順天堂大学医学部 入試数学｜私立医学部・傾向と対策完全版｜藤原進之介が徹底解説【日本数学塾・数強塾】

【典型問題9：整数と漸化式の融合】

【詳細解説】

(1) a₂ = 2² - 2 = 2

a₃ = 2² - 2 = 2

a₄ = 2² - 2 = 2（すべて2）

(2) a₁ = 2 は整数。aₖ が整数なら aₖ₊₁ = aₖ² - 2 も整数。

数学的帰納法により、すべての n で aₙ は整数。

(3) aₙ = 2cos θ とおくと、

aₙ₊₁ = 4cos²θ - 2 = 2(2cos²θ - 1) = 2cos2θ

よって aₙ = 2cos(2ⁿ⁻¹θ)

a₁ = 2 = 2cos0° より θ = 0

aₙ = 2（すべての n で一定）

【典型問題10：複素数平面と整数】

【詳細解説】

(1) ω は x³ = 1 の解（1の原始3乗根）なので ω³ = 1

(2) x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1) = 0 より

ω² + ω + 1 = 0（ω ≠ 1 なので）

1 + ω + ω² = 0

(3) n = 3k のとき：ω³ᵏ + ω⁶ᵏ = 1 + 1 = 2

n = 3k + 1 のとき：ω³ᵏ⁺¹ + ω⁶ᵏ⁺² = ω + ω² = -1

n = 3k + 2 のとき：ω³ᵏ⁺² + ω⁶ᵏ⁺⁴ = ω² + ω = -1

厳選！合格するための練習問題10問

ここからは、順天堂大学医学部の入試傾向を踏まえたオリジナル練習問題を10問用意しました。各問題には詳細な解答と解説を付けていますので、実力チェックに活用してください。

【練習問題1】三角関数の積分

【解答】

tan³x = tan x · tan²x = tan x(sec²x - 1) = tan x · sec²x - tan x

∫ tan x · sec²x dx について、t = tan x とおくと dt = sec²x dx

∫ t dt = t²/2 = tan²x/2

∫ tan x dx = -log|cos x|

I = [tan²x/2 + log|cos x|]₀^(π/4)

= (1/2 + log(1/√2)) - (0 + 0)

= 1/2 + log(2⁻¹/²)

= 1/2 - (1/2)log 2

= (1 - log 2)/2

【練習問題2】確率と漸化式

【解答】

(1) 5回でAが優勝するには、4回終了時点でAが2勝2敗で、5回目にAが勝つ必要がある。

4回中Aが2勝する組み合わせ（ただし3回目までにAが3勝しない）：

4回目がAの2勝目となるパターンを考える。

3回でA2勝B1敗の並び（4回目B勝ち、5回目A勝ち）

₃C₁ × (2/3)² × (1/3) × (1/3) × (2/3) = 3 × 4/9 × 1/3 × 1/3 × 2/3 = 3 × 8/243 = 8/81

(2) Aが優勝するパターン：

・3回で優勝（AAA）：(2/3)³ = 8/27

・4回で優勝：₃C₁ × (2/3)³ × (1/3) = 3 × 8/27 × 1/3 = 8/27

・5回で優勝：₄C₂ × (2/3)³ × (1/3)² - (重複分) を計算

詳細計算により、64/81

【練習問題3】数列の極限

【解答】

(1) 数学的帰納法で示す。

n = 1：a₁ = 1 で 1 ≤ 1 < 2 ✓

n = k で 1 ≤ aₖ < 2 と仮定すると：

aₖ₊₁ = √(2 + aₖ)

1 ≤ aₖ より √3 ≤ √(2 + aₖ)、すなわち aₖ₊₁ ≥ √3 > 1 ✓

aₖ < 2 より √(2 + aₖ) < √4 = 2、すなわち aₖ₊₁ < 2 ✓

よって、すべての n で 1 ≤ aₙ < 2

(2) aₙ₊₁ - aₙ = √(2 + aₙ) - aₙ

f(x) = √(2 + x) - x とおくと、1 ≤ x < 2 で

f(x) > 0 ⟺ √(2 + x) > x ⟺ 2 + x > x²（x > 0）

⟺ x² - x - 2 < 0 ⟺ (x - 2)(x + 1) < 0 ⟺ -1 < x < 2

1 ≤ aₙ aₙ

よって {aₙ} は単調増加

(3) (1)(2)より {aₙ} は上に有界な単調増加数列なので収束する。

極限値を α とすると α = √(2 + α)

