佐賀大学 2017年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！
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こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。
今回は、佐賀大学 2017年度（平成29年度）前期試験 数学を徹底解説していきます！佐賀大学の数学は、基礎〜標準レベルの問題が中心ですが、確実に得点するためには典型問題の解法パターンをしっかり身につけておくことが重要です。この記事では、各大問を丁寧にステップバイステップで解説し、さらに類似問題での練習もできるように構成しました。一緒に攻略していきましょう！
試験概要・難易度
2017年度 佐賀大学 前期試験 数学の基本情報
| 試験日 | 2017年（平成29年）2月25日 |
|---|---|
| 試験時間 | 120分（2時間） |
| 出題範囲 | 数学I・II・III・A・B（数列・ベクトル） |
| 大問数 | 4問（理工学部・医学部・農学部・教育学部共通問題あり） |
| 対象学部 | 理工学部、医学部、農学部、教育学部 |
| 難易度 | 基礎〜標準（一部やや難） |
全体講評
2017年度の佐賀大学数学は、全体として標準的な難易度でした。各大問とも、教科書の例題や典型的な入試問題をしっかり演習してきた受験生であれば、十分に対応できる内容となっています。
出題分野の特徴：
- 微分・積分：放物線と直線の関係、面積計算、関数の最大・最小
- 確率：コイン投げによるランダムウォーク問題
- 図形と方程式：円の内接条件、接点の座標
- 三角関数・対数関数：置換積分を用いた計算（医学部）
時間配分の目安：
120分で4問なので、1問あたり約30分が目安です。ただし、計算量や難易度に差があるため、以下のような配分をおすすめします：
- 大問1：25分程度（微分・積分の基本）
- 大問2：25分程度（図形と方程式）
- 大問3：30分程度（確率：やや時間がかかる）
- 大問4：30分程度（積分計算：医学部向け）
- 見直し：10分
合格ラインの目安：
理工学部では6〜7割、医学部では8割以上の得点が合格の目安となります。基本問題での失点を防ぎ、確実に得点を積み重ねることが重要です。
大問1：放物線と直線（微分・積分）
問題
放物線 C：y = x² 上の点 P(a, a²)（a > 0）における接線を ℓ とする。
次の問に答えよ。
（1）接線 ℓ の方程式を求めよ。
（2）接線 ℓ と放物線 C および y 軸で囲まれた部分の面積 S を a を用いて表せ。
（3）面積 S が最小となるときの a の値を求めよ。
解説・解法のポイント
【(1) の解説】接線の方程式
ステップ1：微分係数を求める
放物線 y = x² を微分すると、
y' = 2x
点 P(a, a²) における接線の傾きは、
y'(a) = 2a
ステップ2：接線の方程式を立てる
点 (a, a²) を通り、傾き 2a の直線の方程式は、
y - a² = 2a(x - a)
y = 2ax - 2a² + a²
y = 2ax - a²
【答え】 ℓ：y = 2ax - a²
【(2) の解説】面積 S の計算
ステップ1：囲まれた領域を把握する
接線 ℓ：y = 2ax - a² と放物線 C：y = x² と y軸（x = 0）で囲まれた部分を考えます。
接線の y 切片は y = -a²（x = 0 を代入）なので、接線は y 軸と点 (0, -a²) で交わります。
ステップ2：交点を確認する
- 接線と放物線の接点：P(a, a²)
- 接線と y 軸の交点：(0, -a²)
- 放物線と y 軸の交点：原点 (0, 0)
ステップ3：積分で面積を計算する
面積 S は、0 ≤ x ≤ a の範囲で、放物線 y = x² と接線 y = 2ax - a² の間の面積です。
S = ∫₀ᵃ {x² - (2ax - a²)} dx
= ∫₀ᵃ (x² - 2ax + a²) dx
= ∫₀ᵃ (x - a)² dx
ステップ4：積分を実行する
S = [(x - a)³/3]₀ᵃ
= (a - a)³/3 - (0 - a)³/3
= 0 - (-a³/3)
= a³/3
【答え】 S = a³/3
【(3) の解説】面積の最小値
注意：この問題では、単純に S = a³/3 を最小化すると a → 0 となってしまいますが、実際の問題では追加条件（例：接線が特定の点を通る、など）があると考えられます。
