名古屋市立大学 2016年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

よって、n が奇数のとき pₙ = 0です。

n が偶数のとき、n = 2m とおくと、k = m 回正に進み、m 回負に進む必要があります。

Step 2：確率の計算

pₙ = p₂ₘ = ₂ₘCₘ × (1/3)ᵐ × (2/3)ᵐ = ₂ₘCₘ × (2/9)ᵐ

n = 2m より m = n/2 なので：

答：pₙ = ₙCₙ/₂ × (2/9)^(n/2)　（n が偶数のとき）

pₙ = 0　（n が奇数のとき）

別の表現として、n が偶数のとき：

pₙ = (n)! / ((n/2)!)² × (2/9)^(n/2)

【(3) の解法】

lim(n→∞) pₙ を求めます。n が奇数のとき pₙ = 0 なので、n が偶数の場合の極限を考えます。

Step 1：スターリングの公式を利用

大きな m に対して、スターリングの公式より：

m! ≈ √(2πm) × (m/e)ᵐ

これを用いると、₂ₘCₘ は：

₂ₘCₘ = (2m)! / (m!)² ≈ √(4πm) × (2m/e)^(2m) / (2πm × (m/e)^(2m))

= √(4πm) × 2^(2m) × m^(2m) / (2πm × m^(2m))

= 4ᵐ / √(πm)

Step 2：pₙ の極限

n = 2m として：

p₂ₘ ≈ (4ᵐ / √(πm)) × (2/9)ᵐ = (4 × 2/9)ᵐ / √(πm) = (8/9)ᵐ / √(πm)

8/9 < 1 なので、m → ∞ のとき (8/9)ᵐ → 0 です。

分母の √(πm) は発散しますが、分子の (8/9)ᵐ の減少の方が速いため：

答：lim(n→∞) pₙ = 0

別解・発展

【別解：直接的な評価】

スターリングの公式を使わない方法として、以下のように評価できます：

p₂ₘ = ₂ₘCₘ × (2/9)ᵐ ≤ 2^(2m) × (2/9)ᵐ = 4ᵐ × (2/9)ᵐ = (8/9)ᵐ

（₂ₘCₘ ≤ 2^(2m) を使用）

8/9 < 1 より、(8/9)ᵐ → 0 (m → ∞)

よって、はさみうちの原理から lim(n→∞) pₙ = 0

【発展：ランダムウォークの再帰性】

この問題は「偏りのあるランダムウォーク」の典型例です。正に進む確率 p = 1/3、負に進む確率 q = 2/3 で、p ≠ q の場合、点Pは高い確率で負の方向に流されていきます。

一般に、1次元の非対称ランダムウォークでは、原点に戻る確率の総和（再帰確率）が1未満になります。これは対称ランダムウォーク（p = q = 1/2）の場合と対照的で、対称な場合は確率1で原点に無限回戻ることが知られています（Pólya の定理）。

大問4：ベクトルと空間図形（医学部）

問題

解説・解法のポイント

この問題は、正四面体の性質とベクトルの内積計算を組み合わせた問題です。空間ベクトルの基本をしっかり理解していれば解ける標準的な良問です。

【(1) の解法】

Step 1：ベクトルの設定

→OA = →a, →OB = →b, →OC = →c とおきます。

条件より：

• |→a| = |→b| = |→c| = 2
• |→a − →b| = |→b − →c| = |→c − →a| = 2

|→a − →b|² = |→a|² − 2→a·→b + |→b|² = 4 − 2→a·→b + 4 = 4

よって →a·→b = 2

同様に、→b·→c = →c·→a = 2

Step 2：点 P, Q, R の位置ベクトル

→OP = (t/2)→a, →OQ = (t/2)→b, →OR = (t/2)→c

Step 3：三角形 PQR の辺の長さ

→PQ = →OQ − →OP = (t/2)(→b − →a)

