💡 藤原からのアドバイス

数学IIIの積分は、「計算力」と「パターン認識力」の両方が必要です。公式を覚えるだけでなく、「この形の関数はこの方法で積分する」という判断力を養うことが最も重要です。この記事の30問を通して、その判断力を徹底的に鍛えましょう！

【定義】不定積分

F'(x) = f(x) のとき、

∫f(x)dx = F(x) + C（Cは積分定数）

【基本公式一覧】

◆ べき関数の積分

• ∫xⁿdx = (1/(n+1))xⁿ⁺¹ + C （n ≠ -1）
• ∫(1/x)dx = log|x| + C

◆ 三角関数の積分

• ∫sin x dx = -cos x + C
• ∫cos x dx = sin x + C
• ∫tan x dx = -log|cos x| + C
• ∫(1/cos²x)dx = tan x + C
• ∫(1/sin²x)dx = -cot x + C

◆ 指数・対数関数の積分

• ∫e^xdx = e^x + C
• ∫a^xdx = a^x/log a + C （a > 0, a ≠ 1）
• ∫log x dx = x log x - x + C

◆ 逆三角関数型の積分

• ∫1/√(1-x²)dx = arcsin x + C
• ∫1/(1+x²)dx = arctan x + C
• ∫1/√(x²+1)dx = log|x + √(x²+1)| + C
• ∫1/√(x²-1)dx = log|x + √(x²-1)| + C

【置換積分の公式】

x = g(t) と置換すると、dx = g'(t)dt となり、

∫f(x)dx = ∫f(g(t))g'(t)dt

定積分の場合は、積分区間も t に応じて変換する：

∫_a^bf(x)dx = ∫_α^βf(g(t))g'(t)dt（α=g^-1(a), β=g^-1(b)）

【部分積分の公式】

∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx

定積分の場合：

∫_a^bf(x)g'(x)dx = [f(x)g(x)]_a^b - ∫_a^bf'(x)g(x)dx

【面積の公式】

曲線 y = f(x) と x 軸に囲まれた部分の面積（a ≤ x ≤ b）：

S = ∫_a^b|f(x)|dx

2曲線 y = f(x), y = g(x) に囲まれた部分の面積：

S = ∫_a^b|f(x) - g(x)|dx

【回転体の体積の公式】

曲線 y = f(x) を x 軸まわりに回転させた回転体の体積：

V = π∫_a^b{f(x)}²dx

曲線 x = g(y) を y 軸まわりに回転させた回転体の体積：

V = π∫_c^d{g(y)}²dy

【バームクーヘン積分】（y 軸まわりの回転で x で積分する場合）：

V = 2π∫_a^bx·f(x)dx

【曲線の長さの公式】

y = f(x) で表される曲線の長さ（a ≤ x ≤ b）：

L = ∫_a^b√{1 + (f'(x))²}dx

媒介変数表示 x = x(t), y = y(t)（α ≤ t ≤ β）の場合：

L = ∫_α^β√{(x'(t))² + (y'(t))²}dt

【区分求積法の公式】

lim_n→∞ (1/n)Σ_k=1ⁿf(k/n) = ∫₀¹f(x)dx

より一般的には：

lim_n→∞ ((b-a)/n)Σ_k=1ⁿf(a + k(b-a)/n) = ∫_a^bf(x)dx

【基礎問題1】基本的な不定積分

問題

次の不定積分を求めよ。

∫(3x² - 2x + 5)dx

考え方

多項式の積分は、各項を別々に積分して足し合わせます。基本公式 ∫xⁿdx = (1/(n+1))xⁿ⁺¹ を使います。

解法

∫(3x² - 2x + 5)dx
= 3·∫x²dx - 2·∫xdx + 5·∫1dx
= 3·(x³/3) - 2·(x²/2) + 5x + C
= x³ - x² + 5x + C

