奈良女子大学 2013年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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【検算】

• $a_1 = 2² - 3 = 4 - 3 = 1$ ✓
• $a_2 = 2³ - 3 = 8 - 3 = 5$
• 漸化式で確認：$a_2 = 2a_1 + 3 = 2 cdot 1 + 3 = 5$ ✓
• $a_3 = 2^4 - 3 = 16 - 3 = 13$
• 漸化式で確認：$a_3 = 2a_2 + 3 = 2 cdot 5 + 3 = 13$ ✓

【(3) の解答】

Step 1：和を計算

$sum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (2^{k+1} - 3)$

$= sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} - sum_{k=1}^{n} 3$

$= sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} - 3n$

Step 2：等比数列の和を計算

$sum_{k=1}^{n} 2^{k+1} = 2² + 2³ + 2^4 + cdots + 2^{n+1}$

これは初項 $2² = 4$、公比 2、項数 n の等比数列の和なので：

$= 4 cdot frac{2^n - 1}{2 - 1} = 4(2^n - 1) = 2^{n+2} - 4$

Step 3：最終結果

$sum_{k=1}^{n} a_k = 2^{n+2} - 4 - 3n = mathbf{2^{n+2} - 3n - 4}$

【検算】

• n = 1 のとき：$2³ - 3 - 4 = 8 - 7 = 1 = a_1$ ✓
• n = 2 のとき：$2^4 - 6 - 4 = 16 - 10 = 6 = a_1 + a_2 = 1 + 5$ ✓
• n = 3 のとき：$2^5 - 9 - 4 = 32 - 13 = 19 = 1 + 5 + 13$ ✓

別解・発展

【別解：階差を利用する方法】

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 3$ より：

$a_{n+1} - a_n = a_n + 3$

つまり、階差数列 ${a_{n+1} - a_n}$ は ${a_n + 3} = {2^{n+1}}$ となります。

n ≥ 2 のとき：

$a_n = a_1 + sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1} - a_k) = 1 + sum_{k=1}^{n-1}(a_k + 3)$

この方法でも同じ結果が得られますが、(1) の方法がより直接的です。

【発展：3項間漸化式への拡張】
$a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n$ のような3項間漸化式では、特性方程式 $x² = px + q$ を解き、その解 α, β を用いて一般項を求めます。これはフィボナッチ数列などで頻出するテーマです。

大問4：積分法（面積と回転体の体積）

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解答】

Step 1：連立方程式を解く

$x² - 2x = x$

$x² - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

$x = 0$ または $x = 3$

Step 2：y 座標を求める

$x = 0$ のとき $y = 0$

$x = 3$ のとき $y = 3$

答：(0, 0) と (3, 3)

【(2) の解答】

Step 1：上下関係を確認

0 ≤ x ≤ 3 の範囲で、$x - (x² - 2x) = 3x - x² = x(3 - x) ≥ 0$

よって、直線 ℓ が曲線 C の上側にあります。

Step 2：面積を積分で計算

$S = int_0^3 {x - (x² - 2x)} dx = int_0^3 (3x - x²) dx$

$= left[frac{3x²}{2} - frac{x³}{3}right]_0^3$

$= left(frac{3 cdot 9}{2} - frac{27}{3}right) - 0$

$= frac{27}{2} - 9$

$= frac{27 - 18}{2}$

$= frac{9}{2}$

答：$S = frac{9}{2}$

【公式の活用】
放物線 $y = ax² + bx + c$ と直線で囲まれた面積は、交点の x 座標を α, β（α < β）とすると：
$S = frac{|a|}{6}(beta - alpha)³$
本問では $a = 1$、$beta - alpha = 3$ より $S = frac{1}{6} cdot 27 = frac{9}{2}$ ✓

【(3) の解答】

Step 1：回転体の体積の考え方

曲線 C と直線 ℓ で囲まれた部分を x 軸のまわりに回転させると、「直線 y = x の回転体」から「曲線 y = x² - 2x の回転体」を引いた立体になります。

