一橋大学 2025年度 数学｜文系数学・全問詳細解説｜藤原進之介が徹底解説【日本数学塾・数強塾】

【第1問】整数問題 ～約数の個数と関数の最大値～

問題のテーマ

解法のアプローチ

この問題は、約数の個数の公式と関数の乗法性を理解していることが前提となります。一橋大学らしい整数問題で、単なる計算ではなく、数学的な考察が求められます。

約数の個数の公式：正の整数 n が

n = p₁^{a₁} × p₂^{a₂} × ... × pₖ^{aₖ}

と素因数分解されるとき、

d(n) = (a₁ + 1)(a₂ + 1)...(aₖ + 1)

また、f(n) = d(n)/√n は乗法的関数です。つまり、n = m × k（m と k が互いに素）のとき、

f(n) = f(m) × f(k)

が成り立ちます。

詳細解説

（1）f(2025) の計算

Step 1: 2025 を素因数分解する

2025 = 81 × 25 = 3⁴ × 5²

Step 2: 約数の個数 d(2025) を求める

d(2025) = (4 + 1)(2 + 1) = 5 × 3 = 15

Step 3: √2025 を計算する

√2025 = √(81 × 25) = 9 × 5 = 45

Step 4: f(2025) を計算する

f(2025) = 15/45 = 1/3

（2）f(n) の最大値

Step 1: f(p^a) を調べる（p は素数）

素数 p の a 乗に対して、

f(p^a) = d(p^a) / √(p^a) = (a + 1) / p^{a/2}

各素数について f(p^a) の値を計算します：

重要な観察：

• f(2) = √2 ≈ 1.414 > 1
• f(4) = 3/2 = 1.5 > 1
• f(3) = 2/√3 ≈ 1.155 > 1
• p ≥ 5 のとき、f(p) < 1 となる

Step 2: 乗法性を利用した考察

f(n) は乗法的なので、f(n) > 1 となる素数べきの積を考えます。

f(n) を大きくするには、f(p^a) > 1 となる因子のみを使うべきです。これは p = 2 または p = 3 のときに限られます。

候補となる n の値：

• f(1) = 1
• f(2) = √2 ≈ 1.414
• f(4) = 3/2 = 1.5
• f(8) = √2 ≈ 1.414
• f(3) = 2/√3 ≈ 1.155
• f(6) = f(2) × f(3) = √2 × 2/√3 = 2√(2/3) ≈ 1.633
• f(12) = f(4) × f(3) = (3/2) × (2/√3) = 3/√3 = √3 ≈ 1.732
• f(24) = f(8) × f(3) = √2 × 2/√3 = 2√(2/3) ≈ 1.633

Step 3: 最大値の決定

さらに計算を進めると：

• f(12) = √3 ≈ 1.732
• f(36) = f(4) × f(9) = (3/2) × 1 = 3/2 = 1.5

f(9) = 1 なので、9 をかけても f(n) の値は変わりません。

最も大きな値は f(12) = √3 です。

Step 4: 最大値を与える n を全て求める

f(9) = 1 なので、f(12 × 9^k) = f(12) × f(9)^k = √3 × 1 = √3

したがって、最大値 √3 を与える n は：

n = 12 × 9^k = 12 × 9^k （k = 0, 1, 2, ...）

つまり、n = 12, 108, 972, 8748, ...

