【データの分析】数学の勉強法・つまずきポイントと対策｜日本数学塾

はじめに：データの分析を完全マスターするために

こんにちは、日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

高校数学Ⅰで学ぶ「データの分析」は、共通テストで毎年必ず出題される重要単元です。2022年度から始まった新課程では、この分野の比重がさらに高まり、単なる公式の暗記では太刀打ちできない問題が増えています。

「公式は覚えたのに、問題が解けない…」
「分散と標準偏差の違いがよくわからない…」
「相関係数の計算で毎回間違える…」

このような悩みを抱える生徒さんは非常に多いです。しかし、データの分析は正しい理解と練習を積めば確実に得点源にできる分野です。

この記事では、基本概念の確認から入試レベルの実戦問題まで、段階的に学習できるよう構成しました。全30問の例題と詳細な解説を通じて、データの分析を完全にマスターしましょう。

基本概念の確認

1. 代表値（データの中心を表す値）

① 平均値（算術平均）

データの値をすべて足し合わせ、データの個数で割った値です。

【図解：平均値のイメージ】

データ: 3, 5, 7, 9, 11

      3   5   7   9   11
      ●   ●   ●   ●   ●
      ↓   ↓   ↓   ↓   ↓
        すべて均等にならすと
            ↓
          ● ● ● ● ●
            7 7 7 7 7

平均値 = (3+5+7+9+11)/5 = 35/5 = 7

ポイント：平均値は「全データを均等に配分したときの1つあたりの値」と考えましょう。

② 中央値（メジアン）

データを小さい順（または大きい順）に並べたとき、中央に位置する値です。

【図解：中央値のイメージ】

【奇数個の場合】データ: 2, 5, 7, 9, 15

  2   5   7   9   15
  ●   ●   ●   ●   ●
          ↑
       中央値 = 7

【偶数個の場合】データ: 2, 5, 7, 9

  2   5   7   9
  ●   ●   ●   ●
      ↑   ↑
    中央の2つ
中央値 = (5+7)/2 = 6

ポイント：中央値は外れ値の影響を受けにくい特徴があります。

③ 最頻値（モード）

データの中で最も多く出現する値です。

2. 散布度（データの散らばりを表す値）

① 範囲（レンジ）

② 四分位数と四分位範囲

データを小さい順に並べたとき、4等分する位置の値を四分位数といいます。

【図解：四分位数のイメージ】

データを昇順に並べる: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21

      1  3  5  7  9  11  13  15  17  19  21
      ●  ●  ●  ●  ●   ●   ●   ●   ●   ●   ●
         ↑          ↑            ↑
        Q₁=4       Q₂=11        Q₃=16
     (下位半分    (全体の     (上位半分
      の中央値)   中央値)      の中央値)

四分位範囲 = Q₃ - Q₁ = 16 - 4 = 12

③ 分散

分散は「データが平均からどれだけ散らばっているか」を数値化したものです。

【計算公式（展開形）】

この展開形の公式は計算が非常に楽になるので、必ず覚えましょう！

【図解：分散のイメージ】

【分散が小さいデータ】        【分散が大きいデータ】
    平均 x̄ = 5                   平均 x̄ = 5

  3  4  5  6  7              1  2  5  8  9
  ●  ●  ●  ●  ●              ●  ●  ●  ●  ●
     ↓↓ ↓ ↓↓                 ↓  ↓  ↓  ↓  ↓
   データが密集              データが散らばっている
   → 分散小                  → 分散大

④ 標準偏差

ポイント：分散は単位が「（元の単位）²」になってしまうため、元の単位に戻すために平方根をとったものが標準偏差です。

3. 2変量データの分析

① 共分散

2つの変量 x と y の関係の強さと方向を表す指標です。

【計算公式（展開形）】

【共分散の意味】

• sxy > 0：正の相関（xが増えるとyも増える傾向）
• sxy < 0：負の相関（xが増えるとyは減る傾向）
• sxy ≒ 0：相関がない（またはほとんどない）

