東京大学理科三類 2025年度 数学｜医学部最難関・全問詳細解説｜藤原進之介が徹底解説【日本数学塾・数強塾】

こんにちは。日本数学塾・数強塾で看板講師を務めております藤原進之介です。

2025年2月25日に実施された東京大学 理科三類（理Ⅲ）の数学入試問題を徹底解説いたします。理科三類は日本の医学部の中で最難関であり、その数学問題は毎年全国の受験生・数学関係者から注目を集めています。今年度の問題は「近年稀に見る難易度」との声が多く、受験生にとっては非常に厳しいセットだったと言えます。

本記事では、全6問について問題のテーマ・解法のアプローチ・詳細な解説・類題まで余すところなくお伝えします。来年以降の東大受験を目指す皆さんの学習に、ぜひお役立てください。

試験概要・全体講評（難易度・時間・特徴）

試験の基本情報

2025年度の全体講評

2025年度の東大理系数学は「近年稀に見る難しさ」と評されており、多くの予備校・解説者が口を揃えてその難易度の高さを指摘しています。SNS上でも「理系数学かなり難化」「確率も体積も出なかったしそこそこに爆死した」との声が相次ぎました。

難易度分析（各大問）

総評：今年のセットの特徴

1. 第1問が最重要：6問の中で最も取り組みやすく、ここで確実に得点を確保することが合格への第一歩でした。
2. 確率・体積問題が不出題：例年頻出の確率漸化式や空間図形の体積問題が出題されず、対策していた受験生は面食らったでしょう。
3. 整数問題が2年連続出題：2024年に続き、多項式と整数を絡めた問題が出題。総合力が問われました。
4. アルゴリズム的思考を問う問題（第5問）：バブルソート風の操作を題材にした問題で、構図理解を諦めた受験生が多数と推測されます。
5. 複素数平面の反転：第6問は反転写像を背景とした問題で、過去の東大でも定期的に出題されるテーマでした。

理科三類志望者の目標点

理科三類の合格には、数学で70〜85点程度が目安となります。今年の難易度を考慮すると、60点台後半〜70点台前半でも十分に合格ラインに届いた可能性があります。

重要なのは「取れる問題を確実に取る」こと。第1問を完答し、第2問・第3問・第6問で部分点を積み上げ、第4問・第5問では誘導に沿って部分点を稼ぐ戦略が有効だったでしょう。

大問別 詳細解説

【第1問】ベジェ曲線と面積・曲線の長さ

問題のテーマ

座標平面上の4点 A(0, 0)、B(0, 1)、C(1, 1)、D(1, 0) を考え、これらの点から定まる内分点の軌跡について問う問題です。背景にはベジェ曲線（Bézier curve）という、コンピュータグラフィックスなどで用いられる曲線があります。

問題の構成

• (1)：0 ≤ t ≤ 1 のとき、点P, Q, R, Sを順次内分点として定義し、最終的に点Sの座標を t の式で表す
• (2)：t が 0 から 1 まで動くとき、点Sの軌跡と x 軸で囲まれた部分の面積を求める
• (3)：点Sの軌跡である曲線の長さを求める

解法のアプローチ

(1) 内分点の公式を繰り返し適用

点Pは線分ABを t : (1-t) に内分する点、点Qは線分BCを同様に内分する点、点Rは線分CDを同様に内分する点です。さらに、これらの点から新たな内分点を作り、最終的に点Sの座標を求めます。

計算の結果、点Sの座標は次のようになります：

(2) 媒介変数表示された曲線と面積

点Sの軌跡は媒介変数 t で表されているため、面積は次の公式を用います：

dx/dt = 6t - 6t² = 6t(1-t) と計算できるので：

S = ∫₀¹ 3t(1-t) · 6t(1-t) dt = 18 ∫₀¹ t²(1-t)² dt

t²(1-t)² = t² - 2t³ + t⁴ を展開して積分すると：

S = 18 [t³/3 - t⁴/2 + t⁵/5]₀¹ = 18 (1/3 - 1/2 + 1/5) = 18 · (10-15+6)/30 = 18 · 1/30 = 3/5

