岡山大学 1999年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は岡山大学 1999年度（平成11年度）の数学入試問題を徹底解説していきます。岡山大学は中国地方を代表する総合大学であり、旧六医大の一つとして医学部を中心に高い評価を受けています。数学の入試問題は、基礎から応用まで幅広い力を問う良問が多く、しっかりとした対策が合格への鍵となります。

この記事では、1999年度の各大問について問題の背景から解法のポイント、別解、そして類似問題での練習まで、余すところなくお伝えします。受験生の皆さんが「なるほど！」と納得できる解説を心がけましたので、ぜひ最後までお読みください。

試験概要・難易度

1999年度（平成11年度）岡山大学 数学入試の概要

全体講評と難易度分析

1999年度の岡山大学数学は、標準〜やや難のレベルでした。例年通り、計算力と論理的思考力をバランスよく問う出題となっています。

特徴的だったのは以下の点です：

• 微分積分：曲線の接触条件と面積計算という、頻出テーマながらも計算量の多い問題
• 空間ベクトル：四面体における位置ベクトルの問題で、図形的な理解が求められた
• 確率：場合分けを丁寧に行う必要がある問題
• 数列：漸化式と極限の融合問題
• 複素数平面：図形的な解釈を活用する問題

全体として、教科書の内容を深く理解し、典型問題を確実に解ける力があれば十分に対応できる内容でした。ただし、計算ミスを防ぐ注意力と、時間配分の工夫が重要です。

大問1：曲線の接触条件と面積

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説】接触条件の導出

2つの曲線が「接する」とは、共有点をもち、かつその点で接線が一致することを意味します。これを数学的に表現すると、ある点 x = t において以下の2条件が成り立つことです：

条件1：共有点をもつ

f(t) = g(t)

条件2：接線が一致する（傾きが等しい）

f'(t) = g'(t)

まず、各関数の導関数を求めます：

• f'(x) = 2x + a
• g'(x) = 3x²

Step 1：条件式の設定

共有点 x = t における条件は：

t² + at + b = t³ ... ①

2t + a = 3t² ... ②

Step 2：a, b を t で表す

②式より：

a = 3t² − 2t

これを①式に代入すると：

t² + (3t² − 2t)t + b = t³

t² + 3t³ − 2t² + b = t³

−t² + 2t³ + b = 0

b = t² − 2t³

Step 3：答えの表現

パラメータ t を用いて表すと：

別の表現として、t を消去して a と b の関係式を求めることもできます。②式より t について解くと複雑になるため、パラメータ表示のままで十分です。

【(2) の解説】面積の計算

a = 1 の条件を使います。

Step 1：t の値を求める

a = 3t² − 2t = 1 より：

3t² − 2t − 1 = 0

(3t + 1)(t − 1) = 0

t = −1/3 または t = 1

Step 2：対応する b の値

b = t² − 2t³ に代入：

• t = −1/3 のとき：b = 1/9 − 2(−1/27) = 1/9 + 2/27 = 3/27 + 2/27 = 5/27
• t = 1 のとき：b = 1 − 2 = −1

b ≠ 0 の条件より、両方とも有効です。

Step 3：曲線の交点を求める

【Case 1: t = −1/3, b = 5/27 の場合】

f(x) = x² + x + 5/27 と g(x) = x³ の交点を求めます。

x³ = x² + x + 5/27

x³ − x² − x − 5/27 = 0

x = −1/3 は接点なので、(x + 1/3)² が因数に含まれます。

x³ − x² − x − 5/27 = (x + 1/3)²(x − 5/3)

よって、交点は x = −1/3（重解、接点）と x = 5/3 です。

Step 4：面積計算

面積 S は：

S = ∫_{-1/3}^{5/3} |f(x) − g(x)| dx

f(x) − g(x) = x² + x + 5/27 − x³ = −(x + 1/3)²(x − 5/3)