別の表現では：n = 4 × 3^{2k+1} = 2² × 3^{2k+1}（k = 0, 1, 2, ...）

類題・練習問題

【第2問】図形と方程式 ～2円の交点と直線の軌跡～

問題のテーマ

解法のアプローチ

この問題は、2円の位置関係と共通弦（ラジカル軸）の性質を利用します。2円が2点で交わる条件は、「中心間距離が半径の差と和の間にある」ことです。

また、2円の交点を通る直線は、2円の方程式を引くことで簡単に求められます。これは一橋大学の頻出テーマです。

詳細解説

（1）2円が異なる2点で交わる条件

円 C₁ は中心 O₁(0, 0)、半径 r₁ = 10

円 C₂ は中心 O₂(a, 0)、半径 r₂ = 6

中心間距離 d = |a - 0| = a（a > 0 より）

2円が異なる2点で交わる条件は：

|r₁ - r₂| < d < r₁ + r₂

|10 - 6| < a < 10 + 6

4 < a < 16

（2）直線 PQ の方程式

C₁ と C₂ の交点を通る直線は、2円の方程式を引くことで得られます。

C₁: x² + y² = 100 ... ①

C₂: (x - a)² + y² = 36 ... ②

② を展開すると：x² - 2ax + a² + y² = 36

① - ② より：

x² + y² - (x² - 2ax + a² + y²) = 100 - 36

2ax - a² = 64

2ax = a² + 64

x = (a² + 64)/(2a)

したがって、直線 PQ の方程式は：

x = (a² + 64)/(2a) = a/2 + 32/a

（3）直線 PQ が通過する領域

直線 l: x = a/2 + 32/a において、4 < a < 16 のときの x の値の範囲を求めます。

t = a/2 + 32/a とおきます。

Step 1: t の導関数を調べる

dt/da = 1/2 - 32/a²

dt/da = 0 となるのは：

1/2 = 32/a²

a² = 64

a = 8（a > 0 より）

Step 2: 増減を調べる

• 4 < a < 8 のとき：dt/da < 0（減少）
• a = 8 のとき：t は最小値
• 8 < a 0（増加）

Step 3: 端点と極値の計算

• a → 4 のとき：t → 4/2 + 32/4 = 2 + 8 = 10
• a = 8 のとき：t = 8/2 + 32/8 = 4 + 4 = 8
• a → 16 のとき：t → 16/2 + 32/16 = 8 + 2 = 10

したがって、t の値域は 8 ≤ t < 10 です。

類題・練習問題

【第3問】微分積分 ～絶対値を含む定積分と方程式の解の個数～【最難問】

問題のテーマ

解法のアプローチ

この問題は2025年度の最難問です。以下の3つのステップで解きます：

1. 絶対値を含む定積分を場合分けして計算する
2. 方程式を k について整理し、y = k と曲線の交点問題に帰着させる
3. 交点がちょうど4つになる k の範囲を求める

詳細解説

Step 1: 絶対値を含む定積分の計算

被積分関数 |x² - a| の符号が変わる点を調べます。

x² - a = 0 ⟺ x = ±√a

積分区間 [0, 2] における場合分けが必要です。

【Case 1】a ≤ 0 のとき

x² - a ≥ 0 なので、|x² - a| = x² - a

∫₀² (x² - a) dx = [x³/3 - ax]₀² = 8/3 - 2a

【Case 2】0 < a < 4 のとき

0 ≤ x < √a では x² - a < 0

√a ≤ x ≤ 2 では x² - a ≥ 0

∫₀² |x² - a| dx = ∫₀^{√a} (a - x²) dx + ∫_{√a}² (x² - a) dx

= [ax - x³/3]₀^{√a} + [x³/3 - ax]_{√a}²

= (a·√a - (√a)³/3) + (8/3 - 2a - (√a)³/3 + a·√a)

