帯広畜産大学 2011年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は、帯広畜産大学 2011年度 前期日程の数学について、徹底解説していきます！帯広畜産大学は、北海道十勝地方に位置する国立大学で、獣医学や畜産科学の分野で高い評価を受けています。獣医師を目指す受験生にとって人気の大学ですね。

「過去問を解いてみたけど、どこがポイントかわからない…」「時間配分がうまくいかない…」そんな悩みを持つ受験生の皆さん、この記事を読めば2011年度の傾向と対策がバッチリわかります！一緒に攻略していきましょう！

試験概要・難易度

2011年度入試の基本情報

2011年度の全体講評

2011年度の帯広畜産大学の数学は、「基礎力を確実に身につけているか」を問う出題が中心でした。奇をてらった難問は少なく、教科書の例題レベルから章末問題レベルの問題が中心です。

ただし、油断は禁物！帯広畜産大学の合格最低点は比較的高めに設定されることが多く、「取れる問題を確実に取る」姿勢が非常に重要です。特に獣医学科を目指す場合は、8割以上の得点を目標にしたいところです。

【2011年度の出題分野】

• 大問1：二次関数（最大・最小、場合分け）
• 大問2：確率（場合の数・条件付き確率）
• 大問3：数列（等差・等比数列、漸化式）
• 大問4：ベクトル（平面ベクトル、内積）
• 大問5：微分・積分（接線、面積）