−1/3 < x < 5/3 の範囲で、f(x) − g(x) ≥ 0（等号は x = −1/3 のみ）なので：

S = ∫_{-1/3}^{5/3} [−(x + 1/3)²(x − 5/3)] dx

ここで置換 u = x + 1/3 とすると、x − 5/3 = u − 2、dx = du

x = −1/3 のとき u = 0、x = 5/3 のとき u = 2

S = ∫_0^2 (−u²)(u − 2) du = ∫_0^2 (2u² − u³) du

= [2u³/3 − u⁴/4]_0^2

= 16/3 − 4 = 4/3

【Case 2: t = 1, b = −1 の場合】

同様に計算すると、f(x) = x² + x − 1 と g(x) = x³ について：

x³ − x² − x + 1 = (x − 1)²(x + 1)

交点は x = −1 と x = 1（接点）

S = ∫_{-1}^{1} |f(x) − g(x)| dx = ∫_{-1}^{1} (x − 1)²(x + 1) dx

置換 u = x − 1 とすると：

S = ∫_{-2}^{0} u²(u + 2) du = ∫_{-2}^{0} (u³ + 2u²) du

= [u⁴/4 + 2u³/3]_{-2}^{0} = 0 − (4 − 16/3) = 4/3

別解・発展

【別解：公式の利用】

放物線と3次曲線が接する場合の面積公式を活用することもできます。一般に、2曲線が点 x = α で接し、x = β でもう一つの交点をもつとき、囲まれる面積には特定のパターンがあります。

本問では (x − α)² が因数として現れるため、以下の公式が適用できます：

∫_α^β (x − α)²(β − x) dx = (β − α)⁴/12

Case 1 では α = −1/3, β = 5/3 なので：

S = (5/3 − (−1/3))⁴/12 × (係数調整) = 4/3

【発展：曲線の接触次数】

本問は「1次接触（接線が一致）」の問題でしたが、より高次の接触（曲率まで一致するなど）を扱う問題も大学入試では出題されます。2つの曲線が x = t で n 次接触するとは、f(t) = g(t), f'(t) = g'(t), ..., f^(n)(t) = g^(n)(t) が全て成り立つことを意味します。

大問2：空間ベクトルと四面体

問題

解説・解法のポイント

【準備：各点の位置ベクトル】

まず、D, F, G の位置ベクトルを $vec{a}$、$vec{b}$、$vec{c}$ で表します：

• $vec{OD} = vec{d} = frac{1}{2}vec{a}$
• $vec{OF} = vec{f} = frac{2}{3}vec{b}$（OB を 2:1 に内分）
• $vec{OG} = vec{g} = frac{1}{3}vec{c}$（OC を 1:2 に内分）

【(1) の解説】$vec{OE}$ を $vec{d}$, $vec{f}$, $vec{g}$ で表す

Step 1：E の位置を特定する

点 E は辺 BC 上にあるので、実数 t を用いて：

$vec{OE} = (1-t)vec{b} + tvec{c}$　（0 ≤ t ≤ 1）

また、E は平面 DFG 上にあるので、実数 s, u, v（s + u + v = 1）を用いて：

$vec{OE} = svec{d} + uvec{f} + vvec{g}$

Step 2：連立方程式を立てる

$vec{a}$、$vec{b}$、$vec{c}$ で表すと：

$(1-t)vec{b} + tvec{c} = frac{s}{2}vec{a} + frac{2u}{3}vec{b} + frac{v}{3}vec{c}$

$vec{a}$、$vec{b}$、$vec{c}$ は一次独立なので、係数比較により：

• $vec{a}$ の係数：$0 = frac{s}{2}$ → s = 0
• $vec{b}$ の係数：$1-t = frac{2u}{3}$
• $vec{c}$ の係数：$t = frac{v}{3}$

s + u + v = 1 より u + v = 1

$1 - t = frac{2u}{3}$ と $t = frac{v}{3}$ を加えると：

$1 = frac{2u}{3} + frac{v}{3} = frac{2u + v}{3}$

$2u + v = 3$

u + v = 1 と連立して：u = 2, v = −1

しかし、これでは s + u + v = 0 + 2 + (−1) = 1 で条件を満たしますが、v < 0 となります。

平面 DFG 上の点の表し方を再考しましょう。平面上の点は：

$vec{OE} = vec{d} + p(vec{f} - vec{d}) + q(vec{g} - vec{d}) = (1-p-q)vec{d} + pvec{f} + qvec{g}$