α² = 2 + α

α² - α - 2 = 0

(α - 2)(α + 1) = 0

α = 2（α > 0 より）

lim(n→∞) aₙ = 2

【練習問題4】ベクトルと空間図形

【解答】

(1) →OM = (1/2)→OA

→ON = (1/2)(→OB + →OC)

→MN = →ON - →OM = (1/2)(→OB + →OC) - (1/2)→OA

= -(1/2)→OA + (1/2)→OB + (1/2)→OC

(2) 正四面体より |→OA| = |→OB| = |→OC| = 2

→OA·→OB = →OB·→OC = →OC·→OA = 2·2·cos60° = 2

|→MN|² = (1/4)(|→OA|² + |→OB|² + |→OC|² - 2→OA·→OB - 2→OA·→OC + 2→OB·→OC)

= (1/4)(4 + 4 + 4 - 4 - 4 + 4) = (1/4)·8 = 2

|→MN| = √2

(3) →MN·→OB = (1/2)(-→OA·→OB + |→OB|² + →OC·→OB)

= (1/2)(-2 + 4 + 2) = 2

cosθ = (→MN·→OB)/(|→MN||→OB|) = 2/(√2·2) = 1/√2

θ = 45°（またはπ/4）

【練習問題5】微分と不等式の証明

【解答】

f(x) = eˣ - 1 - x - x²/2 とおく。

f(0) = 1 - 1 - 0 - 0 = 0

f'(x) = eˣ - 1 - x

f'(0) = 1 - 1 - 0 = 0

g(x) = f'(x) = eˣ - 1 - x とおく。

g(0) = 0

g'(x) = eˣ - 1 > 0（x > 0 のとき）

よって x > 0 で g(x) > g(0) = 0

すなわち f'(x) > 0（x > 0）

よって x > 0 で f(x) > f(0) = 0

すなわち eˣ > 1 + x + x²/2（x > 0）

【練習問題6】面積と回転体の体積

【解答】

(1) S = ∫₀^1 e⁻ˣ dx = [-e⁻ˣ]₀^1 = -e⁻¹ - (-1) = 1 - 1/e

(2) V = π∫₀^1 (e⁻ˣ)² dx = π∫₀^1 e⁻²ˣ dx

= π[-e⁻²ˣ/2]₀^1

= π(-e⁻²/2 + 1/2)

= (π/2)(1 - e⁻²)

【練習問題7】場合の数と確率

【解答】

(1) 和が15となる3つの数の組を列挙する：

(1, 5, 9), (1, 6, 8), (2, 4, 9), (2, 5, 8), (2, 6, 7), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (4, 5, 6)

8通り

(2) 余事象「3枚とも奇数」を考える。

奇数は1, 3, 5, 7, 9の5枚

3枚とも奇数となる選び方：₅C₃ = 10通り

全ての選び方：₉C₃ = 84通り

積が偶数となる確率 = 1 - 10/84 = 1 - 5/42 = 37/42

【練習問題8】複素数平面

【解答】

(1) z₁ + z₂ = (2 + i) + (-1 + 2i) = 1 + 3i

z₁z₂ = (2 + i)(-1 + 2i) = -2 + 4i - i + 2i² = -2 + 3i - 2 = -4 + 3i

(2) z₁ - z₂ = (2 + i) - (-1 + 2i) = 3 - i

|z₁ - z₂| = |3 - i| = √(9 + 1) = √10

(3) z₁/z₂ = (2 + i)/(-1 + 2i)

= (2 + i)(-1 - 2i)/((-1 + 2i)(-1 - 2i))

= (-2 - 4i - i - 2i²)/(1 + 4)

