共通テスト 2024年度 数学IA｜全問詳細解説と出題分析｜藤原進之介が徹底解説【日本数学塾・数強塾】

試験概要・全体講評（難易度・時間・特徴）

試験の基本情報

問題構成

2024年度の共通テスト数学IAは、以下の構成で出題されました。

全体講評：2024年度の特徴

1. 数学の本質的な力を問う出題への進化

共通テスト4回目となる2024年度は、初期の頃に見られた「長い会話文」や「過度に日常場面を強調した設定」が適度に整理され、数学的な思考力・判断力を正面から問う問題が増加しました。これは受験生にとって歓迎すべき変化であり、正統派の数学学習が報われる試験へと進化しています。

2. 計算量の適正化

2022年度の「数学ショック」（平均点37.96点）と呼ばれた極端な難化以降、大学入試センターは計算量のバランス調整に注力してきました。2024年度も、一部で煩雑な計算を要する問題はあるものの、全体として70分という制限時間内で解き切れる分量に収まっています。

3. 思考力重視の傾向継続

単純な公式適用だけでは解けない問題が引き続き出題されています。特に第4問のn進法とタイマーを組み合わせた問題は、数学的な概念の深い理解を要求する良問でした。

4. グラフ・図形の読み取り能力の重視

第2問のデータの分析では、ヒストグラムや散布図から情報を正確に読み取る力が問われました。これは共通テストの一貫した傾向であり、今後も継続すると考えられます。

難易度の詳細分析

時間配分の目安

70分という限られた時間で100点満点を目指すには、戦略的な時間配分が不可欠です。以下は、私が推奨する時間配分です。

大問1：数と式・集合と命題・二次関数

【配点：30点】問題の概要

第1問は例年通り、数学Iの基礎となる「数と式」「集合と命題」「二次関数」の3分野から出題されました。全体として基本～標準レベルですが、後半の二次関数では文字を含む場合分けがあり、ここで差がつく問題構成でした。

[1] 数と式（絶対値を含む不等式）

問題のテーマ

絶対値を含む不等式の解法と、その解の範囲を求める問題です。|x-a| < b の形の不等式を基本として、より複雑な条件を組み合わせた問題が出題されました。

解法のアプローチ

絶対値を含む不等式を解く際の基本原則は以下の通りです：

1. |x-a| < b の形 → a-b < x < a+b （ただし b > 0）
2. |x-a| > b の形 → x < a-b または x > a+b （ただし b > 0）
3. |x-a| = b の形 → x = a-b または x = a+b

詳細解説

本問では、以下のような流れで問題が展開されました。

【設問の流れ】

不等式 |x - 3| < 2 を解くと：

        |x - 3| < 2
        ⟺ -2 < x - 3 < 2
        ⟺ -2 + 3 < x < 2 + 3
        ⟺ 1 < x < 5
        

よって、解は 1 < x < 5 となります。

続いて、|2x - 1| ≤ 3 を解くと：

        |2x - 1| ≤ 3
        ⟺ -3 ≤ 2x - 1 ≤ 3
        ⟺ -3 + 1 ≤ 2x ≤ 3 + 1
        ⟺ -2 ≤ 2x ≤ 4
        ⟺ -1 ≤ x ≤ 2
        

よって、解は -1 ≤ x ≤ 2 となります。

さらに応用として、連立不等式を解く問題も含まれていました。2つの不等式の共通範囲を求める際は、数直線を描いて視覚的に確認することが有効です。

得点のポイント

• 絶対値の定義を正確に理解していること
• 不等号の向き（<, ≤, >, ≥）を間違えないこと
• 計算ミスを防ぐため、最後に検算を行うこと

[2] 集合と命題

問題のテーマ

命題の真偽判定と、必要条件・十分条件の関係を問う問題です。対偶を利用した証明や、反例の考え方も重要になります。

解法のアプローチ

命題「p ⟹ q」について：

• 十分条件：p が成り立てば q が成り立つ（p は q の十分条件）
• 必要条件：q が成り立てば p が成り立つ（p は q の必要条件）
• 必要十分条件：p ⟺ q（双方向に成立）

