埼玉大学 2003年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は埼玉大学 2003年度（平成15年度）の数学入試問題を徹底解説していきます。埼玉大学は関東圏の国立大学として人気が高く、数学の問題は基礎から応用まで幅広く出題されます。2003年度の問題は、数列・漸化式、二次関数、ベクトル、微分積分など、高校数学の重要分野がバランスよく出題された年度でした。

「過去問は解いたけど、なぜその解法なのかわからない」「もっと効率的な解き方はないの？」という声をよく聞きます。この記事では、単なる解答の提示ではなく、「なぜその発想に至るのか」「どこに着目すべきか」という思考プロセスを丁寧に解説していきます。

それでは、藤原先生と一緒に埼玉大学の数学を攻略していきましょう！

試験概要・難易度

2003年度 埼玉大学 入試情報

全体講評

2003年度の埼玉大学数学は、全体的に標準レベルの問題が中心でした。奇をてらった難問は少なく、教科書や標準的な問題集でしっかり演習を積んでいれば、十分に対応できる内容でした。

【難易度評価】

• 経済・教育学部：★★★☆☆（標準）
• 理学部・工学部：★★★☆☆〜★★★★☆（標準〜やや難）

【2003年度の特徴】

1. 計算力重視：複雑な発想は必要ないが、正確な計算力が求められる
2. 典型問題の出題：漸化式、微分積分、ベクトルなど定番テーマが多い
3. 論証力の重視：証明問題が複数出題され、論理的な記述が求められる
4. 時間配分が鍵：すべての問題を解ききるには、効率的な時間配分が必要

それでは、各大問を詳しく見ていきましょう。

大問1：二次関数と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

【藤原先生の着眼点】

この問題は、二次関数の基本的な性質を理解しているかを問う問題です。「放物線がx軸と2点で交わる」という条件から判別式 D > 0 を使うこと、「点を通る」という条件から連立方程式を立てること、この2つの発想がすぐに浮かぶようにしておきましょう。

（1）の解答

Step 1：点(1, 2)を通る条件

放物線 y = x² + ax + b が点(1, 2)を通るので、

2 = 1² + a·1 + b

2 = 1 + a + b

a + b = 1 ……①

Step 2：x軸と2点で交わる条件

放物線がx軸と2点で交わるためには、判別式 D > 0 が必要です。

D = a² − 4b > 0

①より b = 1 − a を代入すると、

a² − 4(1 − a) > 0

a² + 4a − 4 > 0

この二次不等式を解きます。

a = (−4 ± √(16 + 16))/2 = (−4 ± √32)/2 = (−4 ± 4√2)/2 = −2 ± 2√2

【答え】

a + b = 1 かつ（a −2 + 2√2）

（2）の解答

Step 1：面積公式の準備

放物線 y = x² + ax + b とx軸で囲まれる面積は、いわゆる「6分の1公式」を使います。

y = x² + ax + b = 0 の2つの解を α, β（α < β）とすると、

S = ∫_α^β |x² + ax + b| dx = (1/6)|β − α|³

Step 2：|β − α|の計算

解と係数の関係より、

• α + β = −a
• αβ = b = 1 − a

（β − α）² = (α + β)² − 4αβ = a² − 4(1 − a) = a² + 4a − 4

よって、

|β − α| = √(a² + 4a − 4)

Step 3：面積の式

S = (1/6)(a² + 4a − 4)^(3/2)

（3）の解答

Step 1：Sを最小にする条件

S = (1/6)(a² + 4a − 4)^(3/2) を最小にするには、a² + 4a − 4 を最小にすればよいです。

f(a) = a² + 4a − 4 = (a + 2)² − 8

これは a = −2 で最小値 −8 をとりますが、条件 a² + 4a − 4 > 0 より、a = −2 は使えません。

Step 2：境界での値

条件 a > −2 + 2√2（または a < −2 − 2√2）を満たす範囲で、a² + 4a − 4 が最小となるのは、境界に近づくときです。

a → −2 + 2√2 のとき、a² + 4a − 4 → 0⁺

しかし、a = −2 + 2√2 のとき D = 0 となり、放物線はx軸と接してしまいます。

したがって、面積Sは0に限りなく近づくが、最小値は存在しない（下限は0だが、達成されない）。

【注意】問題の解釈によっては、a > −2 + 2√2 の範囲で「面積Sの最小値」を問うている可能性があります。その場合、下限値は0（a → −2 + 2√2 のとき）と答えます。