ここで s = 1−p−q, u = p, v = q とすると s + u + v = 1 ですが、s, u, v に符号の制限はありません（平面全体を表すため）。

したがって、s = 0, u = 2, v = −1 で：

【(2) の解説】BE:EC の計算

$vec{OE} = 2vec{f} - vec{g} = frac{4}{3}vec{b} - frac{1}{3}vec{c}$

一方、BE:EC = (1−t):t とすると：

$vec{OE} = vec{b} + frac{EC}{BC}(vec{c} - vec{b}) = (1-t)vec{b} + tvec{c}$

係数比較より：

• $1 - t = frac{4}{3}$ → $t = -frac{1}{3}$

t < 0 ということは、E は辺 BC の延長上（B の外側）にあることを意味します。

$vec{BE} = vec{OE} - vec{OB} = frac{4}{3}vec{b} - frac{1}{3}vec{c} - vec{b} = frac{1}{3}vec{b} - frac{1}{3}vec{c} = frac{1}{3}(vec{b} - vec{c})$

$vec{BC} = vec{c} - vec{b}$ なので、$vec{BE} = -frac{1}{3}vec{BC}$

これは E が B から C と反対方向に BC の 1/3 の位置にあることを示します。

問題文の「辺 BC の交点」を「直線 BC との交点」と解釈すると：

【(3) の解説】体積比

四面体の体積比は、各頂点に対応する辺の分割比の積で求められます。

四面体 ODFG と四面体 OABC について：

• OD は OA の 1/2
• OF は OB の 2/3
• OG は OC の 1/3

体積比 = $frac{1}{2} times frac{2}{3} times frac{1}{3} = frac{2}{18} = frac{1}{9}$

別解・発展

【別解：行列式による体積計算】

四面体 OABC の体積を V とすると：

$V = frac{1}{6}|vec{a} cdot (vec{b} times vec{c})|$

四面体 ODFG の体積 V' は：

$V' = frac{1}{6}|vec{d} cdot (vec{f} times vec{g})| = frac{1}{6}|frac{1}{2}vec{a} cdot (frac{2}{3}vec{b} times frac{1}{3}vec{c})|$

$= frac{1}{6} times frac{1}{2} times frac{2}{3} times frac{1}{3} times |vec{a} cdot (vec{b} times vec{c})| = frac{1}{9}V$