② 相関係数

相関の強さを -1 から 1 の範囲で標準化した指標です。

【相関係数の解釈】

  -1    -0.7   -0.4    0    0.4    0.7    1
   |------|------|------|------|------|------|
   強い   やや強い ほとんど ほとんど やや強い 強い
   負の相関 負の相関 相関なし 相関なし 正の相関 正の相関

【図解：相関係数と散布図】

【r ≒ 1】         【r ≒ 0】         【r ≒ -1】
強い正の相関      相関なし          強い負の相関

    ●               ● ●               ●
   ●               ●   ●               ●
  ●                  ●   ●              ●
 ●                 ●  ●                  ●
●                 ●  ●   ●                ●

4. データの変換と統計量の変化

データを一次変換（y = ax + b）したときの統計量の変化は非常に重要です。

5. 箱ひげ図

データの分布を視覚的に表現するグラフです。

【箱ひげ図の構造】

最小値      Q₁       Q₂       Q₃      最大値
   |        |--------|--------|        |
   |--------|        |        |--------|
   ←ひげ→   ←   箱   →        ←ひげ→

   ・箱の長さ = 四分位範囲（Q₃ - Q₁）
   ・箱の中の線 = 中央値（Q₂）
   ・ひげの両端 = 最大値・最小値

基礎問題で土台を固めよう（10問）

【基礎問題1】平均値の計算

【解説】

平均値の定義に従って計算します。

平均値 = (全データの合計) ÷ (データの個数)

