theta < 2pi$ のとき、方程式 $2sin^2theta - 3costheta - 3 = 0$ を満たす $theta$ をすべて求めよ。
(4) 不等式 $|2x - 1| leq 3$ を満たす整数 $x$ の個数を求めよ。
(5) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ のとき、$f(x)$ を $x - 2$ で割った余りを求めよ。
解説・解法のポイント
(1) 有理化と式の値
【解法】
まず、$x$ を有理化します。
$$x = frac{1}{2-sqrt{3}} = frac{2+sqrt{3}}{(2-sqrt{3})(2+sqrt{3})} = frac{2+sqrt{3}}{4-3} = 2+sqrt{3}$$
ここで、$x - 2 = sqrt{3}$ より、両辺を2乗すると
$$(x-2)^2 = 3$$
$$x^2 - 4x + 4 = 3$$
$$x^2 - 4x + 1 = 0$$
したがって、答え：$0$
【ポイント】 直接代入して計算するよりも、$x$ が満たす関係式を導く方が計算ミスを防げます。$x = 2 + sqrt{3}$ は $x^2 - 4x + 1 = 0$ の解であることを見抜けると、瞬時に答えが出ます。
(2) 対数の底の変換
【解法】
$log_4 45$ を底2の対数に変換します。
$$log_4 45 = frac{log_2 45}{log_2 4} = frac{log_2 45}{2}$$
ここで、$45 = 9 times 5 = 3^2 times 5$ なので
$$log_2 45 = log_2 (3^2 times 5) = 2log_2 3 + log_2 5 = 2a + b$$
よって
$$log_4 45 = frac{2a + b}{2}$$
したがって、答え：$dfrac{2a+b}{2}$（または $a + dfrac{b}{2}$）
【ポイント】 底の変換公式 $log_a b = dfrac{log_c b}{log_c a}$ を確実に使えるようにしておきましょう。また、数の素因数分解をすばやく行うことも重要です。
(3) 三角方程式
【解法】
$sin^2theta = 1 - cos^2theta$ を用いて、$costheta$ のみの式に変形します。
$$2(1 - cos^2theta) - 3costheta - 3 = 0$$
$$2 - 2cos^2theta - 3costheta - 3 = 0$$
$$-2cos^2theta - 3costheta - 1 = 0$$
$$2cos^2theta + 3costheta + 1 = 0$$
$costheta = t$ とおくと
$$2t^2 + 3t + 1 = 0$$
$$(2t + 1)(t + 1) = 0$$
$$t = -frac{1}{2}, -1$$
$costheta = -dfrac{1}{2}$ のとき、$0 leq theta < 2pi$ より $theta = dfrac{2pi}{3}, dfrac{4pi}{3}$
$costheta = -1$ のとき、$theta = pi$
したがって、答え：$theta = dfrac{2pi}{3}, pi, dfrac{4pi}{3}$
【ポイント】 三角方程式は、まず一つの三角関数に統一することが基本戦略です。$sin^2theta + cos^2theta = 1$ の活用は必須です。
(4) 絶対値を含む不等式
【解法】
$|2x - 1| leq 3$ は
$$-3 leq 2x - 1 leq 3$$
$$-2 leq 2x leq 4$$
$$-1 leq x leq 2$$
この範囲に含まれる整数は $x = -1, 0, 1, 2$ の4個
したがって、答え：$4$個
【ポイント】 $|A| leq B$ の形は $-B leq A leq B$ と変形できます。これは基本中の基本ですが、符号のミスに注意しましょう。
(5) 剰余の定理
【解法】
剰余の定理より、$f(x)$ を $x - 2$ で割った余りは $f(2)$ です。
$$f(2) = 2^3 - 3 times 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$$
したがって、答え：$-2$
【ポイント】 剰余の定理「$f(x)$ を $x - a$ で割った余りは $f(a)$」は必ず覚えておきましょう。組立除法を使う方法もありますが、単に余りを求めるだけなら代入の方が速いです。
別解・発展
(1)の別解： 直接代入する方法
$x = 2 + sqrt{3}$ を代入すると
$$x^2 = (2+sqrt{3})^2 = 4 + 4sqrt{3} + 3 = 7 + 4sqrt{3}$$
$$x^2 - 4x + 1 = 7 + 4sqrt{3} - 4(2+sqrt{3}) + 1 = 7 + 4sqrt{3} - 8 - 4sqrt{3} + 1 = 0$$
この方法でも解けますが、計算量が多くなります。
発展： (1)の $x = 2 + sqrt{3}$ は実は $x^2 - 4x + 1 = 0$ の一つの解であり、もう一つの解は $x = 2 - sqrt{3}$ です。このように、無理数を含む値が2次方程式の解であることを見抜く力は、上位校の入試で役立ちます。
大問2：確率
問題