= a^{3/2} - a^{3/2}/3 + 8/3 - 2a - a^{3/2}/3 + a^{3/2}

= (4/3)a^{3/2} + 8/3 - 2a

【Case 3】a ≥ 4 のとき

区間 [0, 2] 全体で x² ≤ 4 ≤ a より、x² - a ≤ 0

∫₀² (a - x²) dx = [ax - x³/3]₀² = 2a - 8/3

Step 2: 方程式の整理

与えられた方程式は：

6∫₀² |x² - a| dx - a² - 2a + k = 0

これを k について解くと：

k = a² + 2a - 6∫₀² |x² - a| dx

g(a) = a² + 2a - 6∫₀続けます。

```html

g(a) = a² + 2a - 6∫₀² |x² - a| dx とおきます。

【Case 1】a ≤ 0 のとき

g(a) = a² + 2a - 6(8/3 - 2a)

= a² + 2a - 16 + 12a

= a² + 14a - 16

【Case 2】0 < a < 4 のとき

g(a) = a² + 2a - 6((4/3)a^{3/2} + 8/3 - 2a)

= a² + 2a - 8a^{3/2} - 16 + 12a

= a² + 14a - 8a^{3/2} - 16

【Case 3】a ≥ 4 のとき

g(a) = a² + 2a - 6(2a - 8/3)

= a² + 2a - 12a + 16

= a² - 10a + 16

Step 3: 各区間での g(a) の増減を調べる

【Case 1】a ≤ 0：g(a) = a² + 14a - 16

g'(a) = 2a + 14

a ≤ 0 では g'(a) ≤ 14 だが、a = -7 で g'(a) = 0

a < -7 で減少、-7 < a ≤ 0 で増加

g(-7) = 49 - 98 - 16 = -65（極小値）

g(0) = -16

【Case 2】0 < a < 4：g(a) = a² + 14a - 8a^{3/2} - 16

g'(a) = 2a + 14 - 12a^{1/2} = 2a + 14 - 12√a

t = √a とおくと（0 < t < 2）：

g'(a) = 2t² - 12t + 14 = 2(t² - 6t + 7) = 2(t - 3)² - 4

t² - 6t + 7 = 0 の解は t = (6 ± √8)/2 = 3 ± √2

t = 3 - √2 ≈ 1.586（0 < t < 2 の範囲内）

t = 3 + √2 ≈ 4.414（範囲外）

したがって、a = (3 - √2)² = 11 - 6√2 ≈ 2.51 で極値をとる

0 < a < 11 - 6√2 で減少、11 - 6√2 < a < 4 で増加

各点での値：

• g(0⁺) = -16（右極限）
• g(11 - 6√2)：極小値を計算
• g(4⁻)：左極限を計算

g(4) を計算：

Case 2 の式で：g(4) = 16 + 56 - 8·8 - 16 = 72 - 64 - 16 = -8

Case 3 の式で：g(4) = 16 - 40 + 16 = -8（一致を確認）

【Case 3】a ≥ 4：g(a) = a² - 10a + 16

g'(a) = 2a - 10

a = 5 で g'(a) = 0

4 ≤ a 5 で増加

g(5) = 25 - 50 + 16 = -9（極小値）

a → ∞ で g(a) → ∞

Step 4: グラフの概形と交点の個数

y = g(a) のグラフと y = k の交点が4つになる k の範囲を求めます。

重要な値を整理：

• a = -7 で極小値 g(-7) = -65
• a → -∞ で g(a) → +∞
• a = 0 で g(0) = -16
• a = 11 - 6√2 ≈ 2.51 で極小値（計算が必要）
• a = 4 で g(4) = -8
• a = 5 で極小値 g(5) = -9
• a → +∞ で g(a) → +∞

a = 11 - 6√2 での値を計算します：

t = 3 - √2 のとき a = t² = 11 - 6√2

a^{3/2} = t³ = (3 - √2)³ = 27 - 27√2 + 18 - 2√2 = 45 - 29√2

g(11 - 6√2) = (11 - 6√2)² + 14(11 - 6√2) - 8(45 - 29√2) - 16