まず合計を求めます：

72 + 85 + 68 + 91 + 79 = 395

データの個数は5なので：

平均値 = 395 ÷ 5 = 79

【基礎問題2】中央値の求め方

【解説】

(1) データ数が7個（奇数）の場合

まず、データを小さい順に並べます：

1, 2, 3, 5, 7, 8, 9

7個のデータの中央は (7+1)/2 = 4番目

4番目の値は 5

(2) データ数が6個（偶数）の場合

まず、データを小さい順に並べます：

6, 8, 11, 12, 15, 20

6個のデータの中央は 3番目と4番目の間

中央値 = (11 + 12) ÷ 2 = 23 ÷ 2 = 11.5

【基礎問題3】四分位数と四分位範囲

【解説】

データは既に昇順に並んでいます：2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 15（8個）

Step 1：中央値Q₂を求める

データ数が8個（偶数）なので、4番目と5番目の平均

Q₂ = (7 + 8) ÷ 2 = 7.5

Step 2：第1四分位数Q₁を求める

下位半分（2, 4, 5, 7）の中央値

Q₁ = (4 + 5) ÷ 2 = 4.5

Step 3：第3四分位数Q₃を求める

上位半分（8, 10, 12, 15）の中央値

Q₃ = (10 + 12) ÷ 2 = 11

Step 4：四分位範囲を求める

四分位範囲 = Q₃ − Q₁ = 11 − 4.5 = 6.5

【基礎問題4】分散の計算（定義式）

【解説】

Step 1：平均値を求める

x̄ = (1 + 3 + 5 + 7 + 9) ÷ 5 = 25 ÷ 5 = 5

Step 2：各データと平均の偏差を求める

Step 3：分散を求める

s² = (偏差の2乗の合計) ÷ n = 40 ÷ 5 = 8

【基礎問題5】分散の計算（展開形の公式）

【解説】

Step 1：平均値を求める

x̄ = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) ÷ 5 = 30 ÷ 5 = 6

Step 2：x²の平均を求める

各データの2乗：4, 16, 36, 64, 100

x²の平均 = (4 + 16 + 36 + 64 + 100) ÷ 5 = 220 ÷ 5 = 44

Step 3：分散を求める

s² = (x²の平均) − (平均)²

s² = 44 − 6² = 44

【基礎問題5】分散の計算（展開形の公式）続き

s² = 44 − 6² = 44 − 36 = 8

【補足】基礎問題4と同じデータ（等差数列）で計算しているため、同じ分散8になります。展開形の公式は計算が楽なので、実際の試験ではこちらを使うことをお勧めします。

【基礎問題6】標準偏差の計算

【解説】

Step 1：平均値を求める

x̄ = (3 + 5 + 7 + 9 + 11) ÷ 5 = 35 ÷ 5 = 7

Step 2：分散を求める（展開形の公式を使用）

各データの2乗：9, 25, 49, 81, 121

x²の平均 = (9 + 25 + 49 + 81 + 121) ÷ 5 = 285 ÷ 5 = 57

s² = 57 − 7² = 57 − 49 = 8

Step 3：標準偏差を求める

s = √8 = √(4×2) = 2√2

【基礎問題7】共分散の計算

【解説】

Step 1：各平均値を求める

x̄ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) ÷ 5 = 15 ÷ 5 = 3

ȳ = (2 + 5 + 4 + 7 + 7) ÷ 5 = 25 ÷ 5 = 5

Step 2：xyの平均を求める

各xyの積：1×2=2, 2×5=10, 3×4=12, 4×7=28, 5×7=35

xyの平均 = (2 + 10 + 12 + 28 + 35) ÷ 5 = 87 ÷ 5 = 17.4

Step 3：共分散を求める

sxy = (xyの平均) − (x̄)(ȳ)

sxy = 17.4 − 3 × 5 = 17.4 − 15 = 2.4

【補足】共分散が正なので、xとyには正の相関（xが増えるとyも増える傾向）があることがわかります。

【基礎問題8】相関係数の計算

【解説】

相関係数 r = sxy ÷ (sx × sy) を使います。

Step 1：共分散（既に求めた）

sxy = 2.4

Step 2：xの標準偏差sxを求める

x² の値：1, 4, 9, 16, 25

x²の平均 = (1 + 4 + 9 + 16 + 25) ÷ 5 = 55 ÷ 5 = 11

sx² = 11 − 3² = 11 − 9 = 2

sx = √2

Step 3：yの標準偏差syを求める

y² の値：4, 25, 16, 49, 49

y²の平均 = (4 + 25 + 16 + 49 + 49) ÷ 5 = 143 ÷ 5 = 28.6

sy² = 28.6 − 5² = 28.6 − 25 = 3.6

sy = √3.6 = √(18/5) = (3√2)/√5 = (3√10)/5

Step 4：相関係数を求める

r = sxy ÷ (sx × sy)

r = 2.4 ÷ (√2 × √3.6)

r = 2.4 ÷ √7.2

r = 2.4 ÷ √(36/5)

r = 2.4 ÷ (6/√5)

r = 2.4 × √5 ÷ 6

r = 0.4√5 ≒ 0.894

【補足】r ≒ 0.894 は1に近いので、xとyには「強い正の相関」があるといえます。

【基礎問題9】データの変換と平均・分散

【解説】

一次変換 y = ax + b のとき：

• ȳ = ax̄ + b
• sy² = a²sx²

今回は a = 2, b = 5 なので：

平均値の変換

ȳ = 2 × 20 + 5 = 40 + 5 = 45

分散の変換

sy² = 2² × 9 = 4 × 9 = 36

【重要ポイント】分散の変換では、定数項 b は影響しません。これは分散が「散らばり」を表すため、全データに同じ値を加えても散らばりは変わらないからです。

【基礎問題10】箱ひげ図の読み取り

    10    20    30    40    50    60    70
    |-----|-----|-----|-----|-----|-----|
         |-----|======|======|-----|
        15    25     35     50    60

【解説】

箱ひげ図の構造を確認します：

• 左端のひげの端点 → 最小値
• 箱の左端 → 第1四分位数（Q₁）
• 箱の中の線 → 中央値（Q₂）
• 箱の右端 → 第3四分位数（Q₃）
• 右端のひげの端点 → 最大値