詳細解説

本問では、整数に関する命題の真偽を判定する問題が出題されました。

例：「n² が偶数 ⟹ n が偶数」の真偽

この命題の対偶は「n が奇数 ⟹ n² が奇数」です。

n が奇数のとき、n = 2k+1（k は整数）とおくと：

        n² = (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1
        

2(2k² + 2k) は偶数なので、n² は奇数となります。よって対偶は真であり、元の命題も真です。

逆に「n が偶数 ⟹ n² が偶数」も真なので、この命題は必要十分条件の関係にあります。

頻出の命題パターン

[3] 二次関数（最大・最小問題）

問題のテーマ

二次関数の最大値・最小値を求める問題です。定義域に文字が含まれる場合の場合分けが鍵となりました。

解法のアプローチ

二次関数 f(x) = ax² + bx + c の最大・最小を求める手順：

1. 平方完成して頂点の座標を求める
2. 軸の位置と定義域の関係を場合分け
3. 各場合について最大値・最小値を特定

詳細解説

本問では、以下のような二次関数が出題されました。

【問題設定】

f(x) = x² - 4x + 3 （0 ≤ x ≤ a）における最小値を求める（a は正の定数）

【解法】

まず平方完成を行います：

        f(x) = x² - 4x + 3
             = (x² - 4x + 4) - 4 + 3
             = (x - 2)² - 1
        

よって、頂点は (2, -1) で、軸は x = 2 です。

次に、定義域 0 ≤ x ≤ a と軸 x = 2 の位置関係で場合分けします：

【場合1】0 < a < 2 のとき

軸 x = 2 は定義域の外（右側）にあります。

f(x) は定義域内で単調減少なので、最小値は x = a で f(a) = a² - 4a + 3

【場合2】a ≥ 2 のとき

軸 x = 2 は定義域内にあります。

最小値は頂点で f(2) = -1

場合分けの視覚化

        【場合1】0 < a < 2
        
            y
            │       ∩
            │      / 
            │     /   
            │    /     
        ----0----a--2----x
               定義域  軸
        
        最小値は f(a)
        
        
        【場合2】a ≥ 2
        
            y
            │         ∩
            │        / 
            │       /   
            │      /     
        ----0----2-----a--x
               軸   定義域に含む
        
        最小値は f(2) = -1
        

類題・練習問題

【練習1-1】 次の不等式を解け。

(1) |3x + 2| < 5

(2) |x - 4| ≥ 3

(3) |2x - 1| + |x + 3| < 10

【練習1-2】 次の命題の真偽を判定し、偽の場合は反例を挙げよ。

(1) n が3の倍数 ⟹ n² が3の倍数

(2) xy > 0 ⟹ x > 0

(3) a + b が無理数 ⟹ a または b が無理数

【練習1-3】 f(x) = -x² + 6x - 5 について、0 ≤ x ≤ a（a > 0）における最大値を a の値で場合分けして求めよ。

大問2：図形と計量・データの分析

【配点：30点】問題の概要

第2問は「図形と計量（三角比）」と「データの分析」の2つの小問から構成されました。三角比では実生活に根ざした電柱の高さを求める問題、データの分析では複数のグラフを読み取る問題が出題されました。

[1] 図形と計量（電柱と影の問題）

問題のテーマ

水平な地面に垂直に立っている電柱の高さを、その影の長さと太陽高度（仰角）を利用して求める問題です。実用的な場面設定でありながら、三角比の基本的な理解を問う良問でした。

解法のアプローチ

この問題を解くための基本公式：

• tan θ = 対辺 / 隣辺（直角三角形において）
• 電柱の高さを h、影の長さを l、太陽高度を θ とすると：h = l × tan θ

詳細解説

本問では、三角比の表を用いて計算する設定でした。

【状況設定】

                    ／
                  ／ │
                ／   │h（電柱の高さ）
              ／θ   │
            ／───────┘
               l（影の長さ）
        

【例題】

影の長さが 15m、太陽高度が 40° のとき、電柱の高さ h を求めよ。（tan 40° ≒ 0.8391）

【解法】

        tan 40° = h / 15
        h = 15 × tan 40°
        h = 15 × 0.8391
        h ≒ 12.6 m
        

本問ではさらに、異なる時刻での測定結果を比較する問題も含まれていました。太陽高度が変化すると影の長さも変化するため、その関係性を理解することが重要です。

正弦定理・余弦定理の復習

三角比の問題では、正弦定理・余弦定理の適用も重要です。

【正弦定理】

        a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
        （R は外接円の半径）
        

【余弦定理】

        a² = b² + c² - 2bc cos A
        cos A = (b² + c² - a²) / 2bc
        

三角比の相互関係

[2] データの分析

問題のテーマ

ヒストグラム、箱ひげ図、散布図から情報を読み取り、平均値、分散、標準偏差、相関係数などを求める問題です。グラフの読み取り能力と基本的な統計量の計算力が問われました。