大問3：確率と場合の数

問題

解説・解法のポイント

【基本の確認】

9 個の玉から 3 個を選ぶ総数は：

$_9C_3 = frac{9!}{3!6!} = frac{9 times 8 times 7}{3 times 2 times 1} = 84$ 通り

【(1) の解説】すべて異なる色

赤 1 個、白 1 個、青 1 個を選ぶ場合の数：

$_3C_1 times _4C_1 times _2C_1 = 3 times 4 times 2 = 24$ 通り

確率 = $frac{24}{84} = frac{2}{7}$

【(2) の解説】ちょうど 2 個が同じ色

これは「2 個が同色、1 個が別色」のパターンです。場合分けして考えます。

Case 1：赤 2 個 + 他 1 個

$_3C_2 times (_4C_1 + _2C_1) = 3 times 6 = 18$ 通り

Case 2：白 2 個 + 他 1 個

$_4C_2 times (_3C_1 + _2C_1) = 6 times 5 = 30$ 通り

Case 3：青 2 個 + 他 1 個

$_2C_2 times (_3C_1 + _4C_1) = 1 times 7 = 7$ 通り

合計：18 + 30 + 7 = 55 通り

確率 = $frac{55}{84}$

【(3) の解説】条件付き確率

「赤玉が含まれている」という条件のもとで、「赤玉が 1 個だけ」である確率を求めます。

Step 1：赤玉が含まれている場合の数

余事象を使います。「赤玉が含まれない」＝白と青だけから 3 個選ぶ

$_6C_3 = 20$ 通り

よって、赤玉が含まれる場合の数 = 84 − 20 = 64 通り

Step 2：赤玉がちょうど 1 個の場合の数

$_3C_1 times _6C_2 = 3 times 15 = 45$ 通り

Step 3：条件付き確率の計算

$P(text{赤1個}|text{赤を含む}) = frac{45}{64}$

別解・発展

【検算：(1)〜(3)の整合性確認】

3 個の玉の色の組み合わせは以下の 4 パターンに分類されます：

• すべて異なる色：24 通り
• ちょうど 2 個が同色：55 通り
• 3 個とも同色：$_3C_3 + _4C_3 + _2C_3 = 1 + 4 + 0 = 5$ 通り

合計：24 + 55 + 5 = 84 通り ✓（総数と一致）

【発展：一般化】

n 種類の玉があり、i 番目の種類が $a_i$ 個あるとき、k 個取り出す問題は「多変量超幾何分布」として一般化できます。この分布は品質管理や生態学での標本調査などで実際に応用されています。

大問4：数列と漸化式

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説】$b_n$ の漸化式

Step 1：$b_{n+1}$ を計算する

$b_{n+1} = frac{a_{n+1} - 1}{a_{n+1} + 1} = frac{frac{3a_n + 1}{a_n + 3} - 1}{frac{3a_n + 1}{a_n + 3} + 1}$

Step 2：分子と分母を整理

分子：$frac{3a_n + 1}{a_n + 3} - 1 = frac{3a_n + 1 - (a_n + 3)}{a_n + 3} = frac{2a_n - 2}{a_n + 3} = frac{2(a_n - 1)}{a_n + 3}$

分母：$frac{3a_n + 1}{a_n + 3} + 1 = frac{3a_n + 1 + (a_n + 3)}{a_n + 3} = frac{4a_n + 4}{a_n + 3} = frac{4(a_n + 1)}{a_n + 3}$

Step 3：$b_{n+1}$ の式を得る

$b_{n+1} = frac{2(a_n - 1)}{a_n + 3} times frac{a_n + 3}{4(a_n + 1)} = frac{2(a_n - 1)}{4(a_n + 1)} = frac{1}{2} cdot frac{a_n - 1}{a_n + 1} = frac{1}{2}b_n$

【(2) の解説】一般項の導出

Step 1：$b_n$ の一般項

$b_1 = frac{a_1 - 1}{a_1 + 1} = frac{1 - 1}{1 + 1} = 0$

$b_{n+1} = frac{1}{2}b_n$ より、${b_n}$ は公比 $frac{1}{2}$ の等比数列...と言いたいところですが、$b_1 = 0$ なので：

$b_n = 0$　（すべての n について）

Step 2：$a_n$ を求める

$b_n = frac{a_n - 1}{a_n + 1} = 0$ より、$a_n - 1 = 0$

$a_n = 1$　（すべての n について）

【検算】

$a_1 = 1$ のとき、$a_2 = frac{3 cdot 1 + 1}{1 + 3} = frac{4}{4} = 1$ ✓

確かに $a_n = 1$ は漸化式を満たします。

【(3) の解説】極限

$a_n = 1$（定数列）なので：

別解・発展

【発展：初期値が異なる場合】

もし $a_1 = 1$ でない初期値だったらどうなるでしょうか？

$a_1 = 2$ の場合を考えてみましょう。

$b_1 = frac{2-1}{2+1} = frac{1}{3}$

$b_n = frac{1}{3} cdot left(frac{1}{2}right)^{n-1} = frac{1}{3 cdot 2^{n-1}}$

$frac{a_n - 1}{a_n + 1} = frac{1}{3 cdot 2^{n-1}}$ より：

$3 cdot 2^{n-1}(a_n - 1) = a_n + 1$

$(3 cdot 2^{n-1} - 1)a_n = 3 cdot 2^{n-1} + 1$

$a_n = frac{3 cdot 2^{n-1} + 1}{3 cdot 2^{n-1} - 1}$

このとき $displaystylelim_{n to infty} a_n = frac{3 cdot 2^{n-1}}{3 cdot 2^{n-1}} = 1$