標準問題にチャレンジ（10問）

【パターン1：度数分布表からの統計量計算】

【標準問題1】度数分布表から平均と分散を求める

【解説】

度数分布表から統計量を求める場合、階級値（各階級の中央の値）を使って計算します。

Step 1：階級値と度数の表を作成

Step 2：平均値を求める

x̄ = Σ(fx) ÷ Σf = 1020 ÷ 40 = 25.5（分）

Step 3：分散を求める

x²の平均 = Σ(fx²) ÷ Σf = 31000 ÷ 40 = 775

s² = 775 − 25.5² = 775 − 650.25 = 124.75

【パターン2：仮平均を使った計算】

【標準問題2】仮平均を利用した効率的な計算

【解説】

各データから仮平均100を引いた値で計算すると楽になります。

Step 1：偏差データを作成

u = x − 100 とおくと

u: −2, 2, −5, 5, 0

Step 2：uの平均を求める

ū = (−2 + 2 − 5 + 5 + 0) ÷ 5 = 0 ÷ 5 = 0

Step 3：xの平均を求める

x̄ = ū + 100 = 0 + 100 = 100

Step 4：uの分散を求める

u²: 4, 4, 25, 25, 0

u²の平均 = (4 + 4 + 25 + 25 + 0) ÷ 5 = 58 ÷ 5 = 11.6

su² = 11.6 − 0² = 11.6

Step 5：xの分散を求める

y = ax + b の変換では sy² = a²sx² なので、

u = x − 100 すなわち x = u + 100（a=1）より

sx² = su² = 11.6

【パターン3：データの追加・削除による統計量の変化】

【標準問題3】データ追加後の平均値

【解説】

Step 1：元の10人の合計点を求める

10人の合計 = 72 × 10 = 720（点）

Step 2：11人の合計点を求める

11人の合計 = 74 × 11 = 814（点）

Step 3：新たに加わった生徒の得点を求める

新しい生徒の得点 = 814 − 720 = 94（点）

【標準問題4】データ削除後の平均値と分散

【解説】

残るデータ：2, 4, 8, 10

Step 1：平均値を求める

x̄ = (2 + 4 + 8 + 10) ÷ 4 = 24 ÷ 4 = 6

Step 2：分散を求める

x²: 4, 16, 64, 100

x²の平均 = (4 + 16 + 64 + 100) ÷ 4 = 184 ÷ 4 = 46

s² = 46 − 6² = 46 − 36 = 10

【比較】元のデータ(2,4,6,8,10)は平均6、分散8でした。平均値と同じ値(6)を取り除いても平均は変わりませんが、分散は8→10と大きくなりました。これは中央付近のデータが減ったため、相対的に散らばりが大きくなったことを示しています。

