筑波大学 理工学群 合格体験記｜数強塾グループ

はじめに：筑波大学 理工学群 合格体験記を完全マスターするために

こんにちは、日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

筑波大学理工学群は、日本を代表する研究大学として、数学類・物理学類・化学類・応用理工学類・工学システム学類・社会工学類の6つの学類を擁する、理系受験生にとって非常に魅力的な学群です。茨城県つくば市にある広大なキャンパスで、最先端の研究に触れながら学ぶことができます。

筑波大学理工学群の入試では、数学の実力が合否を大きく左右します。二次試験の数学は、標準的な問題が中心ですが、正確さと迅速さが求められるのが特徴です。「基礎をしっかり固め、典型問題を確実に解ける力」を身につけることが合格への近道となります。

本記事では、筑波大学理工学群への合格を目指す皆さんのために、以下の内容を徹底的に解説していきます：

• 筑波大学理工学群入試の数学で頻出する分野と出題傾向
• 基礎から応用まで段階的に力をつける30問の演習問題
• 各問題の詳細な解説と解答のポイント
• つまずきやすいポイントとその克服法
• 入試本番で得点を最大化するための戦略

この記事を最後まで読み、各問題に取り組むことで、筑波大学理工学群の数学入試に必要な実力を確実に身につけることができます。それでは、一緒に学んでいきましょう！

基本概念の確認

筑波大学理工学群の入試数学で高得点を取るためには、まず基本概念をしっかりと理解することが不可欠です。ここでは、特に出題頻度の高い分野の定義・公式・重要定理を確認していきましょう。

1. 微分・積分（数学III）

筑波大学の数学では、微分積分が最重要分野です。毎年必ず出題されると言っても過言ではありません。

【導関数の定義】

関数f(x)の導関数f'(x)は、次のように定義されます：

この定義を理解することで、様々な関数の微分を自在に行うことができます。

【基本的な微分公式】

• (x^n)' = nx^(n-1) （nは実数）
• (e^x)' = e^x
• (a^x)' = a^x・log a （a > 0, a ≠ 1）
• (log x)' = 1/x
• (sin x)' = cos x
• (cos x)' = -sin x
• (tan x)' = 1/cos²x = sec²x

【積の微分・商の微分】

【定積分の基本定理】

F'(x) = f(x) のとき、

【面積・体積の公式】

面積：y = f(x) と x軸、x = a, x = b で囲まれた部分の面積

S = ∫[a,b] |f(x)| dx

回転体の体積：y = f(x) を x軸の周りに回転させた立体の体積

V = π∫[a,b] {f(x)}² dx

2. ベクトル

ベクトルは空間図形の問題で必須となる分野です。

【ベクトルの基本演算】

【位置ベクトルと内分点・外分点】

点Pが線分ABをm:nに内分するとき：

→OP = (n・→OA + m・→OB) / (m + n)

【空間ベクトルと平面の方程式】

法線ベクトル→n = (a, b, c)、平面上の点を(x₀, y₀, z₀)とするとき、平面の方程式は：

a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0

3. 数列

数列は漸化式と極限の問題で頻出です。

【等差数列・等比数列】

【漸化式の解法パターン】

① aₙ₊₁ = aₙ + d（等差型）→ aₙ = a₁ + (n-1)d

② aₙ₊₁ = r・aₙ（等比型）→ aₙ = a₁・r^(n-1)

③ aₙ₊₁ = p・aₙ + q（階差型）→ 特性方程式 x = px + q を利用

④ aₙ₊₁ = aₙ + f(n)（階差数列型）→ aₙ = a₁ + Σ[k=1 to n-1] f(k)

4. 確率・場合の数

確率の問題は論理的思考力を問われます。

【基本公式】

【期待値】

確率変数Xが値x₁, x₂, ..., xₙをそれぞれ確率p₁, p₂, ..., pₙでとるとき：

E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + xₙpₙ

5. 複素数平面

筑波大学では複素数平面の問題も出題されます。

【極形式とド・モアブルの定理】

【回転と拡大】

複素数zをα倍（|α| = r, arg α = θ）することは、原点を中心にθ回転し、r倍に拡大することを意味します。

6. 二次曲線

【楕円・双曲線・放物線の標準形】

基礎問題で土台を固めよう（10問）

まずは基礎力を確実につけるための問題に取り組みましょう。これらの問題は、筑波大学理工学群入試の土台となる内容です。

【基礎問題1】微分の基本計算

【解説】

微分の基本は、公式を正確に使いこなすことです。特に（2）では積の微分法、（3）では合成関数の微分法を使います。

（1）多項式関数の微分

各項をそれぞれ微分します。(x^n)' = nx^(n-1) を用いて：

f'(x) = 3x² - 6x + 2

（2）積の微分法

f = e^x、g = sin x とおくと、f' = e^x、g' = cos x

積の微分法 (fg)' = f'g + fg' より：

g'(x) = e^x・sin x + e^x・cos x = e^x(sin x + cos x)

