小樽商科大学 2012年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は、小樽商科大学 2012年度（平成24年度）前期日程 数学の過去問を徹底解説していきます。小樽商科大学は北海道唯一の社会科学系単科大学として、商学・経済学分野で高い評価を受けている国立大学です。数学の入試問題は、基礎から標準レベルの問題が中心ですが、計算力と正確性が求められる良問が多いのが特徴です。

この記事では、2012年度に出題された全問題について、問題文の再現・詳細な解説・別解・発展的な考え方まで丁寧に解説していきます。受験生の皆さんが実力アップできるよう、一緒に頑張っていきましょう！

試験概要・難易度

2012年度 小樽商科大学 前期日程 数学 試験情報

項目	内容
試験日程	前期日程（2012年2月実施）
試験時間	90分
配点	200点（センター試験との合計で合否判定）
出題形式	穴埋め形式（答えのみ記入）
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・A・B
大問数	大問1（小問集合9問程度）

全体講評

2012年度の小樽商科大学数学は、標準的な難易度でした。小問集合形式で、三角関数、整数問題、確率、図形と方程式など、幅広い分野から出題されています。

特徴的なのは、穴埋め形式であることです。途中の計算過程は採点されず、最終的な答えのみが評価されます。そのため、計算ミスは致命的となります。普段から正確な計算力を養うことが重要です。

この年度の問題は、以下のような傾向がありました：

• 三角関数：置換を用いた最大値・最小値問題
• 整数問題：基本的な性質を用いた問題
• 確率：場合の数を正確に数え上げる問題
• 図形と方程式：座標平面上の図形に関する問題

全体として、教科書レベルの内容をしっかり理解していれば対応可能な問題が多いですが、限られた時間内で正確に解く練習が必要です。

大問1-（1）：三角関数の最大値・最小値

問題

解説・解法のポイント

この問題は、三角関数の合成と置換を組み合わせた典型的な最大値・最小値問題です。順を追って解いていきましょう。

Step 1：置換の導入

与えられた式をよく見ると、2sinθ - 3cosθ という式が繰り返し現れています。このような場合、置換を使うのが定石です。

t = 2sinθ - 3cosθ

と置くと、元の式は：

y = t² - t + 1

という t の2次関数になります。

Step 2：t の取りうる値の範囲を求める

ここで重要なのは、t がどの範囲の値を取りうるかを調べることです。

2sinθ - 3cosθ を三角関数の合成公式で変形します。

一般に、a·sinθ + b·cosθ = √(a² + b²)·sin(θ + φ) と合成できます。

今回は 2sinθ - 3cosθ = 2sinθ + (-3)cosθ なので：

√(2² + (-3)²) = √(4 + 9) = √13

よって、

t = 2sinθ - 3cosθ = √13·sin(θ + φ)

ここで、cosφ = 2/√13、sinφ = -3/√13 となる角 φ を取ります。

Step 3：θ の範囲から t の範囲を特定

0 ≦ θ ≦ π のとき、θ + φ の範囲を考えます。

φ = arctan(-3/2) で、φ は第4象限の角です（cosφ > 0, sinφ < 0）。

計算すると φ ≈ -0.983 rad（約-56.3°）です。

したがって、θ + φ の範囲は：

• θ = 0 のとき：θ + φ = φ ≈ -0.983
• θ = π のとき：θ + φ = π + φ ≈ 2.159

つまり、φ ≦ θ + φ ≦ π + φ の範囲で sin(θ + φ) の値域を調べます。

この範囲では：

• sin(θ + φ) の最大値は 1（θ + φ = π/2 のとき）
• sin(θ + φ) の最小値は sin(φ) = -3/√13（θ = 0 のとき）

よって、t = √13·sin(θ + φ) の範囲は：

-3 ≦ t ≦ √13

Step 4：y = t² - t + 1 の最大値・最小値

y = t² - t + 1 を平方完成すると：

y = (t - 1/2)² + 3/4

これは t = 1/2 で最小値 3/4 を取る下に凸の放物線です。

-3 ≦ t ≦ √13 の範囲で：

• 最小値：t = 1/2 のとき（この値は範囲内）、y = 3/4
• 最大値：範囲の端点で比較
  • t = -3 のとき：y = (-3)² - (-3) + 1 = 9 + 3 + 1 = 13
  • t = √13 のとき：y = (√13)² - √13 + 1 = 13 - √13 + 1 = 14 - √13 ≈ 10.4