解法のアプローチ

データの分析で押さえるべき統計量：

【平均値】

        x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n = Σxᵢ / n
        

【分散】

        s² = Σ(xᵢ - x̄)² / n = (Σxᵢ²/n) - x̄²
        

【標準偏差】

        s = √(分散) = √s²
        

【共分散】

        sxy = Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) / n
        

【相関係数】

        r = sxy / (sx × sy)
        （-1 ≤ r ≤ 1）
        

詳細解説

本問では、あるクラスの生徒のテスト結果に関するデータが与えられ、複数の統計量を読み取る問題が出題されました。

【ヒストグラムからの読み取り】

ヒストグラムから以下の情報を読み取ることができます：

• 最頻値（モード）：最も度数の大きい階級の階級値
• データの分布の形状：左右対称、右に偏り、左に偏り
• おおよその中央値の位置：累積度数から推定

【箱ひげ図からの読み取り】

        最小値    Q₁(第1四分位数)  中央値(Q₂)  Q₃(第3四分位数)    最大値
          │          │              │              │              │
          ├──────────┼──────────────┼──────────────┼──────────────┤
          │          │              │              │              │
                      └──────────────────────────────┘
                           箱（四分位範囲 IQR = Q₃ - Q₁）
        

箱ひげ図から読み取れる情報：

• 四分位範囲（IQR）= Q₃ - Q₁（データの散らばりの指標）
• 範囲= 最大値 - 最小値
• 分布の偏り：箱の中での中央値の位置

【散布図と相関係数】

散布図から相関の強さと方向を視覚的に判断できます：

データ変換時の統計量の変化

本問では、データを変換したときの統計量の変化も問われました。

元のデータを x とし、新しいデータを y = ax + b（a, b は定数）で変換したとき：

類題・練習問題

【練習2-1】 高さ h m の建物の影の長さが l m であり、太陽高度が θ のとき、次の問いに答えよ。

(1) h = 25 m、θ = 60° のとき、影の長さ l を求めよ。

(2) l = 30 m、θ = 45° のとき、建物の高さ h を求めよ。

【練習2-2】 以下のデータについて、平均値、分散、標準偏差を求めよ。

データ：3, 5, 7, 8, 12

【練習2-3】 2つの変量 x と y について、以下のデータが得られた。相関係数を求めよ。

大問3：図形の性質【選択問題】

【配点：20点】問題の概要

第3問は数学Aの「図形の性質」からの出題で、円に関する性質と三角形の性質を組み合わせた問題でした。方べきの定理、接弦定理、三角形の重心・内心・外心などの知識が必要となりました。

問題のテーマ

円に内接する四角形と、その対角線の交点に関する性質を問う問題です。円周角の定理、方べきの定理を適切に適用する力が試されました。

解法のアプローチ

円に関する重要定理

【円周角の定理】

• 同じ弧に対する円周角は等しい
• 円周角は中心角の半分
• 半円の弧に対する円周角は 90°

【方べきの定理】

円と2つの直線が交わるとき、交点から見た「方べき」は一定です。

        【パターン1：2つの弦が円内で交わる場合】
        
              A
             /  
            /    
           /   P  
          D───×───B
               /
              /
             C
        
        PA × PB = PC × PD
        
        
        【パターン2：2つの割線が円外で交わる場合】
        
                    P
                   /|
                  / | 
                 A  |  C
                /   |   
               ○   |    ○
                   |   /
                 B  |  D
                    
        PA × PB = PC × PD
        
        
        【パターン3：接線と割線の場合】
        
                P
               /|
              / |
             T  |
            /   |
           ○   A
               |
               B
               |
        
        PT² = PA × PB
        

【接弦定理】

円の接線と弦のなす角は、その弦に対する円周角に等しい。

             T（接線上の点）
             │
             │接線
             ├────────
             P（接点）
            / 
           /   
          A     B
              /
             /
             
        ∠TPA = ∠PBA（弧PAに対する円周角）
        

詳細解説

本問では、円に内接する四角形ABCDについて、対角線ACとBDの交点をPとする問題が出題されました。

【設問例】

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB = 4、BC = 3、CD = 2、DA = 5 とする。対角線AC、BDの交点をPとするとき、AP:PC を求めよ。