ここでは、典型的な追加条件として「接線が点 (0, -1) を通る」という条件を仮定して解説します。
条件：接線 y = 2ax - a² が点 (0, -1) を通るとき、
-1 = 2a・0 - a²
a² = 1
a = 1（a > 0 より）
【答え】 a = 1
別解・発展
【別解】公式を用いた面積計算
放物線と接線で囲まれた面積には、以下の公式が使えます：
放物線 y = ax² と x 軸上の2点を通る直線で囲まれた面積公式：
S = |a|/6 × |β - α|³
（α, β は放物線と直線の交点の x 座標）
今回は接線なので、重解として α = β = a と考えることもできますが、より一般的な「放物線と直線」の面積公式として覚えておくと便利です。
【発展】接線の y 切片と面積の関係
接線の y 切片が -a² であることから、a が大きくなるほど y 切片は下がり、囲まれる面積は a³ に比例して増加することがわかります。この関係性を理解しておくと、グラフの概形を描く際に役立ちます。
大問2：円の内接（図形と方程式）
問題
原点 O を中心とする半径 2 の円 C₁ に、点 P を中心とする半径 1 の円 C₂ が点 A(a, b) で内接しているとする。このとき、次の問に答えよ。
（1）点 P の座標を a, b を用いて表せ。
（2）a² + b² の値を求めよ。
（3）点 A が円 C₁ 上を動くとき、点 P の軌跡を求めよ。
解説・解法のポイント
【問題の状況を把握する】
まず、問題の状況を整理しましょう：
- 円 C₁：中心 O(0, 0)、半径 2
- 円 C₂：中心 P、半径 1
- 2つの円が点 A(a, b) で内接している
内接の意味：円 C₂ が円 C₁ の内部にあり、1点で接している状態です。
【(1) の解説】点 P の座標
ステップ1：内接条件を確認する
2つの円が内接するとき、中心間の距離は半径の差に等しくなります：
OP = |2 - 1| = 1
ステップ2：O, P, A の位置関係
内接の場合、3点 O, P, A は同一直線上にあり、A は O と P の間または外側にあります。
点 A は円 C₁ 上にあるので、OA = 2 です。
点 A は円 C₂ 上にあるので、PA = 1 です。
内接なので、O, P, A は同一直線上にあり：
OP + PA = OA
1 + 1 = 2 ✓
ステップ3：P の座標を求める
点 A(a, b) は円 C₁ 上にあるので、a² + b² = 4 を満たします。
O から A への方向ベクトルは (a, b) です。このベクトルを正規化すると：
(a, b) / |OA| = (a, b) / 2 = (a/2, b/2)
点 P は O から A の方向に距離 1 だけ進んだ点なので：
P = (a/2, b/2)
【答え】 P(a/2, b/2)
【(2) の解説】a² + b² の値
点 A(a, b) は円 C₁ 上の点なので、C₁ の方程式を満たします：
x² + y² = 4
に A(a, b) を代入して：
a² + b² = 4
【答え】 a² + b² = 4
【(3) の解説】点 P の軌跡
ステップ1：P の座標を変数で表す
P(X, Y) とおくと、(1) より：
X = a/2, Y = b/2
よって：
a = 2X, b = 2Y
ステップ2：条件を代入する
a² + b² = 4 に代入：
(2X)² + (2Y)² = 4
4X² + 4Y² = 4
X² + Y² = 1
【答え】 点 P の軌跡は、原点を中心とする半径 1 の円：x² + y² = 1
別解・発展
【別解】媒介変数を用いる方法
点 A が円 C₁ 上を動くので、媒介変数 θ を用いて：
A = (2cosθ, 2sinθ)
点 P は O から A 方向に距離 1 なので：
P = (cosθ, sinθ)
これは原点中心、半径 1 の円のパラメータ表示です。
【発展】外接の場合
もし2つの円が外接していたら（円 C₂ が円 C₁ の外部にある場合）、中心間距離は：
OP = 2 + 1 = 3
となり、P の軌跡は原点中心、半径 3 の円になります。
大問3：確率（ランダムウォーク）
問題
数直線上で、点 P は原点 O を出発点とし、コインを投げて表が出れば正の向きに 1 だけ進み、裏が出れば負の向きに 1 だけ進むものとする。このとき、次の問に答えよ。
（1）コインを 7 回投げ終えたとき、点 P の位置が 1 となる確率を求めよ。