（3）合成関数の微分

u = x² + 1 とおくと、h(x) = log u

合成関数の微分法より：

h'(x) = (1/u)・(du/dx) = (1/(x² + 1))・2x = 2x/(x² + 1)

【基礎問題2】定積分の計算

【解説】

定積分は、不定積分を求めてから両端の値を代入して計算します。

（1）多項式の積分

∫(3x² + 2x + 1) dx = x³ + x² + x + C

よって、∫[0,1] (3x² + 2x + 1) dx = [x³ + x² + x]₀¹ = (1 + 1 + 1) - 0 = 3

（2）三角関数の積分

∫sin x dx = -cos x + C

よって、∫[0,π/2] sin x dx = [-cos x]₀^(π/2) = -cos(π/2) - (-cos 0) = 0 - (-1) = 1

（3）対数関数の積分

∫(1/x) dx = log|x| + C

よって、∫[1,e] (1/x) dx = [log x]₁^e = log e - log 1 = 1 - 0 = 1

【基礎問題3】ベクトルの内積

【解説】

（1）内積の計算

成分による内積の計算：→a・→b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

→a・→b = 2×1 + 1×3 + (-1)×2 = 2 + 3 - 2 = 3

（2）ベクトルの大きさ

|→a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

|→a| = √(2² + 1² + (-1)²) = √(4 + 1 + 1) = √6

（3）なす角の計算

まず |→b| = √(1² + 3² + 2²) = √(1 + 9 + 4) = √14

内積の定義 →a・→b = |→a||→b|cos θ より：

cos θ = (→a・→b)/(|→a||→b|) = 3/(√6・√14) = 3/√84 = 3/(2√21) = (3√21)/42 = √21/14

【基礎問題4】等差数列と等比数列

【解説】

（1）等差数列

一般項：aₙ = a₁ + (n-1)d = 3 + (n-1)×4 = 4n - 1

第10項：a₁₀ = 4×10 - 1 = 39

和の公式：Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

S₁₀ = 10×(3 + 39)/2 = 10×42/2 = 210

（2）等比数列

一般項：bₙ = b₁・r^(n-1) = 2・3^(n-1)

第6項：b₆ = 2・3⁵ = 2×243 = 486

和の公式：Sₙ = a₁(r^n - 1)/(r - 1)

S₆ = 2×(3⁶ - 1)/(3 - 1) = 2×(729 - 1)/2 = 728

【基礎問題5】漸化式の基本

【解説】

この漸化式は「aₙ₊₁ = p・aₙ + q」の形です。特性方程式を利用して解きます。

Step 1：特性方程式を解く

α = 2α + 1 より α = -1

Step 2：漸化式を変形する

aₙ₊₁ - (-1) = 2(aₙ - (-1))

aₙ₊₁ + 1 = 2(aₙ + 1)

Step 3：bₙ = aₙ + 1 とおく

bₙ₊₁ = 2bₙ（b₁ = a₁ + 1 = 2）

これは公比2の等比数列なので：bₙ = 2・2^(n-1) = 2ⁿ

Step 4：aₙを求める

aₙ = bₙ - 1 = 2ⁿ - 1

検算：a₁ = 2¹ - 1 = 1 ✓、a₂ = 2×1 + 1 = 3 = 2² - 1 ✓

【基礎問題6】確率の基本

【解説】

全体の場合の数

7個から3個を選ぶ：₇C₃ = 7!/(3!×4!) = 35通り

（1）3個とも赤球

赤球3個から3個を選ぶ：₃C₃ = 1通り

確率 = 1/35

（2）赤球が少なくとも1個

余事象「3個とも白球」を考えます。

白球4個から3個を選ぶ：₄C₃ = 4通り

P(3個とも白球) = 4/35

P(赤球が少なくとも1個) = 1 - 4/35 = 31/35

【基礎問題7】極限の計算

【解説】

（1）三角関数の重要極限

これは最も重要な極限の公式の一つです。

lim[x→0] (sin x)/x = 1

（幾何学的考察または ロピタルの定理で示せます）

（2）分数関数の極限（∞/∞型）

分子・分母を最高次の項x²で割ります。

= lim[x→∞] (3 + 2/x + 1/x²)/(1 + 1/x²)

x→∞ のとき、1/x → 0、1/x² → 0 なので：

= 3/1 = 3

（3）ネイピア数eの定義

lim[n→∞] (1 + 1/n)^n = e ≈ 2.718...