つまり、どんな初期値から始めても（$a_1 neq -1$ の場合）、極限は 1 に収束します。これは $a = 1$ がこの漸化式の「不動点」であり、かつ安定であることを示しています。

大問5：複素数平面と図形

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説】極形式への変換

$z_2$ の極形式：

$z_2 = -frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2}i$

絶対値：$|z_2| = sqrt{left(-frac{1}{2}right)^2 + left(frac{sqrt{3}}{2}right)^2} = sqrt{frac{1}{4} + frac{3}{4}} = 1$

偏角：$costheta = -frac{1}{2}$、$sintheta = frac{sqrt{3}}{2}$ より $theta = frac{2pi}{3}$

$z_2 = cosfrac{2pi}{3} + isinfrac{2pi}{3}$

$z_3$ の極形式：

$z_3 = -frac{1}{2} - frac{sqrt{3}}{2}i$

絶対値：$|z_3| = 1$

偏角：$costheta = -frac{1}{2}$、$sintheta = -frac{sqrt{3}}{2}$ より $theta = frac{4pi}{3}$（または $-frac{2pi}{3}$）

$z_3 = cosfrac{4pi}{3} + isinfrac{4pi}{3}$

【補足】 $z_1$, $z_2$, $z_3$ は方程式 $z^3 = 1$ の3つの解（1の3乗根）です。これらは単位円上に等間隔（$frac{2pi}{3}$ ずつ）で配置された正三角形の頂点をなします。

【(2) の解説】軌跡の図示

Step 1：条件の解釈

$|w - 1| = 1$ は、w 平面上で点 1 を中心とする半径 1 の円を表します。

$w = z^3$ なので、$|z^3 - 1| = 1$ を満たす z の軌跡を求めます。

Step 2：因数分解の活用

$z^3 - 1 = (z - z_1)(z - z_2)(z - z_3) = (z - 1)(z - z_2)(z - z_3)$

よって条件は：

$|z - 1| cdot |z - z_2| cdot |z - z_3| = 1$

Step 3：z = re^{iθ} とおく

$z = r(costheta + isintheta)$ とすると：

$z^3 = r^3(cos 3theta + isin 3theta)$

$|z^3 - 1| = 1$ より、w 平面で $w = z^3$ が円 $|w - 1| = 1$ 上にあるとき、z 平面での軌跡を求めます。

Step 4：軌跡の特徴

$w = z^3$ の変換は、偏角を 3 倍、絶対値を 3 乗する変換です。

w が円 $|w - 1| = 1$ を動くとき、その逆像として z は「3 枚葉」の曲線を描きます。これは各点 w に対して 3 つの z が対応するためです。

具体的には、w 平面の円を θ で媒介変数表示すると：

$w = 1 + cosphi + isinphi = (1 + cosphi) + isinphi$　（0 ≤ φ < 2π）

$z^3 = w$ の解は：

$z = |w|^{1/3} cdot e^{i(arg w + 2kpi)/3}$　（k = 0, 1, 2）

【(3) の解説】単位円との共有点

$|z| = 1$ と $|z^3 - 1| = 1$ を同時に満たす z を求めます。

Step 1：$|z| = 1$ のとき $z = e^{itheta}$ とおく

$z^3 = e^{3itheta} = cos 3theta + isin 3theta$

$|z^3 - 1| = |(cos 3theta - 1) + isin 3theta|$

$= sqrt{(cos 3theta - 1)^2 + sin^2 3theta}$

$= sqrt{cos^2 3theta - 2cos 3theta + 1 + sin^2 3theta}$

$= sqrt{2 - 2cos 3theta} = sqrt{2(1 - cos 3theta)}$

半角の公式 $1 - cosalpha = 2sin^2frac{alpha}{2}$ より：

$= sqrt{4sin^2frac{3theta}{2}} = 2left|sinfrac{3theta}{2}right|$

Step 2：方程式を解く

$2left|sinfrac{3theta}{2}right| = 1$ より $left|sinfrac{3theta}{2}right| = frac{1}{2}$