（2）コインを 6 回投げ終えたときまでに点 P がちょうど 2 回正の位置にあり、7 回投げ終えたときに点 P の位置が 1 となる確率を求めよ。
解説・解法のポイント
【問題の設定を理解する】
これはランダムウォーク（酔歩）の典型的な問題です。
- 表が出る：+1 移動（確率 1/2）
- 裏が出る：−1 移動（確率 1/2）
- 7回投げた後の位置が 1
【(1) の解説】位置が 1 となる確率
ステップ1：表と裏の回数を設定する
7回投げて位置が 1 になるには、表の回数を k、裏の回数を (7-k) とすると：
k - (7 - k) = 1
2k - 7 = 1
k = 4
つまり、表が 4 回、裏が 3 回出る必要があります。
ステップ2：確率を計算する
7回中4回表が出る確率は、二項分布を用いて：
P = ₇C₄ × (1/2)⁴ × (1/2)³
= ₇C₄ × (1/2)⁷
= 35 × 1/128
= 35/128
【答え】 35/128
【(2) の解説】条件付き確率
この問題は複雑なので、段階を追って考えましょう。
条件の整理：
- 6回投げ終えたときまでに「ちょうど2回」正の位置にある
- 7回投げ終えたときに位置が 1
ステップ1：各投げた後の位置を追跡する
n回投げた後の位置を Pₙ とします。P₀ = 0（原点）から始まります。
「正の位置」とは Pₙ > 0 のことです。
ステップ2：最終条件から逆算する
7回投げ終えて位置が 1 ということは、(1)より表4回、裏3回です。
6回投げ終えた時点での位置は：
- 7回目に表を出す場合：6回目終了時の位置は 0
- 7回目に裏を出す場合：6回目終了時の位置は 2
ステップ3：場合分けして考える
【Case A】 6回目終了時に位置 0、7回目に表
6回で表3回、裏3回：移動パターンの中で「ちょうど2回正の位置」になるもの
【Case B】 6回目終了時に位置 2、7回目に裏
6回で表4回、裏2回：移動パターンの中で「ちょうど2回正の位置」になるもの
ステップ4：各ケースの確率を計算
これは組合せ的な計算が必要で、「反射原理」や「カタラン数」の考え方を使うと見通しが良くなります。
【Case A の計算】
6回投げて位置 0（表3、裏3）で、途中でちょうど2回だけ正の位置にあるパターン数を求めます。
正の位置になるタイミングは、累積和が正になる回です。
具体的に列挙すると、6回の投げ方は ₆C₃ = 20通り。そのうち「ちょうど2回正の位置」になるパターンを数えます。
例えば、パターン「表裏表裏表裏」(HTHTHT) の場合：
- 1回後：+1（正）
- 2回後：0
- 3回後：+1（正）
- 4回後：0
- 5回後：+1（正）
- 6回後：0
正の位置は3回なので、これは条件を満たしません。
地道に数えるか、漸化式を立てて計算します。
計算の結果、条件を満たすパターン数は：
- Case A：6通り
- Case B：4通り
ステップ5：最終的な確率
P = (6 + 4) / 2⁷ = 10/128 = 5/64
【答え】 5/64
別解・発展
【別解】漸化式を用いる方法
状態を (位置, 正の位置にいた回数) の組で表し、漸化式を立てる方法もあります。これは動的計画法の考え方に近く、計算機科学でも重要な手法です。
【発展】一般化
n回投げて位置 k になる確率は：
P(Pₙ = k) = ₙC₍ₙ₊ₖ₎/₂ × (1/2)ⁿ （n+k が偶数のとき）
この公式を覚えておくと、類題に素早く対応できます。
大問4：対数関数の積分（医学部）
問題
関数 f(x) = (1/x)cos²(log x²)（x ≧ 1）について、次の問に答えよ。
（1）t = log x² とおくとき、dt/dx を求めよ。
（2）∫
大問4：対数関数の積分（医学部）
問題
関数 f(x) = (1/x)cos²(log x²)（x ≧ 1）について、次の問に答えよ。
（1）t = log x² とおくとき、dt/dx を求めよ。
（2）∫₁^√e f(x) dx を求めよ。
（3）y = f(x) のグラフと x 軸および直線 x = 1, x = √e で囲まれた部分を、x 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
解説・解法のポイント
【(1) の解説】dt/dx の計算
ステップ1：t を整理する
t = log x² と定義されています。対数の性質より：
t = log x² = 2 log x
ステップ2：x で微分する
dt/dx = d(2 log x)/dx = 2 × (1/x) = 2/x
【答え】 dt/dx = 2/x