別解・発展

【別解：直接積分による方法】

6分の1公式を覚えていない場合は、直接積分で計算することもできます。

S = −∫_α^β (x² + ax + b) dx

= −[(1/3)x³ + (a/2)x² + bx]_α^β

これを展開して計算すると、同じ結果が得られます。ただし、計算量が増えるため、試験本番では6分の1公式を使うことをお勧めします。

【発展：n分の1公式】

放物線とx軸で囲まれる面積に関連して、以下の公式も覚えておくと便利です：

• 放物線と直線で囲まれる面積：(1/6)|a|(β − α)³
• 放物線と放物線で囲まれる面積：|a₁ − a₂|/6 × (β − α)³

大問2：連立漸化式と数列

問題

解説・解法のポイント

【藤原先生の着眼点】

連立漸化式は、埼玉大学をはじめとする国公立大学で頻出のテーマです。この問題のポイントは、(1)の誘導をうまく活用することです。「aₙ + 2bₙ = 3ⁿ」という形が与えられているということは、この式を使って解けということです！

（1）の解答

方針：数学的帰納法で証明する

Step 1：n = 1 のとき

a₁ + 2b₁ = 1 + 2·1 = 3 = 3¹

よって、n = 1 のとき成り立つ。

Step 2：n = k のとき成り立つと仮定

aₖ + 2bₖ = 3ᵏ ……(*) と仮定する。

Step 3：n = k + 1 のとき

aₖ₊₁ + 2bₖ₊₁ = (aₖ + 4bₖ) + 2(aₖ + bₖ)

= aₖ + 4bₖ + 2aₖ + 2bₖ

= 3aₖ + 6bₖ

= 3(aₖ + 2bₖ)

= 3·3ᵏ（仮定(*)より）

= 3ᵏ⁺¹

よって、n = k + 1 のときも成り立つ。

Step 4：結論

数学的帰納法により、すべての自然数nに対して aₙ + 2bₙ = 3ⁿ が成り立つ。

（2）の解答

方針：(1)の結果を利用して連立漸化式を解く

Step 1：bₙ を消去する

(1)より、bₙ = (3ⁿ − aₙ)/2

これを aₙ₊₁ = aₙ + 4bₙ に代入すると、

aₙ₊₁ = aₙ + 4·(3ⁿ − aₙ)/2

= aₙ + 2(3ⁿ − aₙ)

= aₙ + 2·3ⁿ − 2aₙ

= −aₙ + 2·3ⁿ

よって、aₙ₊₁ = −aₙ + 2·3ⁿ ……(**)

Step 2：特性方程式を解く

漸化式 aₙ₊₁ = −aₙ + 2·3ⁿ の特殊解を求めます。

aₙ = c·3ⁿ と仮定して代入すると、

c·3ⁿ⁺¹ = −c·3ⁿ + 2·3ⁿ

3c·3ⁿ = (−c + 2)·3ⁿ

3c = −c + 2

4c = 2

c = 1/2

よって、特殊解は aₙ = (1/2)·3ⁿ

Step 3：一般解を求める

cₙ = aₙ − (1/2)·3ⁿ とおくと、

cₙ₊₁ = aₙ₊₁ − (1/2)·3ⁿ⁺¹

= (−aₙ + 2·3ⁿ) − (3/2)·3ⁿ

= −aₙ + (1/2)·3ⁿ

= −(aₙ − (1/2)·3ⁿ)

= −cₙ

よって、{cₙ} は公比 −1 の等比数列。

c₁ = a₁ − (1/2)·3 = 1 − 3/2 = −1/2

cₙ = (−1/2)·(−1)ⁿ⁻¹ = (−1)ⁿ/2

Step 4：aₙの一般項

aₙ = cₙ + (1/2)·3ⁿ = (−1)ⁿ/2 + (1/2)·3ⁿ

aₙ = (3ⁿ + (−1)ⁿ)/2

【検算】

• n = 1：a₁ = (3 + (−1))/2 = 2/2 = 1 ✓
• n = 2：a₂ = a₁ + 4b₁ = 1 + 4 = 5、公式：(9 + 1)/2 = 5 ✓
• n = 3：b₂ = a₁ + b₁ = 2、a₃ = a₂ + 4b₂ = 5 + 8 = 13、公式：(27 − 1)/2 = 13 ✓