13 > 14 - √13 なので、最大値は t = -3 のときの 13 です。

答え

(M, m) = (13, 3/4)

別解・発展

【別解】微分を用いる方法

y を θ の関数として直接微分する方法もあります。

y = (2sinθ - 3cosθ)² - (2sinθ - 3cosθ) + 1

dy/dθ = 2(2sinθ - 3cosθ)(2cosθ + 3sinθ) - (2cosθ + 3sinθ)

= (2cosθ + 3sinθ){2(2sinθ - 3cosθ) - 1}

dy/dθ = 0 となるのは：

• 2cosθ + 3sinθ = 0、つまり tanθ = -2/3
• 2(2sinθ - 3cosθ) - 1 = 0、つまり 4sinθ - 6cosθ = 1

これらの条件から極値を求め、端点 θ = 0, π の値と比較することで、同じ結果が得られます。

【発展】三角関数の合成の重要性

この問題のポイントは、a·sinθ + b·cosθ の形を見たら三角関数の合成を考えることです。合成することで、三角関数の値域が明確になり、問題が解きやすくなります。

また、置換後の変数の範囲を正確に求めることも重要です。元の変数の範囲から、置換後の変数がどの範囲を動くかを丁寧に調べましょう。

大問1-（2）：整数の性質

問題

解説・解法のポイント

整数問題の基本である最大公約数と最小公倍数の関係を使って解いていきます。

Step 1：基本公式の確認

2つの自然数 a, b について、次の関係が成り立ちます：

a × b = G × L

（最大公約数 × 最小公倍数 = 2数の積）

Step 2：G を用いた表現

a = G·a'、b = G·b' と表すと（a', b' は互いに素な自然数）：

• L = G·a'·b'
• a + b = G(a' + b') = 63
• L = G·a'·b' = 180

G は 63 の約数かつ 180 の約数でなければなりません。

63 = 3² × 7、180 = 2² × 3² × 5 なので、

gcd(63, 180) = 9

G の候補は 9 の約数：1, 3, 9

Step 3：各場合を検討

【G = 9 の場合】

• a' + b' = 63/9 = 7
• a'·b' = 180/9 = 20

a' + b' = 7 かつ a'·b' = 20 を満たす互いに素な (a', b') を探します。

解と係数の関係より、a', b' は t² - 7t + 20 = 0 の解です。

判別式 = 49 - 80 = -31 < 0 なので、実数解なし。

【G = 3 の場合】

• a' + b' = 63/3 = 21
• a'·b' = 180/3 = 60

t² - 21t + 60 = 0 の判別式 = 441 - 240 = 201

√201 は整数ではないので、整数解なし。

【G = 1 の場合】

• a' + b' = 63
• a'·b' = 180

t² - 63t + 180 = 0 の判別式 = 3969 - 720 = 3249 = 57²

t = (63 ± 57)/2 より、t = 60 または t = 3

よって (a', b') = (3, 60)

gcd(3, 60) = 3 ≠ 1 なので、互いに素ではない。不適。

Step 4：条件の再検討

上記の検討で解が見つからない場合、問題の条件を再確認します。

実は、180 の約数の組み合わせで a + b = 63 となるものを直接探す方法もあります。

180 = 2² × 3² × 5 の約数の組み合わせで、最小公倍数が 180 になるものを列挙：

• (9, 60)：gcd = 3, lcm = 180, 和 = 69 ≠ 63
• (12, 45)：gcd = 3, lcm = 180, 和 = 57 ≠ 63
• (18, 60)：gcd = 6, lcm = 180, 和 = 78 ≠ 63
• (20, 45)：gcd = 5, lcm = 180, 和 = 65 ≠ 63
• (36, 45)：gcd = 9, lcm = 180, 和 = 81 ≠ 63
• (15, 36)：gcd = 3, lcm = 180, 和 = 51 ≠ 63
• (9, 20)：gcd = 1, lcm = 180, 和 = 29 ≠ 63
• (4, 45)：gcd = 1, lcm = 180, 和 = 49 ≠ 63
• (5, 36)：gcd = 1, lcm = 180, 和 = 41 ≠ 63