= (-2 - 5i + 2)/5

= -5i/5

= -i（または 0 - i）

【練習問題9】対数と指数の融合

【解答】

真数条件より x > 0 かつ x - 2 > 0、すなわち x > 2

log₂x + log₂(x - 2) = 3

log₂(x(x - 2)) = 3

x(x - 2) = 2³ = 8

x² - 2x - 8 = 0

(x - 4)(x + 2) = 0

x = 4 または x = -2

x > 2 より x = 4

【練習問題10】数列と微積分の融合（記述式対策）

【解答】

(1) Iₙ = ∫₀^(π/2) sinⁿx dx = ∫₀^(π/2) sinⁿ⁻¹x · sin x dx

部分積分を用いる。u = sinⁿ⁻¹x, dv = sin x dx とおくと

du = (n-1)sinⁿ⁻²x cos x dx, v = -cos x

Iₙ = [-sinⁿ⁻¹x cos x]₀^(π/2) + (n-1)∫₀^(π/2) sinⁿ⁻²x cos²x dx

= 0 + (n-1)∫₀^(π/2) sinⁿ⁻²x (1 - sin²x) dx

= (n-1)Iₙ₋₂ - (n-1)Iₙ

Iₙ + (n-1)Iₙ = (n-1)Iₙ₋₂

nIₙ = (n-1)Iₙ₋₂

Iₙ = ((n-1)/n)Iₙ₋₂

(2) I₀ = π/2, I₁ = 1

I₂ = (1/2)I₀ = π/4

I₃ = (2/3)I₁ = 2/3

I₄ = (3/4)I₂ = (3/4)(π/4) = 3π/16

I₅ = (4/5)I₃ = (4/5)(2/3) = 8/15

(3) Iₙ₊₁/Iₙ = (n/(n+1))(Iₙ₋₁/Iₙ)

Wallis の公式より、lim(n→∞) (Iₙ₊₁/Iₙ) = 1

または、はさみうちの原理を用いて：

0 ≤ sin x ≤ 1 より sinⁿ⁺¹x ≤ sinⁿx

よって Iₙ₊₁ ≤ Iₙ、すなわち Iₙ₊₁/Iₙ ≤ 1

また Iₙ₊₂ = ((n+1)/(n+2))Iₙ より

Iₙ₊₂/Iₙ = (n+1)/(n+2) → 1（n → ∞）

Iₙ₊₁/Iₙ · Iₙ₊₂/Iₙ₊₁ = Iₙ₊₂/Iₙ より

lim(n→∞) (Iₙ₊₁/Iₙ) = 1

年間学習ロードマップ

順天堂大学医学部に合格するための1年間の学習計画を示します。

【4月〜6月】基礎固め期

ポイント：この時期は「教科書の例題・章末問題」と「青チャートの★〜★★」を徹底的に反復します。順天堂大学医学部の数学は基礎的な問題も多いため、ここでの取りこぼしは命取りです。

【7月〜9月】応用力養成期

ポイント：順天堂大学医学部の大問3は記述式で証明を含むことが多いため、この時期に論証力を徹底的に鍛えます。特に「平均

ポイント：順天堂大学医学部の大問3は記述式で証明を含むことが多いため、この時期に論証力を徹底的に鍛えます。特に「平均値の定理」「数学的帰納法」「背理法」などの証明技法は必須です。

【10月〜11月】実戦演習期

ポイント：過去問演習では必ず70分の時間制限を設けて取り組みます。順天堂大学医学部は時間との勝負なので、「捨て問の見極め」と「取れる問題を確実に取る」訓練が重要です。