別解・発展

【別解：行列を用いた解法】

連立漸化式は行列で表すと見通しがよくなります。

ベクトル xₙ = (aₙ, bₙ)ᵀ とすると、

xₙ₊₁ = Axₙ　ただし A = [[1, 4], [1, 1]]

行列Aの固有値を求めると、

det(A − λI) = (1−λ)² − 4 = λ² − 2λ − 3 = (λ−3)(λ+1) = 0

λ = 3, −1

対角化を用いて解くと、同じ一般項が得られます。

【別解：3項間漸化式に帰着】

bₙ を消去して aₙ のみの漸化式を作ることもできます。

aₙ₊₁ = aₙ + 4bₙ より、bₙ = (aₙ₊₁ − aₙ)/4

bₙ₊₁ = aₙ + bₙ に代入すると、

(aₙ₊₂ − aₙ₊₁)/4 = aₙ + (aₙ₊₁ − aₙ)/4

aₙ₊₂ − aₙ₊₁ = 4aₙ + aₙ₊₁ − aₙ

aₙ₊₂ = 2aₙ₊₁ + 3aₙ

特性方程式 t² = 2t + 3 の解は t = 3, −1 で、一般項 aₙ = A·3ⁿ + B·(−1)ⁿ が得られます。

大問3：ベクトルと平面図形

問題

解説・解法のポイント

【藤原先生の着眼点】

この問題は、ベクトルと円の性質を組み合わせた総合問題です。特に(3)の「方べきの定理」、(4)の「最大値問題」がポイントになります。

（1）の解答

点DはBCをt:(1−t)に内分するので、

AD = AB + BD

= AB + t·BC

= AB + t(AC − AB)

AD = (1−t)AB + tAC

（2）の解答

余弦定理を用いて cos∠BAC を求めます。

BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos∠BAC

36 = 25 + 16 − 2·5·4·cos∠BAC

36 = 41 − 40cos∠BAC

40cos∠BAC = 5

cos∠BAC = 1/8

（3）の解答

方針：方べきの定理を利用

点Aから見て、直線AEと円の交点がD, Eなので、方べきの定理より、

AD·AE = AB·AC'（Aを通る任意の弦について一定）

ここで、直線ABと円の交点（Aと異なる点）をB'、直線ACと円の交点（Aと異なる点）をC'とすると、実際にはこの形では使えません。

正しいアプローチ：べきの定理（割線）

Aを通る直線が円と2点D, Eで交わるとき、

AD·AE は「Aの円に対するべき」の絶対値に等しくなります。

しかし、Aは円周上の点なので、べきは0です。これは矛盾？

再考：問題の解釈

ADの延長とは、A→D→Eの順に並んでいることを意味します。方べきの定理（円の弦）より、

AD·DE = BD·DC（点Dを通る2弦AE, BCについて）

BD = t·BC = 6t、DC = (1−t)·BC = 6(1−t) より、

BD·DC = 6t·6(1−t) = 36t(1−t)

また、AD² = |AD|² を計算します。

AD = (1−t)AB + tAC より、

AD² = (1−t)²|AB|² +

AD² = (1−t)²|AB|² + 2t(1−t)AB·AC + t²|AC|²

ここで、

• |AB|² = 25
• |AC|² = 16
• AB·AC = |AB||AC|cos∠BAC = 5·4·(1/8) = 5/2

よって、

AD² = 25(1−t)² + 2t(1−t)·(5/2) + 16t²

= 25(1−t)² + 5t(1−t) + 16t²

= 25(1 − 2t + t²) + 5t − 5t² + 16t²

= 25 − 50t + 25t² + 5t − 5t² + 16t²

= 25 − 45t + 36t²

AD² = 36t² − 45t + 25

方べきの定理の適用：

点Dを通る2つの弦AE, BCについて、

DA·DE = DB·DC

AD·DE = 36t(1−t)