これは

【基礎問題7】極限の計算（続き）

（3）ネイピア数eの定義

lim[n→∞] (1 + 1/n)^n = e ≈ 2.718...

これはネイピア数（自然対数の底）eの定義そのものです。この極限は微分積分学の根幹をなす重要な値です。

【基礎問題8】複素数の計算

【解説】

（1）z²の計算

z² = (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i - 1 = 2i

（2）絶対値

|z| = |1 + i| = √(1² + 1²) = √2

（3）z⁴の計算

z⁴ = (z²)² = (2i)² = 4i² = -4

【別解：極形式を利用】

z = 1 + i = √2(cos 45° + i sin 45°)

ド・モアブルの定理より：

z⁴ = (√2)⁴(cos 180° + i sin 180°) = 4(-1 + 0i) = -4

【基礎問題9】二次曲線の基本

【解説】

楕円の標準形 x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0) において：

・長軸の長さ：2a

・短軸の長さ：2b

・焦点：(±c, 0)、ただし c² = a² - b²

・離心率：e = c/a

与えられた楕円では、a² = 9、b² = 4 なので a = 3、b = 2

（1）軸の長さ

長軸の長さ：2a = 6

短軸の長さ：2b = 4

（2）焦点

c² = a² - b² = 9 - 4 = 5

c = √5

焦点：(±√5, 0)、すなわち (√5, 0) と (-√5, 0)

（3）離心率

e = c/a = √5/3

【基礎問題10】行列と一次変換（参考）

【解説】

連立方程式の解法は、代入法または加減法を用います。

【加減法による解法】

①式：2x + 3y = 7

②式：x + 2y = 4

②式を2倍して①式から引きます：

(2x + 3y) - 2(x + 2y) = 7 - 8

2x + 3y - 2x - 4y = -1

-y = -1

y = 1

y = 1 を②式に代入：

x + 2(1) = 4

x = 2

検算：

①式：2(2) + 3(1) = 4 + 3 = 7 ✓

②式：2 + 2(1) = 2 + 2 = 4 ✓

標準問題にチャレンジ（10問）

基礎が固まったら、次は標準レベルの問題に挑戦しましょう。これらは筑波大学理工学群入試で頻出のパターンを含んでいます。

【標準問題1】微分法の応用（極値問題）

【解説】

（1）極値を求める

Step 1：f'(x) を計算する

f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)

Step 2：f'(x) = 0 となる x を求める

3(x - 1)(x - 3) = 0 より x = 1, 3

Step 3：増減表を作成する

Step 4：極値を計算する

f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6（極大値）

f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2（極小値）

（2）グラフの概形

・x → -∞ のとき f(x) → -∞

・x → +∞ のとき f(x) → +∞

・x = 1 で極大値 6

・x = 3 で極小値 2

（3）異なる3つの実数解をもつ条件

y = f(x) のグラフと直線 y = k が3点で交わる条件を考えます。

極大値と極小値の間、すなわち：

2 < k < 6

【標準問題2】定積分と面積

【解説】

Step 1：交点を求める

x² = 2x + 3

x² - 2x - 3 = 0

(x - 3)(x + 1) = 0

x = -1, 3

Step 2：どちらが上にあるか確認

-1 < x < 3 の範囲で、例えば x = 0 を代入：

放物線：y = 0

直線：y = 3

よって、この範囲では直線が放物線より上にあります。

Step 3：面積を計算

S = ∫[-1,3] {(2x + 3) - x²} dx

= ∫[-1,3] (-x² + 2x + 3) dx

= [-x³/3 + x² + 3x]₋₁³

= (-27/3 + 9 + 9) - (1/3 + 1 - 3)

= (-9 + 18) - (1/3 - 2)

= 9 - (-5/3)

= 9 + 5/3

= 32/3

【別解：1/6公式を利用】

放物線 y = ax² と直線が x = α, β で交わるとき、囲まれる面積は：

S = |a|/6 × (β - α)³

本問では a = 1、α = -1、β = 3 より：

S = 1/6 × (3 - (-1))³ = 1/6 × 64 = 32/3

【標準問題3】空間ベクトルと平面

【解説】

Step 1：平面上のベクトルを求める

→AB = (-1, 2, 0)

