【昭和大学 数学 傾向と対策】医学部｜藤原進之介が徹底解説

問題

放物線 C: y = x² と直線 ℓ: y = 2x + 3 について、次の問いに答えよ。

(1) C と ℓ の交点の座標を求めよ。

(2) C と ℓ で囲まれた部分の面積を求めよ。

(3) (2)で求めた部分を x 軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ。

解答

(1) x² = 2x + 3 を解く。

x² - 2x - 3 = 0

(x - 3)(x + 1) = 0

x = 3, -1

対応する y の値：

x = 3 のとき y = 9

x = -1 のとき y = 1

よって、交点は (-1, 1), (3, 9)

(2) -1 ≤ x ≤ 3 において、ℓ が C より上にあるから

S = ∫₋₁³ {(2x + 3) - x²} dx

= ∫₋₁³ (-x² + 2x + 3) dx

= [-x³/3 + x² + 3x]₋₁³

= (-9 + 9 + 9) - (1/3 + 1 - 3)

= 9 - (-5/3)

= 9 + 5/3

= 32/3

(3) 回転体の体積は

V = π∫₋₁³ {(2x + 3)² - (x²)²} dx

= π∫₋₁³ {(4x² + 12x + 9) - x⁴} dx

= π∫₋₁³ (-x⁴ + 4x² + 12x + 9) dx

= π[-x⁵/5 + 4x³/3 + 6x² + 9x]₋₁³

x = 3 のとき：-243/5 + 36 + 54 + 27 = -243/5 + 117 = (-243 + 585)/5 = 342/5

x = -1 のとき：1/5 - 4/3 + 6 - 9 = 1/5 - 4/3 - 3 = (3 - 20 - 45)/15 = -62/15

V = π{342/5 - (-62/15)} = π{342/5 + 62/15} = π{1026/15 + 62/15} = π · 1088/15

= 1088π/15

問題

曲線 C: y = e^x と x 軸、y 軸、および直線 x = 1 で囲まれた部分を y 軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ。

解答

y 軸のまわりの回転体の体積は、シェル法（円筒殻法）を用いる。

V = 2π∫₀¹ x · e^x dx

部分積分を適用する。∫ x e^x dx において

u = x, dv = e^x dx とすると

du = dx, v = e^x

∫ x e^x dx = x e^x - ∫ e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C

よって

V = 2π[e^x(x - 1)]₀¹

= 2π{e¹(1 - 1) - e⁰(0 - 1)}

= 2π{0 - (-1)}

= 2π

問題

赤球3個、白球4個が入った袋から、球を1個ずつ取り出す。取り出した球は袋に戻さないものとする。

(1) 3回目に初めて赤球が出る確率を求めよ。

(2) 4回目までに赤球が2個以上出る確率を求めよ。

解答

(1) 3回目に初めて赤球が出るということは、1回目と2回目が白球、3回目が赤球である。

P = 4/7 × 3/6 × 3/5 = 36/210 = 6/35

(2) 余事象を考える。

「4回目までに赤球が2個以上」の余事象は「4回目までに赤球が1個以下」

すなわち「赤球が0個」または「赤球が1個」

・赤球が0個（4回とも白球）の確率：

P₀ = 4/7 × 3/6 × 2/5 × 1/4 = 24/840 = 1/35

・赤球が1個の確率：

4回中どこで赤球が出るかで4通り

赤球が k 回目に出る確率 = (白が k-1 個出る確率) × (赤が出る確率) × (残りが白の確率)

例：1回目に赤が出る場合

3/7 × 4/6 × 3/5 × 2/4 = 72/840

対称性より、どの回に赤球が出ても同じ確率なので

P₁ = 4 × 72/840 = 288/840 = 12/35

よって求める確率は

1 - (1/35 + 12/35) = 1 - 13/35 = 22/35

問題

数直線上を動く点 P がある。P は原点からスタートし、1回の操作で確率 2/3 で正の方向に1、確率 1/3 で負の方向に1だけ移動する。n 回の操作後に P が原点にいる確率を pₙ とする。

(1) p₁, p₂, p₃ を求めよ。

(2) pₙ₊₂ を pₙ で表せ。

(3) p₄ を求めよ。

解答

(1)

・p₁：1回の操作後に原点にいるには、動かない必要がある。しかし必ず±1移動するので p₁ = 0

・p₂：2回の操作で原点に戻るには、+1と-1を1回ずつ行う必要がある。

p₂ = (2/3)(1/3) × 2 = 4/9... ではない。順序を考慮して

p₂ = (2/3)(1/3) + (1/3)(2/3) = 2/9 + 2/9 = 4/9

・p₃：3回の操作で原点に戻ることは不可能（奇数回の操作では原点に戻れない）

p₃ = 0

(2) n 回後に原点にいて、その後2回の操作で原点に戻る場合を考える。

n 回後に原点にいる確率 pₙ から、+1,-1 または -1,+1 の移動で原点に戻る。

この確率は 4/9（(1)と同様）

また、n 回後に座標 +2 または -2 にいて、そこから原点に戻ることも考える必要がある。

より正確には、pₙ が奇数なら pₙ = 0、偶数なら漸化式を導く。

n が偶数のとき、n+2 回後に原点にいる確率は：

・n 回後に原点にいて、+1,-1 または -1,+1 で戻る

・n 回後に座標 2 にいて、-1,-1 で戻る

・n 回後に座続きを作成いたします。

---

・n 回後に座標 -2 にいて、+1,+1 で戻る

n 回後に座標 2 にいる確率を qₙ、座標 -2 にいる確率を rₙ とすると

pₙ₊₂ = pₙ · (4/9) + qₙ · (1/3)² + rₙ · (2/3)²

ただし、この問題では簡略化して考えると、

pₙ₊₂ = (4/9)pₙ + (補正項)

より詳細な漸化式の導出には、座標ごとの確率を追跡する必要がある。

簡単のため、pₙ₊₂ と pₙ の関係式として

pₙ₊₂ = (4/9)pₙ + (n回後に±2にいる確率からの寄与)