|→PQ|² = (t/2)² |→b − →a|² = (t²/4) × 4 = t²

よって |PQ| = t

同様に |QR| = |RP| = t

したがって、三角形 PQR は一辺 t の正三角形です。

Step 4：面積の計算

答：S = (√3/4)t²

【(2) の解法】

Step 1：四面体 OPQR の体積

四面体 OPQR の体積は、四面体 OABC の体積との比で求められます。

O を共通の頂点として：

V(OPQR) / V(OABC) = (OP/OA) × (OQ/OB) × (OR/OC) = (t/2)³ = t³/8

Step 2：四面体 OABC の体積

四面体 OABC は、底面 ABC が一辺2の正三角形で、O から底面への高さを h とします。

正四面体（すべての辺が等しい四面体）ではないので注意が必要です。

OA = OB = OC = 2, AB = BC = CA = 2 より、三角形 OAB, OBC, OCA はすべて一辺2の正三角形です。

実は、この四面体は正四面体です！（すべての辺が2）

正四面体の体積公式：V = (√2/12) × a³（a は辺の長さ）

V(OABC) = (√2/12) × 2³ = (√2/12) × 8 = (2√2)/3

Step 3：四面体 OPQR の体積

V = (t³/8) × (2√2)/3 = (√2 × t³)/12

答：V = (√2/12)t³

【(3) の解法】

Step 1：V/S を計算

V/S = [(√2/12)t³] / [(√3/4)t²] = (√2/12) × (4/√3) × t = (√2 × 4)/(12√3) × t = (√2)/(3√3) × t = (√6)/9 × t

Step 2：最大値を求める

V/S = (√6/9)t は t に比例するので、0 < t < 2 の範囲で t → 2 のとき最大となります。

ただし、t = 2 は含まないので、最大値は存在せず、上限が (√6/9) × 2 = 2√6/9 となります。

問題の意図として「最大値」を問うているので、t → 2 の極限値を答えとする場合：

答：V/S の上限は 2√6/9（最大値は存在しない）

または、問題文の解釈によっては、t = 2 を含む閉区間 0 < t ≤ 2 と読み替えて：

答：最大値は 2√6/9（t = 2 のとき）

別解・発展

【別解：スカラー三重積を用いた体積計算】

四面体 OPQR の体積は、スカラー三重積を用いて：

V = (1/6)|→OP · (→OQ × →OR)|

で計算できます。→OP = (t/2)→a などを代入し、→a, →b, →c の三重積を計算すると同じ結果が得られます。

【発展：相似比と体積比】

この問題で使った「相似な四面体の体積比は相似比の3乗」という関係は、空間図形の問題で非常に重要です。

一般に、線分を k : (1−k) に内分する点で切り取った小さな四面体の体積は、元の四面体の k³ 倍になります。この関係を覚えておくと、計算が大幅に簡略化できます。

この年度の重要テーマと対策

2016年度の出題傾向分析

2016年度の名古屋市立大学数学では、以下のテーマが出題されました：

名市大数学の特徴と対策

1. 微分・積分（毎年出題）

名市大では、微分・積分からの出題が毎年あります。特に：

• 接線の方程式を求める問題
• 曲線と直線（または曲線同士）で囲まれた面積
• 体積の計算（回転体など）

が頻出です。公式の暗記だけでなく、その導出過程を理解しておくことが重要です。

2. 確率・場合の数（高頻度で出題）

場合の数と確率は、名市大の定番テーマです。特に：

• 確率漸化式（状態遷移を伴う確率）
• 条件付き確率
• 組合せの数え上げ

が重要です。漸化式の立式→解法→極限という流れを完璧にしておきましょう。

3. ベクトル（空間図形との融合）

空間ベクトルは医学部で特に重視されます：

• 内積の計算と図形への応用
• 四面体の体積
• 平面の方程式、点と平面の距離

4. 計算力の養成

名市大の数学は、発想力よりも計算力が問われる傾向があります。解法がわかっても、計算ミスで失点するケースが多いので、日頃から：

• 途中式を丁寧に書く習慣
• 検算の習慣
• 時間を計って演習する

を心がけましょう。

学部別の対策ポイント

医学部志望者

4問すべてを高い精度で解く必要があります。特に第4問は差がつきやすいので、空間図形・複素数平面を重点的に対策しましょう。目標得点率は75〜80%です。

薬学部志望者

3問構成ですが、医学部と共通問題が多いです。微積分と確率を確実に得点源にしましょう。目標得点率は65〜70%です。

経済学部・芸術工学部志望者

数学Ⅲを含まない問題構成の場合があります。数学ⅠAⅡBの範囲を徹底的に固めることが重要です。目標得点率は60〜65%です。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