AE = AD + DE より、DE = AE − AD

AD·(AE − AD) = 36t(1−t)

AD·AE − AD² = 36t(1−t)

AD·AE = AD² + 36t(1−t)

AD·AE = (36t² − 45t + 25) + 36t − 36t²

AD·AE = −9t + 25

AD·AE = 25 − 9t

（4）の解答

方針：AEをtの関数として表し、最大値を求める

AD·AE = 25 − 9t より、

AE = (25 − 9t)/AD

AD = √(36t² − 45t + 25) なので、

AE = (25 − 9t)/√(36t² − 45t + 25)

AEを最大にするには、f(t) = AE² を最大にすればよい。

f(t) = (25 − 9t)²/(36t² − 45t + 25)

f'(t) = 0 となるtを求めます。

分子を u = 25 − 9t、分母を v = 36t² − 45t + 25 とおくと、

u' = −9、v' = 72t − 45

f'(t) = (u'v − uv')/v² = 0 より、u'v − uv' = 0

−9(36t² − 45t + 25) − (25 − 9t)(72t − 45) = 0

−324t² + 405t − 225 − (1800t − 1125 − 648t² + 405t) = 0

−324t² + 405t − 225 − 1800t + 1125 + 648t² − 405t = 0

324t² − 1800t + 900 = 0

t² − (25/9)·t + 25/9 = 0（両辺を324で割って整理）

計算を整理すると、

324t² − 1800t + 900 = 0

81t² − 450t + 225 = 0（両辺を4で割る）

(9t − 15)² = 225 − 225 + ...

判別式を計算：D = 450² − 4·81·225 = 202500 − 72900 = 129600 = 360²

t = (450 ± 360)/(2·81) = (450 ± 360)/162

t = 810/162 = 5 または t = 90/162 = 5/9

0 < t < 1 より、

t = 5/9

別解・発展

【別解：三角形の面積比を利用】

点Dの位置をパラメータtで表す代わりに、BD:DC = m:n として解くこともできます。その場合、Stewart（スチュワート）の定理を使うと、ADの長さを直接計算できます。

【発展：トレミーの定理】

円に内接する四角形ABECについて、トレミーの定理

AB·CE + AC·BE = AE·BC

を用いるアプローチもあります。

大問4：微分法と極値

問題

解説・解法のポイント

【藤原先生の着眼点】

3次関数の問題は国公立大学の定番です。この問題では、(1)で基本的な極値計算、(2)でグラフの交点の個数、(3)で解と係数の関係を使います。特に(3)の「等間隔」という条件の扱い方がポイントです。

（1）の解答

Step 1：f'(x) を求める

f(x) = x³ − 3ax

f'(x) = 3x² − 3a = 3(x² − a) = 3(x − √a)(x + √a)

a > 0 より √a > 0 なので、f'(x) = 0 となるのは x = ±√a

Step 2：増減表

Step 3：極値の計算

極大値：f(−√a) = (−√a)³ − 3a(−√a) = −a√a + 3a√a = 2a√a = 2a^(3/2)

極小値：f(√a) = (√a)³ − 3a(√a) = a√a − 3a√a = −2a√a = −2a^(3/2)

極大値：2a√a（x = −√a のとき）
極小値：−2a√a（x = √a のとき）

（2）の解答

方針：グラフの概形から条件を読み取る

y = f(x) = x³ − 3ax のグラフは、

• x → −∞ のとき y → −∞
• x = −√a で極大値 2a√a
• x = √a で極小値 −2a√a
• x → +∞ のとき y → +∞

直線 y = b がこの曲線と異なる3点で交わるためには、b が極大値と極小値の間にあればよい。

−2a√a < b < 2a√a
（または −2a^(3/2) < b < 2a^(3/2)）

（3）の解答

方針：3次方程式の解の性質を利用

x³ − 3ax = b、すなわち x³ − 3ax − b = 0 の3つの解が α, β, γ（α < β < γ）

Step 1：解と係数の関係

• α + β + γ = 0
• αβ + βγ + γα = −3a
• αβγ = b

Step 2：等間隔の条件

β − α = γ − β より、2β = α + γ

α + β + γ = 0 と合わせると、

β + 2β = 0

3β = 0

β = 0

Step 3：b の値を求める

β = 0 は x³ − 3ax − b = 0 の解なので、

0³ − 3a·0 − b = 0

−b = 0

b = 0

【検算】

b = 0 のとき、x³ − 3ax = 0、x(x² − 3a) = 0

x = 0, ±√(3a)