(3) p₄ を直接計算する。

4回の操作で原点に戻るには、+1 が k 回、-1 が (4-k) 回で、k - (4-k) = 0、つまり k = 2

4回中2回 +1、2回 -1 を行う組み合わせは ₄C₂ = 6 通り

各々の確率は (2/3)²(1/3)² = 4/81

p₄ = 6 × 4/81 = 24/81 = 8/27

問題

ある病気の検査において、病気にかかっている人が陽性と判定される確率は 0.95、病気にかかっていない人が陰性と判定される確率は 0.90 である。この病気にかかっている人の割合が 0.01（1%）である集団において、ある人が陽性と判定されたとき、その人が実際に病気にかかっている確率を求めよ。

解答

ベイズの定理を用いる。

記号の定義：

• D：病気にかかっている事象
• D̄：病気にかかっていない事象
• +：陽性と判定される事象

与えられた条件：

• P(D) = 0.01
• P(D̄) = 0.99
• P(+|D) = 0.95（感度）
• P(-|D̄) = 0.90 より P(+|D̄) = 0.10（偽陽性率）

求めるのは P(D|+)（陽性的中率）

ベイズの定理より：

P(D|+) = P(+|D)P(D) / P(+)

ここで、P(+) = P(+|D)P(D) + P(+|D̄)P(D̄)

= 0.95 × 0.01 + 0.10 × 0.99

= 0.0095 + 0.099

= 0.1085

よって

P(D|+) = 0.0095 / 0.1085 = 95/1085 = 19/217 ≈ 0.0875

答：19/217（約8.76%）

【補足】この結果は直感に反するかもしれないが、病気の有病率が低い（1%）ため、偽陽性の人数が真の陽性者を大きく上回ることを示している。医学部入試ではこのような医療統計に関連した問題が出題されることがある。

問題

初項 a、公比 r (r ≠ 1) の等比数列 {aₙ} について、a₃ = 12、a₆ = 96 であるとき、次の問いに答えよ。

(1) a と r の値を求めよ。

(2) 初項から第 n 項までの和 Sₙ を求めよ。

(3) Sₙ > 10000 となる最小の n を求めよ。ただし、log₁₀2 = 0.3010 とする。

解答

(1) 等比数列の一般項は aₙ = a · rⁿ⁻¹

a₃ = ar² = 12 ... ①

a₆ = ar⁵ = 96 ... ②

②÷① より

r³ = 96/12 = 8

r = 2

①に代入して

a · 4 = 12

a = 3

答：a = 3, r = 2

(2) 等比数列の和の公式より

Sₙ = a(rⁿ - 1)/(r - 1) = 3(2ⁿ - 1)/(2 - 1) = 3(2ⁿ - 1)

(3) Sₙ > 10000 を解く

3(2ⁿ - 1) > 10000

2ⁿ - 1 > 10000/3

2ⁿ > 10000/3 + 1 = 10003/3 ≈ 3334.33

両辺の常用対数をとると

n log₁₀2 > log₁₀(3334.33)

n × 0.3010 > log₁₀(3334.33)

log₁₀(3334.33) = log₁₀(3.33433 × 10³) = 3 + log₁₀(3.33433) ≈ 3 + 0.523 = 3.523

n > 3.523/0.3010 ≈ 11.7

よって、n ≥ 12

検算：S₁₁ = 3(2¹¹ - 1) = 3 × 2047 = 6141 < 10000

S₁₂ = 3(2¹² - 1) = 3 × 4095 = 12285 > 10000

答：n = 12

問題

数列 {aₙ} が次の漸化式を満たすとき、一般項 aₙ を求めよ。

a₁ = 1, aₙ₊₁ = 3aₙ + 2ⁿ (n = 1, 2, 3, ...)

解答

漸化式 aₙ₊₁ = 3aₙ + 2ⁿ は「aₙ₊₁ = paₙ + f(n)」の形。

両辺を 2ⁿ⁺¹ で割ると

aₙ₊₁/2ⁿ⁺¹ = (3aₙ + 2ⁿ)/2ⁿ⁺¹ = (3/2) · aₙ/2ⁿ + 1/2

bₙ = aₙ/2ⁿ とおくと

bₙ₊₁ = (3/2)bₙ + 1/2

特性方程式：α = (3/2)α + 1/2 を解くと α = -1

よって bₙ₊₁ - (-1) = (3/2)(bₙ - (-1))

bₙ₊₁ + 1 = (3/2)(bₙ + 1)

cₙ = bₙ + 1 とおくと、cₙ₊₁ = (3/2)cₙ

これは公比 3/2 の等比数列で

c₁ = b₁ + 1 = a₁/2 + 1 = 1/2 + 1 = 3/2

cₙ = (3/2) · (3/2)ⁿ⁻¹ = (3/2)ⁿ = 3ⁿ/2ⁿ

bₙ = cₙ - 1 = 3ⁿ/2ⁿ - 1

aₙ = 2ⁿ · bₙ = 2ⁿ(3ⁿ/2ⁿ - 1) = 3ⁿ - 2ⁿ

答：aₙ = 3ⁿ - 2ⁿ

【検算】

a₁ = 3 - 2 = 1 ✓

a₂ = 9 - 4 = 5, 3a₁ + 2¹ = 3 + 2 = 5 ✓

a₃ = 27 - 8 = 19, 3a₂ + 2² = 15 + 4 = 19 ✓

問題

数列 {aₙ} が次の条件を満たすとき、一般項 aₙ を求めよ。

a₁ = 1, a₂ = 5, aₙ₊₂ = 5aₙ₊₁ - 6aₙ (n = 1, 2, 3, ...)