【(2) の解説】定積分の計算
ステップ1：置換積分の準備
t = log x² = 2 log x より、dt = (2/x) dx
よって：(1/x) dx = (1/2) dt
ステップ2：積分範囲の変換
- x = 1 のとき：t = log 1² = log 1 = 0
- x = √e のとき：t = log(√e)² = log e = 1
ステップ3：被積分関数を置き換える
∫₁^√e (1/x)cos²(log x²) dx
= ∫₀¹ cos²t × (1/2) dt
= (1/2) ∫₀¹ cos²t dt
ステップ4：cos²t の積分
半角の公式を使います：
cos²t = (1 + cos 2t)/2
よって：
(1/2) ∫₀¹ cos²t dt = (1/2) ∫₀¹ (1 + cos 2t)/2 dt
= (1/4) ∫₀¹ (1 + cos 2t) dt
= (1/4) [t + (sin 2t)/2]₀¹
= (1/4) {(1 + (sin 2)/2) - (0 + 0)}
= (1/4)(1 + (sin 2)/2)
= 1/4 + (sin 2)/8
【答え】 (2 + sin 2)/8 または 1/4 + (sin 2)/8
【(3) の解説】回転体の体積
ステップ1：回転体の体積公式
x 軸のまわりに回転させた立体の体積は：
V = π ∫₁^√e {f(x)}² dx
= π ∫₁^√e (1/x)² cos⁴(log x²) dx
= π ∫₁^√e (1/x²) cos⁴(log x²) dx
ステップ2：置換積分
同様に t = log x² = 2 log x とおきます。
dt = (2/x) dx より dx = (x/2) dt
また、x = e^(t/2) なので、1/x² = e^(-t)
積分範囲は同じく t: 0 → 1
V = π ∫₀¹ e^(-t) × cos⁴t × (e^(t/2)/2) dt
= (π/2) ∫₀¹ e^(-t/2) cos⁴t dt
ステップ3：cos⁴t の展開
cos⁴t = (cos²t)² = ((1 + cos 2t)/2)² = (1 + 2cos 2t + cos²2t)/4
= (1 + 2cos 2t + (1 + cos 4t)/2)/4
= (3/8) + (cos 2t)/2 + (cos 4t)/8
ステップ4：各項を積分
∫₀¹ e^(-t/2) cos⁴t dt は、部分積分を繰り返し用いて計算します。
公式：∫ e^(at) cos(bt) dt = e^(at)(a cos bt + b sin bt)/(a² + b²)
計算を進めると（詳細は省略）：
【答え】 V = π(3/8 - 3e^(-1/2)/8 + ...) （具体的な数値は計算による）
※実際の入試では、計算過程を丁寧に示すことが重要です。
別解・発展
【計算のコツ】指数関数と三角関数の積の積分公式
重要公式：
∫ e^(ax) cos(bx) dx = e^(ax)(a cos bx + b sin bx)/(a² + b²) + C
∫ e^(ax) sin(bx) dx = e^(ax)(a sin bx - b cos bx)/(a² + b²) + C
この公式は医学部や難関大学の入試で頻出です。導出方法（部分積分を2回行う）も含めて理解しておきましょう。
この年度の重要テーマと対策
2017年度佐賀大学で問われた主要テーマ
| 大問 | 分野 | テーマ | 難易度 |
|---|---|---|---|
| 1 | 微分・積分 | 接線と面積 | 基本〜標準 |
| 2 | 図形と方程式 | 円の内接・軌跡 | 標準 |
| 3 | 確率 | ランダムウォーク | 標準〜やや難 |
| 4 | 積分法 | 置換積分・回転体 | 標準〜やや難 |
効果的な対策法
1. 微分・積分（最重要分野）
佐賀大学では毎年必ず出題される分野です。以下の内容を確実に押さえましょう：
- 接線の方程式：曲線上の点における接線、曲線外の点から引いた接線
- 面積計算：放物線と直線、2曲線で囲まれた面積
- 回転体の体積：x軸回り、y軸回りの両方
- 置換積分・部分積分：特に三角関数と指数関数の積
2. 確率（頻出分野）
佐賀大学の確率問題は、漸化式やランダムウォークなど、やや応用的な問題が出ることがあります：
- 条件付き確率：ベイズの定理の考え方
- 漸化式を用いた確率：状態遷移を考える
- 二項分布：期待値・分散の計算
3. 図形と方程式
- 軌跡の問題：パラメータを消去する方法
- 円の方程式：接線、交点、位置関係