【問2】赤玉3個、白玉4個、青玉2個が入った袋がある。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、次の確率を求めよ。
(1) 3個とも同じ色である確率
(2) 3色すべてが含まれる確率
(3) 赤玉が少なくとも1個含まれる確率
解説・解法のポイント
【基本情報の整理】
全部で $3 + 4 + 2 = 9$ 個の玉があります。
3個を取り出す全事象の場合の数は
$${}_9C_3 = frac{9 times 8 times 7}{3 times 2 times 1} = 84$$
(1) 3個とも同じ色である確率
【解法】
「3個とも赤」「3個とも白」「3個とも青」の場合を考えます。
- 3個とも赤：赤は3個しかないので、${}_3C_3 = 1$ 通り
- 3個とも白：白は4個あるので、${}_4C_3 = 4$ 通り
- 3個とも青：青は2個しかないので、3個取ることは不可能。0通り
よって、3個とも同じ色になる場合の数は $1 + 4 + 0 = 5$ 通り
$$P = frac{5}{84}$$
したがって、答え：$dfrac{5}{84}$
(2) 3色すべてが含まれる確率
【解法】
赤1個、白1個、青1個を選ぶ場合の数を求めます。
$${}_3C_1 times {}_4C_1 times {}_2C_1 = 3 times 4 times 2 = 24$$
$$P = frac{24}{84} = frac{2}{7}$$
したがって、答え：$dfrac{2}{7}$
(3) 赤玉が少なくとも1個含まれる確率
【解法】
「少なくとも〜」は余事象を使うのが定石です。
（赤玉が少なくとも1個含まれる確率）= 1 −（赤玉が1個も含まれない確率）
赤玉が1個も含まれない場合：白4個と青2個の計6個から3個選ぶ
$${}_6C_3 = frac{6 times 5 times 4}{3 times 2 times 1} = 20$$
$$P = 1 - frac{20}{84} = 1 - frac{5}{21} = frac{16}{21}$$
したがって、答え：$dfrac{16}{21}$
別解・発展
(3)の別解：直接計算
赤が1個、赤が2個、赤が3個の場合をそれぞれ計算して足し合わせる方法です。
- 赤1個：${}_3C_1 times {}_6C_2 = 3 times 15 = 45$ 通り
- 赤2個：${}_3C_2 times {}_6C_1 = 3 times 6 = 18$ 通り
- 赤3個：${}_3C_3 times {}_6C_0 = 1 times 1 = 1$ 通り
合計：$45 + 18 + 1 = 64$ 通り
$$P = frac{64}{84} = frac{16}{21}$$
結果は同じですが、余事象を使う方が圧倒的に計算が楽です。「少なくとも」という表現が出てきたら、まず余事象を考える習慣をつけましょう。
発展：条件付き確率への応用
「赤玉が1個以上含まれるとき、ちょうど1個だけ含まれる確率」のような条件付き確率の問題に発展させることもできます。この場合、分母を「赤玉が1個以上含まれる」という条件に限定して計算します。
大問3：三角関数と定積分
問題
【問3】関数 $f(x) = sin x + cos x$ について、以下の問いに答えよ。
(1) $f(x)$ を $rsin(x + alpha)$ の形に変形せよ。ただし、$r > 0$, $0 < alpha < dfrac{pi}{2}$ とする。
(2) $0 leq x leq pi$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ。
(3) 定積分 $displaystyleint_0^{frac{pi}{2}} (sin x + cos x)^2 dx$ の値を求めよ。
解説・解法のポイント
(1) 三角関数の合成
【解法】
$sin x + cos x$ を $rsin(x + alpha)$ の形に合成します。
$$rsin(x + alpha) = r(sin x cosalpha + cos x sinalpha)$$
これが $sin x + cos x = 1 cdot sin x + 1 cdot cos x$ と一致するためには
$$rcosalpha = 1, quad rsinalpha = 1$$
両辺を2乗して足すと
$$r^2(cos^2alpha + sin^2alpha) = 1 + 1 = 2$$
$$r^2 = 2$$
$$r = sqrt{2} quad (r > 0)$$
また、$tanalpha = dfrac{rsinalpha}{rcosalpha} = dfrac{1}{1} = 1$ より
$0 < alpha < dfrac{pi}{2}$ の範囲で $alpha = dfrac{pi}{4}$
したがって、答え：$f(x) = sqrt{2}sinleft(x + dfrac{pi}{4}right)$
(2) 最大値・最小値
【解法】
$f(x) = sqrt{2}sinleft(x + dfrac{pi}{4}right)$ において
$0 leq x leq pi$ のとき、$dfrac{pi}{4} leq x + dfrac{pi}{4} leq dfrac{5pi}{4}$
この範囲での $sin$ の値を考えると：
- $x + dfrac{pi}{4} = dfrac{pi}{2}$ すなわち $x = dfrac{pi}{4}$ のとき、$sin = 1$（最大）