解答

特性方程式 x² = 5x - 6 を解く

x² - 5x + 6 = 0

(x - 2)(x - 3) = 0

x = 2, 3

よって、漸化式は以下のように変形できる：

aₙ₊₂ - 2aₙ₊₁ = 3(aₙ₊₁ - 2aₙ) ... ①

aₙ₊₂ - 3aₙ₊₁ = 2(aₙ₊₁ - 3aₙ) ... ②

①より、bₙ = aₙ₊₁ - 2aₙ とおくと

bₙ₊₁ = 3bₙ（公比3の等比数列）

b₁ = a₂ - 2a₁ = 5 - 2 = 3

bₙ = 3 · 3ⁿ⁻¹ = 3ⁿ

②より、cₙ = aₙ₊₁ - 3aₙ とおくと

cₙ₊₁ = 2cₙ（公比2の等比数列）

c₁ = a₂ - 3a₁ = 5 - 3 = 2

cₙ = 2 · 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ

bₙ - cₙ = (aₙ₊₁ - 2aₙ) - (aₙ₊₁ - 3aₙ) = aₙ

よって

aₙ = bₙ - cₙ = 3ⁿ - 2ⁿ

答：aₙ = 3ⁿ - 2ⁿ

【検算】

a₁ = 3 - 2 = 1 ✓

a₂ = 9 - 4 = 5 ✓

a₃ = 27 - 8 = 19, 5a₂ - 6a₁ = 25 - 6 = 19 ✓

問題

△OAB において、OA = 3, OB = 4, ∠AOB = 60° とする。辺 AB を 2:1 に内分する点を P とするとき、次の問いに答えよ。

(1) 内積 OA⃗ · OB⃗ を求めよ。

(2) OP⃗ を OA⃗, OB⃗ で表せ。

(3) |OP⃗| を求めよ。

(4) cos∠AOP を求めよ。

解答

(1) OA⃗ · OB⃗ = |OA⃗||OB⃗|cos∠AOB = 3 × 4 × cos60° = 12 × (1/2) = 6

(2) P は AB を 2:1 に内分するから

OP⃗ = (1 · OA⃗ + 2 · OB⃗)/(1 + 2) = (OA⃗ + 2OB⃗)/3 = (1/3)OA⃗ + (2/3)OB⃗

(3) |OP⃗|² = OP⃗ · OP⃗

= {(1/3)OA⃗ + (2/3)OB⃗} · {(1/3)OA⃗ + (2/3)OB⃗}

= (1/9)|OA⃗|² + 2 · (1/3)(2/3)OA⃗ · OB⃗ + (4/9)|OB⃗|²

= (1/9) × 9 + (4/9) × 6 + (4/9) × 16

= 1 + 24/9 + 64/9

= 1 + 88/9

= 97/9

|OP⃗| = √97/3

(4) OA⃗ · OP⃗ = OA⃗ · {(1/3)OA⃗ + (2/3)OB⃗}

= (1/3)|OA⃗|² + (2/3)OA⃗ · OB⃗

= (1/3) × 9 + (2/3) × 6

= 3 + 4 = 7

cos∠AOP = (OA⃗ · OP⃗)/(|OA⃗||OP⃗|) = 7/(3 × √97/3) = 7/√97 = 7√97/97

問題

一辺の長さが2の立方体 ABCD-EFGH において、A を原点とし、AB⃗ = b⃗, AD⃗ = d⃗, AE⃗ = e⃗ とする。辺 AE 上に点 P を AP = t (0 < t < 2) となるようにとり、3点 B, D, P を通る平面を α とする。

(1) 平面 α の方程式を t を用いて表せ。

(2) 平面 α と辺 CG の交点 Q の座標を t を用いて表せ。

(3) t = 1 のとき、四角形 BDQP の面積を求めよ。

解答

A を原点として座標を設定する。

A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(2, 2, 0), D(0, 2, 0)

E(0, 0, 2), F(2, 0, 2), G(2, 2, 2), H(0, 2, 2)

P(0, 0, t)

(1) 平面 α 上の点を (x, y, z) とすると、平面の方程式は ax + by + cz = d の形。

B(2, 0, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, t) を通るから

2a = d ... ①

2b = d ... ②

ct = d ... ③

①②より a = b = d/2

③より c = d/t

d = 2 とおくと、a = 1, b = 1, c = 2/t

平面 α の方程式：x + y + (2/t)z = 2

または tx + ty + 2z = 2t

(2) 辺 CG は C(2, 2, 0) から G(2, 2, 2) への線分。

CG 上の点は (2, 2, s) (0 ≤ s ≤ 2) と表せる。

これを平面 α の方程式に代入：

t · 2 + t · 2 + 2s = 2t

4t + 2s = 2t

2s = -2t

s = -t

0 < t < 2 のとき s < 0 となり、Q は辺 CG 上にない。

問題を再考すると、平面 α が CG と交わるのは t の値によって異なる。

辺 FG（F(2, 0, 2) から G(2, 2, 2)）を考えると、

FG 上の点は (2, u, 2) (0 ≤ u ≤ 2)

t · 2 + tu + 2 · 2 = 2t

2t + tu + 4 = 2t

tu = -4

これも負になる。辺 GH（G(2, 2, 2) から H(0, 2, 2)）を考えると、

GH 上の点は (2-v, 2, 2) (0 ≤ v ≤ 2)

t(2-v) + 2t + 4 = 2t

2t - tv + 2t + 4 = 2t

2t - tv + 4 = 0

v = (2t + 4)/t = 2 + 4/t

t = 1 のとき v = 6 で辺上にない。

【修正】平面 BDP が立方体と交わる辺を特定し直す。

t = 1 のとき、P(0, 0, 1)。

平面 α：x + y + 2z = 2

辺 EF（E(0,0,2)→F(2,0,2)）上の点 (w, 0, 2)：w + 0 + 4 = 2 → w = -2（交わらない）

辺 EH（E(0,0,2)→H(0,2,2)）上の点 (0, w, 2)：0 + w + 4 = 2 → w = -2（交わらない）

辺 BF（B(2,0,0)→F(2,0,2)）上の点 (2, 0, w)：2 + 0 + 2w = 2 → w = 0、つまり点 B

辺 DH（D(0,2,0)→H(0,2,2)）上の点 (0, 2, w)：0 + 2 + 2w = 2 → w = 0、つまり点 D

よって t = 1 のとき、断面は三角形 BDP となる。

(3) t = 1 のとき、断面は三角形 BDP。

B(2, 0, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 1)

BP⃗ = (-2, 0, 1), BD⃗ = (-2, 2, 0)