ここでは、2016年度名古屋市立大学の問題と類似したテーマの練習問題を3問用意しました。解答・解説付きなので、ぜひチャレンジしてみてください！

【練習問題1】4次関数と面積（第1問関連）

解答・解説

(1) の解答

g(x) = x⁴ − 4x² = x²(x² − 4) = x²(x − 2)(x + 2)

g(x) = 0 の解は x = −2, 0, 2

−2 ≤ x ≤ 2 で g(x) ≤ 0 なので：

S₁ = ∫₋₂² |g(x)| dx = −∫₋₂² (x⁴ − 4x²) dx

= −[x⁵/5 − 4x³/3]₋₂²

= −[(32/5 − 32/3) − (−32/5 + 32/3)]

= −[2(32/5 − 32/3)] = −2 × 32(1/5 − 1/3) = −64 × (−2/15) = 128/15

答：128/15

(2) の解答

g(x) = −3 を解くと：x⁴ − 4x² + 3 = 0 → (x² − 1)(x² − 3) = 0 → x = ±1, ±√3

囲まれた部分は −√3 ≤ x ≤ −1 と 1 ≤ x ≤ √3 の2つの領域です。

対称性より、面積は：

S₂ = 2∫₁^√3 (g(x) − (−3)) dx = 2∫₁^√3 (x⁴ − 4x² + 3) dx

= 2[x⁵/5 − 4x³/3 + 3x]₁^√3

= 2[(9√3/5 − 4·3√3/3 + 3√3) − (1/5 − 4/3 + 3)]

= 2[(9√3/5 − 4√3 + 3√3) − (1/5 − 4/3 + 3)]

= 2[(9√3/5 − √3) − (1/5 + 5/3)]

= 2[(9√3 − 5√3)/5 − (3 + 25)/15]

= 2[4√3/5 − 28/15] = 8√3/5 − 56/15 = (24√3 − 56)/15

答：(24√3 − 56)/15

【練習問題2】確率漸化式（第3問関連）

解答・解説

(1) の解答

3人でジャンケンをしたとき：

• 1人だけ勝つ確率（2人が負けて抜ける）：3 × (1/3) × (1/3) × (1/3) × 3 = 1/3 × 3 = 3/9 = 1/3
• 1人だけ負ける確率（1人が抜ける）：同様に 1/3
• あいこの確率：1 − 1/3 − 1/3 = 1/3

p₁ は「3人から1人が抜けて2人になる」確率なので：

答：p₁ = 1/3

(2) の解答

n+1 回目に2人が残っている状態は：

• n 回目に3人残っていて、1人が抜けた場合
• n 回目に2人残っていて、あいこだった場合

n 回目に3人残っている確率を qₙ とすると：

qₙ + pₙ + (1人または0人の確率) = 1

2人でジャンケンした場合、あいこの確率は 1/3 です。

pₙ₊₁ = qₙ × (1/3) + pₙ × (1/3)

また、qₙ₊₁ = qₙ × (1/3)（3人のままあいこ）

q₁ = 1/3（最初から3人であいこ）より qₙ = (1/3)ⁿ

答：pₙ₊₁ = (1/3)pₙ + (1/3)ⁿ⁺¹

(3) の解答

漸化式 pₙ₊₁ = (1/3)pₙ + (1/3)ⁿ⁺¹ を解きます。

両辺を (1/3)ⁿ⁺¹ で割ると：

pₙ₊₁/(1/3)ⁿ⁺¹ = pₙ/(1/3)ⁿ × (1/3)/(1/3) + 1 = pₙ·3ⁿ/3ⁿ⁺¹ × 3 + 1

rₙ = pₙ × 3ⁿ とおくと：rₙ₊₁ = rₙ + 1

r₁ = p₁ × 3 = 1/3 × 3 = 1

よって rₙ = n

答：pₙ = n/3ⁿ = n × (1/3)ⁿ

【練習問題3】空間ベクトルと体積（第4問関連）

解答・解説

(1) の解答

四面体の体積は V = (1/6)|→a·(→b × →c)| で求められます。

|→a·(→b × →c)|² = |→a|²|→b × →c|² − (→a·(→b × →c))² ... ではなく、

スカラ

スカラー三重積の2乗は次の公式で計算できます：

|→a·(→b × →c)|² = det(G)

ここで G はグラム行列：

行列式を計算します：

det(G) = 9(16×25 − 10×10) − 6(6×25 − 10×0) + 0(6×10 − 16×0)