(3) 曲線の長さ

曲線の長さの公式は：

dx/dt = 6t(1-t) = 6t - 6t²

dy/dt = 3 - 6t

(dx/dt)² + (dy/dt)² を計算すると：

= (6t - 6t²)² + (3 - 6t)²

= 36t²(1-t)² + 9(1 - 2t)²

= 36t² - 72t³ + 36t⁴ + 9 - 36t + 36t²

= 36t⁴ - 72t³ + 72t² - 36t + 9

= 9(4t⁴ - 8t³ + 8t² - 4t + 1)

= 9(2t² - 2t + 1)²

これは完全平方式になる美しい結果です！

L = ∫₀¹ 3(2t² - 2t + 1) dt = 3 [2t³/3 - t² + t]₀¹ = 3(2/3 - 1 + 1) = 3 · 2/3 = 2

この問題のポイント

• 内分点の公式を正確に何度も適用する計算力
• 媒介変数表示の面積公式、曲線の長さの公式の確実な理解
• ルートの中身が完全平方式になることを見抜く観察力

類題・練習問題

【練習問題1-1】 点A(0, 0)、B(1, 2)、C(3, 1)があり、線分ABを t:(1-t) に内分する点をP、線分BCを t:(1-t) に内分する点をQとする。線分PQを t:(1-t) に内分する点Rの軌跡を求め、その曲線と直線 y = 0 で囲まれた部分の面積を求めよ。（0 ≤ t ≤ 1）

【第2問】対数不等式と極限・積分

問題のテーマ

対数関数に関する基本不等式を証明し、それを利用して複雑な極限を求める問題です。微分による不等式の証明と、極限計算における工夫が問われます。

問題の構成

• (1)：x > 0 のとき、不等式 log x ≤ x - 1 を示せ
• (2)：次の極限を求めよ。lim(n→∞) n∫₁² log((1 + x^(1/n))/2) dx

解法のアプローチ

(1) 対数不等式の証明

f(x) = log x - (x - 1) = log x - x + 1 とおきます。

f'(x) = 1/x - 1 = (1 - x)/x

f'(x) の符号を調べると：

• 0 < x 0（単調増加）
• x > 1 のとき f'(x) < 0（単調減少）

よって f(x) は x = 1 で最大値をとり、f(1) = log 1 - 1 + 1 = 0

したがって、すべての x > 0 に対して f(x) ≤ 0、すなわち log x ≤ x - 1

(2) 極限の計算

(1)の不等式 log x ≤ x - 1 において、x = (1 + x^(1/n))/2 を代入すると：

log((1 + x^(1/n))/2) ≤ (1 + x^(1/n))/2 - 1 = (x^(1/n) - 1)/2

一方、log の下からの評価として、x > 0 のとき log x ≥ 1 - 1/x も成り立ちます。これを用いると：

log((1 + x^(1/n))/2) ≥ 1 - 2/(1 + x^(1/n)) = (x^(1/n) - 1)/(1 + x^(1/n))

この上下からの評価を用いて、はさみうちの原理を適用します。

ここで重要なのは、n · (x^(1/n) - 1) の極限です。

y = x^(1/n) とおくと、n(y - 1) = n(e^((log x)/n) - 1)

h = (log x)/n として、n→∞ のとき h→0 なので：

n(e^h - 1) = (log x) · (e^h - 1)/h → log x · 1 = log x

よって、lim(n→∞) n(x^(1/n) - 1) = log x

これを用いると、はさみうちにより：

lim(n→∞) n · log((1 + x^(1/n))/2) = (log x)/2

したがって：

この問題のポイント

• 対数関数の基本不等式（log x ≤ x - 1）の証明は定番だが確実に
• n · (x^(1/n) - 1) → log x という極限の公式（微分の定義式との関連）
• 積分と極限の順序交換（優収束定理の発想）

類題・練習問題

【練習問題2-1】 x > 0 のとき、不等式 e^x ≥ 1 + x を証明し、これを用いて lim(n→∞) n·(e^(1/n) - 1 - 1/n) を求めよ。

【第3問】平行四辺形の面積最大化

問題のテーマ

三角関数を用いた図形の面積最大化問題です。与えられた条件のもとで平行四辺形の面積を最大にする頂点の位置を求めます。場合分けが必要な点が難易度を上げています。

問題の構成

平行四辺形ABCDにおいて、∠ABC = 60°、AB = a、BC = b（a ≤ b）とする。点Pを平行四辺形の周上を動かすとき、三角形OAPの面積Sの最大値を求める問題です（Oは原点とする設定、または適切に座標を設定する）。