$sinfrac{3theta}{2} = pmfrac{1}{2}$

$frac{3theta}{2} = frac{pi}{6}, frac{5pi}{6}, frac{7pi}{6}, frac{11pi}{6}, ...$（$+frac{1}{2}$ の場合）

$frac{3theta}{2} = -frac{pi}{6}, -frac{5pi}{6}, frac{7pi}{6}, frac{11pi}{6}, ...$（$-frac{1}{2}$ の場合）

0 ≤ θ < 2π の範囲で、$frac{3theta}{2}$ は 0 から 3π まで動くので：

$frac{3theta}{2} = frac{pi}{6}, frac{5pi}{6}, frac{7pi}{6}, frac{11pi}{6}, frac{13pi}{6}, frac{17pi}{6}$

$theta = frac{pi}{9}, frac{5pi}{9}, frac{7pi}{9}, frac{11pi}{9}, frac{13pi}{9}, frac{17pi}{9}$

別解・発展

【幾何学的解釈】

$|z| = 1$ 上の点 z に対して、$z^3$ は単位円上を 3 倍の速さで回ります。円 $|w - 1| = 1$ は点 w = 0 と w = 2 を通り、単位円 $|w| = 1$ と 2 点で交わります。

$z$ が単位円を 1 周する間に $z^3$ は 3 周するので、$z^3$ が円 $|w - 1| = 1$ を横切る回数は 3 × 2 = 6 回となります。

この年度の重要テーマと対策

1999年度に見られた重要テーマ

この年度の岡山大学数学では、以下のテーマが重点的に出題されました：

【テーマ1】曲線の接触と面積計算

大問1で出題された「2曲線の接触条件」は、微分の本質的な理解を問う良問です。

対策ポイント：

• 接線の一致条件を式で表せるようにする
• 因数分解を活用した面積計算に慣れる
• 置換積分のパターンを身につける

【テーマ2】空間ベクトルの位置関係

大問2の四面体の問題は、空間図形を代数的に処理する力を問うています。

対策ポイント：

• 内分点・外分点の公式を確実に使えるようにする
• 平面の方程式とベクトルの関係を理解する
• 体積比の計算パターンを覚える

【テーマ3】確率の場合分けと条件付き確率

大問3では、場合分けを丁寧に行う力と条件付き確率の理解が問われました。

対策ポイント：

• 組み合わせの計算を正確に行う
• 条件付き確率の定義 $P(A|B) = frac{P(A cap B)}{P(B)}$ を使いこなす
• 余事象を活用する発想を持つ

【テーマ4】漸化式と数列の極限

大問4の分数型漸化式は、適切な変数変換がカギとなる典型問題です。

対策ポイント：

• 分数型漸化式の標準的な解法パターンを習得
• 不動点の概念を理解する
• 極限の計算では、発散・収束の判定を確実に

【テーマ5】複素数平面と図形

大問5は、複素数の代数的性質と幾何学的意味の両方を活用する問題でした。

対策ポイント：

• 極形式への変換を素早くできるようにする
• $z^n = w$ の解の構造を理解する
• 複素数平面での図形的解釈に慣れる

岡山大学数学の全体的な傾向と対策

岡山大学の数学は、以下の特徴があります：

1. 基礎力重視：奇をてらった問題は少なく、教科書の内容を深く理解しているかが問われる
2. 計算力必須：標準的な問題でも計算量が多いことがあり、正確かつ迅速な計算力が必要
3. 論理的な記述：証明問題や理由を問う問題では、論理の流れを明確に書く力が求められる
4. 融合問題への対応：複数分野にまたがる問題も出題されるため、分野横断的な理解が重要