答

x³ - x² + 5x + C（Cは積分定数）

ポイント：積分定数 C を忘れないこと！不定積分では必ず + C をつけます。

【基礎問題2】三角関数の基本積分

問題

次の不定積分を求めよ。

∫(2sin x + 3cos x)dx

考え方

三角関数の基本公式を使います。sin x の積分は -cos x、cos x の積分は sin x です。

解法

∫(2sin x + 3cos x)dx
= 2·∫sin x dx + 3·∫cos x dx
= 2·(-cos x) + 3·(sin x) + C
= -2cos x + 3sin x + C

答

-2cos x + 3sin x + C

ポイント：sin x と cos x の積分は符号に注意！sin x を積分すると -cos x（マイナスがつく）です。

【基礎問題3】指数関数の積分

問題

次の不定積分を求めよ。

∫e^2xdx

考え方

e^ax の積分は (1/a)e^ax です。これは置換積分 2x = t で導くこともできます。

解法

【方法1】公式を利用

∫e^2xdx = (1/2)e^2x + C

【方法2】置換積分で確認

2x = t とおくと、2dx = dt より dx = (1/2)dt
∫e^2xdx = ∫e^t·(1/2)dt = (1/2)e^t + C = (1/2)e^2x + C

答

(1/2)e^2x + C

ポイント：e^ax の積分では、係数 a の逆数 (1/a) が前に出ることを忘れずに！

【基礎問題4】対数関数の積分

問題

次の不定積分を求めよ。

∫log x dx

考え方

log x の積分は部分積分を使います。log x = log x · 1 と見て、log x を微分側、1 を積分側に選びます。

解法

∫log x dx = ∫(log x)·1 dx

部分積分を適用：f(x) = log x, g'(x) = 1 とおくと
f'(x) = 1/x, g(x) = x

∫log x dx = x·log x - ∫x·(1/x)dx
= x log x - ∫1 dx
= x log x - x + C

答

x log x - x + C

ポイント：「∫log x dx = x log x - x + C」は頻出なので公式として覚えておくと便利です。

【基礎問題5】置換積分（合成関数型）

問題

次の不定積分を求めよ。

∫2x·cos(x²)dx

考え方

被積分関数が f(g(x))·g'(x) の形（合成関数型）です。x² = t と置換すると、2x dx = dt となります。

解法

x² = t とおく
両辺を x で微分して：2x dx = dt

∫2x·cos(x²)dx = ∫cos t dt
= sin t + C
= sin(x²) + C

答

sin(x²) + C

ポイント：「外側の関数の導関数 × 内側の関数」の形を見つけたら、内側の関数を t と置換！

【基礎問題6】分数関数の積分（対数型）

問題

次の不定積分を求めよ。

∫(2x + 3)/(x² + 3x + 1) dx

考え方

分子が分母の導関数になっている形です。このとき、∫f'(x)/f(x) dx = log|f(x)| + C という公式が使えます。

解法

分母 x² + 3x + 1 を微分すると 2x + 3（= 分子）

したがって、∫(f'(x)/f(x))dx = log|f(x)| + C の形より：

∫(2x + 3)/(x² + 3x + 1) dx = log|x² + 3x + 1| + C

答

log|x² + 3x + 1| + C

ポイント：分数の積分を見たら、まず「分子が分母の微分になっていないか」をチェック！

【基礎問題7】部分積分（多項式×指数関数）

問題

次の不定積分を求めよ。

∫x·e^xdx

考え方

多項式 × 指数関数の形なので、部分積分を使います。LIATE規則より、x を微分側、e^x を積分側に選びます。

解法

部分積分の公式：∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx

f(x) = x, g'(x) = e^x とおくと
f'(x) = 1, g(x) = e^x

∫x·e^xdx = x·e^x - ∫1·e^xdx
= x·e^x - e^x + C
= e^x(x - 1) + C

答

e^x(x - 1) + C または xe^x - e^x + C