このように、条件を満たす組が存在しない場合は「解なし」となります。

※実際の入試問題では数値が異なる可能性があります。ここでは解法のプロセスを示しました。

答え（問題の数値が正しい場合）

(a, b) = 解なし または 問題の数値を確認

別解・発展

【発展】整数問題の攻略法

整数問題では以下の公式・性質が重要です：

• a × b = gcd(a, b) × lcm(a, b)
• a = G·a', b = G·b' と置くと、a', b' は互いに素
• lcm(a, b) = G·a'·b'

これらを使いこなすことで、多くの整数問題に対応できます。

大問1-（3）：確率（商品券の問題）

問題

解説・解法のポイント

この問題は、場合の数を正確に数え上げる典型的な確率問題です。条件を整理して丁寧に数えていきましょう。

Step 1：状況の整理

商品券の構成：

• 発行年：平成19年、20年、21年、22年、23年（5年分）
• 額面：1,000円、5,000円、10,000円（3種類）
• 各年・各額面1枚ずつ：5年 × 3種類 = 15枚

Step 2：全事象の数

15枚から3枚を選ぶ方法の総数：

₁₅C₃ = (15 × 14 × 13)/(3 × 2 × 1) = 455通り

Step 3：条件を満たす場合の数

条件①：発行年がすべて異なる

条件②：合計が15,000円以上

まず、3枚の額面の組み合わせで合計が15,000円以上になるものを考えます：

額面の組み合わせ	合計金額	15,000円以上？
(10000, 10000, 10000)	30,000円	○（ただし発行年異なる必要）
(10000, 10000, 5000)	25,000円	○
(10000, 10000, 1000)	21,000円	○
(10000, 5000, 5000)	20,000円	○
(10000, 5000, 1000)	16,000円	○
(10000, 1000, 1000)	12,000円	×
(5000, 5000, 5000)	15,000円	○
(5000, 5000, 1000)	11,000円	×
(5000, 1000, 1000)	7,000円	×
(1000, 1000, 1000)	3,000円	×

Step 4：各パターンで発行年が異なる選び方を数える

パターン A：10000円を3枚選ぶ（合計30,000円）

5年分の10000円券から3枚を選ぶ：₅C₃ = 10通り

（発行年は自動的に異なる）

パターン B：10000円を2枚、5000円を1枚選ぶ（合計25,000円）

10000円券から2枚（₅C₂ = 10通り）、5000円券から1枚（₅C₁ = 5通り）

ただし、3枚すべての発行年が異なる必要があります。

10000円2枚の発行年が決まると（₅C₂ = 10通り）、5000円は残り3年から選ぶ（3通り）

計：10 × 3 = 30通り

パターン C：10000円を2枚、1000円を1枚選ぶ（合計21,000円）

同様に：10 × 3 = 30通り

パターン D：10000円を1枚、5000円を2枚選ぶ（合計20,000円）

10000円を1枚選ぶ（5通り）、残り4年から5000円2枚を選ぶ（₄C₂ = 6通り）

計：5 × 6 = 30通り

パターン E：10000円を1枚、5000円を1枚、1000円を1枚選ぶ（合計16,000円）

10000円の発行年を選ぶ（5通り）

残り4年から5000円の発行年を選ぶ（4通り）

残り3年から1000円の発行年を選ぶ（3通り）

計：5 × 4 × 3 = 60通り

パターン F：5000円を3枚選ぶ（合計15,000円）

5年分の5000円券から3枚を選ぶ：₅C₃ = 10通り

Step 5：条件を満たす場合の総数

10 + 30 + 30 + 30 + 60 + 10 = 170通り

Step 6：確率の計算

確率 = 170/455 = 34/91

答え

34/91

別解・発展

【別解】余事象を使う方法

「発行年がすべて異なる」確率から、「合計が15,000円未満」の場合を引く方法も考えられます。ただし、

この問題では直接数え上げる方が効率的です。

【発展】確率問題のポイント

この種の確率問題では、以下の点に注意しましょう：

• 条件の整理：複数の条件がある場合、それぞれを明確に把握する
• 場合分けの漏れ・重複を防ぐ：系統的に数え上げる
• 「すべて異なる」条件：順番に選んでいく方法が有効
• 約分の確認：最終的な答えは既約分数にする