【パターン4：2つのグループを合わせたデータ】

【標準問題5】2グループの合併後の平均

【解説】

Step 1：各組の合計点を求める

A組の合計 = 65 × 30 = 1950（点）

B組の合計 = 75 × 20 = 1500（点）

Step 2：全体の合計と人数から平均を求める

全体の合計 = 1950 + 1500 = 3450（点）

全体の人数 = 30 + 20 = 50（人）

全体の平均 = 3450 ÷ 50 = 69（点）

【注意】単純に(65+75)÷2=70点としてはいけません！人数が異なるので、加重平均を使います。

【標準問題6】2グループの合併後の分散

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【標準問題6】2グループの合併後の分散

【解説】

Step 1：全体の平均を求める

A組の合計 = 10 × 4 = 40

B組の合計 = 15 × 6 = 90

全体の平均 x̄ = (40 + 90) ÷ 10 = 130 ÷ 10 = 13

Step 2：各組のx²の合計を求める

分散の公式 s² = (x²の平均) − (平均)² を変形すると：

x²の平均 = s² + (平均)²

A組：x²の平均 = 4 + 10² = 4 + 100 = 104

　　　x²の合計 = 104 × 4 = 416

B組：x²の平均 = 9 + 15² = 9 + 225 = 234

　　　x²の合計 = 234 × 6 = 1404

Step 3：全体の分散を求める

全体のx²の合計 = 416 + 1404 = 1820

全体のx²の平均 = 1820 ÷ 10 = 182

全体の分散 = 182 − 13² = 182 − 169 = 13

【重要公式】2グループ合併の分散

【パターン5：相関係数の性質】

【標準問題7】データ変換と相関係数

【解説】

相関係数の変換における重要な性質：

• 定数の加減（平行移動）は相関係数に影響しない
• 正の定数倍は相関係数に影響しない
• 負の定数倍は相関係数の符号が反転する

(1) (2x, 3y) の場合

どちらも正の定数倍なので、相関係数は変わらない。

相関係数 = 0.8

(2) (x + 5, y − 3) の場合

定数の加減のみなので、相関係数は変わらない。

相関係数 = 0.8

(3) (−x, y) の場合

xのみ−1倍（負の定数倍）されているので、符号が反転する。

相関係数 = −0.8

(4) (−2x + 1, −3y + 5) の場合

xもyも負の定数倍されている。符号が2回反転するので元に戻る。

相関係数 = 0.8

【パターン6：散布図と相関】

【標準問題8】散布図から相関係数の符号と大きさを判断

【解説】

散布図のイメージ

y
8 |  ●
7 |
6 |      ●
5 |    ●
4 |
3 |          ●  ●
2 |
1 |
0 +--+--+--+--+--+-- x
   1  2  3  4  5

右下がりの傾向が見られるので、負の相関があると予想できます。

相関係数の計算

x̄ = (1+2+3+4+5)/5 = 3

ȳ = (8+5+6+3+3)/5 = 5

xyの積：8, 10, 18, 12, 15　→ 合計63

xyの平均 = 63/5 = 12.6

共分散 sxy = 12.6 − 3×5 = 12.6 − 15 = −2.4

x²：1, 4, 9, 16, 25　→ 合計55

sx² = 55/5 − 9 = 11 − 9 = 2　→ sx = √2

y²：64, 25, 36, 9, 9　→ 合計143

sy² = 143/5 − 25 = 28.6 − 25 = 3.6　→ sy = √3.6

r = sxy / (sx × sy) = −2.4 / (√2 × √3.6) = −2.4 / √7.2 ≒ −0.894

【パターン7：箱ひげ図の比較】

【標準問題9】複数の箱ひげ図の読み取りと比較

得点   30   40   50   60   70   80   90   100
       |----|----|----|----|----|----|----| 

A校    |----[====|====]---------|
           35   50  60  70      85

B校         |--[====|=====]----|
            40  55  65   80    90

【解説】

各統計量を読み取ります：

各選択肢の検証：

① A校の最小値35 < B校の最小値40　→ 正しい

② B校の中央値65 > A校の中央値60　→ 正しい

③ A校の四分位範囲20 < B校の四分位範囲25　→ 誤り

④ A校の範囲50 = B校の範囲50　→ 誤り

⑤ A校で60点はちょうど中央値。中央値以上の生徒は全体の50%=25人以上　→ 正しい

【パターン8：外れ値の影響】

【標準問題10】外れ値が統計量に与える影響

【解説】

データA（10, 12, 14, 16, 18）の計算

平均値：(10+12+14+16+18)/5 = 70/5 = 14

中央値：14（3番目の値）

x²の合計：100+144+196+256+324 = 1020

分散：1020/5 − 14² = 204 − 196 = 8

データB（10, 12, 14, 16, 58）の計算

平均値：(10+12+14+16+58)/5 = 110/5 = 22

中央値：14（3番目の値）← 変わらない！

x²の合計：100+144+196+256+3364 = 4060

分散：4060/5 − 22² = 812 − 484 = 328

入試レベルの実戦問題（10問）

【実戦問題1】共通テスト型：複数の統計量の関係

【解説】

(1) 共分散の計算

相関係数の定義 r = sxy / (sx × sy) より：

sxy = r × sx × sy

sxy = 0.6 × 12 × 15 = 108

(2) zの平均値

z = x + y のとき、z̄ = x̄ + ȳ

z̄ = 65 + 70 = 135（点）

(3) zの分散

z = x + y のとき、分散の公式は：

sz² = sx² + sy² + 2sxy

※この公式の導出：

sz² = (1/n)Σ(zi − z̄)²

= (1/n)Σ((xi + yi) − (x̄ + ȳ))²

= (1/n)Σ((xi − x̄) + (yi − ȳ))²

= (1/n)Σ[(xi − x̄)² + 2(xi − x̄)(yi − ȳ) + (yi − ȳ)²]