α = −√(3a), β = 0, γ = √(3a)

β − α = √(3a), γ − β = √(3a)　✓ 等間隔になっている

別解・発展

【別解：対称性を利用】

f(x) = x³ − 3ax は奇関数（f(−x) = −f(x)）なので、グラフは原点に関して点対称です。b = 0 のとき、3つの交点は x = 0 を中心に対称に配置されるため、等間隔になることがすぐにわかります。

【発展：3次方程式の解の公式】

3次方程式 x³ + px + q = 0 の解は、カルダノの公式で表されます。この問題では p = −3a, q = −b として解を具体的に求めることも可能ですが、試験では解と係数の関係を使う方が実用的です。

大問5：積分法と面積・体積

問題

解説・解法のポイント

【藤原先生の着眼点】

指数関数と直線の組み合わせは積分の頻出テーマです。この問題では、(1)で交点を求め、(2)で面積、(3)で回転体の体積と、段階的に計算していきます。特に(3)の体積計算では、「上の曲線」と「下の曲線」の判別が重要です。

（1）の解答

e^x = e·x を解きます。

Step 1：グラフの概形を考える

y = e^x は指数関数、y = e·x は原点を通る傾き e の直線です。

Step 2：x = 1 を代入

e^1 = e、e·1 = e より、x = 1 で交わることがわかります。

Step 3：接点の確認

y = e^x の x = 1 における接線の傾きは (e^x)' |_{x=1} = e

これは直線 y = e·x の傾きと一致します。

また、接線は点 (1, e) を通り、傾き e なので y − e = e(x − 1)、すなわち y = e·x

よって、直線 l は曲線 C の x = 1 における接線であり、交点は (1, e) の1点のみ。

交点：(1, e)（接点）

【注意】曲線と直線が「接する」場合、囲まれる部分は存在しないため、問題文の解釈に注意が必要です。おそらく、問題は「曲線 y = e^x、直線 y = e·x、およびy軸で囲まれる部分」または別の設定を意図している可能性があります。

以下、曲線 y = e^x、x軸、直線 x = 0, x = 1 で囲まれる部分と解釈して解答を続けます。

（2）の解答（修正版）

曲線 y = e^x、直線 y = e·x、y軸（x = 0）で囲まれる部分の面積

0 ≤ x ≤ 1 の範囲で、e^x と e·x の大小を比較します。

x = 0：e^0 = 1、e·0 = 0 → e^x > e·x

x = 1：e^1 = e、e·1 = e → e^x = e·x

f(x) = e^x − e·x とおくと、f(0) = 1 > 0、f(1) = 0

f'(x) = e^x − e = 0 のとき x = 1

0 < x < 1 で f'(x) = e^x − e < 0（e^x < e）

よって、0 ≤ x ≤ 1 で e^x ≥ e·x（等号は x = 1 のみ）

S = ∫₀¹ (e^x − e·x) dx

= [e^x − (e/2)x²]₀¹

= (e − e/2) − (1 − 0)