三角形 BDP の面積 = (1/2)|BP⃗ × BD⃗|

BP⃗ × BD⃗ = |i j k |

|-2 0 1 |

|-2 2 0 |

= i(0·0 - 1·2) - j((-2)·0 - 1·(-2)) + k((-2)·2 - 0·(-2))

= i(-2) - j(2) + k(-4)

= (-2, -2, -4)

|BP⃗ × BD⃗| = √(4 + 4 + 16) = √24 = 2√6

面積 = (1/2) × 2√6 = √6

問題

△ABC において、AB = 5, BC = 6, CA = 7 とする。

(1) cos A の値を求めよ。

(2) △ABC の面積を求めよ。

(3) 内心を I とするとき、AI⃗ を AB⃗, AC⃗ で表せ。

解答

(1) 余弦定理より

BC² = AB² + CA² - 2·AB·CA·cosA

36 = 25 + 49 - 2·5·7·cosA

36 = 74 - 70cosA

70cosA = 38

cosA = 19/35

(2) sinA = √(1 - cos²A) = √(1 - 361/1225) = √(864/1225) = √864/35 = 続きを作成いたします。

---

sinA = √(1 - 361/1225) = √(864/1225) = √864/35

√864 = √(144 × 6) = 12√6

よって sinA = 12√6/35

△ABC の面積 = (1/2)·AB·CA·sinA = (1/2)·5·7·(12√6/35) = (1/2)·(5·7·12√6)/35

= (1/2)·12√6 = 6√6

(3) 内心 I は、各辺の長さを係数として頂点の位置ベクトルの重み付き平均で表される。

a = BC = 6, b = CA = 7, c = AB = 5 とすると

AI⃗ = (a·AA⃗ + b·AB⃗ + c·AC⃗)/(a + b + c) - AA⃗... ではなく、

内心の位置ベクトルは

OI⃗ = (a·OA⃗ + b·OB⃗ + c·OC⃗)/(a + b + c)

A を原点として考えると OA⃗ = 0⃗ なので

AI⃗ = (a·0⃗ + b·AB⃗ + c·AC⃗)/(a + b + c)

= (6·0⃗ + 7·AB⃗ + 5·AC⃗)/(6 + 7 + 5)

= (7AB⃗ + 5AC⃗)/18

答：AI⃗ = (7/18)AB⃗ + (5/18)AC⃗

問題

(1) sin15°, cos15°, tan15° の値をそれぞれ求めよ。

(2) △ABC において、A = 15°, B = 120°, a = √6 - √2 のとき、辺 b, c の長さを求めよ。

解答

(1) 15° = 45° - 30° を利用する。

cos15° = cos(45° - 30°) = cos45°cos30° + sin45°sin30°

= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2)

= √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4

sin15° = sin(45° - 30°) = sin45°cos30° - cos45°sin30°

= (√2/2)(√3/2) - (√2/2)(1/2)

= √6/4 - √2/4 = (√6 - √2)/4

tan15° = sin15°/cos15° = (√6 - √2)/(√6 + √2)

分母を有理化：

= (√6 - √2)²/[(√6 + √2)(√6 - √2)]

= (6 - 2√12 + 2)/(6 - 2)

= (8 - 4√3)/4

= 2 - √3

(2) C = 180° - 15° - 120° = 45°

正弦定理より

a/sinA = b/sinB = c/sinC

(√6 - √2)/sin15° = b/sin120° = c/sin45°

sin15° = (√6 - √2)/4 より

(√6 - √2)/[(√6 - √2)/4] = 4

よって

b = 4·sin120° = 4·(√3/2) = 2√3

c = 4·sin45° = 4·(√2/2) = 2√2

問題

n を正の整数とするとき、次の問いに答えよ。

(1) n² + n は必ず2の倍数であることを示せ。

(2) n³ - n は必ず6の倍数であることを示せ。

(3) n⁵ - n が30の倍数であることを示せ。

解答

(1) n² + n = n(n + 1)

n と n+1 は連続する2つの整数であるから、どちらか一方は必ず偶数。

よって n(n+1) は2の倍数である。 ■

(2) n³ - n = n(n² - 1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)

これは連続する3つの整数の積である。

連続する3つの整数には必ず2の倍数が少なくとも1つ、3の倍数がちょうど1つ含まれる。

したがって (n-1)n(n+1) は 2×3 = 6 の倍数である。 ■

(3) n⁵ - n = n(n⁴ - 1) = n(n² - 1)(n² + 1) = n(n-1)(n+1)(n² + 1)

= (n-1)n(n+1)(n² + 1)

30 = 2 × 3 × 5 であるから、2, 3, 5 の倍数であることを示せばよい。

2の倍数： (n-1)n(n+1) は連続3整数の積で、2の倍数。

3の倍数： (n-1)n(n+1) は連続3整数の積で、3の倍数。

5の倍数： n を5で割った余りで場合分けする。

・n ≡ 0 (mod 5) のとき：n が5の倍数

・n ≡ 1 (mod 5) のとき：n - 1 ≡ 0 (mod 5) で5の倍数

・n ≡ 2 (mod 5) のとき：n² + 1 ≡ 4 + 1 = 5 ≡ 0 (mod 5) で5の倍数

・n ≡ 3 (mod 5) のとき：n² + 1 ≡ 9 + 1 = 10 ≡ 0 (mod 5) で5の倍数

・n ≡ 4 (mod 5) のとき：n + 1 ≡ 0 (mod 5) で5の倍数

いずれの場合も n⁵ - n は5の倍数。

以上より、n⁵ - n は 2, 3, 5 すべての倍数、すなわち30の倍数である。 ■

【別解】フェルマーの小定理より、素数 p に対して n^p ≡ n (mod p)

p = 5 のとき n⁵ ≡ n (mod 5)、すなわち n⁵ - n は5の倍数。

問題

次の問いに答えよ。ただし、log₁₀2 = 0.3010, log₁₀3 = 0.4771 とする。

(1) log₁₀5, log₁₀6 の値を求めよ。

(2) 2^100 は何桁の数か求めよ。

(3) 2^100 の最高位の数字を求めよ。

解答

(1)

log₁₀5 = log₁₀(10/2) = log₁₀10 - log₁₀2 = 1 - 0.3010 = 0.6990

log₁₀6 = log₁₀(2 × 3) = log₁₀2 + log₁₀3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781