- $x + dfrac{pi}{4} = dfrac{5pi}{4}$ すなわち $x = pi$ のとき、$sindfrac{5pi}{4} = -dfrac{sqrt{2}}{2}$（最小）
したがって
- 最大値：$sqrt{2}$（$x = dfrac{pi}{4}$ のとき）
- 最小値：$sqrt{2} times left(-dfrac{sqrt{2}}{2}right) = -1$（$x = pi$ のとき）
(3) 定積分の計算
【解法】
まず、被積分関数を展開します。
$$(sin x + cos x)^2 = sin^2 x + 2sin x cos x + cos^2 x$$
$$= 1 + 2sin x cos x = 1 + sin 2x$$
（ここで $sin^2 x + cos^2 x = 1$, $2sin x cos x = sin 2x$ を使用）
よって
$$int_0^{frac{pi}{2}} (1 + sin 2x) dx = left[x - frac{1}{2}cos 2xright]_0^{frac{pi}{2}}$$
$$= left(frac{pi}{2} - frac{1}{2}cospiright) - left(0 - frac{1}{2}cos 0right)$$
$$= left(frac{pi}{2} - frac{1}{2} times (-1)right) - left(0 - frac{1}{2} times 1right)$$
$$= left(frac{pi}{2} + frac{1}{2}right) - left(-frac{1}{2}right)$$
$$= frac{pi}{2} + frac{1}{2} + frac{1}{2} = frac{pi}{2} + 1$$
したがって、答え：$dfrac{pi}{2} + 1$
別解・発展
(1)の別解：$cos$ を使った合成
$sin x + cos x = sqrt{2}cosleft(x - dfrac{pi}{4}right)$ とも表せます。入試では $sin$ と $cos$ どちらで合成してもOKですが、問題の指定に従いましょう。
(3)の別解：合成を利用
$(sin x + cos x)^2 = left(sqrt{2}sinleft(x + dfrac{pi}{4}right)right)^2 = 2sin^2left(x + dfrac{pi}{4}right)$
半角の公式 $sin^2theta = dfrac{1 - cos 2theta}{2}$ を使うと
$$= 2 times frac{1 - cosleft(2x + frac{pi}{2}right)}{2} = 1 - cosleft(2x + frac{pi}{2}right) = 1 + sin 2x$$
（$cosleft(theta + dfrac{pi}{2}right) = -sintheta$ を使用）
結局同じ式になりますが、複数の方法でアプローチできることを知っておくと、本番での柔軟な対応が可能になります。
大問4：数列と漸化式
問題
【問4】数列 ${a_n}$ が次の条件を満たしている。
$$a_1 = 1, quad a_{n+1} = 2a_n + 3$$
(1) $b_n = a_n + 3$ とおくとき、${b_n}$ が等比数列であることを示し、その初項と公比を求めよ。
(2) 数列 ${a_n}$ の一般項を求めよ。
(3) $displaystylesum_{k=1}^{n} a_k$ を求めよ。
解説・解法のポイント
(1) 等比数列の証明
【解法】
$b_n = a_n + 3$ とおくと、$a_n = b_n - 3$ です。
与えられた漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3$ に代入すると
$$b_{n+1} - 3 = 2(b_n - 3) + 3$$
$$b_{n+1} - 3 = 2b_n - 6 + 3$$
$$b_{n+1} - 3 = 2b_n - 3$$
$$b_{n+1} = 2b_n$$
これは ${b_n}$ が公比2の等比数列であることを示しています。
初項は $b_1 = a_1 + 3 = 1 + 3 = 4$
したがって、答え：初項 $4$、公比 $2$ の等比数列
(2) 一般項
【解法】
${b_n}$ は初項4、公比2の等比数列なので
$$b_n = 4 times 2^{n-1} = 2^2 times 2^{n-1} = 2^{n+1}$$
$a_n = b_n - 3$ より
$$a_n = 2^{n+1} - 3$$
したがって、答え：$a_n = 2^{n+1} - 3$
【検算】
- $a_1 = 2^
- $a_1 = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$ ✓
- $a_2 = 2^3 - 3 = 8 - 3 = 5$、漸化式より $a_2 = 2 times 1 + 3 = 5$ ✓
- $a_3 = 2^4 - 3 = 16 - 3 = 13$、漸化式より $a_3 = 2 times 5 + 3 = 13$ ✓
(3) 和の計算
【解法】
$$sum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (2^{k+1} - 3)$$