= e/2 − 1

S = (e − 2)/2

（3）の解答

x軸のまわりに回転させた体積を求めます。

V = π∫₀¹ {(e^x)² − (e·x)²} dx

= π∫₀¹ (e^{2x} − e²x²) dx

= π[(1/2)e^{2x} − (e²/3)x³]₀¹

= π{(e²/2 − e²/3) − (1/2 − 0)}

= π{e²/6 − 1/2}

= π(e² − 3)/6

V = π(e² − 3)/6

別解・発展

【別解：バウムクーヘン積分】

y軸のまわりに回転させる場合は、バウムクーヘン積分（円筒殻法）が有効です。

V = 2π∫₀¹ x(e^x − e·x) dx

【発展：パップス・ギュルダンの定理】

面積Sの図形の重心が距離rの位置にあるとき、回転体の体積は V = 2πrS となります。この定理を使うと、複雑な積分を避けられることがあります。

この年度の重要テーマと対策

2003年度の出題傾向まとめ

重要ポイント①：連立漸化式の解法パターン

埼玉大学では漸化式の問題が頻出です。特に連立漸化式は以下の3つの解法を押さえておきましょう：

1. 和・差をとる方法：aₙ + bₙ や aₙ − bₙ を作って等比数列に帰着
2. 行列を用いる方法：固有値・固有ベクトルで対角化（理系向け）
3. 3項間漸化式に帰着：一方の変数を消去して単独の漸化式を作る

重要ポイント②：方べきの定理の活用

円と直線に関する問題では、方べきの定理が強力な武器になります：

• 弦と弦：PA·PB = PC·PD
• 接線と割線：PT² = PA·PB
• 点のべき：r² − d²（dは中心からの距離）

重要ポイント③：3次関数の性質

3次関数 f(x) = ax³ + bx² + cx + d の重要性質：

• 変曲点は極大点と極小点の中点
• f(x) − k = 0 が3実解をもつ条件は、極大値 > k > 極小値
• 解と係数の関係を使って3解の性質を調べる

対策のポイント

【計算力の強化】

埼玉大学の問題は、発想よりも正確な計算力が求められます。普段から計算ミスを減らす訓練をしましょう。

【典型問題の習熟】

奇をてらった問題は少ないので、教科書レベル〜標準問題集（青チャート、1対1対応など）を完璧にすることが合格への近道です。

【時間配分の練習】

90分（または120分）で全問を解ききるには、1問あたりの時間配分が重要です。過去問演習で時間感覚を身につけましょう。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：連立漸化式

【解答】

Step 1：和と差を考える

cₙ = aₙ + bₙ とおくと、

cₙ₊₁ = aₙ₊₁ + bₙ₊₁ = (2aₙ + bₙ) + (aₙ + 2bₙ) = 3aₙ + 3bₙ = 3cₙ

c₁ = a₁ + b₁ = 3 より、cₙ = 3ⁿ

dₙ = aₙ − bₙ とおくと、

dₙ₊₁ = aₙ₊₁ − bₙ₊₁ = (2aₙ + bₙ) − (aₙ + 2bₙ) = aₙ − bₙ = dₙ

d₁ = a₁ − b₁ = 1 より、dₙ = 1

Step 2：aₙ, bₙ を求める

aₙ = (cₙ + dₙ)/2 = (3ⁿ + 1)/2

bₙ = (cₙ − dₙ)/2 = (3ⁿ − 1)/2

aₙ = (3ⁿ + 1)/2, bₙ = (3ⁿ − 1)/2

練習問題2：3次関数と接線

【解答】

Step 1：接線の方程式を求める

y = x³ − 3x より、y' = 3x² − 3

点P(t, t³ − 3t)における接線の傾きは 3t² − 3

接線の方程式：

y − (t³ − 3t) = (3t² − 3)(x − t)

y = (3t² − 3)x − 3t³ + 3t + t³ − 3t

y = (3t² − 3)x − 2t³

Step 2：曲線との交点を求める

x³ − 3x = (3t² − 3)x − 2t³

x³ − 3x − (3t² − 3)x + 2t³ = 0

x³ − 3t²x + 2t³ = 0

Step 3：因数分解

x = t は重解（接点）なので、(x − t)² を因数にもつ。

x³ − 3t²x + 2t³ = (x − t)²(x + 2t)

【確認】(x − t)²(x + 2t) = (x² − 2tx + t²)(x + 2t)

= x³ + 2tx² − 2tx² − 4t²x + t²x + 2t³

= x³ − 3t²x + 2t³ ✓

Step 4：点Qの座標

x = −2t より、

y = (−2t)³ − 3(−2t) = −8t³ + 6t

Q(−2t, −8t³ + 6t)

練習問題3：ベクトルと内積

【解答】

(1) 内積の計算

AB·AC = |AB||AC|cos∠BAC = 4 × 3 × cos60° = 12 × (1/2) = 6

(2) DEの長さ

まず、AD と AE を求めます。

点Dは BCを2:1に内分するので、

AD = AB + BD = AB + (2/3)BC

= AB + (2/3)(AC − AB)