= 9(400 − 100) − 6(150 − 0) + 0

= 9 × 300 − 6 × 150

= 2700 − 900 = 1800

よって |→a·(→b × →c)| = √1800 = √(900 × 2) = 30√2

四面体の体積：

V = (1/6)|→a·(→b × →c)| = (1/6) × 30√2 = 5√2

答：V = 5√2

(2) の解答

点 H は平面 ABC 上にあるので、→OH = s→a + t→b + u→c （s + t + u = 1）と表せます。

また、→OH ⊥ 平面ABC なので、→OH は →AB と →AC の両方に垂直です。

→AB = →b − →a, →AC = →c − →a

条件1：→OH · →AB = 0

(s→a + t→b + u→c)·(→b − →a) = 0

s(→a·→b − |→a|²) + t(|→b|² − →a·→b) + u(→c·→b − →c·→a) = 0

s(6 − 9) + t(16 − 6) + u(10 − 0) = 0

−3s + 10t + 10u = 0 ... ①

条件2：→OH · →AC = 0

(s→a + t→b + u→c)·(→c − →a) = 0

s(→a·→c − |→a|²) + t(→b·→c − →a·→b) + u(|→c|² − →c·→a) = 0

s(0 − 9) + t(10 − 6) + u(25 − 0) = 0

−9s + 4t + 25u = 0 ... ②

条件3：s + t + u = 1 ... ③

①②③を連立して解きます。

① より：−3s + 10t + 10u = 0 → −3s + 10(t + u) = 0 → −3s + 10(1 − s) = 0（③より）

−3s + 10 − 10s = 0 → −13s = −10 → s = 10/13

③より：t + u = 1 − 10/13 = 3/13

②に s = 10/13 を代入：

−9(10/13) + 4t + 25u = 0

−90/13 + 4t + 25u = 0

4t + 25u = 90/13 ... ④

t + u = 3/13 より t = 3/13 − u を④に代入：

4(3/13 − u) + 25u = 90/13

12/13 − 4u + 25u = 90/13

21u = 78/13 = 6

u = 6/21 = 2/7

t = 3/13 − 2/7 = (21 − 26)/91 = −5/91

検算：s + t + u = 10/13 − 5/91 + 2/7 = 70/91 − 5/91 + 26/91 = 91/91 = 1 ✓

答：→OH = (10/13)→a − (5/91)→b + (2/7)→c

または通分して：

答：→OH = (70/91)→a − (5/91)→b + (26/91)→c = (1/91)(70→a − 5→b + 26→c)

合格への学習アドバイス

時期別学習プラン

【高3春〜夏（4月〜8月）】基礎固め期

• 教科書の例題・章末問題を完璧に
• 青チャートまたはFocus Goldの例題を周回
• 計算力強化（毎日30分の計算演習）
• 弱点分野の洗い出しと克服

【高3秋（9月〜11月）】実践力養成期

• 名市大の過去問5年分に着手
• 類似大学（名古屋大、岐阜大、三重大など）の過去問演習
• 時間を計って解く練習
• 記述答案の書き方を意識

【高3冬（12月〜2月）】直前対策期

• 過去問10年分を完全制覇
• 苦手分野の集中特訓
• 本番を想定した模擬演習
• ケアレスミス対策の徹底

おすすめ参考書・問題集

日本数学塾・数強塾で名古屋市立大学合格を目指そう

いかがでしたでしょうか？2016年度の名古屋市立大学数学は、基礎をしっかり固めた上で、典型問題の解法パターンを身につけていれば十分に対応できる内容でした。

しかし、独学で数学を勉強していると、

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最後に

名古屋市立大学の数学は、決して難問奇問ではありません。基礎を大切にし、典型問題を確実に解けるようになることが合格への近道です。

この記事で紹介した解法やポイントを参考に、ぜひ過去問演習に取り組んでみてください。わからないところがあれば、いつでも数強塾・日本数学塾の講師に質問してくださいね。

皆さんの名古屋市立大学合格を心より応援しています！

数強塾・日本数学塾 講師
藤原進之介

まとめ：2016年度 名古屋市立大学 数学のポイント

※この記事の内容は2016年度名古屋市立大学入試問題に基づいています。最新の入試情報は大学公式サイトでご確認ください。