= sx² + 2sxy + sy²

よって：

sz² = 12² + 15² + 2 × 108

sz² = 144 + 225 + 216 = 585

【実戦問題2】共通テスト型：データの変換と統計量

【解説】

変換式 u = (x − 50)/10 を整理すると：

u = (1/10)x − 5

これは y = ax + b の形で、a = 1/10、b = −5

平均値の変換

ū = ax̄ + b = (1/10) × 50 + (−5) = 5 − 5 = 0

分散の変換

su² = a²sx² = (1/10)² × 100 = (1/100) × 100 = 1

【補足】この変換は「標準化」と呼ばれ、平均0・分散1のデータに変換します。異なる単位や尺度のデータを比較する際に重要な操作です。

【実戦問題3】私大入試型：未知の値を含む統計量

【解説】

Step 1：aの値を求める

平均値の条件より：

(2 + 5 + a + 8 + 10) / 5 = 6

25 + a = 30

a = 5

Step 2：分散を求める

データ：2, 5, 5, 8, 10（平均6）

x²：4, 25, 25, 64, 100　→ 合計218

x²の平均 = 218/5 = 43.6

分散 = 43.6 − 6² = 43.6 − 36 = 7.6

【実戦問題4】私大入試型：分散の条件から値を求める

【解説】

Step 1：平均値をaで表す

x̄ = (1 + 3 + 5 + a) / 4 = (9 + a) / 4

Step 2：分散の式を立てる

x²の平均 = (1 + 9 + 25 + a²) / 4 = (35 + a²) / 4

分散 = (x²の平均) − (平均)²

5 = (35 + a²)/4 − ((9 + a)/4)²

5 = (35 + a²)/4 − (9 + a)²/16

Step 3：方程式を解く

両辺に16を

両辺に16をかけて：

80 = 4(35 + a²) − (9 + a)²

80 = 140 + 4a² − (81 + 18a + a²)