ポイント：部分積分では「微分すると簡単になる方」を f(x) に選ぶのが基本です。

【基礎問題8】定積分の基本計算

問題

次の定積分を求めよ。

∫₀^π sin x dx

考え方

まず不定積分を求め、次に上端と下端の値の差を計算します。

解法

∫₀^π sin x dx = [-cos x]₀^π
= (-cos π) - (-cos 0)
= -(-1) - (-1)
= 1 + 1
= 2

答

2

ポイント：cos π = -1, cos 0 = 1 という三角関数の値は即答できるようにしておきましょう。

【基礎問題9】定積分と置換積分

問題

次の定積分を求めよ。

∫₀¹ x√(1 - x²) dx

考え方

1 - x² = t と置換すると、x dx と dt の関係が綺麗になります。定積分なので積分区間の変換も忘れずに。

解法

1 - x² = t とおく
両辺を x で微分：-2x dx = dt
よって x dx = -1/2 dt

積分区間の変換：
x = 0 のとき t = 1 - 0 = 1
x = 1 のとき t = 1 - 1 = 0

∫₀¹ x√(1 - x²) dx = ∫₁⁰ √t · (-1/2)dt
= (1/2)∫₀¹ √t dt （積分区間を入れ替えて符号を変える）
= (1/2)∫₀¹ t^1/2 dt
= (1/2) · [(2/3)t^3/2]₀¹
= (1/2) · (2/3) · (1 - 0)
= 1/3

答

1/3

ポイント：定積分の置換では、積分区間も必ず変換すること！x の区間から t の区間への変換を忘れると間違えます。

【基礎問題10】三角関数の積分（半角公式利用）

問題

次の不定積分を求めよ。

∫sin²x dx

考え方

sin²x はそのまま積分できないので、半角公式 sin²x = (1 - cos 2x)/2 を使って変形します。

解法

半角公式より：sin²x = (1 - cos 2x)/2

∫sin²x dx = ∫(1 - cos 2x)/2 dx
= (1/2)∫(1 - cos 2x)dx
= (1/2)(x - (1/2)sin 2x) + C
= x/2 - (sin 2x)/4 + C

答

x/2 - (sin 2x)/4 + C または (1/2)(x - (1/2)sin 2x) + C

ポイント：sin²x, cos²x の積分では半角公式が必須！次の公式を覚えておきましょう。
・sin²x = (1 - cos 2x)/2
・cos²x = (1 + cos 2x)/2

📝 基礎問題のまとめ

ここまでの10問で、以下の基本パターンを確認しました：

• 多項式・三角関数・指数関数の基本積分
• 置換積分（合成関数型・分子が分母の微分型）
• 部分積分（多項式×指数関数、対数関数）
• 定積分の計算と置換積分での区間変換
• 三角関数の半角公式の利用

これらは全て入試の土台となる知識です。完璧にできるまで繰り返し練習しましょう！

【標準問題1】部分積分の繰り返し

問題

次の不定積分を求めよ。

∫x²e^xdx

考え方

x² × e^x の形なので部分積分を使います。1回の部分積分で x が1次下がるので、2回繰り返す必要があります。

解法

【1回目の部分積分】
f(x) = x², g'(x) = e^x とおく
f'(x) = 2x, g(x) = e^x

∫x²e^xdx = x²e^x - ∫2x·e^xdx
= x²e^x - 2∫xe^xdx

【2回目の部分積分】
∫xe^xdx について、f(x) = x, g'(x) = e^x とおく
∫xe^xdx = xe^x - ∫e^xdx = xe^x - e^x

【結果を代入】
∫x²e^xdx = x²e^x - 2(xe^x - e^x) + C
= x²e^x - 2xe^x + 2e^x + C
= e^x(x² - 2x + 2) + C

答

e^x(x² - 2x + 2) + C

ポイント：xⁿe^x の積分では、部分積分を n 回繰り返して x の次数を 0 にします。

【標準問題2】三角関数と指数関数の積分

問題

次の不定積分を求めよ。

∫e^xsin x dx

考え方

e^x × sin x の形は、部分積分を2回行うと元の積分が現れる「循環型」です。方程式として解きます。

解法

I = ∫e^xsin x dx とおく

【1回目の部分積分】
f(x) = sin x, g'(x) = e^x とおく
I = sin x · e^x - ∫cos x · e^xdx
= e^xsin x - ∫e^xcos x dx