→AC = (-1, 0, 3)

Step 2：法線ベクトルを求める（外積を利用）

→n = →AB × →AC

= (2×3 - 0×0, 0×(-1) - (-1)×3, (-1)×0 - 2×(-1))

= (6, 3, 2)

Step 3：平面の方程式

法線ベクトル (6, 3, 2)、通過点 A(1, 0, 0) より：

6(x - 1) + 3(y - 0) + 2(z - 0) = 0

6x + 3y + 2z - 6 = 0

または 6x + 3y + 2z = 6

Step 4：垂線の足Hを求める

原点Oから平面への垂線は、法線ベクトルに平行なので：

H = t(6, 3, 2)（tは実数）

HはH平面上にあるので：

6(6t) + 3(3t) + 2(2t) = 6

36t + 9t + 4t = 6

49t = 6

t = 6/49

よって：

H = (36/49, 18/49, 12/49)

【標準問題4】数列の和

【解説】

（1）Σ[k=1 to n] k・2^k（等比×等差型）

S = 1・2 + 2・2² + 3・2³ + ... + n・2ⁿ とおきます。

「ずらし引き算法」を使います：

S = 1・2 + 2・2² + 3・2³ + ... + n・2ⁿ

2S = 1・2² + 2・2³ + 3・2⁴ + ... + n・2^(n+1)

S - 2S を計算：

-S = 2 + 2² + 2³ + ... + 2ⁿ - n・2^(n+1)

-S = 2(2ⁿ - 1)/(2 - 1) - n・2^(n+1)

-S = 2^(n+1) - 2 - n・2^(n+1)

-S = (1 - n)・2^(n+1) - 2

S = (n - 1)・2^(n+1) + 2

（2）Σ[k=1 to n] 1/{k(k+1)}（部分分数分解）

部分分数分解を行います：

1/{k(k+1)} = 1/k - 1/(k+1)

よって：

Σ[k=1 to n] 1/{k(k+1)}

= Σ[k=1 to n] (1/k - 1/(k+1))

= (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/n - 1/(n+1))

= 1 - 1/(n+1)　（中間項が打ち消し合う：望遠鏡級数）

= n/(n+1)

【標準問題5】条件付き確率

【解説】

（1）全事象の確率（全確率の公式）

P(不良品) = P(Aで製造)×P(不良品|A) + P(Bで製造)×P(不良品|B) + P(Cで製造)×P(不良品|C)

= 0.50×0.01 + 0.30×0.02 + 0.20×0.03

= 0.005 + 0.006 + 0.006

= 0.017

（2）ベイズの定理

P(A|不良品) = P(Aで製造かつ不良品) / P(不良品)

= {P(Aで製造)×P(不良品|A)} / P(不良品)

= (0.50×0.01) / 0.017

= 0.005 / 0.017

= 5/17

【標準問題6】複素数平面と軌跡

【解説】

z = x + yi（x, y は実数）とおきます。

|z - 2| = |(x - 2) + yi| = √{(x - 2)² + y²}

|z + 2i| = |x + (y + 2)i| = √{x² + (y + 2)²}

条件より：

√{(x - 2)² + y²} = √{x² + (y + 2)²}

両辺を2乗：

(x - 2)² + y² = x² + (y + 2)²

x² - 4x + 4 + y² = x² + y² + 4y + 4

-4x = 4y

y = -x

【幾何学的解釈】

|z - 2| は点zから点2（実軸上の点(2, 0)）までの距離

|z + 2i| は点zから点-2i（虚軸上の点(0, -2)）までの距離

これらが等しいということは、点zは2点 (2, 0) と (0, -2) から等距離にある点、すなわち2点の垂直二等分線上にあることを意味します。

【標準問題7】置換積分法

【解説】

【方法1：置換積分】

t = 1 - x² とおくと、dt = -2x dx より x dx = -dt/2

積分範囲の変換：

x = 0 のとき t = 1

x = 1 のとき t = 0

∫[0,1] x√(1 - x²) dx = ∫[1,0] √t・(-1/2) dt

= (1/2)∫[0,1] √t dt

= (1/2)∫[0,1] t^(1/2) dt

= (1/2)・[t^(3/2)/(3/2)]₀¹

= (1/2)・(2/3)・[t^(3/2)]₀¹

= (1/3)・(1 - 0)