$$= sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} - sum_{k=1}^{n} 3$$
$$= sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} - 3n$$
ここで、$displaystylesum_{k=1}^{n} 2^{k+1} = 2^2 + 2^3 + 2^4 + cdots + 2^{n+1}$
これは初項 $2^2 = 4$、公比 $2$、項数 $n$ の等比数列の和なので
$$sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} = frac{4(2^n - 1)}{2 - 1} = 4(2^n - 1) = 2^{n+2} - 4$$
よって
$$sum_{k=1}^{n} a_k = 2^{n+2} - 4 - 3n = 2^{n+2} - 3n - 4$$
したがって、答え：$2^{n+2} - 3n - 4$
【検算】
- $n = 1$：$a_1 = 1$、公式より $2^3 - 3 - 4 = 8 - 7 = 1$ ✓
- $n = 2$：$a_1 + a_2 = 1 + 5 = 6$、公式より $2^4 - 6 - 4 = 16 - 10 = 6$ ✓
- $n = 3$：$a_1 + a_2 + a_3 = 1 + 5 + 13 = 19$、公式より $2^5 - 9 - 4 = 32 - 13 = 19$ ✓
別解・発展
(2)の別解：特性方程式を使う方法
漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3$ の特性方程式は
$$alpha = 2alpha + 3$$
$$-alpha = 3$$
$$alpha = -3$$
よって、$a_{n+1} - (-3) = 2(a_n - (-3))$、すなわち $a_{n+1} + 3 = 2(a_n + 3)$
これは問題文で与えられた変換 $b_n = a_n + 3$ と同じです。特性方程式を使えば、どのような変換をすべきかが自動的に導けます。
発展：3項間漸化式への応用
$a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n$ のような3項間漸化式では、特性方程式 $x^2 = px + q$ を解いて得られる2つの解 $alpha$, $beta$ を用いて一般項を求めます。2項間漸化式をマスターしたら、3項間漸化式にも挑戦しましょう。
大問5：ベクトルと空間図形（理工学部）
問題
【問5】空間内に4点 O, A, B, C があり、$vec{OA} = vec{a}$, $vec{OB} = vec{b}$, $vec{OC} = vec{c}$ とする。ただし、$|vec{a}| = 2$, $|vec{b}| = 3$, $|vec{c}| = 1$, $vec{a} cdot vec{b} = 3$, $vec{b} cdot vec{c} = 0$, $vec{c} cdot vec{a} = 1$ である。
(1) $vec{a}$ と $vec{b}$ のなす角 $theta$ を求めよ。
(2) 点 P を $vec{OP} = svec{a} + tvec{b}$（$s$, $t$ は実数）で定めるとき、$|vec{OP}|$ が最小となる $s$, $t$ の値と、そのときの $|vec{OP}|$ を求めよ。ただし、$s + t = 1$ とする。
(3) 四面体 OABC の体積を求めよ。
解説・解法のポイント
(1) なす角の計算
【解法】
内積の定義より
$$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}||vec{b}|costheta$$
$$3 = 2 times 3 times costheta$$
$$costheta = frac{3}{6} = frac{1}{2}$$
$0 leq theta leq pi$ より
$$theta = frac{pi}{3}$$
したがって、答え：$theta = dfrac{pi}{3}$（または60°）
(2) 最小値問題
【解法】
$s + t = 1$ より $t = 1 - s$ とおくと
$$vec{OP} = svec{a} + (1-s)vec{b} = svec{a} + vec{b} - svec{b} = vec{b} + s(vec{a} - vec{b})$$
$|vec{OP}|^2$ を計算します。
$$|vec{OP}|^2 = |svec{a} + (1-s)vec{b}|^2$$
$$= s^2|vec{a}|^2 + 2s(1-s)vec{a} cdot vec{b} + (1-s)^2|vec{b}|^2$$
$$= s^2 times 4 + 2s(1-s) times 3 + (1-s)^2 times 9$$
$$= 4s^2 + 6s(1-s) + 9(1-s)^2$$
$$= 4s^2 + 6s - 6s^2 + 9(1 - 2s + s^2)$$
$$= 4s^2 + 6s - 6s^2 + 9 - 18s + 9s^2$$
$$= (4 - 6 + 9)s^2 + (6 - 18)s + 9$$
$$= 7s^2 - 12s + 9$$
これを $s$ の2次関数と見て、最小値を求めます。