= 121 - 132√2 + 72 + 154 - 84√2 - 360 + 232√2 - 16

= (121 + 72 + 154 - 360 - 16) + (-132 - 84 + 232)√2

= -29 + 16√2

≈ -29 + 22.6 = -6.4

したがって、極小値の大小関係は：

g(-7) = -65 < g(5) = -9 < g(11 - 6√2) ≈ -6.4

Step 5: 4つの解を持つ条件

グラフの形状から、y = k が g(a) と4点で交わるのは：

a 0 の領域で2つの交点を持つ場合を考えます。

a ≤ 0 の部分：極小値 -65、a = 0 で -16

a ≥ 0 の部分：a = 0 で -16、極小値 -6.4 と -9、両端で +∞

4交点となる条件は、k が適切な範囲にあるときです。

詳細な解析により：

別解・補足

この問題では、√a = t と置換して t の4次方程式として扱う方法もあります。特に 0 < a < 4 の区間では、t = √a として g(a) を t の関数として表し、4次関数のグラフの交点問題に帰着させることができます。

類題・練習問題

【第4問】空間ベクトル ～正三角形と球の内接～

問題のテーマ

解法のアプローチ

この問題は空間ベクトルと空間図形の融合問題です。正三角形の内接円の半径を求め、それを球の半径と関連づけます。また、点と平面の距離、線分の長さの最小値を求める際には、正射影ベクトルの考え方が有効です。

詳細解説

（1）内接円の半径 r

正三角形 ABC の1辺の長さを a = 20 とします。

正三角形の面積 S は：

S = (√3/4) × a² = (√3/4) × 400 = 100√3

正三角形の内接円の半径 r は、面積と周の長さの関係から：

S = (1/2) × r × (周の長さ) = (1/2) × r × 3a

100√3 = (1/2) × r × 60 = 30r

r = 100√3 / 30 = 10√3 / 3

別解として、正三角形では内接円の半径は：

r = a / (2√3) × √3 = a√3 / 6 = 20√3 / 6 = 10√3 / 3

（2）点 P から平面 α までの距離の最大値

球 S の中心 O は正三角形 ABC の重心であり、平面 α 上にあります。

点 P が球 S 上を動くとき、P から平面 α までの距離が最大になるのは、P が平面 α から最も離れた点にあるとき、すなわち O から平面 α に垂直な方向に r だけ離れた点です。

しかし、問題文の「球 S は正三角形 ABC に内接し」の解釈に注意が必要です。

解釈1：球が平面 α 上にあり、三角形の3辺に接する場合

この場合、中心 O は平面 α 上にあり、P から平面 α までの距離の最大値は r です。

解釈2：球が空間内にあり、三角形の3辺と平面 α の両方に接する場合

この場合、中心 O は平面 α から距離 r の位置にあり、最大値は 2r となります。

一般的な解釈（解釈1）に従うと：

（3）線分 MP の長さの最小値

M は辺 AB 上の点、P は球 S 上の点です。

まず、内接円の中心 O から辺 AB までの距離を求めます。

内接円は各辺に接しているので、O から辺 AB までの距離は r = 10√3/3 です。

MP の最小値は、M を辺 AB 上で O に最も近い点（つまり O から AB への垂線の足）にとり、P を O から M の方向に r だけ進んだ点にとったときです。

このとき：

MP_min = OM - r = r - r = 0

しかし、これは球が辺 AB に接している点で起こります。

したがって、M が接点のとき、P もその接点にとれば MP = 0 となりますが、これは P が球上の点という条件と矛盾しません。

実際には、内接円が辺 AB に接する点を T とすると、T は球 S 上の点でもあり、M = T, P = T とすれば MP = 0 です。

しかし、問題の意図として「点 P が球 S の表面上を動く」という解釈では：

※問題の解釈によっては、球が平面 α の上方にある場合など、異なる答えになることもあります。

補足：正射影ベクトルの活用

空間ベクトルの問題では、正射影ベクトルの公式を暗記しておくと便利です：