= 1/3

【方法2：三角関数置換】

x = sin θ とおくと、dx = cos θ dθ、√(1 - x²) = cos θ

x = 0 のとき θ = 0、x = 1 のとき θ = π/2

∫[0,1] x√(1 - x²) dx = ∫[0,π/2] sin θ・cos θ・cos θ dθ

= ∫[0,π/2] sin θ cos² θ dθ

= [-cos³θ/3]₀^(π/2)

= 0 - (-1/3) = 1/3

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【標準問題7】置換積分法（続き）

【標準問題8】部分積分法

【解説】

部分積分の公式：∫f'g dx = fg - ∫fg' dx

f' = e^x、g = x とおくと、f = e^x、g' = 1

∫x・e^x dx = x・e^x - ∫e^x・1 dx

= x・e^x - e^x + C

= e^x(x - 1) + C

よって：

∫[0,1] x・e^x dx = [e^x(x - 1)]₀¹

= e¹(1 - 1) - e⁰(0 - 1)

= 0 - (-1)

= 1

【標準問題9】回転体の体積

【解説】

回転体の体積の公式：V = π∫[a,b] {f(x)}² dx

V = π∫[0,π] sin²x dx

半角の公式を利用：sin²x = (1 - cos 2x)/2

V = π∫[0,π] (1 - cos 2x)/2 dx

= (π/2)∫[0,π] (1 - cos 2x) dx

= (π/2)[x - (sin 2x)/2]₀^π

= (π/2){(π - 0) - (0 - 0)}

= (π/2)・π

= π²/2

【標準問題10】数学的帰納法

【解説】

【Ⅰ】n = 1 のとき

（左辺）= 1² = 1

（右辺）= 1・2・3/6 = 6/6 = 1

よって、n = 1 のとき等式は成り立つ。

【Ⅱ】n = k のとき成り立つと仮定する

すなわち、1² + 2² + ... + k² = k(k+1)(2k+1)/6 ...(*)　を仮定する。

n = k + 1 のとき成り立つことを示す。

1² + 2² + ... + k² + (k+1)²

= k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)²　（仮定(*)を使用）

= (k+1){k(2k+1)/6 + (k+1)}

= (k+1){k(2k+1) + 6(k+1)}/6

= (k+1)(2k² + k + 6k + 6)/6

= (k+1)(2k² + 7k + 6)/6

= (k+1)(k+2)(2k+3)/6

= (k+1){(k+1)+1}{2(k+1)+1}/6

これは n = k + 1 のときの右辺と一致する。

【Ⅲ】結論

【Ⅰ】、【Ⅱ】より、すべての自然数nに対して等式が成り立つ。

入試レベルの実戦問題（10問）

いよいよ入試本番レベルの問題です。筑波大学理工学群の二次試験で出題されるような、思考力と計算力が問われる問題を解いていきましょう。

【実戦問題1】微分法と不等式の証明

【解説】

f(x) = e^x - 1 - x - x²/2 とおき、x > 0 で f(x) > 0 を示します。

Step 1：微分を計算

f'(x) = e^x - 1 - x

f''(x) = e^x - 1

Step 2：f''(x) の符号を調べる

x > 0 のとき、e^x > e⁰ = 1 なので f''(x) = e^x - 1 > 0

よって、f'(x) は x > 0 で単調増加。

Step 3：f'(x) の符号を調べる

f'(0) = e⁰ - 1 - 0 = 0

f'(x) は x > 0 で単調増加し、f'(0) = 0 なので、x > 0 のとき f'(x) > 0

よって、f(x) は x > 0 で単調増加。

Step 4：f(x) の符号を調べる

f(0) = e⁰ - 1 - 0 - 0 = 0

f(x) は x > 0 で単調増加し、f(0) = 0 なので、x > 0 のとき f(x) > 0

したがって、x > 0 のとき e^x - 1 - x - x²/2 > 0

すなわち、e^x > 1 + x + x²/2

【実戦問題2】定積分で表された関数

【解説】

（1）f(x) を求める

被積分関数を展開します：

f(x) = ∫[0,x] (x - t)e^t dt = ∫[0,x] xe^t dt - ∫[0,x] te^t dt

第1項：∫[0,x] xe^t dt = x[e^t]₀^x = x(e^x - 1)