(2) n 桁の数 N は 10^(n-1) ≤ N < 10^n を満たす。

log₁₀(2^100) = 100 log₁₀2 = 100 × 0.3010 = 30.10

よって 10^30 < 2^100 < 10^31

答：31桁

(3) log₁₀(2^100) = 30.10 より

2^100 = 10^30.10 = 10^30 × 10^0.10

10^0.10 の値を求める。

log₁₀(10^0.10) = 0.10

10^0.10 = x とおくと log₁₀x = 0.10

log₁₀2 = 0.3010 より log₁₀(2^(1/3)) = 0.3010/3 ≈ 0.1003 ≈ 0.10

よって 10^0.10 ≈ 2^(1/3) = ∛2 ≈ 1.26

より正確には：

log₁₀(1.2) = log₁₀(6/5) = log₁₀6 - log₁₀5 = 0.7781 - 0.6990 = 0.0791

log₁₀(1.3) = log₁₀(13/10) ≈ log₁₀13 - 1

log₁₀(1.25) = log₁₀(5/4) = log₁₀5 - log₁₀4 = 0.6990 - 0.6020 = 0.0970

log₁₀(1.26) ≈ 0.10

1 < 10^0.10 < 2 であるから、最高位の数字は 1

問題

関数 f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1 について、次の問いに答えよ。

(1) f(x) の極値を求めよ。

(2) 曲線 y = f(x) の変曲点の座標を求めよ。

(3) 曲線 y = f(x) と変曲点における接線で囲まれた部分の面積を求めよ。

解答

(1) f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)

f'(x) = 0 のとき x = 1, 3

増減表：

x	... 1 ... 3 ...
f'(x)	+ 0 - 0 +
f(x)	↗ 極大 ↘ 極小 ↗

f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5（極大値）

f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1（極小値）

答：x = 1 で極大値 5、x = 3 で極小値 1

(2) f''(x) = 6x - 12 = 6(x - 2)

f''(x) = 0 のとき x = 2

x < 2 で f''(x) 2 で f''(x) > 0（下に凸）

よって x = 2 で凹凸が変わるから、変曲点。

f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3

答：変曲点 (2, 3)

(3) 変曲点 (2, 3) における接線の傾き：

f'(2) = 3(2-1)(2-3) = 3·1·(-1) = -3

接線の方程式：y - 3 = -3(x - 2)、すなわち y = -3x + 9

曲線と接線の交点を求める：

x³ - 6x² + 9x + 1 = -3x + 9

x³ - 6x² + 12x - 8 = 0

(x - 2)³ = 0

x = 2（3重解）

交点が1つしかないため、曲線と接線で囲まれた部分は存在しない。

【再考】3次関数の変曲点における接線は、その点で曲線と3重に接するため、囲む領域は作らない。

問題の意図を「極大点と極小点を結ぶ直線」と解釈し直す場合：

極大点 (1, 5) と極小点 (3, 1) を結ぶ直線：

傾き = (1 - 5)/(3 - 1) = -2

y - 5 = -2(x - 1)、y = -2x + 7

曲線と直線の交点：

x³ - 6x² + 9x + 1 = -2x + 7

x³ - 6x² + 11x - 6 = 0

(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0

x = 1, 2, 3

面積 = ∫₁² {f(x) - (-2x + 7)} dx + ∫₂³ {(-2x + 7) - f(x)} dx

= ∫₁² (x³ - 6x² + 11x - 6) dx - ∫₂³ (x³ - 6x² + 11x - 6) dx

g(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3) とおく。

∫₁² g(x) dx = [x⁴/4 - 2x³ + 11x²/2 - 6x]₁²

= (4 - 16 + 22 - 12) - (1/4 - 2 + 11/2 - 6)

= -2 - (-13/4) = -2 + 13/4 = 5/4... これは正しくない。

1 < x 0、2 < x < 3 で g(x) < 0 を確認。

g(1.5) = (0.5)(-0.5)(-1.5) = 0.375 > 0 ✓

g(2.5) = (1.5)(0.5)(-0.5) = -0.375 < 0 ✓

面積 = |∫₁² g(x) dx| + |∫₂³ g(x) dx|

対称性より |∫₁² g(x) dx| = |∫₂³ g(x) dx|

∫₁² (x-1)(x-2)(x-3) dx を計算。

t = x - 2 とおくと、x = 1 で t = -1、x = 2 で t = 0

∫₋₁⁰ (t+1)(t)(t-1) dt = ∫₋₁⁰ t(t² - 1) dt = ∫₋₁⁰ (t³ - t) dt

= [t⁴/4 - t²/2]₋₁⁰ = 0 - (1/4 - 1/2) = 1/4

面積 = 1/4 + 1/4 = 1/2

問題

放物線 C₁: y = x² と放物線 C₂: y = -x² + 4x について、次の問いに答えよ。

(1) C₁ と C₂ の交点の座標を求めよ。

(2) C₁ と C₂ で囲まれた部分の面積を求めよ。

解答

(1) x² = -x² + 4x を解く。

2x² - 4x = 0

2x(x - 2) = 0

x = 0, 2

x = 0 のとき y = 0

x = 2 のとき y = 4

答：(0, 0), (2, 4)