【2回目の部分積分】
∫e^xcos x dx について、f(x) = cos x, g'(x) = e^x とおく
∫e^xcos x dx = cos x · e^x - ∫(-sin x) · e^xdx
= e^xcos x + ∫e^xsin x dx
= e^xcos x + I

【代入して方程式を解く】
I = e^xsin x - (e^xcos x + I)
I = e^xsin x - e^xcos x - I
2I = e^x(sin x - cos x)
I = (1/2)e^x(sin x - cos x) + C

答

(1/2)e^x(sin x - cos x) + C

ポイント：e^xsin x, e^xcos x の積分は頻出！部分積分2回で元に戻ることを利用します。

【標準問題3】三角関数の置換積分

問題

次の不定積分を求めよ。

∫1/√(4 - x²) dx

考え方

√(a² - x²) を含む積分では、x = a sin θ と置換するのが定石です。ここでは x = 2sin θ と置換します。

解法

x = 2sin θ とおく（-π/2 ≤ θ ≤ π/2）
dx = 2cos θ dθ

√(4 - x²) = √(4 - 4sin²θ) = √(4cos²θ) = 2|cos θ| = 2cos θ
（-π/2 ≤ θ ≤ π/2 では cos θ ≥ 0）

∫1/√(4 - x²) dx = ∫(1/2cos θ) · 2cos θ dθ
= ∫1 dθ
= θ + C

x = 2sin θ より sin θ = x/2 なので θ = arcsin(x/2)

∴ ∫1/√(4 - x²) dx = arcsin(x/2) + C

答

arcsin(x/2) + C

ポイント：∫1/√(a² - x²) dx = arcsin(x/a) + C という公式として覚えておくと便利です。

【標準問題4】部分分数分解を使う積分

問題

次の不定積分を求めよ。

∫1/((x-1)(x+2)) dx

考え方

分母が1次式の積に因数分解されている分数は、部分分数分解して積分します。

解法

【部分分数分解】
1/((x-1)(x+2)) = A/(x-1) + B/(x+2) とおく

両辺に (x-1)(x+2) をかけて：
1 = A(x+2) + B(x-1)

x = 1 を代入：1 = A·3 より A = 1/3
x = -2 を代入：1 = B·(-3) より B = -1/3

よって：1/((x-1)(x+2)) = (1/3)·(1/(x-1)) - (1/3)·(1/(x+2))

【積分】
∫1/((x-1)(x+2)) dx = (1/3)∫1/(x-1) dx - (1/3)∫1/(x+2) dx
= (1/3)log|x-1| - (1/3)log|x+2| + C
= (1/3)log|(x-1)/(x+2)| + C

答

(1/3)log|(x-1)/(x+2)| + C

ポイント：部分分数分解の係数は「代入法」で素早く求められます。分母が 0 になる値を代入するのがコツ！

【標準問題5】面積の計算（曲線とx軸）

問題

曲線 y = x² - 4x + 3 と x 軸で囲まれた部分の面積 S を求めよ。

考え方

まず曲線と x 軸の交点を求め、その区間で積分します。y が負になる区間では絶対値をつけて計算します。

解法

【交点を求める】
x² - 4x + 3 = 0
(x - 1)(x - 3) = 0
x = 1, 3

【符号の確認】
1 ≤ x ≤ 3 の範囲で y = x² - 4x + 3 ≤ 0（下に凸の放物線で、1と3の間は x 軸より下）

【面積の計算】
S = ∫₁³ |x² - 4x + 3| dx = -∫₁³ (x² - 4x + 3) dx
= -[x³/3 - 2x² + 3x]₁³
= -[(27/3 - 18 + 9) - (1/3 - 2 + 3)]
= -[(9 - 18 + 9) - (1/3 + 1)]
= -[0 - 4/3]
= 4/3

答

S = 4/3

ポイント：放物線と x 軸で囲まれた面積は公式 S = |a|/6 · (β - α)³ も使えます（α, β は x 軸との交点）。
この問題では S = |1|/6 · (3-1)³ = 1/6 · 8 = 4/3 と一致！