第2項：∫[0,x] te^t dt（部分積分を使用）

∫te^t dt = te^t - ∫e^t dt = te^t - e^t + C = e^t(t - 1) + C

∫[0,x] te^t dt = [e^t(t - 1)]₀^x = e^x(x - 1) - e⁰(0 - 1) = e^x(x - 1) + 1

よって：

f(x) = x(e^x - 1) - {e^x(x - 1) + 1}

= xe^x - x - xe^x + e^x - 1

= e^x - x - 1

（2）極値を求める

f(x) = e^x - x - 1

f'(x) = e^x - 1

f'(x) = 0 とすると：e^x = 1 より x = 0

x < 0 のとき e^x < 1 なので f'(x) < 0

x > 0 のとき e^x > 1 なので f'(x) > 0

よって、x = 0 で極小値をとる。

極小値：f(0) = e⁰ - 0 - 1 = 0

【実戦問題3】媒介変数表示と面積

【解説】

媒介変数表示された曲線で囲まれた面積は、次の公式で求められます：

S = (1/2)|∫[0,2π] (x・dy/dθ - y・dx/dθ) dθ|

Step 1：dx/dθ と dy/dθ を計算

dx/dθ = -2sin θ - 2sin 2θ

dy/dθ = 2cos θ + 2cos 2θ

Step 2：x・dy/dθ - y・dx/dθ を計算

x・dy/dθ = (2cos θ + cos 2θ)(2cos θ + 2cos 2θ)

= 4cos²θ + 4cos θ cos 2θ + 2cos 2θ cos θ + 2cos²2θ

= 4cos²θ + 6cos θ cos 2θ + 2cos²2θ

y・dx/dθ = (2sin θ + sin 2θ)(-2sin θ - 2sin 2θ)

= -4sin²θ - 4sin θ sin 2θ - 2sin 2θ sin θ - 2sin²2θ

= -4sin²θ - 6sin θ sin 2θ - 2sin²2θ

x・dy/dθ - y・dx/dθ

= 4cos²θ + 6cos θ cos 2θ + 2cos²2θ + 4sin²θ + 6sin θ sin 2θ + 2sin²2θ

= 4(cos²θ + sin²θ) + 6(cos θ cos 2θ + sin θ sin 2θ) + 2(cos²2θ + sin²2θ)

= 4 + 6cos(2θ - θ) + 2

= 6 + 6cos θ

Step 3：積分を計算

S = (1/2)|∫[0,2π] (6 + 6cos θ) dθ|

= (1/2)|[6θ + 6sin θ]₀^(2π)|

= (1/2)|12π + 0 - 0|

= 6π

【実戦問題4】漸化式と極限

【解説】

（1）bₙ₊₁ を bₙ で表す

aₙ₊₁ = √(2aₙ) = (2aₙ)^(1/2)

両辺の log₂ をとると：

log₂ aₙ₊₁ = (1/2)log₂(2aₙ)

bₙ₊₁ = (1/2)(log₂ 2 + log₂ aₙ)

bₙ₊₁ = (1/2)(1 + bₙ)

bₙ₊₁ = (1/2)bₙ + 1/2

（2）一般項 aₙ を求める

bₙ₊₁ = (1/2)bₙ + 1/2 を解きます。

特性方程式：α = (1/2)α + 1/2 より α = 1

bₙ₊₁ - 1 = (1/2)(bₙ - 1)

cₙ = bₙ - 1 とおくと、cₙ₊₁ = (1/2)cₙ

これは公比 1/2 の等比数列。

c₁ = b₁ - 1 = log₂ a₁ - 1 = log₂ 2 - 1 = 1 - 1 = 0

よって cₙ = 0・(1/2)^(n-1) = 0

bₙ = cₙ + 1 = 1

したがって：

log₂ aₙ = 1

aₙ = 2（すべての n で定数）

（3）極限を求める

aₙ = 2（定数）なので：

lim[n→∞] aₙ = 2

【実戦問題5】確率と漸化式

【解説】

（1）p₁、p₂、p₃ を求める

偶数が出る確率 = 奇数が出る確率 = 1/2

p₁：1回投げて原点にいるためには、動かないことが必要だが、必ず±1移動するので、p₁ = 0

p₂：2回投げて原点に戻るには、「偶数→奇数」または「奇数→偶数」

p₂ = (1/2)(1/2) + (1/2)(1/2) = 1/2

p₃：3回投げて原点にいるには、合計移動量が0である必要がある。

偶数k回、奇数(3-k)回として、k - (3-k) = 0 より k = 3/2（整数にならない）

よって p₃ = 0

（2）漸化式を立てる

n+2回目に原点にいるのは：

・n回目に原点にいて、その後「+1, -1」または「-1, +1」と移動

・n回目に+2の位置にいて、その後「-1, -1」と移動

・n回目に-2の位置にいて、その後「+1, +1」と移動

ただし、より簡単な考え方として、n回目の位置をXₙとすると、Xₙは必ず偶数（nが偶数のとき）または奇数（nが奇数のとき）です。

nが奇数のとき、Xₙは奇数なので原点にいることは不可能 → pₙ = 0（nが奇数）

nが偶数のとき、n = 2m とすると：

原点にいる = 偶数m回、奇数m回出る

p₂ₘ = ₂ₘCₘ(1/2)^(2m)