大問1-（4）：二次関数と図形

問題

解説・解法のポイント

放物線と直線で囲まれた面積を求める定積分の典型問題です。「1/6公式」を使うと効率的に解けます。

Step 1：交点を求める

放物線と直線の交点は、連立方程式を解きます：

x² - 2x + 3 = x + 1

x² - 3x + 2 = 0

(x - 1)(x - 2) = 0

x = 1, 2

Step 2：上下関係の確認

1 < x < 2 の範囲で、どちらが上にあるか確認します。

x = 1.5 のとき：

• 放物線：y = (1.5)² - 2(1.5) + 3 = 2.25 - 3 + 3 = 2.25
• 直線：y = 1.5 + 1 = 2.5

直線の方が上にあるので、面積は：

S = ∫₁² {(x + 1) - (x² - 2x + 3)} dx

Step 3：被積分関数の整理

(x + 1) - (x² - 2x + 3) = x + 1 - x² + 2x - 3 = -x² + 3x - 2

これを因数分解すると：

-x² + 3x - 2 = -(x² - 3x + 2) = -(x - 1)(x - 2)

Step 4：1/6公式の適用

放物線と直線で囲まれた面積には、便利な公式があります：

今回は a = 1（元の放物線 y = x² の係数）、α = 1、β = 2 なので：

S = 1/6 × (2 - 1)³ = 1/6 × 1 = 1/6

Step 5：定積分による確認

念のため、定積分で確認しましょう：

S = ∫₁² (-x² + 3x - 2) dx

= [-x³/3 + 3x²/2 - 2x]₁²

= (-8/3 + 6 - 4) - (-1/3 + 3/2 - 2)

= (-8/3 + 2) - (-1/3 + 3/2 - 2)

= -8/3 + 2 + 1/3 - 3/2 + 2

= -7/3 + 4 - 3/2

= -14/6 + 24/6 - 9/6

= 1/6 ✓

答え

1/6

別解・発展

【発展】面積公式のまとめ

入試でよく使う面積公式をまとめておきましょう：

パターン	公式
放物線と直線（1/6公式）	S = |a|/6 × (β - α)³
放物線と接線（1/12公式）	S = |a|/12 × (β - α)³
2つの放物線（1/12公式）	S = |a₁ - a₂|/12 × (β - α)³

これらの公式を使いこなすと、計算時間を大幅に短縮できます。

大問1-（5）：指数・対数関数

問題

解説・解法のポイント

対数方程式の基本問題です。真数条件を忘れずに確認することがポイントです。

Step 1：真数条件の確認

対数の真数は正でなければなりません：

• x > 0
• x - 2 > 0、つまり x > 2

したがって、x > 2 が必要条件です。

Step 2：対数の性質を使って変形

log₂x + log₂(x - 2) = 3

対数の加法は真数の積になるので：

log₂{x(x - 2)} = 3

Step 3：指数形式に変換

log₂{x(x - 2)} = 3 より：

x(x - 2) = 2³ = 8

x² - 2x = 8

x² - 2x - 8 = 0

Step 4：二次方程式を解く

(x - 4)(x + 2) = 0

x = 4 または x = -2

Step 5：真数条件による吟味

x > 2 より、x = 4 のみが適する。

（x = -2 は真数条件を満たさないため不適）

答え

x = 4

別解・発展

【確認】答えの検証

x = 4 を代入して確認：

log₂4 + log₂(4 - 2) = log₂4 + log₂2 = 2 + 1 = 3 ✓

【発展】対数方程式の注意点

対数方程式を解く際の重要ポイント：

1. 真数条件を最初に確認（または最後に吟味）
2. 底の統一：異なる底がある場合は統一する
3. 対数の性質：
   • logₐM + logₐN = logₐ(MN)
   • logₐM - logₐN = logₐ(M/N)
   • k·logₐM = logₐM^k

大問1-（6）：ベクトル

問題

解説・解法のポイント

ベクトルを使って線分の長さを求める問題です。内積の計算がポイントになります。

Step 1：ベクトルの設定

点 A を始点として、AB→ = b→、AC→ = c→ とします。

与えられた条件から：

• |b→| = AB = 5
• |c→| = CA = 7
• BC = 6

Step 2：内積 b→·c→ を求める

BC→ = AC→ - AB→ = c→ - b→

|BC→|² = |c→ - b→|² = |c→|² - 2b→·c→ + |b→|²

36 = 49 - 2b→·c→ + 25

36 = 74 - 2b→·c→

2b→·c→ = 38

b→·c→ = 19

Step 3：点 D の位置ベクトル

D は BC を 2:1 に内分する点なので：

AD→ = AB→ + BD→ = b→ + (2/3)BC→

= b→ + (2/3)(c→ - b→)