$$f(s) = 7s^2 - 12s + 9 = 7left(s^2 - frac{12}{7}sright) + 9$$
$$= 7left(s - frac{6}{7}right)^2 - 7 times frac{36}{49} + 9$$
$$= 7left(s - frac{6}{7}right)^2 - frac{36}{7} + 9$$
$$= 7left(s - frac{6}{7}right)^2 + frac{-36 + 63}{7}$$
$$= 7left(s - frac{6}{7}right)^2 + frac{27}{7}$$
よって、$s = dfrac{6}{7}$ のとき最小値 $dfrac{27}{7}$ をとります。
このとき $t = 1 - dfrac{6}{7} = dfrac{1}{7}$
$|vec{OP}|^2 = dfrac{27}{7}$ より $|vec{OP}| = sqrt{dfrac{27}{7}} = dfrac{3sqrt{3}}{sqrt{7}} = dfrac{3sqrt{21}}{7}$
したがって、答え：$s = dfrac{6}{7}$, $t = dfrac{1}{7}$, $|vec{OP}| = dfrac{3sqrt{21}}{7}$
(3) 四面体の体積
【解法】
四面体 OABC の体積 $V$ は
$$V = frac{1}{6}|(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}|$$
ここで、スカラー三重積の2乗は以下の公式で計算できます。
$$|(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}|^2 = begin{vmatrix} vec{a} cdot vec{a} & vec{a} cdot vec{b} & vec{a} cdot vec{c} \ vec{b} cdot vec{a} & vec{b} cdot vec{b} & vec{b} cdot vec{c} \ vec{c} cdot vec{a} & vec{c} cdot vec{b} & vec{c} cdot vec{c} end{vmatrix}$$
与えられた条件より
$$= begin{vmatrix} 4 & 3 & 1 \ 3 & 9 & 0 \ 1 & 0 & 1 end{vmatrix}$$
行列式を展開します（第1行で展開）。
$$= 4 begin{vmatrix} 9 & 0 \ 0 & 1 end{vmatrix} - 3 begin{vmatrix} 3 & 0 \ 1 & 1 end{vmatrix} + 1 begin{vmatrix} 3 & 9 \ 1 & 0 end{vmatrix}$$
$$= 4(9 times 1 - 0 times 0) - 3(3 times 1 - 0 times 1) + 1(3 times 0 - 9 times 1)$$
$$= 4 times 9 - 3 times 3 + 1 times (-9)$$
$$= 36 - 9 - 9 = 18$$
よって $|(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}| = sqrt{18} = 3sqrt{2}$
$$V = frac{1}{6} times 3sqrt{2} = frac{sqrt{2}}{2}$$
したがって、答え：$V = dfrac{sqrt{2}}{2}$
別解・発展
(3)の別解：底面積×高さの方法
△OAB を底面とし、C から底面に下ろした垂線の長さを $h$ とすると
$$V = frac{1}{3} times frac{1}{2}|vec{a} times vec{b}| times h$$
$|vec{a} times vec{b}|^2 = |vec{a}|^2|vec{b}|^2 - (vec{a} cdot vec{b})^2 = 4 times 9 - 9 = 27$
よって $|vec{a} times vec{b}| = 3sqrt{3}$
高さ $h$ は、$vec{c}$ の $vec{a} times vec{b}$ 方向への射影の長さ、すなわち
$$h = frac{|(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}|}{|vec{a} times vec{b}|} = frac{3sqrt{2}}{3sqrt{3}} = frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$$
$$V = frac{1}{3} times frac{1}{2} times 3sqrt{3} times frac{sqrt{6}}{3} = frac{1}{6} times 3sqrt{3} times frac{sqrt{6}}{3} = frac{sqrt{18}}{6} = frac{3sqrt{2}}{6} = frac{sqrt{2}}{2}$$
結果は同じになります。行列式を使う方法と、底面積×高さの方法、両方使えるようにしておきましょう。
大問6：微分と積分（理工学部・数学Ⅲ）
問題
【問6】関数 $f(x) = e^x sin x$（$0 leq x leq pi$）について、以下の問いに答えよ。
(1) $f'(x)$ を求めよ。
(2) $f(x)$ の極値を求めよ。