漸化式：

pₙ₊₂ = (1/2)pₙ₊₁ + (1/4)(1 - pₙ)...ではなく、直接求めた方が簡単です。

（3）一般項 pₙ

nが奇数のとき：pₙ = 0

nが偶数のとき（n = 2m）：

2m回投げて偶数がm回、奇数がm回出る確率

p₂ₘ = ₂ₘCₘ(1/2)^(2m) = ₂ₘCₘ/4^m

【実戦問題6】空間ベクトルと四面体

【解説】

（1）→OM を求める

MはBCの中点なので：

→OM = (→OB + →OC)/2 = (→b + →c)/2

（2）→PM を求める

PはOAを 2:1 に内分するので：

→OP = (2/3)→OA = (2/3)→a

→PM = →OM - →OP = (→b + →c)/2 - (2/3)→a

= -(2/3)→a + (1/2)→b + (1/2)→c

（3）交点Qを求める

直線PM上の点は →OP + t→PM（tは実数）と表せます：

→OQ = (2/3)→a + t{-(2/3)→a + (1/2)→b + (1/2)→c}

= (2/3 - 2t/3)→a + (t/2)→b + (t/2)→c

= (2/3)(1 - t)→a + (t/2)→b + (t/2)→c

Qが平面ABC上にある条件は、係数の和が1：

(2/3)(1 - t) + t/2 + t/2 = 1

(2/3)(1 - t) + t = 1

2/3 - 2t/3 + t = 1

2/3 + t/3 = 1

t/3 = 1/3

t = 1

t = 1 を代入：

→OQ = (2/3)(1 - 1)→a + (1/2)→b + (1/2)→c

= (1/2)→b + (1/2)→c

= (→b + →c)/

【実戦問題6】空間ベクトルと四面体（続き）

t = 1 を代入：

→OQ = (2/3)(1 - 1)→a + (1/2)→b + (1/2)→c

= (1/2)→b + (1/2)→c

= (→b + →c)/2

つまり、Q = M となります。これは直線PMと平面ABCの交点がM自身であることを示しています。

【実戦問題7】複素数と図形

【解説】

Step 1：8i を極形式で表す

8i = 8(cos 90° + i sin 90°) = 8(cos π/2 + i sin π/2)

Step 2：z³ = 8i を解く

z = r(cos θ + i sin θ) とおくと、

z³ = r³(cos 3θ + i sin 3θ) = 8(cos π/2 + i sin π/2)

よって：

r³ = 8 → r = 2

3θ = π/2 + 2kπ（kは整数）→ θ = π/6 + 2kπ/3

k = 0, 1, 2 のとき異なる解が得られます：

k = 0：θ = π/6

k = 1：θ = π/6 + 2π/3 = 5π/6

k = 2：θ = π/6 + 4π/3 = 3π/2

Step 3：各解を求める

z₁ = 2(cos π/6 + i sin π/6) = 2(√3/2 + i/2) = √3 + i

z₂ = 2(cos 5π/6 + i sin 5π/6) = 2(-√3/2 + i/2) = -√3 + i

z₃ = 2(cos 3π/2 + i sin 3π/2) = 2(0 - i) = -2i

Step 4：三角形の面積を求める

3点は原点を中心とする半径2の円上にあり、互いに120°の角度をなします。

これは正三角形です。

正三角形の一辺の長さ：

|z₁ - z₂| = |√3 + i - (-√3 + i)| = |2√3| = 2√3

正三角形の面積（一辺aのとき S = √3a²/4）：

S = √3(2√3)²/4 = √3 × 12/4 = 3√3

【実戦問題8】積分と不等式

【解説】

方針：log(n+1) - log n = ∫[n, n+1] (1/x) dx と表し、積分の評価を行う。

Step 1：積分表示

log(n+1) - log n = [log x]ₙ^(n+1) = ∫[n, n+1] (1/x) dx

Step 2：被積分関数の評価

n ≤ x ≤ n+1 の範囲で、1/x は単調減少なので：

1/(n+1) ≤ 1/x ≤ 1/n

Step 3：積分の評価

各辺を n から n+1 まで積分すると：

∫[n, n+1] 1/(n+1) dx ≤ ∫[n, n+1] (1/x) dx ≤ ∫[n, n+1] (1/n) dx

各積分を計算：

左辺 = 1/(n+1) × 1 = 1/(n+1)