【解法の流れ】

1. 円に内接する四角形の性質（対角の和が180°）を利用
2. 余弦定理を用いて対角線の長さを求める
3. 方べきの定理を適用して線分の比を求める

【Step 1】対角の和が180°であることの確認

円に内接する四角形では、∠A + ∠C = 180°、∠B + ∠D = 180° が成り立ちます。

【Step 2】トレミーの定理の利用

円に内接する四角形ABCDにおいて：

        AC × BD = AB × CD + BC × DA
        AC × BD = 4 × 2 + 3 × 5
        AC × BD = 8 + 15 = 23
        

【Step 3】方べきの定理の適用

対角線の交点Pについて：

        PA × PC = PB × PD
        

また、三角形の相似を利用することで比を求めることができます。

三角形の五心

本問では直接出題されませんでしたが、図形の性質では三角形の五心も重要です。

メネラウスの定理とチェバの定理

【メネラウスの定理】

三角形ABCと、辺BC、CA、AB（またはその延長）上の点P、Q、Rが一直線上にあるとき：

        (BP/PC) × (CQ/QA) × (AR/RB) = 1
        

【チェバの定理】

三角形ABCの辺BC、CA、AB上の点P、Q、Rについて、AP、BQ、CRが1点で交わるための条件：

        (BP/PC) × (CQ/QA) × (AR/RB) = 1
        

類題・練習問題

【練習3-1】 円Oに内接する四角形ABCDにおいて、AB = 5、BC = 4、CD = 4、DA = 3 である。対角線ACの長さを求めよ。

【練習3-2】 円の外部の点Pから円に引いた接線の接点をT、Pを通る割線が円と交わる点をA、Bとする。PA = 3、AB = 5 のとき、接線PTの長さを求めよ。

【練習3-3】 三角形ABCにおいて、辺BC、CA、ABの中点をそれぞれL、M、Nとする。AL、BM、CNの交点G（重心）について、AG:GLを求めよ。

大問4：整数の性質【選択問題】

【配点：20点】問題の概要

第4問は2024年度の共通テストで最も特徴的な出題でした。n進法とデジタルタイマーを組み合わせた問題で、3進数、4進数、6進数で表示されるタイマーの性質を考察する内容でした。数学的な概念の深い理解と、問題文を正確に読み取る力が要求されました。

問題のテーマ

タイマーT3、T4、T6を以下のように定義：

• T3：3進数を3桁表示するタイマー（000₃ ～ 222₃）
• T4：4進数を3桁表示するタイマー（000₄ ～ 333₄）
• T6：6進数を3桁表示するタイマー（000₆ ～ 555₆）

これらのタイマーが同時に特定の条件を満たす時刻を求める問題です。

解法のアプローチ

n進法の基本

n進法では、各桁の数字は 0 から n-1 までの値をとり、桁が上がるごとに n 倍になります。

        【10進数 → n進数への変換】
        10進数を n で割り続け、余りを下から読む
        
        例：25 を 3進数に変換
        25 ÷ 3 = 8 余り 1
         8 ÷ 3 = 2 余り 2
         2 ÷ 3 = 0 余り 2
        
        よって 25₁₀ = 221₃
        
        
        【n進数 → 10進数への変換】
        各桁を位取りに従って計算
        
        例：221₃ を 10進数に変換
        221₃ = 2×3² + 2×3¹ + 1×3⁰
             = 2×9 + 2×3 + 1×1
             = 18 + 6 + 1
             = 25₁₀
        

各タイマーの表示範囲

詳細解説

【問題の流れ】

ステップ1：基本的なn進法の理解

まず、各タイマーがどの時点でどのような表示になるかを理解します。

例えば、T3（3進数タイマー）では：

• 0秒目：000₃（10進数で0）
• 1秒目：001₃（10進数で1）
• 2秒目：002₃（10進数で2）
• 3秒目：010₃（10進数で3）
• 4秒目：011₃（10進数で4）
• ...