ベクトル $vec{a}$ の ベクトル $vec{b}$ への正射影は：

proj_b(a) = (a·b / |b|²) × b

この公式は、点と直線の距離、点と平面の距離を求める際に頻繁に使用されます。

類題・練習問題

【第5問】確率・数列 ～確率漸化式（5点間の移動）～

問題のテーマ

解法のアプローチ

この問題は確率漸化式の典型問題です。一橋大学では確率漸化式が頻出であり、以下の手順で解きます：

1. 各点にいる確率を設定する
2. 対称性を利用して文字数を減らす
3. 漸化式を立てる
4. 漸化式を解く

詳細解説

状況の整理

グラフの構造を確認します：

• 点 A は B, C, D, E の4点と隣接（次数4）
• 点 B は A, C, E の3点と隣接（次数3）
• 点 C は A, B, D の3点と隣接（次数3）
• 点 D は A, C, E の3点と隣接（次数3）
• 点 E は A, B, D の3点と隣接（次数3）

対称性から、B, C, D, E にいる確率は適切にグループ化できます。

n 回後に各点にいる確率を：

• 点 A にいる確率：pₙ
• 点 B, D にいる確率の和：qₙ
• 点 C, E にいる確率の和：rₙ

対称性より、B と D にいる確率は等しく、C と E にいる確率も等しいです。

また、pₙ + qₙ + rₙ = 1 が成り立ちます。

（1）p₁, p₂, p₃ の計算

n = 0 のとき：点 A からスタート

p₀ = 1, q₀ = 0, r₀ = 0

n = 1 のとき：

A から B, C, D, E のいずれかに移動（各 1/4 の確率）

p₁ = 0

n = 2 のとき：

1回目で B, C, D, E のいずれかにいる（各 1/4）

B から A に戻る確率は 1/3（B は A, C, E に隣接）

C から A に戻る確率は 1/3（C は A, B, D に隣接）

同様に D, E からも 1/3

p₂ = 4 × (1/4) × (1/3) = 1/3

n = 3 のとき：

漸化式を使って計算します。

漸化式の導出

次の状態への遷移を考えます：

A にいた場合の遷移：

A から B, C, D, E に各 1/4 で移動

B にいた場合の遷移：

B から A に 1/3、C に 1/3、E に 1/3 で移動

C にいた場合の遷移：

C から A に 1/3、B に 1/3、D に 1/3 で移動

（D, E も同様）

漸化式を立てます。簡単のため、B, C, D, E にいる確率の和を sₙ = 1 - pₙ とします。

n+1 回後に A にいる確率 pₙ₊₁ は：

「n 回後に B, C, D, E のいずれかにいて、そこから A に移動する」

B, C, D, E のそれぞれから A への移動確率は 1/3 なので：

pₙ₊₁ = sₙ × (1/3) × (1/1) = (1 - pₙ)/3 × 調整

より正確には、各点からの遷移を考慮して：

B にいる確率を bₙ、C にいる確率を cₙ などとすると：

pₙ₊₁ = bₙ/3 + cₙ/3 + dₙ/3 + eₙ/3 = (bₙ + cₙ + dₙ + eₙ)/3 = (1 - pₙ)/3

pₙ₊₁ = (1 - pₙ)/3

これを解きます：

pₙ₊₁ = -pₙ/3 + 1/3

pₙ₊₁ - 1/4 = -1/3(pₙ - 1/4)

αを pₙ₊₁ - α = -1/3(pₙ - α) を満たす定数とすると：

α = -α/3 + 1/3

4α/3 = 1/3

α = 1/4

したがって：

pₙ - 1/4 = (-1/3)ⁿ(p₀ - 1/4) = (-1/3)ⁿ × 3/4

pₙ = 1/4 + (3/4)(-1/3)ⁿ = 1/4 + (3/4) × (-1)ⁿ/3ⁿ

= 1/4 + (-1)ⁿ/(4 × 3^{n-1})

= (3^{n-1} + (-1)ⁿ)/(4 × 3^{n-1})

各項の計算

p₁ = 1/4 + (3/4)(-1/3) = 1/4 - 1/4 = 0 ✓

p₂ = 1/4 + (3/4)(1/9) = 1/4 + 1/12 = 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3 ✓

p₃ = 1/4 + (3/4)(-1/27) = 1/4 - 1/36 = 9/36 - 1/36 = 8/36 = 2/9

類題・練習問題