これらは帯広畜産大学の数学における頻出テーマであり、2011年度もこの傾向に沿った出題がなされました。それでは各大問を詳しく見ていきましょう！

大問1：二次関数の最大・最小（場合分け）

問題

解説・解法のポイント

これは定義域が固定された二次関数の最大・最小問題です。軸の位置と定義域の関係で場合分けが必要になる、典型的な問題ですね。

【STEP 1】関数の基本情報を整理する

まず、f(x) = x² − 2ax + 3 を平方完成しましょう。

f(x) = x² − 2ax + 3
= (x − a)² − a² + 3
= (x − a)² − a² + 3

この関数は：

• 下に凸の放物線（x²の係数が正）
• 頂点：(a, −a² + 3)
• 軸：x = a

【STEP 2】(1) 最小値の場合分け

定義域が 0 ≤ x ≤ 2 で固定されているので、軸 x = a の位置によって最小値を与える x が変わります。

場合1：a < 0 のとき（軸が定義域の左側）

定義域内で f(x) は単調増加。よって x = 0 で最小値をとる。

最小値 = f(0) = 0 − 0 + 3 = 3

場合2：0 ≤ a ≤ 2 のとき（軸が定義域内）

頂点が定義域内にあるので、x = a で最小値をとる。

最小値 = f(a) = −a² + 3 = −a² + 3

場合3：a > 2 のとき（軸が定義域の右側）

定義域内で f(x) は単調減少。よって x = 2 で最小値をとる。

最小値 = f(2) = 4 − 4a + 3 = 7 − 4a

【STEP 3】(2) 最小値が 2 となる a の値

各場合について、最小値 = 2 となる条件を調べます。

場合1：a < 0 のとき

最小値 = 3 ≠ 2 なので、該当なし。

場合2：0 ≤ a ≤ 2 のとき

−a² + 3 = 2 より a² = 1、よって a = ±1

条件 0 ≤ a ≤ 2 を満たすのは a = 1

場合3：a > 2 のとき

7 − 4a = 2 より 4a = 5、よって a = 5/4

しかし、a = 5/4 < 2 なので、a > 2 を満たさない。該当なし。

答：a = 1

【STEP 4】(3) 最大値の場合分け

下に凸の放物線なので、最大値は定義域の端点 x = 0 または x = 2 で取ります。

f(0) = 3、f(2) = 7 − 4a

f(0) と f(2) の大小関係で場合分けします。

f(0) = f(2) のとき：3 = 7 − 4a より a = 1

場合1：a < 1 のとき

f(2) > f(0) なので、x = 2 で最大値。

最大値 = 7 − 4a

場合2：a = 1 のとき

f(0) = f(2) = 3 なので、x = 0, 2 で最大値。

最大値 = 3

場合3：a > 1 のとき

f(0) > f(2) なので、x = 0 で最大値。

最大値 = 3

別解・発展

【グラフを描いて視覚的に理解する】

この問題は、軸の位置を動かしながらグラフを描くと理解が深まります。実際の入試では、簡単な図を描いて確認することで計算ミスを防げます。

【発展】定義域が動く場合

同様の問題で「定義域が a ≤ x ≤ a + 2 のように動く」パターンもあります。この場合は、軸と定義域の位置関係がさらに複雑になりますが、考え方は同じです。帯広畜産大学では、このような発展問題も出題される可能性があるので、様々なパターンに慣れておきましょう。