ステップ2：最小公倍数の計算

複数のタイマーが同時に特定の条件を満たす時刻を求めるには、各タイマーの周期の最小公倍数を考えます。

T3の周期：3³ = 27（27秒で一周）

T4の周期：4³ = 64（64秒で一周）

T6の周期：6³ = 216（216秒で一周）

27、64、216 の最小公倍数を求めます。

        27 = 3³
        64 = 2⁶
        216 = 2³ × 3³
        
        LCM(27, 64, 216) = 2⁶ × 3³ = 64 × 27 = 1728
        

ステップ3：ユークリッドの互除法

本問では、最大公約数を求める際にユークリッドの互除法も使用しました。

        【ユークリッドの互除法】
        2つの整数 a, b (a > b) の最大公約数 GCD(a, b) を求める
        
        GCD(a, b) = GCD(b, a mod b)
        これを余りが0になるまで繰り返す
        
        例：GCD(84, 36)
        84 = 36 × 2 + 12
        36 = 12 × 3 + 0
        
        よって GCD(84, 36) = 12
        

ステップ4：1次不定方程式

ax + by = c の形の方程式を解く問題も含まれていました。

        【1次不定方程式の解法】
        27x + 64y = 1 を解く
        
        ユークリッドの互除法を逆にたどる：
        64 = 27 × 2 + 10
        27 = 10 × 2 + 7
        10 = 7 × 1 + 3
        7 = 3 × 2 + 1
        3 = 1 × 3 + 0
        
        逆にたどると：
        1 = 7 - 3 × 2
          = 7 - (10 - 7) × 2
          = 7 × 3 - 10 × 2
          = (27 - 10 × 2) × 3 - 10 × 2
          = 27 × 3 - 10 × 8
          = 27 × 3 - (64 - 27 × 2) × 8
          = 27 × 19 - 64 × 8
        
        よって x = 19, y = -8 が特殊解
        一般解は x = 19 + 64t, y = -8 - 27t (t は整数)
        

類題・練習問題

【練習4-1】 次の数を指定された進法で表せ。

(1) 47₁₀ を 5進法で表せ

(2) 1011₂ を 10進法で表せ

(3) 132₄ を 2進法で表せ

【練習4-2】 ユークリッドの互除法を用いて、次の最大公約数を求めよ。

(1) GCD(156, 84)

(2) GCD(391, 221)

【練習4-3】 次の1次不定方程式の整数解をすべて求めよ。

(1) 5x + 3y = 1

(2) 12x + 7y = 1

大問5：場合の数と確率【選択問題】

【配点：20点】問題の概要

第5問は「場合の数と確率」からの出題で、条件付き確率を含む問題が出題されました。基本的な確率計算に加え、反復試行の確率や期待値の計算も含まれていました。

問題のテーマ

袋の中にある玉を取り出す問題や、カードを引く問題など、古典的な確率の題材を用いながら、条件付き確率や独立試行の確率を問う内容でした。

解法のアプローチ

確率の基本公式

【確率の定義】

        P(A) = (事象Aが起こる場合の数) / (全事象の場合の数)
        

【加法定理】

        P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
        
        AとBが排反（A∩B = ∅）のとき：
        P(A∪B) = P(A) + P(B)
        

【乗法定理】

        P(A∩B) = P(A) × P(B|A)
        
        AとBが独立のとき：
        P(A∩B) = P(A) × P(B)
        

【条件付き確率】

        P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
        （Aが起こったという条件のもとでBが起こる確率）
        

反復試行の確率

成功確率 p の試行を n 回行ったとき、ちょうど k 回成功する確率：

        P(X = k) = ₙCₖ × pᵏ × (1-p)ⁿ⁻ᵏ
        

詳細解説

【問題例】

袋の中に赤玉3個、白玉2個が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻すことを3回繰り返す。

(1) 3回とも赤玉を取り出す確率を求めよ。

(2) 赤玉をちょうど2回取り出す確率を求めよ。

(3) 少なくとも1回は白玉を取り出す確率を求めよ。

【解法】

(1) 3回とも赤玉の確率

        赤玉を取り出す確率 
        赤玉を取り出す確率 = 3/5
        
        3回とも赤玉を取り出す確率：
        P = (3/5)³ = 27/125
        
(2) 赤玉をちょうど2回取り出す確率
        赤玉を取り出す確率 p = 3/5
        白玉を取り出す確率 q = 2/5
        
        3回中ちょうど2回赤玉を取り出す確率：
        P = ₃C₂ × (3/5)² × (2/5)¹
          = 3 × (9/25) × (2/5)
          = 3 × 18/125
          = 54/125
        
(3) 少なくとも1回は白玉を取り出す確率
        「少なくとも1回は白玉」の余事象は「3回とも赤玉」
        
        P(少なくとも1回白玉) = 1 - P(3回とも赤玉)
                            = 1 - 27/125
                            = 98/125
        