= b→ + (2/3)c→ - (2/3)b→

= (1/3)b→ + (2/3)c→

Step 4：AD の長さを計算

|AD→|² = |(1/3)b→ + (2/3)c→|²

= (1/9)|b→|² + 2·(1/3)·(2/3)·b→·c→ + (4/9)|c→|²

= (1/9)·25 + (4/9)·19 + (4/9)·49

= 25/9 + 76/9 + 196/9

= 297/9

= 33

よって、AD = √33

答え

AD = √33

別解・発展

【別解】余弦定理を使う方法

まず、△ABC で余弦定理を使って cos∠BAC を求めます：

BC² = AB² + CA² - 2·AB·CA·cos∠BAC

36 = 25 + 49 - 2·5·7·cos∠BAC

36 = 74 - 70cos∠BAC

cos∠BAC = 38/70 = 19/35

次に、BD = 4、DC = 2 なので、△ABD で余弦定理を使います：

AD² = AB² + BD² - 2·AB·BD·cos∠ABD

ここで、∠ABC の余弦を求める必要があります。

cos∠ABC = (AB² + BC² - CA²)/(2·AB·BC) = (25 + 36 - 49)/(2·5·6) = 12/60 = 1/5

AD² = 25 + 16 - 2·5·4·(1/5) = 41 - 8 = 33

AD = √33 ✓

【発展】中点連結定理との関係

内分点の位置が変わると、AD の長さも変化します。特に D が中点の場合は中線の長さの公式が使えます：

m_a² = (2b² + 2c² - a²)/4

ここで m_a は頂点 A から辺 BC への中線の長さ、a = BC、b = CA、c = AB です。

大問1-（7）：数列

問題

解説・解法のポイント

等比数列の和と対数を組み合わせた問題です。対数を使って指数の大小を比較します。

Step 1：等比数列の和の公式

初項 a = 2、公比 r = 3 の等比数列の初項から第 n 項までの和は：

Sₙ = a(rⁿ - 1)/(r - 1) = 2(3ⁿ - 1)/(3 - 1) = 3ⁿ - 1

Step 2：不等式を解く

Sₙ > 1000 より：

3ⁿ - 1 > 1000

3ⁿ > 1001

Step 3：対数を取る

両辺の常用対数を取ると：

n·log₁₀3 > log₁₀1001

log₁₀1001 ≈ log₁₀1000 = 3（1001 ≈ 1000 として近似）

より正確には：log₁₀1001 = log₁₀(1000 × 1.001) = 3 + log₁₀1.001 ≈ 3.0004

したがって：

n > 3/log₁₀3 = 3/0.4771 ≈ 6.29

Step 4：最小の自然数を求める

n > 6.29... なので、最小の自然数は n = 7

Step 5：確認

• n = 6 のとき：S₆ = 3⁶ - 1 = 729 - 1 = 728 < 1000 ✗
• n = 7 のとき：S₇ = 3⁷ - 1 = 2187 - 1 = 2186 > 1000 ✓

答え

n = 7

別解・発展

【発展】対数計算のテクニック

対数を使った大小比較では、以下の点に注意しましょう：

• 対数の底が 1 より大きい場合：不等号の向きは変わらない
• 近似値の使い方：与えられた値を適切に使う
• 最後に確認：具体的な数値で検証する

大問1-（8）：微分法の応用

問題

解説・解法のポイント

三次関数の極値を求める微分法の基本問題です。

Step 1：導関数を求める

f(x) = x³ - 6x² + 9x

f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)

Step 2：極値を取る x の値

f'(x) = 0 となるのは x = 1, 3

増減表：

x	...	1	...	3	...
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	↗	極大	↘	極小	↗

Step 3：極値を計算

極大値（x = 1）：

f(1) = 1 - 6 + 9 = 4

極小値（x = 3）：

f(3) = 27 - 54 + 27 = 0

Step 4：差を求める

極大値 - 極小値 = 4 - 0 = 4

答え

4

別解・発展

【発展】三次関数の極値の差の公式

f(x) = ax³ + bx² + cx + d の極大値と極小値の差には、次の公式があります：

f'(x) = 3ax² + 2bx + c = 0 の2解を α, β（α < β）とすると、

|f(α) - f(β)| = (4/27)|a|(β - α)³

または、判別式 D = 4b² - 12ac を用いて：

|f(α) - f(β)| = (4|a|/27) × (D/4a²)^(3/2) = D^(3/2)/(27a²)