ただし、曲線 $y = x² - 2x = x(x-2)$ は $0 < x < 2$ で負の値をとるため、回転体の計算には注意が必要です。

Step 2：積分区間を分けて考える

【区間 [0, 2]】：曲線 C は x 軸より下（y 0）

【区間 [2, 3]】：両方とも x 軸より上（y > 0）

Step 3：体積を計算

回転体の体積は、外側の回転体から内側の回転体を引きます。

【区間 [0, 2] での体積 V₁】

直線 y = x による回転体の体積：$pi int_0^2 x² dx$

曲線 y = x² - 2x（y ≤ 0 の部分）による回転体の体積：$pi int_0^2 (x² - 2x)² dx$

この区間では曲線が x 軸より下なので、回転すると直線の回転体に曲線の回転体が「加わる」形になります。

$V_1 = pi int_0^2 {x² + (x² - 2x)²} dx$

【区間 [2, 3] での体積 V₂】

この区間では両方とも正なので、外側（直線）から内側（曲線）を引きます。

$V_2 = pi int_2^3 {x² - (x² - 2x)²} dx$

Step 4：各積分を計算

まず $(x² - 2x)² = x^4 - 4x³ + 4x²$ を計算します。

V₁ の計算：

$V_1 = pi int_0^2 (x² + x^4 - 4x³ + 4x²) dx = pi int_0^2 (x^4 - 4x³ + 5x²) dx$

$= pi left[frac{x^5}{5} - x^4 + frac{5x³}{3}right]_0^2$

$= pi left(frac{32}{5} - 16 + frac{40}{3}right)$

$= pi left(frac{96 - 240 + 200}{15}right)$

$= pi cdot frac{56}{15}$

V₂ の計算：

$V_2 = pi int_2^3 (x² - x^4 + 4x³ - 4x²) dx = pi int_2^3 (-x^4 + 4x³ - 3x²) dx$

$= pi left[-frac{x^5}{5} + x^4 - x³right]_2^3$

$= pi left[left(-frac{243}{5} + 81 - 27right) - left(-frac{32}{5} + 16 - 8right)right]$

$= pi left[left(-frac{243}{5} + 54right) - left(-frac{32}{5} + 8right)right]$

$= pi left[-frac{243}{5} + 54 + frac{32}{5} - 8right]$

$= pi left[-frac{211}{5} + 46right]$

$= pi left[frac{-211 + 230}{5}right]$

$= pi cdot frac{19}{5}$

Step 5：合計

$V = V_1 + V_2 = frac{56pi}{15} + frac{19pi}{5} = frac{56pi}{15} + frac{57pi}{15} = frac{113pi}{15}$

答：$V = frac{113pi}{15}$

別解・発展

【別解：バームクーヘン積分（円筒殻法）】

y 軸のまわりの回転であれば円筒殻法が有効ですが、x 軸まわりの回転では通常の円板法が適切です。

【発展：パップス・ギュルダンの定理】

回転体の体積は「断面積 × 重心が描く円周の長さ」で求められる場合があります。ただし、本問のように複雑な領域では直接積分する方が確実です。

この年度の重要テーマと対策

2013年度の出題テーマまとめ

奈良女子大学 数学の傾向と対策

【傾向1】基本〜標準レベルの出題が中心

奈良女子大学の数学は、教科書の章末問題レベルから入試標準問題集レベルの出題が中心です。難問・奇問は少なく、基礎力の定着を重視した出題傾向があります。

対策：教科書の例題・練習問題を完璧に解けるようにした上で、『チャート式 基礎からの数学』（青チャート）や『Focus Gold』などの標準的な問題集で演習量を確保しましょう。

【傾向2】微分積分・ベクトル・数列が頻出

理系学部では数学Ⅲの微分積分が必出です。また、ベクトル（平面・空間）と数列（漸化式）も毎年のように出題されています。

対策：

• 微分積分：極値問題、接線、面積、体積の計算を徹底的に練習
• ベクトル：内積、外積、平面・直線の方程式、点と平面の距離
• 数列：各種漸化式のパターンを網羅し、和の計算（Σ計算）に習熟