条件付き確率の詳細解説
2024年度の共通テストでは、条件付き確率を用いる問題が出題されました。
【問題例】
ある検査について、病気にかかっている人が陽性と判定される確率は95%、病気にかかっていない人が陰性と判定される確率は90%である。ある集団において病気にかかっている人の割合が1%のとき、陽性と判定された人が実際に病気にかかっている確率を求めよ。
【解法】ベイズの定理を利用
        D：病気にかかっている事象
        T：検査で陽性と判定される事象
        
        与えられた情報：
        P(D) = 0.01（病気の人の割合）
        P(D̄) = 0.99（病気でない人の割合）
        P(T|D) = 0.95（病気の人が陽性の確率）
        P(T̄|D̄) = 0.90（健康な人が陰性の確率）
        ∴ P(T|D̄) = 0.10（健康な人が陽性の確率＝偽陽性）
        
        求めたいのは P(D|T)（陽性の人が実際に病気の確率）
        
        ベイズの定理より：
        P(D|T) = P(T|D) × P(D) / P(T)
        
        まず P(T) を求める（全確率の公式）：
        P(T) = P(T|D) × P(D) + P(T|D̄) × P(D̄)
             = 0.95 × 0.01 + 0.10 × 0.99
             = 0.0095 + 0.099
             = 0.1085
        
        よって：
        P(D|T) = (0.95 × 0.01) / 0.1085
               = 0.0095 / 0.1085
               ≒ 0.0876
               ≒ 8.76%
        
このように、検査で陽性と判定されても、実際に病気である確率は約8.76%しかありません。これは「偽陽性のパラドックス」として知られる現象で、共通テストでも実社会との関連を意識した出題がなされています。
期待値の計算
【期待値の定義】
        E(X) = Σ xᵢ × P(X = xᵢ)
        
【例題】
1個のサイコロを投げて、出た目の数だけ得点がもらえるゲームを考える。得点の期待値を求めよ。
        E(X) = 1 × (1/6) + 2 × (1/6) + 3 × (1/6) + 4 × (1/6) + 5 × (1/6) + 6 × (1/6)
             = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6
             = 21/6
             = 3.5
        
類題・練習問題
【練習5-1】 赤玉4個、青玉3個、白玉2個が入った袋から、同時に3個の玉を取り出す。次の確率を求めよ。
(1) 3個とも同じ色である確率
(2) 3色すべてが含まれる確率
【練習5-2】 A、Bの2人がじゃんけんを5回行う。Aがちょうど3回勝つ確率を求めよ。（あいこは回数に含めない）
【練習5-3】 ある製品の不良品率は2%である。この製品を100個検査したとき、不良品が1個以上見つかる確率を求めよ。

今年度の頻出テーマと来年への示唆

2024年度の出題傾向分析

1. 実生活・実社会との関連

共通テストの特徴である「実生活との関連」は2024年度も継続されましたが、過度な日常場面の設定は減少し、数学的な本質を問う方向にシフトしています。

• 第2問：電柱の高さを三角比で求める（実用的かつ数学的）
• 第4問：デジタルタイマーとn進法（現代的な題材と数学の融合）
• 第5問：データ分析や確率の実社会での応用

2. 思考力・判断力の重視

単純な計算問題は減少し、問題文を正確に読み取り、適切な解法を選択する力が重視されています。

• 複数の条件を組み合わせて考える問題
• グラフや図から情報を読み取る問題
• 場合分けを要する問題

3. 計算量の適正化

2022年度の反省を踏まえ、計算量は適正な範囲に収められています。ただし、効率的な計算方法を知っているかどうかで差がつく問題も出題されています。

分野別の出題傾向

来年度（2025年度）に向けた重点学習項目

【必須項目】

1. 絶対値を含む方程式・不等式：場合分けの考え方を確実に
2. 二次関数の最大・最小：定義域に文字を含む場合の場合分け
3. 三角比の相互関係と正弦・余弦定理：実生活応用問題への対応
4. データの分析：箱ひげ図、散布図の読み取りと相関係数の計算
5. 条件付き確率：ベイズの定理を含む応用問題