【標準問題6】2曲線で囲まれた面積

問題

曲線 y = x² と曲線 y = 2x で囲まれた部分の面積 S を求めよ。

考え方

2曲線の交点を求め、上側の曲線から下側の曲線を引いて積分します。

解法

【交点を求める】
x² = 2x
x² - 2x = 0
x(x - 2) = 0
x = 0, 2

【上下関係の確認】
0 ≤ x ≤ 2 の範囲で、y = 2x と y = x² を比較
x = 1 のとき：y = 2x では y = 2、y = x² では y = 1
よって 2x ≥ x²（直線が上側）

【面積の計算】
S = ∫₀² (2x - x²) dx
= [x² - x³/3]₀²
= (4 - 8/3) - 0
= 12/3 - 8/3
= 4/3

答

S = 4/3

ポイント：2曲線で囲まれた面積では、必ず上下関係を確認してから（上）-（下）の積分を行います。

【標準問題7】回転体の体積（x軸まわり）

問題

曲線 y = sin x（0 ≤ x ≤ π）と x 軸で囲まれた部分を x 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 V を求めよ。

考え方

x 軸まわりの回転体の体積は V = π∫{f(x)}² dx で求められます。

解法

V = π∫₀^π sin²x dx

半角公式より sin²x = (1 - cos 2x)/2 を代入：

V = π∫₀^π (1 - cos 2x)/2 dx
= (π/2)∫₀^π (1 - cos 2x) dx
= (π/2)[x - (sin 2x)/2]₀^π
= (π/2)[(π - 0) - (0 - 0)]
= (π/2) · π
= π²/2

答

V = π²/2

ポイント：sin²x, cos²x を含む積分では半角公式への変換が必須です。

【標準問題8】回転体の体積（y軸まわり・バームクーヘン積分）

問題

曲線 y = x²（0 ≤ x ≤ 1）、x = 1、x 軸で囲まれた部分を y 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 V を求めよ。

考え方

y 軸まわりの回転体で x で積分する場合は、バームクーヘン積分 V = 2π∫x·f(x)dx を使います。

解法

【バームクーヘン積分】
V = 2π∫₀¹ x · x² dx
= 2π∫₀¹ x³ dx
= 2π[x⁴/4]₀¹
= 2π · (1/4 - 0)
= π/2

答

V = π/2

ポイント：バームクーヘン積分は「薄い円筒の体積を足し合わせる」イメージです。半径 x、高さ f(x)、厚さ dx の円筒の体積は 2πx·f(x)·dx となります。

【標準問題9】曲線の長さ

問題

曲線 y = (2/3)x^3/2（0 ≤ x ≤ 3）の長さ L を求めよ。

考え方

曲線の長さの公式 L = ∫√{1 + (dy/dx)²} dx を使います。

解法

【dy/dx を求める】
y = (2/3)x^3/2
dy/dx = (2/3) · (3/2)x^1/2 = x^1/2 = √x

【(dy/dx)² を計算】
(dy/dx)² = x

【曲線の長さを計算】
L = ∫₀³ √(1 + x) dx

1 + x = t とおくと dx = dt
x = 0 のとき t = 1、x = 3 のとき t = 4

L = ∫₁⁴ √t dt
= ∫₁⁴ t^1/2 dt
= [(2/3)t^3/2]₁⁴
= (2/3)(4^3/2 - 1^3/2)
= (2/3)(8 - 1)
= 14/3

答

L = 14/3

ポイント：曲線の長さの計算では、√{1 + (dy/dx)²} が綺麗に計算できるように問題が作られていることが多いです。

【標準問題10】区分求積法

問題

次の極限値を求めよ。

lim_n→∞ (1/n){sin(π/n) + sin(2π/n) + sin(3π/n) + ⋯ + sin(nπ/n)}

考え方

区分求積法の公式 lim_n→∞ (1/n)Σf(k/n) = ∫₀¹f(x)dx を利用します。

解法

与式 = lim_n→∞ (1/n)Σ_k=1ⁿ sin(kπ/n)

= lim_n→∞ (1/n)Σ_k=1ⁿ sin(π · k/n)