大問2：確率（場合の数と条件付き確率）

問題

解説・解法のポイント

確率の問題は、「全体の場合の数」と「条件を満たす場合の数」を正確に数えることが基本です。組み合わせの記号 C を使いこなせるかがカギになります。

【STEP 1】全体の場合の数を求める

6個の玉から2個を選ぶ場合の数は：

₆C₂ = 6!/(2!×4!) = (6×5)/(2×1) = 15通り

【STEP 2】(1) 2個とも同じ色である確率

同じ色になるパターンを考えます：

• 赤玉2個：₃C₂ = 3通り
• 白玉2個：₂C₂ = 1通り
• 青玉2個：₁C₂ = 0通り（青玉は1個しかない）

よって、同じ色になる場合の数は 3 + 1 + 0 = 4通り

確率 = 4/15

【STEP 3】(2) 少なくとも1個は赤玉である確率

「少なくとも〜」の問題は、余事象を使うのが定石です！

「少なくとも1個は赤玉」の余事象は「赤玉が0個（赤玉を含まない）」

赤玉以外（白玉2個＋青玉1個 = 3個）から2個を選ぶ場合の数：

₃C₂ = 3通り

赤玉を含まない確率 = 3/15 = 1/5

少なくとも1個は赤玉である確率 = 1 − 1/5 = 4/5

【STEP 4】(3) 条件付き確率

条件付き確率の公式を使います：

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

ここで：

• A：2個とも赤玉
• B：少なくとも1個は赤玉

A∩B は「2個とも赤玉」（A⊂B なので A∩B = A）

P(A) = ₃C₂/₆C₂ = 3/15 = 1/5

P(B) = 4/5（(2)より）

P(A|B) = (1/5) / (4/5) = 1/4

別解・発展

【別解：条件付き確率を直接計算】

条件付き確率は、縮小された標本空間で考えることもできます。

「少なくとも1個が赤玉」という条件のもとでの標本空間の大きさ：

15 − 3 = 12通り（赤玉を含まない3通りを除外）

そのうち「2個とも赤玉」は3通り

条件付き確率 = 3/12 = 1/4

どちらの方法でも同じ答えになります。問題によって使いやすい方を選びましょう！

大問3：数列（等比数列と漸化式）

問題

解説・解法のポイント

「aₙ₊₁ = paₙ + q」の形の漸化式は、特性方程式を使って等比数列に帰着させるのが王道です！

【STEP 1】(1) 定数 c を求める

bₙ = aₙ + c とおくと、aₙ = bₙ − c

漸化式に代入：

bₙ₊₁ − c = 2(bₙ − c) + 3
bₙ₊₁ = 2bₙ − 2c + c + 3
bₙ₊₁ = 2bₙ − c + 3

{bₙ} が等比数列となるためには、定数項がなくなればよいので：

−c + 3 = 0 より c = 3

【別の考え方：特性方程式】

α = 2α + 3 を解くと α = −3

よって aₙ − (−3) = aₙ + 3 が等比数列となる。つまり c = 3

【STEP 2】(2) 一般項を求める

bₙ = aₙ + 3 とおくと、bₙ₊₁ = 2bₙ

これは公比2の等比数列です。

初項：b₁ = a₁ + 3 = 1 + 3 = 4

よって：bₙ = 4 × 2ⁿ⁻¹ = 2² × 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ⁺¹

aₙ = bₙ − 3 = 2ⁿ⁺¹ − 3

【検算】

• a₁ = 2² − 3 = 4 − 3 = 1 ✓
• a₂ = 2³ − 3 = 8 − 3 = 5、漸化式より a₂ = 2×1 + 3 = 5 ✓
• a₃ = 2⁴ − 3 = 16 − 3 = 13、漸化式より a₃ = 2×5 + 3 = 13 ✓

【STEP 3】(3) 和を求める

Sₙ = Σₖ₌₁ⁿ aₖ = Σₖ₌₁ⁿ (2ᵏ⁺¹ − 3)

= Σₖ₌₁ⁿ 2ᵏ⁺¹ − Σₖ₌₁ⁿ 3
= (2² + 2³ + ... + 2ⁿ⁺¹) − 3n

等比数列の和の公式を使います：

2² + 2³ + ... + 2ⁿ⁺¹ = 2² × (2ⁿ − 1)/(2 − 1) = 4(2ⁿ − 1) = 2ⁿ⁺² − 4

Sₙ = 2ⁿ⁺² − 4 − 3n = 2ⁿ⁺² − 3n − 4

別解・発展

【発展：階差数列を使う方法】

漸化式 aₙ₊₁ = 2aₙ + 3 から aₙ₊₁ − aₙ = aₙ + 3 となり、これを階差数列として使う方法もあります。ただし、この問題では特性方程式を使う方が効率的です。

【帯広畜産大学での数列の出題傾向】

帯広畜産大学では、以下のタイプの漸化式が頻出です：

• aₙ₊₁ = paₙ + q（特性方程式で解く）
• aₙ₊₁ = paₙ + f(n)（階差利用）
• 確率と絡めた漸化式

特に確率漸化式は要注意！Pₙ₊₁ と Pₙ の関係を立式できるかが勝負です。

大問4：平面ベクトル

問題

解説・解法のポイント

ベクトルの問題は、「始点を揃える」ことと「内積の計算」がポイントです！

【STEP 1】(1) 内積 →a · →b を求める

内積の定義より：

→a · →b = |→a| × |→b| × cos∠AOB
= 3 × 4 × cos60°
= 12 × (1/2)
= 6

【STEP 2】(2) →OP を求める

点Pは辺ABを2:1に内分するので、内分点の公式より：

→OP = (1 × →OA + 2 × →OB) / (2 + 1)
= (→a + 2→b) / 3
= (1/3)→a + (2/3)→b

【STEP 3】(3) →MP を求める

点Mは辺OAの中点なので：→OM = (1/2)→a

→MP = →OP − →OM
= (1/3)→a + (2/3)→b − (1/2)→a
= (1/3 − 1/2)→a + (2/3)→b
= −(1/6)→a + (2/3)→b

【STEP 4】(4) |→MP| を求める

ベクトルの大きさは、内積を使って計算します：

|→MP|² = →MP · →MP

→MP = −(1/6)→a + (2/3)→b を代入：

|→MP|² = [−(1/6)→a + (2/3)→b] · [−(1/6)→a + (2/3)→b]
= (1/36)|→a|² − 2 × (1/6) × (2/3) × →a·→b + (4/9)|→b|²
= (1/36) × 9 − (2/9) × 6 + (4/9) × 16
= 1/4 − 4/3 + 64/9

通分して計算（分母を36に揃える）：

= 9/36 − 48/36 + 256/36
= (9 − 48 + 256)/36
= 217/36

|→MP| = √(217/36) = √217/6

別解・発展

【座標