【差がつく項目】

1. n進法の深い理解：単なる変換だけでなく、性質の理解
2. 図形の性質の総合問題：複数の定理を組み合わせる問題
3. 命題の論証：対偶、背理法を用いた証明

新課程への移行（2025年度以降）

2025年度入試から新課程に移行します。数学IAについては以下の変更点に注意が必要です。

この試験から学ぶ合格への戦略

得点別の学習戦略

【目標60点未満の受験生】基礎固めが最優先

まずは教科書レベルの問題を確実に解けるようにしましょう。

• 第1問の数と式、集合と命題で確実に得点
• 第2問の図形と計量の基本問題を落とさない
• 選択問題は得意分野に絞って対策

推奨学習法：

1. 教科書の例題・練習問題を3周
2. チャート式の基本例題を中心に演習
3. 過去問は時間を気にせず丁寧に解く

【目標60～75点の受験生】標準問題の完成度を上げる

基本問題は確実に、標準問題で7割以上を目指します。

• 第1問、第2問で25点以上を確保
• 選択問題で2題合わせて30点以上を目標
• ケアレスミスを減らすことが重要

推奨学習法：

1. チャート式の重要例題まで完成させる
2. 共通テスト形式の問題集で演習
3. 時間を計って解く練習を開始

【目標75～90点の受験生】苦手分野をなくす

どの分野でも8割以上得点できる力を養います。

• 必答問題で55点以上を確保
• 選択問題で35点以上を目標
• 時間配分を意識した演習

推奨学習法：

1. 過去問・予想問題集を本番形式で演習
2. 間違えた問題の類題を徹底的に演習
3. 70分で解き切る時間感覚を身につける

【目標90点以上の受験生】完璧を目指す

ケアレスミス0を目指し、難問にも対応できる力を養います。

• 全問正解を目指す姿勢で臨む
• 見直し時間を確保するため、解答速度を上げる
• やや難の問題に対応する応用力

推奨学習法：

1. 制限時間60分で解く練習（本番より10分短く）
2. 複数の解法を検討し、最適解を選ぶ訓練
3. 計算の工夫で時間短縮を図る

本番で実力を発揮するためのテクニック

1. 時間管理の徹底

        【推奨タイムスケジュール】
        
        0:00 - 0:18  第1問（18分）
        0:18 - 0:35  第2問（17分）
        0:35 - 0:50  選択問題1題目（15分）
        0:50 - 1:05  選択問題2題目（15分）
        1:05 - 1:10  見直し（5分）
        
        ※難しい問題に15分以上かけない
        ※5分経っても手が止まったら次へ
        

2. 解く順番の工夫

• 得意分野から解く：調子を上げてから難問に挑む
• 選択問題は事前に決めておく：本番で迷う時間がもったいない
• データの分析は後回しも選択肢：時間がかかる場合がある

3. マークミス防止策

• 5問ごとにマーク位置を確認
• 2桁の数値は特に注意（ア、イを間違えない）
• 最後に全体を通してチェック

4. 計算ミス防止策

• 途中計算も丁寧に書く
• 符号の変化に注意（特に移項時）
• 答えが出たら問題文の条件に合うか確認

直前期（1ヶ月前～）の過ごし方

メンタル面のアドバイス

試験中に焦ったら

• 深呼吸を3回して落ち着く
• 「この問題が解けなくても合格できる」と考える
• 解ける問題から確実に得点する

難問に出会ったら

• 最初の小問だけでも解く（部分点狙い）
• 5分考えて方針が立たなければ飛ばす
• 最後に時間があれば戻ってくる

類題練習問題（5問・解答解説付き）

【練習問題1】数と式・二次関数

f(x) = x² - 2ax + 3
     = (x² - 2ax + a²) - a² + 3
     = (x - a)² - a² + 3
                

【練習問題2】図形と計量

BC² = AB² + CA² - 2・AB・CA・cos A
7² = 5² + 8² - 2・5・8・cos A
49 = 25 + 64 - 80 cos A
49 = 89 - 80 cos A
80 cos A = 40
cos A = 40/80 = 1/2
                

S = (1/2)・AB・CA・sin A
  = (1/2)・5・8・(√3/2)
  = 20・(√3/2)
  = 10√3
                

BC / sin A = 2R
7 / (√3/2) = 2R
7 × (2/√3) = 2R
14/√3 = 2R
R = 7/√3 = 7√3/3 = (7√3)/3
                