80 = 140 + 4a² − 81 − 18a − a²

80 = 3a² − 18a + 59

3a² − 18a + 59 − 80 = 0

3a² − 18a − 21 = 0

a² − 6a − 7 = 0

(a − 7)(a + 1) = 0

a = 7 または a = −1

a > 5 の条件より、a = 7

検算

データ：1, 3, 5, 7　平均 = 16/4 = 4

x²の平均 = (1 + 9 + 25 + 49)/4 = 84/4 = 21

分散 = 21 − 16 = 5 ✓

【実戦問題5】共通テスト型：相関係数の範囲

【解説】

相関係数が1になるのは、すべての点が一直線上にあるとき（完全な正の相関）です。

方法1：直線の傾きを利用

(1, 2) と (2, 4) を通る直線の傾き = (4 − 2)/(2 − 1) = 2

この直線の方程式：y − 2 = 2(x − 1) より y = 2x

x = 3 のとき、y = 2 × 3 = 6

よって a = 6

方法2：相関係数の定義から計算

x̄ = (1 + 2 + 3)/3 = 2

ȳ = (2 + 4 + a)/3 = (6 + a)/3

相関係数 r = 1 のとき、sxy = sx × sy が成立

これは y = px + q（p > 0）の関係があることを意味し、

(1, 2), (2, 4) から p = 2, q = 0 なので y = 2x

x = 3 のとき a = 6

【実戦問題6】国公立二次型：条件付き統計量

【解説】

Step 1：条件の整理

• 10個のデータの合計 = 7 × 10 = 70
• 5番目と6番目の平均が6（中央値の条件）
• 5が3回出現（最頻値の条件）
• 最大値が15

Step 2：データを構成する

中央値が6なので、5番目と6番目の値の平均が6

例えば、5番目 = 5、6番目 = 7 とすると平均は6

5が3回出現するので、小さい方から5, 5, 5を含む

最大値が15

データを昇順に並べて構成：

1, 5, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 10, 15

合計を確認：1 + 5 + 5 + 5 + 5 + 7 + 8 + 9 + 10 + 15 = 70 ✓

中央値：(5 + 7)/2 = 6 ✓

最頻値：5（4回出現...これは条件違反）

修正して：1, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 10, 10, 15

合計：1 + 4 + 5 + 5 + 5 + 7 + 8 + 10 + 10 + 15 = 70 ✓

中央値：(5 + 7)/2 = 6 ✓

最頻値：5（3回）✓　※10も2回出現するが5が最多

Step 3：分散を計算

平均 = 7

x²の値：1, 16, 25, 25, 25, 49, 64, 100, 100, 225

x²の合計 = 630

x²の平均 = 63

分散 = 63 − 49 = 14

【実戦問題7】共通テスト型：ヒストグラムと箱ひげ図の対応

度数
 12|          ■■■■
 10|      ■■■■■■■■
  8|  ■■■■
  6|
  4|              ■■■■
  2|■■
  0+--+--+--+--+--+--
   20 30 40 50 60 70 80 (点)

階級：20-30(2人), 30-40(8人), 40-50(10人), 50-60(12人), 60-70(4人), 70-80(4人)

【解説】

Step 1：累積度数を計算

Step 2：四分位数の位置を特定

• Q₁の位置：40 × 0.25 = 10番目 → 累積10は30-40階級の最後 → Q₁は約40点
• Q₂の位置：20番目と21番目の平均 → 累積20は40-50階級の最後、21番目は50-60階級 → Q₂は約50点
• Q₃の位置：40 × 0.75 = 30番目 → 累積32に含まれる50-60階級 → Q₃は約55-58点

Step 3：箱ひげ図の概形

    20   30   40   50   60   70   80
    |----|----|----|----|----|----| 
    |------[===|====]--------|
   最小   Q₁  Q₂   Q₃       最大
   (20)  (40)(50) (58)      (80)

【実戦問題8】共通テスト型：散布図からの相関係数の推定

【A】             【B】             【C】             【D】
y                 y                 y                 y
|    ●●          |●                |  ● ●  ●       |         ●
|   ●●           |  ●              | ●  ●  ●       |       ●
|  ●●            |    ●            |●  ●   ●       |     ●
| ●●             |      ●          | ●   ● ●       |   ●
|●●              |        ●        |  ●  ●         | ●
+------x          +------x          +------x         +------x
(右上がり直線)   (右下がり直線)    (ばらばら)      (右上がり直線)

【解説】

各散布図の特徴を分析します：

【A】点がほぼ直線上に並び、右上がり → 強い正の相関 → r ≒ +0.95

【B】点がほぼ直線上に並び、右下がり → 強い負の相関 → r ≒ −0.95

【C】点がばらばらに散らばっている → 相関なし → r ≒ 0

【D】右上がりの傾向はあるがばらつきがある → 中程度の正の相関 → r ≒ +0.7

相関係数を大きい順（値として大きい順）に並べると：

A (+0.95) > D (+0.7) > C (0) > B (−0.95)

【実戦問題9】国公立二次型：データ分析の総合問題

【解説】

(1) uの平均値の証明

ū = (1/n)Σuᵢ

= (1/n)Σ(xᵢ − yᵢ)

= (1/n)Σxᵢ − (1/n)Σyᵢ

= x̄ − ȳ　　■

(2) uの分散の証明

su² = (1/n)Σ(uᵢ − ū)²

= (1/n)Σ((xᵢ − yᵢ) − (x̄ − ȳ))²

= (1/n)Σ((xᵢ − x̄) − (yᵢ − ȳ))²

ここで、aᵢ = xᵢ − x̄、bᵢ = yᵢ − ȳ とおくと：

su² = (1/n)Σ(aᵢ − bᵢ)²

= (1/n)Σ(aᵢ² − 2aᵢbᵢ + bᵢ²)