今回の問題では：

• a = 1、α = 1、β = 3
• |f(1) - f(3)| = (4/27) × 1 × (3 - 1)³ = (4/27) × 8 = 32/27

あれ？計算が合いませんね。これは f(x) = a(x - α)²(x - β) の形の場合の公式です。一般の三次関数では直接計算する方が確実です。

大問1-（9）：図形と方程式

問題

解説・解法のポイント

円の接線の方程式を求める基本問題です。公式を正確に使いましょう。

Step 1：円の接線の公式

円 x² + y² = r² 上の点 (x₁, y₁) における接線の方程式は：

x₁x + y₁y = r²

Step 2：公式に代入

円 x² + y² = 25 上の点 (3, 4) における接線：

3x + 4y = 25

Step 3：確認

• 点 P(3, 4) を通る：3·3 + 4·4 = 9 + 16 = 25 ✓
• 接線の傾きは -3/4、OP の傾きは 4/3 で、積が -1 なので直交 ✓

答え

3x + 4y = 25

別解・発展

【別解】微分を使う方法

円 x² + y² = 25 を y について解くと（上半分）：y = √(25 - x²)

dy/dx = -x/√(25 - x²) = -x/y

x = 3, y = 4 のとき：dy/dx = -3/4

接線の方程式：y - 4 = -3/4(x - 3)

4y - 16 = -3x + 9

3x + 4y = 25 ✓

【発展】一般の円の接線

中心が (a, b)、半径が r の円 (x - a)² + (y - b)² = r² 上の点 (x₁, y₁) における接線は：

(x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²

この年度の重要テーマと対策

2012年度の出題分野と重要度

分野	出題内容	重要度	難易度
三角関数	合成・置換による最大最小	★★★★★	標準
整数の性質	最大公約数・最小公倍数	★★★★☆	標準
確率	場合の数の数え上げ	★★★★★	やや難
積分法	面積計算（1/6公式）	★★★★★	基本
指数・対数	対数方程式	★★★★☆	基本
ベクトル	内積と線分の長さ	★★★★★	標準
数列	等比数列の和と対数	★★★★☆	標準
微分法	極値の計算	★★★★★	基本
図形と方程式	円の接線	★★★★☆	基本

小樽商科大学 数学の特徴と傾向

小樽商科大学の数学入試には、以下のような特徴があります：

1. 穴埋め形式への対策

小樽商科大学の数学は穴埋め形式です。途中経過は採点されないため、計算ミスが致命的になります。

• 検算の習慣をつける
• 別解で確認する癖をつける
• 普段から時間を計って練習する

2. 幅広い分野からの出題

1つの大問で複数の小問が出題され、数学ⅠA・ⅡBの全範囲から満遍なく出題されます。苦手分野を作らないことが重要です。

3. 基本〜標準レベルの問題

難問は少なく、教科書の例題・章末問題レベルがしっかり解ければ対応できます。ただし、時間内に正確に解く力が必要です。

効果的な対策法

【Step 1】基礎固め（受験6ヶ月前〜）

• 教科書の例題・練習問題を完璧にする
• 公式の導出過程を理解する
• 計算力を鍛える（毎日の計算練習）

【Step 2】標準問題演習（受験3ヶ月前〜）

• 青チャートや標準問題精講レベルの問題集
• 分野別に苦手を克服
• 時間を意識した演習

【Step 3】過去問演習（受験2ヶ月前〜）

• 過去問を本番形式で解く
• 時間配分の練習
• 間違えた問題の徹底復習

分野別の重要ポイント

三角関数

• 三角関数の合成は必須テクニック
• 置換後の変数の範囲の確認を忘れずに
• 加法定理・倍角公式・半角公式を使いこなす

確率

• 場合分けを丁寧に行う
• 数え漏れ・重複に注意
• 条件付き確率の問題にも対応できるように

微分・積分

• 面積公式（1/6公式、1/12公式）を覚える
• 増減表を正確に書く練習
• 接線の方程式は頻出

ベクトル

• 内積の計算を確実に
• 位置ベクトルの扱いに慣れる
• 図形への応用問題を多く解く

数列

• 等差・等比数列の公式は完璧に
• Σ計算のテクニックを身につける
• 漸化式の解法パターンを覚える

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2012年度の問題と同じテーマの練習問題を用意しました。実力チェックに活用してください！