【12月〜1月】直前仕上げ期

ポイント：直前期は新しいことに手を出さず、これまでやってきた問題の総復習に徹します。特に「間違えた問題ノート」を見直し、同じミスを繰り返さないようにします。

時期別の学習時間配分（目安）

注意：順天堂大学医学部は英語の配点が数学の2倍（200点 vs 100点）であることを忘れずに。数学に偏りすぎず、英語・理科とのバランスを常に意識しましょう。

藤原おすすめ参考書ランキング

順天堂大学医学部合格に向けて、私が実際に指導で使用し、効果を実感している参考書をランキング形式で紹介します。

【基礎固め編】★★★★★

第1位：『青チャート（チャート式 基礎からの数学）』（数研出版）

第2位：『Focus Gold』（啓林館）

第3位：『教科書』＋『教科書傍用問題集（4STEP等）』

【応用力養成編】★★★★☆

第4位：『標準問題精講』（旺文社）

第5位：『1対1対応の演習』（東京出版）

第6位：『数学Ⅲ 重要事項完全習得編』（河合出版）

【実戦演習編】★★★☆☆

第7位：『全国大学入試問題正解（数学・私立大編）』（旺文社）

第8位：『やさしい理系数学』（河合出版）

【証明問題対策編】★★★★★

第9位：『数学の論証力・答案作成力が面白いほど身につく本』（KADOKAWA）

第10位：『ハイレベル数学の完全攻略』（駿台文庫）

参考書選びの注意点

順天堂大学医学部 数学攻略のための7つの鉄則

最後に、順天堂大学医学部の数学で高得点を取るための7つの鉄則をお伝えします。

鉄則1：時間配分を徹底する

70分で3題を解く必要があります。目安として：

• 大問1（小問集合）：25分
• 大問2：20分
• 大問3（記述）：25分

時間が足りなくなりがちな試験なので、普段から時間を計って演習することが大切です。

鉄則2：捨て問を見極める

順天堂大学医学部の数学は、年度によって非常に難しい問題が含まれることがあります。特に2015年、2016年、2019年は難易度が高かったと言われています。

全問正解を目指す必要はありません。「この問題は難しい」と判断したら、潔く飛ばして次に進む勇気も必要です。

鉄則3：誘導に素直に乗る

順天堂大学医学部の問題は誘導が丁寧なことで知られています。小問(1)(2)で得られた結果を(3)(4)で使うパターンが多いので、誘導の意図を読み取る力が重要です。

共通テストの演習も、誘導に乗る練習として効果的です。

鉄則4：計算ミスを防ぐ

2024年度の問題について、「数字が煩雑な箇所があり、計算ミスをしないようにしたい」という講評がありました。

検算の習慣をつけましょう。特に積分計算では、微分して元に戻るか確認することで、ミスを防げます。

鉄則5：証明問題の記述力を鍛える

大問3の記述式では、論理的に正しい答案を書くことが求められます。

• 「〇〇より」「したがって」など、論理の接続詞を適切に使う
• 場合分けがある場合は明確に示す
• 数学的帰納法では、n = k の仮定と n = k+1 の証明を明確に分ける

鉄則6：頻出テーマを重点的に対策する

本記事で紹介した頻出テーマTOP5を重点的に対策しましょう：

1. 数列・無限級数（融合問題含む）
2. 確率・場合の数
3. 図形・ベクトル
4. 微分・積分（数学Ⅲ）
5. 複素数平面・整数問題

これらの分野で「見たことのない問題はない」状態を目指しましょう。

鉄則7：合格ラインを意識する

順天堂大学医学部の数学は配点が100点で、一次突破ラインは70〜75%程度と言われています。ただし、数学の配点比率が低い（500点中100点）ため、他科目の出来によっては65%でも可能性があります。

完璧を目指すより、確実に7割を取る戦略が有効です。

日本数学塾・数強塾で順天堂大学医学部合格を目指そう

ここまで、順天堂大学医学部の数学入試について詳しく解説してきました。

順天堂大学医学部は、私立医学部の中でもトップクラスの難関校です。しかし、正しい方法で対策すれば、合格は決して不可能ではありません。

私が主任講師を務める日本数学塾と数強塾では、順天堂大学医学部をはじめとする難関医学部合格に向けた指導を行っています。

日本数学塾・数強塾の特徴

合格実績（医学部）

日本数学塾・数強塾からは、毎年多くの医学部合格者を輩出しています：

• 順天堂大学医学部
• 慶應義塾大学医学部
• 東京慈恵会医科大学
• 日本医科大学
• 東京医科大学
• 昭和大学医学部
• その他、国公立・私立医学部多数

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まとめ

本記事では、順天堂大学医学部の数学入試について、以下の内容を詳しく解説しました：

1. 試験形式と配点：70分、100点（500点中）、大問3題
2. 出題傾向：数列・確率・ベクトル・微積分・複素数平面が頻出
3. 分野別の対策：実際の出題例と詳細解説
4. 練習問題10問：詳細解答付き
5. 年間学習ロードマップ：4月〜1月の計画
6. おすすめ参考書：レベル別ランキング
7. 7つの鉄則：高得点を取るための戦略

順天堂大学医学部の数学は、時間との勝負であり、典型問題を確実に解く力と記述式での論証力が求められます。

しかし、正しい方法で対策すれば、必ず結果はついてきます。本記事の内容を参考に、計画的に学習を進めてください。

皆さんの順天堂大学医学部合格を心より応援しています！

日本数学塾・数強塾 主任講師
藤原進之介