(2) 0 ≤ x ≤ 2 において、C₂ が C₁ より上にある（確認：x = 1 で C₁: y = 1、C₂: y = 3）

S = ∫₀² {(-x² + 4x) - x²} dx = ∫₀² (-2x² + 4x) dx

= [-2x³/3 + 2x²]₀²

= -16/3 + 8

= -16/3 + 24/3

= 8/3

問題

A, B の2人がゲームを行う。各回で A が勝つ確率は 1/3、B が勝つ確率は 2/3 である。先に2勝した方を優勝者とするとき、次の問いに答えよ。

(1) ちょうど2回で優勝者が決まる確率を求めよ。

(2) ちょうど3回で優勝者が決まる確率を求めよ。

(3) A が優勝する確率を求めよ。

解答

(1) 2回で決まるのは、AA または BB の場合。

P(AA) = (1/3)² = 1/9

P(BB) = (2/3)² = 4/9

答：1/9 + 4/9 = 5/9

(2) 3回で決まるのは、1勝1敗の後にどちらかが勝つ場合。

2回目終了時点で1勝1敗となる確率：

P(AB) + P(BA) = (1/3)(2/3) + (2/3)(1/3) = 4/9

3回目で決着がつく確率は 1（必ず決まる）

答：4/9

(3) A が優勝するのは以下の場合：

・AA（2回で A 優勝）：(1/3)² = 1/9

・ABA（3回で A 優勝）：(1/3)(2/3)(1/3) = 2/27

・BAA（3回で A 優勝）：(2/3)(1/3)(1/3) = 2/27

A が優勝する確率 = 1/9 + 2/27 + 2/27 = 3/27 + 2/27 + 2/27 = 7/27

問題

次の和を求めよ。

(1) Σₖ₌₁ⁿ k·2^k

(2) Σₖ₌₁ⁿ k²

(3) Σₖ₌₁ⁿ 1/(k(k+1)(k+2))

解答

(1) S = Σₖ₌₁ⁿ k·2^k = 1·2 + 2·2² + 3·2³ + ... + n·2ⁿ

2S = 1·2² + 2·2³ + 3·2⁴ + ... + n·2^(n+1)

S - 2S を計算：

-S = 2 + 2² + 2³ + ... + 2ⁿ - n·2^(n+1)

= 2(2ⁿ - 1)/(2 - 1) - n·2^(n+1)

= 2^(n+1) - 2 - n·2^(n+1)

= (1 - n)·2^(n+1) - 2

S = (n - 1)·2^(n+1) + 2 = (n-1)·2^(n+1) + 2

(2) 公式より Σₖ₌₁ⁿ k² = n(n+1)(2n+1)/6

(3) 部分分数分解：

1/(k(k+1)(k+2)) = A/k + B/(k+1) + C/(k+2)

1 = A(k+1)(k+2) + Bk(k+2) + Ck(k+1)

k = 0：1 = 2A → A = 1/2

k = -1：1 = B(-1)(1) → B = -1

k = -2：1 = C(-2)(-1) → C = 1/2

1/(k(k+1)(k+2)) = (1/2)·1/k - 1/(k+1) + (1/2)·1/(k+2)

= (1/2){1/k -続きを作成いたします。

---

= (1/2){1/k - 2/(k+1) + 1/(k+2)}

= (1/2){(1/k - 1/(k+1)) - (1/(k+1) - 1/(k+2))}

Σₖ₌₁ⁿ 1/(k(k+1)(k+2)) = (1/2){Σₖ₌₁ⁿ (1/k - 1/(k+1)) - Σₖ₌₁ⁿ (1/(k+1) - 1/(k+2))}

= (1/2){(1 - 1/(n+1)) - (1/2 - 1/(n+2))}

= (1/2){1 - 1/(n+1) - 1/2 + 1/(n+2)}

= (1/2){1/2 - 1/(n+1) + 1/(n+2)}

= (1/2){1/2 + (-(n+2) + (n+1))/((n+1)(n+2))}

= (1/2){1/2 - 1/((n+1)(n+2))}

= 1/4 - 1/(2(n+1)(n+2))

または = (n(n+3))/(4(n+1)(n+2))

問題

|a⃗| = 3, |b⃗| = 2, a⃗ · b⃗ = -2 のとき、次の値を求めよ。

(1) |a⃗ + b⃗|

(2) |a⃗ - 2b⃗|

(3) a⃗ + b⃗ と a⃗ - b⃗ のなす角 θ (0° ≤ θ ≤ 180°)

解答

(1) |a⃗ + b⃗|² = |a⃗|² + 2a⃗ · b⃗ + |b⃗|²

= 9 + 2(-2) + 4 = 9 - 4 + 4 = 9

|a⃗ + b⃗| = 3

(2) |a⃗ - 2b⃗|² = |a⃗|² - 4a⃗ · b⃗ + 4|b⃗|²

= 9 - 4(-2) + 4·4 = 9 + 8 + 16 = 33

|a⃗ - 2b⃗| = √33

(3) (a⃗ + b⃗) · (a⃗ - b⃗) = |a⃗|² - |b⃗|² = 9 - 4 = 5

|a⃗ - b⃗|² = |a⃗|² - 2a⃗ · b⃗ + |b⃗|² = 9 + 4 + 4 = 17

|a⃗ - b⃗| = √17

cosθ = (a⃗ + b⃗) · (a⃗ - b⃗) / (|a⃗ + b⃗| · |a⃗ - b⃗|)

= 5 / (3 · √17) = 5/(3√17) = 5√17/51

θ = arccos(5√17/51) ≈ 74.2°

問題

0 ≤ θ < 2π のとき、関数 f(θ) = 2sin²θ + 3sinθcosθ - cos²θ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの θ の値を求めよ。

解答

2倍角の公式を用いて変形する。

sin²θ = (1 - cos2θ)/2

cos²θ = (1 + cos2θ)/2

sinθcosθ = sin2θ/2

f(θ) = 2 · (1 - cos2θ)/2 + 3 · sin2θ/2 - (1 + cos2θ)/2

= (1 - cos2θ) + (3sin2θ)/2 - (1 + cos2θ)/2

= 1 - cos2θ + (3sin2θ)/2 - 1/2 - cos2θ/2

= 1/2 - (3cos2θ)/2 + (3sin2θ)/2

= 1/2 + (3/2)(sin2θ - cos2θ)

sin2θ - cos2θ = √2 sin(2θ - π/4) を用いる。

f(θ) = 1/2 + (3√2/2)sin(2θ - π/4)