(3) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積 $S$ を求めよ。
解説・解法のポイント
(1) 導関数の計算
【解法】
積の微分法を用います。
$$f'(x) = (e^x)' sin x + e^x (sin x)'$$
$$= e^x sin x + e^x cos x$$
$$= e^x (sin x + cos x)$$
したがって、答え：$f'(x) = e^x(sin x + cos x)$
【別の表現】 三角関数の合成を用いると
$$f'(x) = sqrt{2}e^x sinleft(x + frac{pi}{4}right)$$
(2) 極値の計算
【解法】
$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。
$e^x > 0$ より、$sin x + cos x = 0$
$$tan x = -1$$
$0 leq x leq pi$ の範囲で $x = dfrac{3pi}{4}$
$f'(x)$ の符号を調べます。$f'(x) = sqrt{2}e^x sinleft(x + dfrac{pi}{4}right)$ と表せるので
- $0 < x < dfrac{3pi}{4}$ のとき：$dfrac{pi}{4} < x + dfrac{pi}{4} 0$、よって $f'(x) > 0$
- $dfrac{3pi}{4} < x < pi$ のとき：$pi < x + dfrac{pi}{4} < dfrac{5pi}{4}$ より $sinleft(x + dfrac{pi}{4}right) < 0$、よって $f'(x) < 0$
したがって、$x = dfrac{3pi}{4}$ で極大となります。
$$fleft(frac{3pi}{4}right) = e^{frac{3pi}{4}} sinfrac{3pi}{4} = e^{frac{3pi}{4}} times frac{sqrt{2}}{2} = frac{sqrt{2}}{2}e^{frac{3pi}{4}}$$
したがって、答え：$x = dfrac{3pi}{4}$ で極大値 $dfrac{sqrt{2}}{2}e^{frac{3pi}{4}}$
（この範囲では極小値はありません）
(3) 面積の計算
【解法】
$0 leq x leq pi$ において、$sin x geq 0$ より $f(x) = e^x sin x geq 0$
よって求める面積は
$$S = int_0^{pi} e^x sin x , dx$$
部分積分を2回行います。
$I = displaystyleint e^x sin x , dx$ とおくと
1回目の部分積分：
$$I = e^x sin x - int e^x cos x , dx$$
2回目の部分積分：
$$int e^x cos x , dx = e^x cos x - int e^x (-sin x) , dx = e^x cos x + int e^x sin x , dx = e^x cos x + I$$
これを代入すると
$$I = e^x sin x - (e^x cos x + I)$$
$$I = e^x sin x - e^x cos x - I$$
$$2I = e^x (sin x - cos x)$$
$$I = frac{e^x (sin x - cos x)}{2}$$
よって
$$S = left[frac{e^x (sin x - cos x)}{2}right]_0^{pi}$$
$$= frac{e^{pi}(sinpi - cospi)}{2} - frac{e^0(sin 0 - cos 0)}{2}$$
$$= frac{e^{pi}(0 - (-1))}{2} - frac{1 times (0 - 1)}{2}$$
$$= frac{e^{pi}}{2} - frac{-1}{2}$$
$$= frac{e^{pi}}{2} + frac{1}{2} = frac{e^{pi} + 1}{2}$$
したがって、答え：$S = dfrac{e^{pi} + 1}{2}$
別解・発展
部分積分の公式化
$displaystyleint e^{ax} sin bx , dx$ と $displaystyleint e^{ax} cos bx , dx$ は頻出なので、公式として覚えておくと便利です。
$$int e^{ax} sin bx , dx = frac{e^{ax}(asin bx - bcos bx)}{a^2 + b^2} + C$$
$$int e^{ax} cos bx , dx = frac{e^{ax}(acos bx + bsin bx)}{a^2 + b^2} + C$$
$a = 1$, $b = 1$ の場合
$$int e^x sin x , dx = frac{e^x(sin x - cos x)}{2} + C$$
これを使えば、積分計算が一瞬で終わります。ただし、導出過程を理解した上で使いましょう。
この年度の重要テーマと対策
2011年度に見られた重要テーマ
2011年度の青山学院大学数学では、以下のテーマが重点的に出題されました。
1. 計算力の重視
小問集合での有理化、対数計算、三角方程式など、正確かつ迅速な計算力が求められました。青山学院大学の数学は、難問奇問よりも標準問題を確実に解く力が重要です。日頃から計算練習を怠らないようにしましょう。