ここで f(x) = sin(πx) とおくと：

与式 = ∫₀¹ sin(πx) dx

= [-（1/π）cos(πx)]₀¹
= -(1/π)(cos π - cos 0)
= -(1/π)(-1 - 1)
= -(1/π)(-2)
= 2/π

答

2/π

ポイント：区分求積法では「(1/n)Σf(k/n) → ∫₀¹f(x)dx」の形を見抜くことが重要です。

📝 標準問題のまとめ

標準問題10問では、入試頻出の以下のパターンを扱いました：

• 部分積分の繰り返し：xⁿe^x 型
• 循環型の部分積分：e^xsin x, e^xcos x 型
• 三角関数置換：√(a² - x²) 型
• 部分分数分解：分母が因数分解できる分数
• 面積の計算：放物線と x 軸、2曲線で囲まれた領域
• 回転体の体積：x 軸まわり、y 軸まわり（バームクーヘン積分）
• 曲線の長さ：√{1 + (dy/dx)²} の積分
• 区分求積法：極限と定積分の関係

これらのパターンは確実に押さえておきましょう！

【発展問題1】複合的な置換積分（難関大頻出）

問題

次の定積分を求めよ。

∫₀^π/2 1/(1 + sin x) dx

考え方

三角関数の有理式の積分では、t = tan(x/2) という置換（ワイエルシュトラスの置換）が有効です。このとき sin x = 2t/(1+t²), dx = 2/(1+t²) dt となります。

解法

t = tan(x/2) とおく

【置換の公式】
sin x = 2t/(1+t²)
cos x = (1-t²)/(1+t²)
dx = 2/(1+t²) dt

【積分区間の変換】
x = 0 のとき t = tan 0 = 0
x = π/2 のとき t = tan(π/4) = 1

【式を変換】
1 + sin x = 1 + 2t/(1+t²) = (1+t² + 2t)/(1+t²) = (1+t)²/(1+t²)

∫₀^π/2 1/(1 + sin x) dx
= ∫₀¹ (1+t²)/(1+t)² · 2/(1+t²) dt
= ∫₀¹ 2/(1+t)² dt
= 2∫₀¹ (1+t)^-2 dt
= 2[-(1+t)^-1]₀¹
= 2[-1/(1+t)]₀¹
= 2[(-1/2) - (-1)]
= 2 · (1/2)
= 1

答

1

ポイント：t = tan(x/2) の置換は、三角関数の有理式を必ず有理関数に変換できる万能な方法です。難関大では必須テクニック！

【発展問題2】積分漸化式（東大・京大頻出）

問題

I_n = ∫₀^π/2 sinⁿx dx（n は 0 以上の整数）とするとき、次の問いに答えよ。

(1) n ≥ 2 のとき、I_n と I_n-2 の間に成り立つ漸化式を求めよ。

(2) I₆ を求めよ。

考え方

sinⁿx = sin^n-1x · sin x と分解し、部分積分を適用します。

解法

【(1) 漸化式の導出】

I_n = ∫₀^π/2 sinⁿx dx = ∫₀^π/2 sin^n-1x · sin x dx

部分積分を適用：f(x) = sin^n-1x, g'(x) = sin x とおく
f'(x) = (n-1)sin^n-2x · cos x, g(x) = -cos x

I_n = [sin^n-1x · (-cos x)]₀^π/2 - ∫₀^π/2 (n-1)sin^n-2x · cos x · (-cos x) dx

= [sin^n-1x · (-cos x)]₀^π/2 + (n-1)∫₀^π/2 sin^n-2x · cos²x dx

x = π/2 のとき sin^n-1(π/2) · (-cos(π/2)) = 1 · 0 = 0
x = 0 のとき sin^n-1(0) · (-cos 0) = 0 · (-1) = 0

よって第1項は 0 - 0 = 0

I_n = (n-1)∫₀^π/2 sin^n-2x · cos²x dx
= (n-1)∫₀^π/2 sin^n-2x · (1 - sin²x) dx
= (n-1)∫₀^π/2 (sin^n-2x - sinⁿx) dx
= (n-1)(I_n-2 - I_n)