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

1999年度の出題傾向を踏まえて、類似の練習問題を用意しました。ぜひチャレンジしてください！

練習問題1：曲線の接触と面積（大問1タイプ）

【解答・解説】

(1) の解答：

接点の x 座標を t とすると：

• 共有点条件：$t^2 + at + b = 2t$
• 接線条件：$2t + a = 2$（放物線の傾き = 直線の傾き）

接線条件より $a = 2 - 2t$

共有点条件に代入：$t^2 + (2-2t)t + b = 2t$

$t^2 + 2t - 2t^2 + b = 2t$

$-t^2 + b = 0$

$b = t^2$

$a = 2 - 2t$ より $t = frac{2-a}{2} = 1 - frac{a}{2}$

$b = t^2 = left(1 - frac{a}{2}right)^2 = 1 - a + frac{a^2}{4}$

(2) の解答：

放物線 $y = x^2 + ax + b$ が x 軸と 2 点で交わるとき、その面積を求めます。

$x^2 + ax + b = 0$ の 2 解を α, β（α < β）とすると：

α + β = −a、αβ = b

面積 S は：

$S = -int_alpha^beta (x^2 + ax + b)dx = frac{1}{6}(beta - alpha)^3$

$(beta - alpha)^2 = (α + β)^2 - 4αβ = a^2 - 4b$

(1)より $b = 1 - a + frac{a^2}{4}$ を代入：

$(beta - alpha)^2 = a^2 - 4left(1 - a + frac{a^2}{4}right) = a^2 - 4 + 4a - a^2 = 4a - 4 = 4(a-1)$

$a > 1$ のとき $beta - alpha = 2sqrt{a-1}$

$S = frac{1}{6} cdot 8(a-1)^{3/2} = frac{4}{3}(a-1)^{3/2}$

S を最小にするには $a - 1$ を最小にすればよく、$a > 1$ の範囲で a を 1 に近づけると S → 0 となります。

ただし、a = 1 のとき $(beta - alpha)^2 = 0$ となり、放物線は x 軸に接するため「囲まれた部分」は存在しません。

したがって、面積が正の値をとる範囲では最小値は存在せず、下限は 0（a → 1+ のとき）となります。

練習問題2：空間ベクトル（大問2タイプ）

【解答・解説】

(1) の解答：

各点の位置ベクトル：

• $vec{OP} = frac{1}{3}vec{a}$
• $vec{OQ} = frac{1}{2}vec{b}$
• $vec{OR} = frac{3}{4}vec{c}$

点 S は直線 AB 上にあるので、実数 t を用いて：

$vec{OS} = (1-t)vec{a} + tvec{b}$

また、S は平面 PQR 上にあるので、$s + u + v = 1$ となる実数 s, u, v を用いて：

$vec{OS} = svec{OP} + uvec{OQ} + vvec{OR} = frac{s}{3}vec{a} + frac{u}{2}vec{b} + frac{3v}{4}vec{c}$

$vec{a}$, $vec{b}$, $vec{c}$ は一次独立なので、係数比較：

• $vec{a}$：$1-t = frac{s}{3}$
• $vec{b}$：$t = frac{u}{2}$
• $vec{c}$：$0 = frac{3v}{4}$ → $v = 0$

$s + u + v = 1$ より $s + u = 1$

$s = 3(1-t)$、$u = 2t$ を代入：

$3(1-t) + 2t = 1$

$3 - 3t + 2t = 1$

$3 - t = 1$

$t = 2$

$vec{OS} = (1-2)vec{a} + 2vec{b} = -vec{a} + 2vec{b}$

(2) の解答：

四面体の体積比は、対応する辺の比の積で求められます。

四面体 OPQR と四面体 OABC について：

• OP : OA = 1 : 3
• OQ : OB = 1 : 2
• OR : OC = 3 : 4

体積比 = $frac{1}{3} times frac{1}{2} times frac{3}{4} = frac{3}{24} = frac{1}{8}$

練習問題3：漸化式と極限（大問4タイプ）

【解答・解説】

(1) の解答：

まず $b_{n+1}$ を $b_n$ で表します。

$b_{n+1} = frac{a_{n+1} - sqrt{3}}{a_{n+1} + sqrt{3}} = frac{frac{2a_n + 3}{a_n + 2} - sqrt{3}}{frac{2a_n + 3}{a_n + 2} + sqrt{3}}$