2. 三角関数の合成
$asin x + bcos x$ の形を $rsin(x + alpha)$ に合成する技術は必須です。最大値・最小値問題や方程式・不等式の問題で頻繁に使われます。
3. 確率の「少なくとも」問題
「少なくとも1つ」という条件は、余事象を使うのが鉄則です。直接数えるよりも圧倒的に楽になります。
4. 漸化式と数列の和
$a_{n+1} = pa_n + q$ の形の漸化式は、特性方程式を使って等比数列に帰着させます。一般項を求めた後の和の計算では、等比数列の和の公式を正確に使えることが重要です。
5. ベクトルの内積と図形への応用
内積の計算、なす角の計算、そしてスカラー三重積を用いた四面体の体積計算は、理工学部では必出です。
6. 数学Ⅲの微積分（理工学部）
積の微分法、部分積分法は確実にマスターしておく必要があります。$e^x sin x$, $e^x cos x$ の積分は頻出パターンです。
効果的な対策法
- 教科書の章末問題を完璧に：青学の問題は教科書レベルの延長線上にあります。
- 計算練習を毎日行う：毎日15分でも計算練習の時間を確保しましょう。
- 時間を計って過去問演習：60分（または100分）で解く練習を繰り返しましょう。
- 頻出パターンの暗記：漸化式の解法、三角関数の合成、積分公式など、パターンとして身につけましょう。
- ミスノートの作成：計算ミスや読み間違いをノートに記録し、同じミスを繰り返さないようにしましょう。
類似問題で練習しよう（練習問題3問）
練習問題1：三角関数の合成と最大・最小
【問題】
関数 $f(x) = 3sin x - sqrt{3}cos x$（$0 leq x leq pi$）について、最大値と最小値を求めよ。
【解答・解説】
$3sin x - sqrt{3}cos x$ を合成します。
$$r = sqrt{3^2 + (sqrt{3})^2} = sqrt{9 + 3} = sqrt{12} = 2sqrt{3}$$
$$3sin x - sqrt{3}cos x = 2sqrt{3}left(frac{3}{2sqrt{3}}sin x - frac{sqrt{3}}{2sqrt{3}}cos xright)$$
$$= 2sqrt{3}left(frac{sqrt{3}}{2}sin x - frac{1}{2}cos xright)$$
$$= 2sqrt{3}sinleft(x - frac{pi}{6}right)$$
$0 leq x leq pi$ のとき、$-dfrac{pi}{6} leq x - dfrac{pi}{6} leq dfrac{5pi}{6}$
この範囲で $sin$ の最大値は $sindfrac{pi}{2} = 1$（$x = dfrac{2pi}{3}$ のとき）
最小値は $sinleft(-dfrac{pi}{6}right) = -dfrac{1}{2}$（$x = 0$ のとき）
答え：最大値 $2sqrt{3}$（$x = dfrac{2pi}{3}$）、最小値 $-sqrt{3}$（$x = 0$）
練習問題2：漸化式と一般項
【問題】
数列 ${a_n}$ が $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n - 4$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。
【解答・解説】
特性方程式 $alpha = 3alpha - 4$ より $alpha = 2$
よって $a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2)$
$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ で $b_1 = a_1 - 2 = 0$</p
$b_1 = a_1 - 2 = 2 - 2 = 0$
${b_n}$ は初項 $0$、公比 $3$ の等比数列なので、$b_n = 0 times 3^{n-1} = 0$
したがって $a_n = b_n + 2 = 0 + 2 = 2$
答え：$a_n = 2$（すべての項が2の定数列）
【検算】 $a_1 = 2$, $a_2 = 3 times 2 - 4 = 2$, $a_3 = 3 times 2 - 4 = 2$ ✓
【ポイント】 初項が特性方程式の解と一致する場合、数列は定数列になります。これは見落としやすいパターンなので注意しましょう。
練習問題3：空間ベクトルと体積
【問題】
空間内に4点 O, A, B, C があり、$vec{OA} = vec{a}$, $vec{OB} = vec{b}$, $vec{OC} = vec{c}$ とする。$|vec{a}| = 1$, $|vec{b}| = 2$, $|vec{c}| = 3$, $vec{a} cdot vec{b} = 1$, $vec{b} cdot vec{c} = 3$, $vec{c} cdot vec{a} = 0$ のとき、四面体 OABC の体積を求めよ。
【解答・解説】
四面体の体積公式 $V = dfrac{1}{6}|(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}|$ を使います。
スカラー三重積の2乗は