I_n = (n-1)I_n-2 - (n-1)I_n
I_n + (n-1)I_n = (n-1)I_n-2
nI_n = (n-1)I_n-2

∴ I_n = ((n-1)/n)I_n-2

【(2) I₆ の計算】

まず I₀ を求める：
I₀ = ∫₀^π/2 1 dx = π/2

漸化式を順に適用：
I₂ = (1/2)I₀ = (1/2) · (π/2) = π/4
I₄ = (3/4)I₂ = (3/4) · (π/4) = 3π/16
I₆ = (5/6)I₄ = (5/6) · (3π/16) = 5π/32

答

(1) I_n = ((n-1)/n)I_n-2（n ≥ 2）
(2) I₆ = 5π/32

ポイント：この漸化式から得られる公式（ウォリスの公式）は頻出です：
I_2m = ((2m-1)!!)/(2m)!! · π/2
I_2m+1 = (2m)!!/(2m+1)!!
（!!は二重階乗）

【発展問題3】媒介変数表示と面積

問題

媒介変数 t を用いて x = cos³t, y = sin³t（0 ≤ t ≤ π/2）と表される曲線と x 軸、y 軸で囲まれた部分の面積 S を求めよ。

考え方

媒介変数表示の曲線で囲まれた面積は S = ∫y dx の形で求めます。dx = (dx/dt)dt を利用します。

解法

【dx/dt を求める】
x = cos³t より dx/dt = 3cos²t · (-sin t) = -3cos²t sin t

【積分区間の確認】
t = 0 のとき (x, y) = (1, 0)
t = π/2 のとき (x, y) = (0, 1)
t が 0 から π/2 まで増加すると、x は 1 から 0 へ減少

【面積を計算】
S = ∫y dx = ∫₀^π/2 y · (dx/dt) dt
= ∫₀^π/2 sin³t · (-3cos²t sin t) dt
= -3∫₀^π/2 sin⁴t cos²t dt

t が増加すると x は減少するので、面積を正にするため符号を考慮：
S = 3∫₀^π/2 sin⁴t cos²t dt

【三角関数の積分】
sin⁴t cos²t = sin⁴t · cos²t
= (sin²t)² · cos²t
= ((1-cos 2t)/2)² · ((1+cos 2t)/2)

別解として、β関数を利用：
∫₀^π/2 sin^mt cosⁿt dt = (1/2)B((m+1)/2, (n+1)/2)

ここでは m = 4, n = 2 より：
∫₀^π/2 sin⁴t cos²t dt = ((3!!/4!!) · (1!!/2!!)) · (π/2)
= ((3·1)/(4·2)) · (1/2) · (π/2)
= (3/8) · (1/2) · (π/2) = 3π/32

（ウォリスの公式による計算：(3·1·1)/(6·4·2) · π/2 = 3/(48) · π/2 = π/32）

実際に計算：
∫₀^π/2 sin⁴t cos²t dt = (3/4)(1/2)(π/2) · (1/6) = π/32

S = 3 · π/32 = 3π/32

答

S = 3π/32

ポイント：この曲線はアステロイド（星芒形）の第1象限部分です。全体の面積は 4 × 3π/32 = 3π/8 となります。

【発展問題4】定積分で表された関数の微分

問題

f(x) = ∫₀^x (x - t)e^t dt のとき、f(x) を求めよ。

考え方

被積分関数に x が含まれているため、単純に微分できません。x を積分の外に出す工夫が必要です。

解法

【x を分離】
f(x) = ∫₀^x (x - t)e^t dt
= ∫₀^x xe^t dt - ∫₀^x te^t dt
= x∫₀^x e^t dt - ∫₀^x te^t dt

【各項を計算】
∫₀^x e^t dt = [e^t]₀^x = e^x - 1

∫₀^x te^t dt について部分積分：
= [te^t]₀^x - ∫₀^x e^t dt
= xe^x - 0 - (e^x - 1)
= xe^x - e^x + 1
= e^x(x - 1) + 1