= (1/n)Σaᵢ² − 2(1/n)Σaᵢbᵢ + (1/n)Σbᵢ²

= sx² − 2sxy + sy²

= sx² + sy² − 2sxy　　■

【補足】この結果と実戦問題1の結果を合わせると：

• z = x + y のとき：sz² = sx² + sy² + 2sxy
• u = x − y のとき：su² = sx² + sy² − 2sxy

これらは非常に重要な公式です。

【実戦問題10】共通テスト型：総合問題（データの読み取りと計算）

【解説】

(1) 数学(x)の統計量

x: 55, 70, 45, 80, 60, 65, 50, 75, 40, 60

Σx = 55 + 70 + 45 + 80 + 60 + 65 + 50 + 75 + 40 + 60 = 600

x̄ = 600 / 10 = 60

x²: 3025, 4900, 2025, 6400, 3600, 4225, 2500, 5625, 1600, 3600

Σx² = 37500

x²の平均 = 3750

sx² = 3750 − 60² = 3750 − 3600 = 150

sx = √150 = 5√6 ≒ 12.25

(2) 理科(y)の統計量

y: 50, 75, 40, 85, 55, 60, 45, 80, 35, 65

Σy = 50 + 75 + 40 + 85 + 55 + 60 + 45 + 80 + 35 + 65 = 590

ȳ = 590 / 10 = 59

y²: 2500, 5625, 1600, 7225, 3025, 3600, 2025, 6400, 1225, 4225

Σy² = 37450

y²の平均 = 3745

sy² = 3745 − 59² = 3745 − 3481 = 264

sy = √264 = 2√66 ≒ 16.25

(3) 共分散

xy: 2750, 5250, 1800, 6800, 3300, 3900, 2250, 6000, 1400, 3900

Σxy = 37350

xyの平均 = 3735

sxy = 3735 − 60 × 59 = 3735 − 3540 = 195

(4) 相関係数

r = sxy / (sx × sy)

r = 195 / (√150 × √264)

r = 195 / √39600

r = 195 / (60√11)

r = 13 / (4√11)

r = 13√11 / 44

r ≒ 0.98

(5) 考察

相関係数 r ≒ 0.98 は1に非常に近く、数学と理科の得点には非常に強い正の相関がある。つまり、数学の得点が高い生徒は理科の得点も高い傾向があり、逆に数学の得点が低い生徒は理科の得点も低い傾向がある。

よくある間違いと対処法

【間違い1】平均値と中央値の混同

データ: 2, 4, 6
x²の平均 = (4+16+36)/3 = 56/3
分散 = 56/3 ← 間違い！

平均値 x̄ = (2+4+6)/3 = 4
x²の平均 = (4+16+36)/3 = 56/3
分散 = (x²の平均) − (平均)²
     = 56/3 − 16
     = 56/3 − 48/3
     = 8/3

分散 = 16 と計算できた
標準偏差 = 16 ← 間違い！

分散 = 16
標準偏差 = √(分散) = √16 = 4

xの分散 = 4
yの分散 = 2 × 4 + 3 = 11 ← 間違い！

y = ax + b のとき
・平均：ȳ = ax̄ + b （aもbも影響する）
・分散：sy² = a²sx² （aの2乗のみ、bは影響しない！）

xの分散 = 4
yの分散 = 2² × 4 = 16

全体：3, 5, 7, 8, 10, 12, 15, 20
              ↑中央↑
Q₂ = (8+10)/2 = 9

下位半分：3, 5, 7, 8 → Q₁ = (5+7)/2 = 6
上位半分：10, 12, 15, 20 → Q₃ = (12+15)/2 = 13.5

A組の合計 = 60 × 20 = 1200
B組の合計 = 70 × 30 = 2100
全体の合計 = 1200 + 2100 = 3300
全体の人数 = 20 + 30 = 50
全体の平均 = 3300 ÷ 50 = 66点

階級「10以上20未満」→ 階級値 = (10+20)/2 = 15
階級「20以上30未満」→ 階級値 = (20+30)/2 = 25