分子：$frac{2a_n + 3 - sqrt{3}(a_n + 2)}{a_n + 2} = frac{(2-sqrt{3})a_n + (3 - 2sqrt{3})}{a_n + 2}$

$3 - 2sqrt{3} = sqrt{3}(sqrt{3} - 2)$ なので：

分子 $= frac{(2-sqrt{3})a_n + sqrt{3}(sqrt{3}-2)}{a_n + 2} = frac{(2-sqrt{3})(a_n - sqrt{3})}{a_n + 2}$

分母：$frac{2a_n + 3 + sqrt{3}(a_n + 2)}{a_n + 2} = frac{(2+sqrt{3})a_n + (3 + 2sqrt{3})}{a_n + 2}$

$3 + 2sqrt{3} = sqrt{3}(sqrt{3} + 2)$ なので：

分母 $= frac{(2+sqrt{3})(a_n + sqrt{3})}{a_n + 2}$

よって：

$b_{n+1} = frac{(2-sqrt{3})(a_n - sqrt{3})}{(2+sqrt{3})(a_n + sqrt{3})} = frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}} cdot b_n$

$frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}} = frac{(2-sqrt{3})^2}{(2+sqrt{3})(2-sqrt{3})} = frac{4 - 4sqrt{3} + 3}{4-3} = 7 - 4sqrt{3}$

$b_1 = frac{3 - sqrt{3}}{3 + sqrt{3}} = frac{(3-sqrt{3})^2}{(3+sqrt{3})(3-sqrt{3})} = frac{9 - 6sqrt{3} + 3}{9-3} = frac{12 - 6sqrt{3}}{6} = 2 - sqrt{3}$

${b_n}$ は初項 $2 - sqrt{3}$、公比 $7 - 4sqrt{3}$ の等比数列：

(2) の解答：

$frac{a_n - sqrt{3}}{a_n + sqrt{3}} = b_n$ より：

$a_n - sqrt{3} = b_n(a_n + sqrt{3})$

$a_n - b_n a_n = sqrt{3} + sqrt{3}b_n$

$a_n(1 - b_n) = sqrt{3}(1 + b_n)$

$a_n = sqrt{3} cdot frac{1 + b_n}{1 - b_n}$

(3) の解答：

$7 - 4sqrt{3} = 7 - 4 times 1.732... approx 0.072$

$0 < 7 - 4sqrt{3} < 1$ なので、$n to infty$ のとき $(7-4sqrt{3})^{n-1} to 0$

よって $b_n to 0$

$a_n = sqrt{3} cdot frac{1 + b_n}{1 - b_n} to sqrt{3} cdot frac{1 + 0}{1 - 0} = sqrt{3}$

【補足】 $sqrt{3}$ は漸化式 $a = frac{2a + 3}{a + 2}$ の不動点です。実際、$a(a+2) = 2a + 3$ より $a^2 = 3$、$a = pmsqrt{3}$ となります。

まとめ：1999年度岡山大学数学を振り返って

1999年度の岡山大学数学入試問題は、以下の点で受験生の総合力を試す良問揃いでした：

合格のための戦略：

1. 第1問〜第3問で確実に得点する（基礎力勝負）
2. 第4問は典型的な解法パターンを習得しておく
3. 第5問は部分点狙いでも OK（(1)は確実に取る）
4. 時間配分を意識し、解ける問題から確実に仕上げる

日本数学塾・数強塾で岡山大学合格を目指そう

いかがでしたか？1999年度の岡山大学数学を詳しく解説してきました。

岡山大学の数学は、基礎をしっかり固めた上で、典型問題のパターンを身につけることが合格への近道です。特に医学部を目指す方は、高得点が求められるため、計算ミスを減らす訓練も重要になります。

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日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介