-1 ≤ sin(2θ - π/4) ≤ 1 より

最大値：1/2 + 3√2/2 = (1 + 3√2)/2

このとき sin(2θ - π/4) = 1、2θ - π/4 = π/2、2θ = 3π/4、θ = 3π/8

（0 ≤ θ < 2π で θ = 3π/8, 11π/8）

最小値：1/2 - 3√2/2 = (1 - 3√2)/2

このとき sin(2θ - π/4) = -1、2θ - π/4 = -π/2 または 3π/2

2θ = -π/4 または 7π/4、θ = 7π/8, 15π/8

問題

3次方程式 x³ - 3x² + 4x - 2 = 0 の1つの解が x = 1 であることを利用して、この方程式のすべての解を求めよ。

解答

x = 1 が解であることを確認：

1 - 3 + 4 - 2 = 0 ✓

x³ - 3x² + 4x - 2 を (x - 1) で割る。

組立除法：

  1 | 1  -3   4  -2
    |     1  -2   2
    ―――――――――――――――
      1  -2   2   0

x³ - 3x² + 4x - 2 = (x - 1)(x² - 2x + 2)

x² - 2x + 2 = 0 を解く。

x = (2 ± √(4 - 8))/2 = (2 ± √(-4))/2 = (2 ± 2i)/2 = 1 ± i

答：x = 1, 1 + i, 1 - i

問題

4点 A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3), D(1, 1, 1) について、次の問いに答えよ。

(1) △ABC の面積を求めよ。

(2) 四面体 ABCD の体積を求めよ。

(3) 点 D から平面 ABC に下ろした垂線の足 H の座標を求めよ。

解答

(1) AB⃗ = (-1, 2, 0), AC⃗ = (-1, 0, 3)

AB⃗ × AC⃗ = |i j k |

|-1 2 0 |

|-1 0 3 |

= i(2·3 - 0·0) - j((-1)·3 - 0·(-1)) + k((-1)·0 - 2·(-1))

= i(6) - j(-3) + k(2)

= (6, 3, 2)

|AB⃗ × AC⃗| = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7

△ABC の面積 = (1/2)|AB⃗ × AC⃗| = 7/2

(2) AD⃗ = (0, 1, 1)

四面体の体積 = (1/6)|AD⃗ · (AB⃗ × AC⃗)|

= (1/6)|(0, 1, 1) · (6, 3, 2)|

= (1/6)|0 + 3 + 2|

= (1/6) × 5 = 5/6

(3) 平面 ABC の法線ベクトルは n⃗ = AB⃗ × AC⃗ = (6, 3, 2)

平面 ABC の方程式：6(x - 1) + 3(y - 0) + 2(z - 0) = 0

6x + 3y + 2z = 6

点 D(1, 1, 1) から平面に下ろした垂線は、D を通り n⃗ に平行な直線：

(x, y, z) = (1, 1, 1) + t(6, 3, 2) = (1 + 6t, 1 + 3t, 1 + 2t)

この点が平面上にあるとき：

6(1 + 6t) + 3(1 + 3t) + 2(1 + 2t) = 6

6 + 36t + 3 + 9t + 2 + 4t = 6

11 + 49t = 6

t = -5/49

H = (1 - 30/49, 1 - 15/49, 1 - 10/49)

= (19/49, 34/49, 39/49)

問題

次の方程式を解け。

(1) log₂x + log₂(x - 2) = 3

(2) 2^(2x) - 5·2^x + 4 = 0

(3) log₃(log₂x) = 1

解答

(1) 真数条件：x > 0 かつ x - 2 > 0 より x > 2

log₂x + log₂(x - 2) = 3

log₂{x(x - 2)} = 3

x(x - 2) = 2³ = 8

x² - 2x - 8 = 0

(x - 4)(x + 2) = 0

x = 4, -2

x > 2 より、x = 4

(2) 2^x = t とおく（t > 0）

t² - 5t + 4 = 0

(t - 1)(t - 4) = 0

t = 1, 4

2^x = 1 より x = 0

2^x = 4 より x = 2

答：x = 0, 2

(3) 真数条件：log₂x > 0 より x > 1、また x > 0

したがって x > 1

log₃(log₂x) = 1

log₂x = 3¹ = 3

x = 2³ = 8

x = 8 > 1 を満たすので、x = 8

問題

a > 0 とする。曲線 C: y = ae^(-x) (x ≥ 0) と x 軸、y 軸で囲まれた部分を D とする。

(1) D の面積 S を a を用いて表せ。

(2) D を x 軸のまわりに回転させてできる立体の体積 V を a を用いて表せ。

(3) S = V となる a の値を求めよ。

解答

(1) y = ae^(-x) は x → ∞ で y → 0 に収束する。

S = ∫₀^∞ ae^(-x) dx = a[-e^(-x)]₀^∞ = a{0 - (-1)} = a

(2) V = π∫₀^∞ (ae^(-x))² dx = πa² ∫₀^∞ e^(-2x) dx

= πa² [-e^(-2x)/2]₀^∞ = πa² {0 - (-1/2)} = πa²/2

(3) S = V より

a = πa²/2

2a = πa²

a(πa - 2) = 0

a > 0 より πa - 2 = 0

a = 2/π

目標

• 教科書レベルの内容を完全に理解する
• 基本公式・定理を確実に暗記し、使えるようにする
• 計算力を高める

学習内容

• 数学I・A：2次関数、三角比、場合の数・確率、整数の性質
• 数学II・B：三角関数、指数・対数、微分・積分（数II）、数列、ベクトル
• 数学III：複素数平面、式と曲線の基礎

使用教材

• 教科書（徹底的に理解する）
• 青チャート or Focus Gold（例題中心に）
• 計算ドリル系の問題集

週間スケジュール例

平日：2〜3時間/日（分野を絞って集中的に）

休日：4〜5時間/日（復習と演習）

目標

• 入試標準レベルの問題を解けるようにする
• 数学IIIの微分・積分を完成させる
• 苦手分野を克服する

学習内容

• 数学III：極限、微分法、積分法（面積・体積・曲線の長さ）
• 融合問題：微積分と他分野の融合
• 弱点補強：模試の結果を分析し、弱点を重点的に

使用教材

• 1対1対応の演習（数研出版）
• 標準問題精講
• 大学への数学「1対1」シリーズ

夏期の心構え

夏は「受験の天王山」と言われます。ここで数学IIIを完成させることが、昭和大学合格への最短ルートです。特に微分・積分は配点が高いので、重点的に取り組みましょう。

目標

• 私立医学部レベルの問題に対応できる力をつける
• 時間を意識した演習を行う
• 記述力・答案作成力を高める

学習内容

• 過去問演習：昭和大学の過去問（できれば10年分）
• 類題演習：他の私立医学部（日本医科大、東邦大など）の過去問
• 難関大過去問：昭和大学は「入試過去問題活用宣言」参加校のため、東大・京大などの過去問も視野に