- 領域と最大・最小：線形計画法的な考え方
4. 数列・ベクトル
2017年度は出題されませんでしたが、佐賀大学では頻出です：
- 漸化式：特性方程式、和の形への変換
- 空間ベクトル：内積、外積、平面の方程式
学部別の対策ポイント
【理工学部・農学部・教育学部】
基本〜標準レベルの問題を確実に解けるようにすることが最優先です。典型問題の解法パターンを身につけ、計算ミスを減らす練習をしましょう。目標得点は6〜7割です。
【医学部】
標準レベルの問題に加え、やや難しい応用問題も出題されます。特に数学IIIの微積分（複雑な置換積分、回転体の体積など）は重点的に演習しましょう。目標得点は8割以上です。
類似問題で練習しよう（練習問題3問）
練習問題1：接線と面積
【問題】
放物線 C：y = x² - 2x 上の点 P(3, 3) における接線を ℓ とする。
（1）接線 ℓ の方程式を求めよ。
（2）接線 ℓ、放物線 C、および y 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
【解答・解説】
(1) の解答
y = x² - 2x を微分すると y' = 2x - 2
点 P(3, 3) における接線の傾きは y'(3) = 2×3 - 2 = 4
接線の方程式：y - 3 = 4(x - 3)
y = 4x - 9
(2) の解答
接線と y 軸の交点：x = 0 を代入して y = -9、つまり (0, -9)
放物線と y 軸の交点：x = 0 を代入して y = 0、つまり原点 (0, 0)
面積 S は 0 ≤ x ≤ 3 の範囲で、放物線と接線の間の面積：
S = ∫₀³ {(x² - 2x) - (4x - 9)} dx
= ∫₀³ (x² - 6x + 9) dx
= ∫₀³ (x - 3)² dx
= [(x - 3)³/3]₀³
= 0 - (-27/3) = 9
練習問題2：円と軌跡
【問題】
原点 O を中心とする半径 3 の円 C₁ 上の点 A から、点 A を中心とする半径 1 の円 C₂ を描く。円 C₂ と線分 OA の交点のうち、O に近い方の点を P とする。
（1）点 A の座標を (a, b) とするとき、点 P の座標を a, b を用いて表せ。
（2）点 A が円 C₁ 上を動くとき、点 P の軌跡を求めよ。
【解答・解説】
(1) の解答
点 A は円 C₁ 上にあるので、OA = 3
点 P は線分 OA 上で、AP = 1
よって OP = OA - AP = 3 - 1 = 2
O から A への方向の単位ベクトルは (a, b)/3
P = O + 2 × (a, b)/3 = (2a/3, 2b/3)
(2) の解答
P(X, Y) とおくと、X = 2a/3, Y = 2b/3
よって a = 3X/2, b = 3Y/2
a² + b² = 9（A は C₁ 上）に代入：
(3X/2)² + (3Y/2)² = 9
9X²/4 + 9Y²/4 = 9
X² + Y² = 4
点 P の軌跡は原点中心、半径 2 の円
練習問題3：確率（ランダムウォーク）
【問題】
数直線上を移動する点 Q がある。Q は原点からスタートし、サイコロを投げて偶数の目が出れば +1、奇数の目が出れば -1 移動する。
（1）サイコロを 5 回投げ終えたとき、点 Q の位置が 1 となる確率を求めよ。
（2）サイコロを 5 回投げ終えたとき、点 Q の位置が初めて 1 となる確率を求めよ。
【解答・解説】
(1) の解答
偶数（+1）が出る確率は 1/2、奇数（-1）が出る確率も 1/2
5回投げて位置が 1 になるには：(偶数の回数) - (奇数の回数) = 1
偶数 k 回、奇数 (5-k) 回として、k - (5-k) = 1 より k = 3
確率 = ₅C₃ × (1/2)⁵ = 10 × 1/32 = 5/16
(2) の解答
「初めて」位置 1 になるとは、4回目まで位置 1 に到達せず、5回目で初めて到達すること。
5回投げて位置 1 になるパターン（偶数3回、奇数2回）を列挙し、途中で位置 1 にならないものを数えます。
全パターン ₅C₃ = 10通り のうち、「初めて」となるのは：
- OOEOE（奇奇偶奇偶）：位置推移 -1 → -2 → -1 → -2 → -1 → 0... ×
（具体的に列挙して）条件を満たすパターンは 2通り
確率 = 2 × (1/2)⁵ = 1/16
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藤原進之介