【傾向3】計算力が問われる

問題の難易度は標準的でも、計算量が多い問題があります。特に積分計算や連立方程式の処理で時間を取られないよう、正確かつ迅速な計算力が必要です。

対策：日頃から途中計算を丁寧に書く習慣をつけ、計算ミスを減らしましょう。また、計算の工夫（因数分解、置換など）を意識することで効率的に解けます。

【傾向4】記述式の答案作成能力

全問記述式のため、論理的で読みやすい答案を書く力が求められます。「何を求めるのか」「どのような方針で解くのか」を明確にしながら記述しましょう。

対策：過去問演習では、必ず答案を最後まで書ききり、模範解答と比較して改善点を見つけましょう。

分野別・優先度マトリックス

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2013年度の出題テーマに関連した練習問題を3問用意しました。解答・解説付きなので、理解度の確認にお使いください。

【練習問題1】微分法（接線と極値）

【解答・解説】

(1) の解答

$f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$

$f'(x) = 0$ より $x = 1, 3$

増減表を作成すると：

• x 0（増加）
• x = 1 で極大
• 1 < x < 3 で f'(x) < 0（減少）
• x = 3 で極小
• x > 3 で f'(x) > 0（増加）

$f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6$（極大値）

$f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2$（極小値）

答：極大値 6（x = 1）、極小値 2（x = 3）

(2) の解答

$f'(0) = 9$

点 (0, 2) を通り傾き 9 の直線：$y - 2 = 9(x - 0)$

答：y = 9x + 2

(3) の解答

曲線と接線の交点を求める：

$x³ - 6x² + 9x + 2 = 9x + 2$

$x³ - 6x² = 0$

$x²(x - 6) = 0$

$x = 0$（重解）, $x = 6$

面積 S：

$S = int_0^6 |f(x) - (9x + 2)| dx = int_0^6 |x³ - 6x²| dx$

0 < x < 6 で $x³ - 6x² = x²(x-6) < 0$ なので：

$S = int_0^6 (6x² - x³) dx = left[2x³ - frac{x^4}{4}right]_0^6 = 432 - 324 = 108$

答：S = 108

【練習問題2】空間ベクトル

【解答・解説】

(1) の解答

$overrightarrow{AB} = (3, 0, -3)$、$overrightarrow{AC} = (0, 3, -3)$

$overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = 0 + 0 + 9 = 9$

$|overrightarrow{AB}| = sqrt{9 + 0 + 9} = 3sqrt{2}$

$|overrightarrow{AC}| = sqrt{0 + 9 + 9} = 3sqrt{2}$

$costheta = frac{9}{3sqrt{2} cdot 3sqrt{2}} = frac{9}{18} = frac{1}{2}$

答：θ = 60°

(2) の解答

$S = frac{1}{2}|overrightarrow{AB}||overrightarrow{AC}|sintheta = frac{1}{2} cdot 3sqrt{2} cdot 3sqrt{2} cdot frac{sqrt{3}}{2} = frac{9sqrt{3}}{2}$

答：$S = frac{9sqrt{3}}{2}$

(3) の解答

法線ベクトル $vec{n} = overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}$

$= (0 cdot (-3) - (-3) cdot 3, (-3) cdot 0 - 3 cdot (-3), 3 cdot 3 - 0 cdot 0)$

$= (9, 9, 9) = 9(1, 1, 1)$

平面の方程式：$x + y + z = d$

点 A(1, 2, 3) を代入：$1 + 2 + 3 = 6$ より $d = 6$

平面：$x + y + z = 6$、すなわち $x + y + z - 6 = 0$

原点 O(0, 0, 0) との距離：

$h = frac{|0 + 0 + 0 - 6|}{sqrt{1 + 1 + 1}} = frac{6}{sqrt{3}} = 2sqrt{3}$

答：$h = 2sqrt{3}$

【練習問題3】数列（漸化式）