中辺 = log(n+1) - log n

右辺 = 1/n × 1 = 1/n

よって：

1/(n+1) ≤ log(n+1) - log n ≤ 1/n

Step 4：等号が成り立たないことを確認

1/x は狭義単調減少なので、n < x < n+1 で 1/(n+1) < 1/x < 1/n（等号なし）

したがって、積分についても等号は成立しません。

【実戦問題9】二次曲線と接線

【解説】

Step 1：接線の方程式を求める

楕円 x²/a² + y²/b² = 1 上の点(x₀, y₀)における接線は：

xx₀/a² + yy₀/b² = 1

本問では a² = 4, b² = 1, (x₀, y₀) = (2cos θ, sin θ) なので：

x(2cos θ)/4 + y(sin θ)/1 = 1

(x cos θ)/2 + y sin θ = 1

Step 2：座標軸との交点を求める

x軸との交点（y = 0）：

(x cos θ)/2 = 1 → x = 2/cos θ

交点A：(2/cos θ, 0)

y軸との交点（x = 0）：

y sin θ = 1 → y = 1/sin θ

交点B：(0, 1/sin θ)

Step 3：三角形の面積を求める

原点O、点A、点Bで作る三角形の面積S：

S = (1/2) × (2/cos θ) × (1/sin θ)

= 1/(sin θ cos θ)

= 2/(2 sin θ cos θ)

= 2/sin 2θ

Step 4：最小値を求める

0 < θ < π/2 より、0 < 2θ < π

この範囲で sin 2θ は θ = π/4 のとき最大値1をとる。

S = 2/sin 2θ なので、sin 2θ が最大のとき S は最小。

したがって、θ = π/4 のとき：

S_min = 2/1 = 2

【実戦問題10】極限と無限級数

【解説】

（1）区分求積法

与式 = lim[n→∞] (1/n)Σ[k=1 to n] sin(kπ/n)

これは区分求積法の形です。f(x) = sin(πx)、区間[0, 1]を n等分すると：

lim[n→∞] (1/n)Σ[k=1 to n] f(k/n) = ∫[0,1] f(x) dx

よって：

= ∫[0,1] sin(πx) dx

= [-cos(πx)/π]₀¹

= (-cos π)/π - (-cos 0)/π

= (-(-1))/π - (-1)/π

= 1/π + 1/π

= 2/π

（2）ロピタルの定理または展開を利用

e^x と e^(-x) のマクローリン展開：

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ...

e^(-x) = 1 - x + x²/2! - x³/3! + x⁴/4! - ...

e^x - e^(-x) = 2x + 2x³/3! + 2x⁵/5! + ...

= 2x + x³/3 + x⁵/60 + ...

よって：

e^x - e^(-x) - 2x = x³/3 + x⁵/60 + ...

(e^x - e^(-x) - 2x)/x³ = 1/3 + x²/60 + ...

x → 0 のとき：

lim[x→0] (e^x - e^(-x) - 2x)/x³ = 1/3

よくある間違いと対処法

筑波大学理工学群の入試で、多くの受験生がつまずきやすいポイントと、その対処法をまとめました。これらを意識することで、無駄な失点を防ぐことができます。

間違い1：微分と積分の符号ミス

間違い2：置換積分での積分範囲の変換忘れ

間違い3：ベクトルの内積と外積の混同

間違い4：漸化式の特性方程式の使い方

間違い5：確率における「少なくとも」の処理

間違い6：極限の計算における不定形の処理

間違い7：複素数平面での回転の向き

間違い8：面積の符号と絶対値

この単元の大学入試での頻出パターン一覧

筑波大学理工学群の入試で特に頻出のパターンを分野別にまとめました。これらのパターンを確実に解けるようにすることが合格への近道です。

【微分法】

【積分法】

<h

【ベクトル】

【数列】

【確率】

【複素数平面】

【二次曲線】

筑波大学理工学群 数学対策のまとめ

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最後に

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皆さんの合格を心よりお祈りしています。一緒に頑張りましょう！