= (1/3)AB + (2/3)AC

点Eは ACを1:2に内分するので、

AE = (1/3)AC

DE = AE − AD = (1/3)AC − (1/3)AB − (2/3)AC

= −(1/3)AB − (1/3)AC

= −(1/3)(AB + AC)

|DE|² = (1/9)|AB + AC|²

= (1/9)(|AB|² + 2AB·AC + |AC|²)

= (1/9)(16 + 12 + 9)

= 37/9

DE = √37/3

(3) ∠ADEの大きさ

DA = −AD = −(1/3)AB − (2/3)AC

DA·DE を計算します。

DA·DE = {−(1/3)AB − (2/3)AC}·{−(1/3)AB − (1/3)AC}

= (1/9)|AB|² + (1/9)AB·AC + (2/9)AB·AC + (2/9)|AC|²

= (1/9)×16 + (3/9)×6 + (2/9)×9

= 16/9 + 18/9 + 18/9

= 52/9

|DA|² = (1/9)|AB|² + (4/9)AB·AC + (4/9)|AC|²

= 16/9 + 24/9 + 36/9 = 76/9

|DA| = √76/3 = 2√19/3

cos∠ADE = (DA·DE)/(|DA||DE|)

= (52/9) / {(2√19/3)(√37/3)}

= (52/9) / (2√703/9)

= 52 / (2√703)

= 26/√703

= 26√703/703

cos∠ADE = 26/√703 = 26√703/703
（∠ADE = arccos(26/√703) ≈ 11.3°）

埼玉大学合格のための学習アドバイス

学習スケジュールの目安

【高校2年生〜高校3年生春】

• 教科書の例題・章末問題を完璧に
• 青チャートor基礎問題精講のA・B問題
• 苦手分野の克服

【高校3年生 夏】

• 標準問題集の完成（青チャートC問題、1対1対応など）
• 共通テスト対策の開始
• 埼玉大学の過去問を1〜2年分解いて傾向を把握

【高校3年生 秋〜冬】

• 過去問演習（10年分以上）
• 時間を計って本番形式で演習
• 弱点分野の補強

分野別の優先度

よくあるミスと対策

1. 計算ミス

→ 途中計算を丁寧に書く習慣をつける。検算の時間を確保する。

2. 場合分けの漏れ

→ 「a > 0, a = 0, a < 0」などの場合分けを意識する。

3. 問題文の読み間違い

→ 条件を下線で引きながら読む。解答前に条件を再確認する。

4. 時間配分のミス

→ 難しい問題に固執せず、解ける問題から確実に得点する。

日本数学塾・数強塾で埼玉大学合格を目指そう

いかがでしたか？2003年度の埼玉大学数学入試問題の解説をお届けしました。

埼玉大学の数学は、基礎から標準レベルの問題を確実に解く力が求められます。奇問・難問は少ないですが、その分、計算ミスや基本事項の理解不足が致命傷になります。

「解き方はわかったけど、自分一人では勉強が進まない…」
「どの問題集をやればいいかわからない…」
「苦手な分野がなかなか克服できない…」

そんな悩みを抱えている方は、ぜひ日本数学塾・数強塾にご相談ください！

最後に

数学は「わかる」と「できる」の間に大きな壁があります。この記事を読んで「なるほど」と思っても、実際に手を動かして解いてみないと、本当の力は身につきません。

ぜひ、今日から過去問演習を始めてください。そして、わからないところがあれば、遠慮なく質問してください。日本数学塾・数強塾は、あなたの埼玉大学合格を全力でサポートします！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

関連記事：
・埼玉大学 2004年度 数学 過去問解説
・埼玉大学 2002年度 数学 過去問解説
・【保存版】連立漸化式の解法パターン完全まとめ
・国公立大学 数学対策の基本戦略

※この記事で扱った問題は、2003年度埼玉大学入学試験で出題された問題を参考に作成しています。実際の出題内容と異なる場合があります。最新の入試情報は、埼玉大学公式サイトでご確認ください。