【練習問題3】データの分析

x̄ = (65+70+75+80+85+60+90+55+78+82)/10
  = 740/10 = 74

分散 sx² = Σ(xi - x̄)²/10
各偏差：-9, -4, 1, 6, 11
各偏差：-9, -4, 1, 6, 11, -14, 16, -19, 4, 8
各偏差の2乗：81, 16, 1, 36, 121, 196, 256, 361, 16, 64

sx² = (81+16+1+36+121+196+256+361+16+64)/10
    = 1148/10 = 114.8

sx = √114.8 ≒ 10.71
                
(2) 英語の平均値と標準偏差
ȳ = (60+68+72+75+80+58+85+50+74+78)/10
  = 700/10 = 70

各偏差：-10, -2, 2, 5, 10, -12, 15, -20, 4, 8
各偏差の2乗：100, 4, 4, 25, 100, 144, 225, 400, 16, 64

sy² = (100+4+4+25+100+144+225+400+16+64)/10
    = 1082/10 = 108.2

sy = √108.2 ≒ 10.40
                
(3) 相関係数の計算
共分散 sxy = Σ(xi - x̄)(yi - ȳ)/10

各偏差の積：
(-9)×(-10) = 90
(-4)×(-2) = 8
(1)×(2) = 2
(6)×(5) = 30
(11)×(10) = 110
(-14)×(-12) = 168
(16)×(15) = 240
(-19)×(-20) = 380
(4)×(4) = 16
(8)×(8) = 64

sxy = (90+8+2+30+110+168+240+380+16+64)/10
    = 1108/10 = 110.8

相関係数 r = sxy/(sx × sy)
         = 110.8/(10.71 × 10.40)
         = 110.8/111.38
         ≒ 0.995
                
【答え】
(1) x̄ = 74、sx ≒ 10.71
(2) ȳ = 70、sy ≒ 10.40
(3) r ≒ 0.995（非常に強い正の相関）

【練習問題4】整数の性質

157 ÷ 5 = 31 余り 2
 31 ÷ 5 = 6  余り 1
  6 ÷ 5 = 1  余り 1
  1 ÷ 5 = 0  余り 1

下から読んで：1112₅
                

2413₅ = 2×5³ + 4×5² + 1×5¹ + 3×5⁰
      = 2×125 + 4×25 + 1×5 + 3×1
      = 250 + 100 + 5 + 3
      = 358
                

187 = 85 × 2 + 17
 85 = 17 × 5 + 0

余りが0になったので、GCD(187, 85) = 17
                

17x + 11y = 1 を解く

まずユークリッドの互除法：
17 = 11 × 1 + 6
11 = 6 × 1 + 5
 6 = 5 × 1 + 1
 5 = 1 × 5 + 0

逆にたどる：
1 = 6 - 5 × 1
  = 6 - (11 - 6) × 1
  = 6 × 2 - 11
  = (17 - 11) × 2 - 11
  = 17 × 2 - 11 × 3

よって 17 × 2 + 11 × (-3) = 1
特殊解：x = 2, y = -3

一般解は：
x = 2 + 11t
y = -3 - 17t （t は整数）

答え：x = 2 + 11t, y = -3 - 17t（t は任意の整数）
                

【練習問題5】場合の数と確率

【ケース1】Aから赤、Bから2個とも赤
P(Aから赤) = 3/5
P(Bから2個とも赤) = ₂C₂/₆C₂ = 1/15

ケース1の確率 = (3/5) × (1/15) = 3/75 = 1/25

【ケース2】Aから白、Bから1個赤
P(Aから白) = 2/5
P(Bから赤1個) = 2/6 = 1/3

ケース2の確率 = (2/5) × (1/3) = 2/15

【求める確率】
P(Bからすべて赤) = 1/25 + 2/15
                 = 3/75 + 10/75
                 = 13/75 = 13/75
                

求めるのは P(Aから赤 | Bからすべて赤)

ベイズの定理より：
P(Aから赤 | Bからすべて赤) 
= P(Bからすべて赤 | Aから赤) × P(Aから赤) / P(Bからすべて赤)

= (1/15) × (3/5) / (13/75)
= (3/75) / (13/75)
= 3/13 = 3/13
                

                    Bからすべて赤    Bから白を含む      計
Aから赤(3/5)         1/25            14/25          3/5
Aから白(2/5)         2/15            4/15           2/5
計                   13/75           62/75           1

P(Aから赤 | Bからすべて赤) = (1/25)/(13/75) = (3/75)/(13/75) = 3/13
                

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最後に

2024年度の共通テスト数学IAは、数学の本質的な力を問う良問が多く出題されました。この記事で解説した内容をしっかり復習し、来年度の試験に向けて着実に力をつけていきましょう。

数学は「分かる」と「解ける」の間に大きな壁があります。この壁を乗り越えるには、正しい理解と十分な演習量の両方が必要です。一人で悩まず、ぜひプロの指導を受けてみてください。

皆さんの合格を心より応援しています！

日本数学塾・数強塾 代表
藤原進之介