解法のアプローチ

座標系を設定し、頂点の座標を三角関数で表します。

B = (0, 0)、C = (b, 0)、A = (a cos 60°, a sin 60°) = (a/2, a√3/2)

D = A + (C - B) = (a/2 + b, a√3/2)

点Pを平行四辺形の周上の点として、パラメータθを用いて表現します。

面積Sを θ の関数として表し、最大値を求めます。このとき、場合分けが生じます：

• a ≤ b < √2·a のとき：面積の最大値は特定の角度で達成
• √2·a ≤ b のとき：異なる形の最大値が得られる

詳細な計算の結果：

この問題のポイント

• 図形を座標で表現する力
• 面積の関数を三角関数で表し、最大化する
• a と b の大小関係による場合分けを正確に行う
• 答えの形が場合分けで異なることに注意

類題・練習問題

【練習問題3-1】 平行四辺形ABCDで、AB = 2、BC = 3、∠ABC = 45°とする。点Pが平行四辺形の周上を動くとき、三角形ABPの面積の最大値を求めよ。

【第4問】整数問題（素数と平方数）

問題のテーマ

正の整数 a に対して、f_a(n) = n(n + a) という多項式を考え、これが平方数となる条件を調べる問題です。「4a + 1 が素数」という条件との同値性を示すことが求められます。この問題はフェルマー素数との関連も示唆されています。

問題の構成

• (1)：n を正の整数とする。f_a(n) が平方数ならば、n ≤ a であることを示せ
• (2)：f_a(n) が平方数となる正の整数 n の個数を N_a とおく。次の条件 (i), (ii) が同値であることを示せ：
  • (i) N_a = 1 である
  • (ii) 4a + 1 は素数である

解法のアプローチ

(1) n ≤ a の証明

f_a(n) = n(n + a) が平方数であると仮定します。

n² < n(n + a) < (n + 1)² を示すことで、f_a(n) が連続する2つの平方数の間にあることを確認します。

n(n + a) < (n + 1)² = n² + 2n + 1 より、an < 2n + 1、すなわち n(a - 2) < 1

a ≥ 2 の場合：n < 1/(a - 2) ≤ 1 なので n = 0 となり、正の整数に反する

a = 1 の場合：f_1(n) = n(n + 1) で、これが平方数になるのは n = 0 のみ

より精密な評価により、f_a(n) が平方数となるためには n ≤ a が必要条件であることが示されます。

(2) 同値性の証明

(ii) ⇒ (i) の証明：

4a + 1 が素数のとき、f_a(n) = n(n + a) = k² となる正の整数 n, k の組を考えます。

4n(n + a) = 4k² より、(2n + a)² - a² = 4k²

(2n + a)² - (2k)² = a²

(2n + a - 2k)(2n + a + 2k) = a²

4a + 1 が素数であることを利用して、この方程式の解を調べると、n = a のみが解となることが示されます。

(i) ⇒ (ii) の証明（対偶）：

4a + 1 が素数でないとき、4a + 1 = (2b + 1)(2c + 1) となる正の整数 b, c が存在します。

このとき、n = bc および n = a 以外にも平方数となる n が存在することを示し、N_a ≥ 2 を導きます。

この問題のポイント

• 連続する平方数の間に値がないことを利用した評価
• 式の因数分解と素数条件の活用
• 同値性証明では、対偶を取ることも有効
• フェルマー素数（4a + 1 = 2^(2^n) + 1 の形の素数）との関連

類題・練習問題

【練習問題4-1】 n を正の整数とする。n² + n + 1 が平方数となる n をすべて求めよ。

【第5問】数列の操作とアルゴリズム（バブルソート風問題）

問題のテーマ

数列を昇順に並べ替える操作を繰り返す問題です。コンピュータサイエンスでおなじみのバブルソートに類似したアルゴリズムが題材となっています。「構図理解を諦めた受験生が多数」と言われるほどの難問でした。

問題の構成

1, 2, 3, 4, 5 の順列に対して、次の操作を考えます：

1. 左から右へ、隣り合う2つの数を順に比較し、左の数が右の数より大きければ入れ替える
2. 右端まで行ったら、今度は右から左へ同様の操作を行う
3. この往復を「1回の操作」とする

例：31542 に操作を施すと

• 左→右：13524 → 13254 → 13245
• 右→左：13245 → 12345

解法のアプローチ

この問題