使用教材

• 昭和大学 過去問題集
• 私立医学部 過去問集
• やさしい理系数学 / ハイレベル理系数学

時間配分の練習

昭和大学は英語と数学を合わせて140分で解く形式です。この時期から70分で数学を解く練習を始めましょう。

目標

• 知識の総整理と弱点の最終補強
• 本番を想定した実戦演習
• メンタル面の調整

学習内容

• 過去問の再演習：間違えた問題、時間がかかった問題の復習
• 予想問題演習：予備校の直前講習や模試
• 公式・解法の総確認：ノートにまとめて毎日見直す

直前期の注意点

• 新しい問題集に手を出さない
• これまでやってきた教材の復習に徹する
• 睡眠時間を確保し、体調管理を万全に
• 試験会場の下見を忘れずに

やるべきこと

• 過去問を本番と同じ時間で解く（最終確認）
• 頻出公式・解法パターンの確認
• 計算ミスしやすいポイントの確認
• 持ち物の準備（受験票、筆記用具、時計など）

藤原からのアドバイス

「試験前日は早めに就寝し、当日は余裕を持って会場に向かいましょう。数学は最初の5分で全体を見渡し、解ける問題から確実に得点することが大切です。昭和大学の数学は典型問題が多いので、落ち着いて取り組めば必ず結果がついてきます！」

🥇 第1位：青チャート（数研出版）

対象：高1〜高3前半

特徴：

• 網羅性が高く、これ1冊で基礎〜標準レベルをカバー
• 例題→練習問題の流れで定着しやすい
• 昭和大学レベルなら、例題をマスターすれば十分戦える

使い方：例題を3周、練習問題は苦手分野のみ

🥈 第2位：Focus Gold（啓林館）

対象：高1〜高3前半

特徴：

• 青チャートと同レベルの網羅系参考書
• 解説がより詳しく、独学にも向いている
• 「Step Up」「章末問題」で発展的な内容も学べる

使い方：マスター編を中心に、チャレンジ編は余裕があれば

🥉 第3位：基礎問題精講（旺文社）

対象：高1〜高2、基礎に不安がある人

特徴：

• 問題数が絞られており、短期間で基礎を固められる
• 「精講」で解法のポイントが明確
• 計算量が適度で、挫折しにくい

使い方：1〜2ヶ月で1周、その後苦手分野を重点復習

🥇 第1位：1対1対応の演習（東京出版）

対象：高2〜高3

特徴：

<ul続きを作成いたします。

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• 入試頻出の典型問題を厳選して収録
• 1つの例題から多くの解法・考え方を学べる
• 昭和大学の出題レベルに最適
• 「演習題」で実戦力も養成できる

使い方：例題を完璧にしてから演習題へ。解けなかった問題は必ず復習ノートに

🥈 第2位：標準問題精講（旺文社）

対象：高2後半〜高3

特徴：

• 入試標準〜やや難レベルの良問を収録
• 解説が非常に丁寧で、独学でも理解しやすい
• 「精講」で問題の背景や類題への応用力が身につく

使い方：1問1問じっくり取り組む。1日2〜3題のペースで

🥉 第3位：理系数学の良問プラチカ（河合出版）

対象：高3

特徴：

• 入試で差がつく良問を厳選
• 数学I・A・II・B版と数学III版がある
• 難関私立医学部対策に最適なレベル

使い方：秋以降の実戦演習として。時間を計って解く

🥇 第1位：やさしい理系数学（河合出版）

対象：高3、数学で差をつけたい人

特徴：

• 「やさしい」という名前だが、実際は入試標準〜やや難レベル
• 別解が豊富で、多角的な考え方が身につく
• 昭和大学で高得点を狙うなら必携

使い方：例題を解き、別解もすべて理解する。演習問題は時間があれば

🥈 第2位：数学の良問問題集（旺文社）

対象：高3

特徴：

• 過去の入試問題から良問を厳選
• 分野別に整理されており、弱点補強に使いやすい
• 解説が詳しく、自学自習に向いている

使い方：苦手分野を重点的に。1題15〜20分を目安に

🥉 第3位：入試の核心 標準編・難関大編（Z会）

対象：高3

特徴：

• 入試で必要な「核心」となる考え方を習得できる
• 標準編は昭和大学対策に最適なレベル
• 難関大編は余裕がある人の上積み用

使い方：1日1〜2題、解答を見ずに最後まで考える習慣を

📘 確率対策：「ハッとめざめる確率」（東京出版）

特徴：確率が苦手な人の救世主。根本から理解できる

おすすめ度：★★★★★

📗 整数対策：「マスター・オブ・整数」（東京出版）

特徴：整数問題に特化。基礎から発展まで網羅

おすすめ度：★★★★☆

📙 微積分対策：「微積分 基礎の極意」（東京出版）

特徴：数学IIIの微積分を徹底的にマスターできる

おすすめ度：★★★★★

📕 ベクトル対策：「ベクトル＜平面・空間＞が面白いほどわかる本」（KADOKAWA）

特徴：ベクトルの本質から丁寧に解説。苦手意識がなくなる

おすすめ度：★★★★☆

📚 昭和大学 医学部 過去問題集

必須度：★★★★★（絶対必要）

使い方：

• 最低5年分、できれば10年分解く
• 時間を計って本番と同じ条件で
• 間違えた問題は必ず類題演習を

📚 私立医学部 過去問集（各予備校出版）

おすすめ度：★★★★☆

使い方：日本医科大、東邦大、日本大など、類似レベルの問題で演習量を確保

📚 全国大学入試問題正解（旺文社）

おすすめ度：★★★★☆

使い方：昭和大学は「入試過去問題活用宣言」参加校なので、他大学の問題もチェック