$$|(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}|^2 = begin{vmatrix} vec{a} cdot vec{a} & vec{a} cdot vec{b} & vec{a} cdot vec{c} \ vec{b} cdot vec{a} & vec{b} cdot vec{b} & vec{b} cdot vec{c} \ vec{c} cdot vec{a} & vec{c} cdot vec{b} & vec{c} cdot vec{c} end{vmatrix} = begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \ 1 & 4 & 3 \ 0 & 3 & 9 end{vmatrix}$$
第1行で展開すると
$$= 1 times begin{vmatrix} 4 & 3 \ 3 & 9 end{vmatrix} - 1 times begin{vmatrix} 1 & 3 \ 0 & 9 end{vmatrix} + 0 times begin{vmatrix} 1 & 4 \ 0 & 3 end{vmatrix}$$
$$= 1 times (36 - 9) - 1 times (9 - 0) + 0$$
$$= 27 - 9 = 18$$
よって $|(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}| = sqrt{18} = 3sqrt{2}$
$$V = frac{1}{6} times 3sqrt{2} = frac{sqrt{2}}{2}$$
答え：$V = dfrac{sqrt{2}}{2}$
さらなる練習のために
上記の練習問題が解けたら、以下のテーマにも取り組んでみましょう。
- 確率：条件付き確率、期待値の計算
- 数列：階差数列、Σ計算の工夫
- 微分積分：置換積分、回転体の体積
- ベクトル：直線と平面の方程式、点と平面の距離
過去問を繰り返し解くことで、青山学院大学の出題傾向と自分の弱点が見えてきます。弱点を克服しながら、得意分野をさらに伸ばしていきましょう。
青山学院大学 数学攻略のための時間配分
最後に、試験本番での時間配分についてアドバイスします。
全学部日程（60分・4題）の場合
大問 目安時間 内容 大問1（小問集合） 15分 確実に全問正解を目指す 大問2 12分 標準問題を着実に 大問3 12分 計算ミスに注意 大問4 15分 やや難の場合あり 見直し 6分 計算の検算、マークミスの確認 理工学部（100分・5題）の場合
大問 目安時間 内容 大問1・2（基本〜標準） 30分 ここで確実に得点 大問3 20分 数学Ⅲの微積分 大問4 20分 ベクトルまたは数列 大問5 20分 総合問題 見直し 10分 記述の論理確認、計算検算 【重要ポイント】
- 難しい問題に時間をかけすぎない（飛ばして後で戻る）
- 小問集合は満点を狙う
- 最後の5〜10分は必ず見直しに使う
- マークシートは慎重に（ズレに注意）
日本数学塾・数強塾で青山学院大学合格を目指そう
ここまで2011年度の青山学院大学数学の過去問解説をお届けしてきました。いかがでしたでしょうか？
青山学院大学の数学は、「基礎〜標準レベルの問題を、いかに正確に、素早く解けるか」が勝負の分かれ目です。難問に手を出すよりも、まずは教科書レベルの完全理解と、頻出パターンの習得が合格への近道となります。
しかし、独学で勉強していると、以下のような悩みを抱える受験生も多いのではないでしょうか。
- 「解説を読んでも、なぜそうなるのかわからない」
- 「自分の弱点がどこなのか、客観的に把握できない」
- 「時間配分がうまくいかず、本番で焦ってしまう」
- 「モチベーションが続かない」
そんな方には、プロの講師による個別指導をおすすめします。
日本数学塾について
日本数学塾は、数学専門のオンライン個別指導塾です。経験豊富な講師陣が、一人ひとりの学力レベルと目標に合わせたオーダーメイドのカリキュラムで指導します。
- ✅ 完全1対1のマンツーマン指導
- ✅ 現役東大生・難関大出身の講師陣
- ✅ オンラインだから全国どこからでも受講可能
- ✅ 青山学院大学をはじめ、MARCH合格実績多数
数強塾について
数強塾は、「数学が苦手」を「数学が得意」に変える、数学特化型のオンライン塾です。基礎からしっかり固めたい方も、応用力を伸ばしたい方も、一人ひとりに最適な指導を受けられます。
- ✅ 数学専門だからこそできる深い指導
- ✅ 映像授業と個別指導のハイブリッド
- ✅ 定期テスト対策から入試対策まで対応
- ✅ 無料体験授業で相性を確認できる
無料体験のご案内
「本当に自分に合っているか不安…」という方のために、無料体験授業をご用意しています。
無料体験では、
- 現在の学力レベルの診断
- 志望校合格までの学習プランの提案
- 実際の授業の体験
を行います。強引な勧誘は一切ありませんので、お気軽にお申し込みください。
最後に
青山学院大学は、MARCHの中でも人気の高い大学です。競争率も高く、合格するためには効率的かつ効果的な学習が欠かせません。
この記事で解説した2011年度の問題は、青山学院大学数学の典型的な出題パターンを含んでいます。ここで紹介した解法やポイントをしっかり身につけ、類似問題で繰り返し練習することで、確実に合格力を高めることができます。
皆さんの青山学院大学合格を、心から応援しています！
日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介