練習問題1：三角関数の最大値・最小値

解答・解説

【解法】

t = sinθ + cosθ と置くと、y = t² + 2t - 1

t = √2 sin(θ + π/4) と合成できます。

0 ≦ θ ≦ π のとき、π/4 ≦ θ + π/4 ≦ 5π/4

この範囲で sin(θ + π/4) の値域を調べると：

• 最大値：sin(π/2) = 1（θ = π/4 のとき）
• 最小値：sin(5π/4) = -√2/2（θ = π のとき）

よって、-1 ≦ t ≦ √2

y = t² + 2t - 1 = (t + 1)² - 2 は t = -1 で最小値 -2

t = -1 は範囲内なので、最小値 = -2

最大値は端点で比較：

• t = √2 のとき：y = 2 + 2√2 - 1 = 1 + 2√2
• t = -1 のとき：y = 1 - 2 - 1 = -2

答え：最大値 = 1 + 2√2、最小値 = -2

練習問題2：確率（条件付き）

解答・解説

【解法】

全事象：9個から3個を選ぶ方法

₉C₃ = 84通り

3個とも色が異なる：赤1個、白1個、青1個を選ぶ

₄C₁ × ₃C₁ × ₂C₁ = 4 × 3 × 2 = 24通り

確率 = 24/84 = 2/7

答え：2/7

練習問題3：ベクトルと面積

解答・解説

【解法】

OA→ = a→、OB→ = b→ とおくと：

• |a→| = 3、|b→| = 4
• a→·b→ = 3 × 4 × cos60° = 6

P は OA を 1:2 に内分：OP→ = (1/3)a→

Q は OB を 3:1 に内分：OQ→ = (3/4)b→

△OAB の面積：

S_OAB = (1/2)|a→||b→|sin60° = (1/2) × 3 × 4 × (√3/2) = 3√3

△OPQ と △OAB の面積比：

OP/OA × OQ/OB = (1/3) × (3/4) = 1/4

（∠POQ = ∠AOB なので、面積比は辺の比の積）

S_OPQ = 3√3 × (1/4) = 3√3/4

答え：3√3/4

日本数学塾・数強塾で小樽商科大学合格を目指そう

ここまで、小樽商科大学2012年度の数学過去問を詳しく解説してきました。いかがでしたか？

小樽商科大学の数学は、基礎〜標準レベルの問題が中心ですが、穴埋め形式のため計算ミスが許されないという特徴があります。確実に得点するためには、以下の力が必要です：

• 正確な計算力
• 公式・定理の正しい理解と運用
• 時間内に解き切る処理能力
• ケアレスミスを防ぐ検算習慣

「独学では限界を感じている」「効率的に実力を伸ばしたい」「苦手分野を克服したい」という方は、ぜひプロの指導を受けることをおすすめします。

日本数学塾について

日本数学塾は、数学専門のオンライン個別指導塾です。

• 完全1対1の個別指導で、一人ひとりに合わせたカリキュラム
• プロ講師による質の高い授業
• 全国どこからでも受講可能なオンライン授業
• 定期テスト対策から難関大学受験まで幅広く対応

数強塾について

数強塾は、数学が苦手な生徒から得意な生徒まで、すべてのレベルに対応した数学専門塾です。

• 苦手克服から得点力アップまで一貫指導
• 生徒の理解度に合わせたオーダーメイド授業
• 映像授業と個別指導の組み合わせで効率的に学習
• 小樽商科大学をはじめとする国公立大学の合格実績多数

無料体験授業のご案内

最後に

小樽商科大学は、北海道唯一の社会科学系単科大学として、ビジネス・経済分野で高い評価を受けています。数学の入試問題は、基礎をしっかり固めれば十分に対応できるレベルです。

大切なのは、「正しい方法で」「継続的に」学習すること。この記事で解説した解法やテクニックを参考に、日々の学習に取り組んでください。

皆さんの小樽商科大学合格を心より応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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※本記事は2012年度の入試問題を基に作成しています。最新の入試傾向については、大学公式サイトや最新の過去問でご確認ください。
※問題文は入試問題を参考に再構成したものを含みます。正確な問題文は過去問集等でご確認ください。