【結果を代入】
f(x) = x(e^x - 1) - {e^x(x - 1) + 1}
= xe^x - x - xe^x + e^x - 1
= e^x - x - 1

答

f(x) = e^x - x - 1

ポイント：∫_a^x (x - t)f(t) dt の形は、x と t を分離してから計算するのが定石です。

【発展問題5】積分方程式

問題

連続関数 f(x) が f(x) = x + ∫₀¹ tf(t) dt を満たすとき、f(x) を求めよ。

考え方

∫₀¹ tf(t) dt は x によらない定数です。これを a とおいて方程式を解きます。

解法

【定数を設定】
a = ∫₀¹ tf(t) dt とおく
このとき f(x) = x + a

【a を求める】
a の定義に f(t) = t + a を代入：
a = ∫₀¹ t(t + a) dt
= ∫₀¹ (t² + at) dt
= [t³/3 + at²/2]₀¹
= 1/3 + a/2

a についての方程式を解く：
a = 1/3 + a/2
a - a/2 = 1/3
a/2 = 1/3
a = 2/3

【f(x) を求める】
f(x) = x + a = x + 2/3

答

f(x) = x + 2/3

ポイント：積分方程式では、定積分の部分が定数になることを利用します。

【発展問題6】非回転体の体積（断面積による求積）

問題

xy 平面上の領域 D: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 - x を底面とし、点 (x, y) における高さが xy である立体の体積 V を求めよ。

考え方

x を固定したときの断面積を求め、それを x で積分します。

解法

【x を固定したときの断面積 S(x)】
x を固定すると、y は 0 ≤ y ≤ 1 - x の範囲で動く
高さは xy なので、断面積は：
S(x) = ∫₀^1-x xy dy
= x∫₀^1-x y dy
= x[y²/2]₀^1-x
= x · (1-x)²/2
= (x/2)(1 - 2x + x²)
= (x - 2x² + x³)/2

【体積を計算】
V = ∫₀¹ S(x) dx
= ∫₀¹ (x - 2x² + x³)/2 dx
= (1/2)[x²/2 - 2x³/3 + x⁴/4]₀¹
= (1/2)(1/2 - 2/3 + 1/4)
= (1/2)(6/12 - 8/12 + 3/12)
= (1/2)(1/12)
= 1/24

答

V = 1/24

ポイント：非回転体の体積は「断面積を積分する」という基本に立ち返って計算します。

【発展問題7】積分と不等式の証明

問題

n を正の整数とするとき、次の不等式を証明せよ。

1/(n+1) < log(n+1) - log n < 1/n

考え方

log(n+1) - log n = ∫_nⁿ⁺¹ (1/x) dx と表せることを利用します。

解法

【積分で表す】
log(n+1) - log n = [log x]_nⁿ⁺¹ = ∫_nⁿ⁺¹ (1/x) dx

【1/x の評価】
n ≤ x ≤ n+1 において：
1/(n+1) ≤ 1/x ≤ 1/n

【積分して不等式を得る】
両辺を n から n+1 まで積分すると：
∫_nⁿ⁺¹ 1/(続きを作成いたします。

```html
n+1) dx < ∫<sub>n</sub><sup>n+1</sup> (1/x) dx < ∫<sub>n</sub><sup>n+1</sup> (1/n) dx

左辺 = (1/(n+1)) · [(n+1) - n] = 1/(n+1)
右辺 = (1/n) · [(n+1) - n] = 1/n

（ただし、n < x < n+1 において 1/(n+1) < 1/x < 1/n は厳密な不等号なので、積分後も厳密な不等号が成り立つ）

∴ 1/(n+1) < ∫<sub>n</sub><sup>n+1</sup> (1/x) dx < 1/n

すなわち 1/(n+1) < log(n+1) - log n < 1/n　（証明終）

答

（証明は上記の通り）

ポイント：「差」を積分で表し、被積分関数を評価するのは不等式証明の定石です。この手法は東大・京大で頻出！

【発展問題8】King Property（キングの性質）を使う定積分

問題

次の定積分を求めよ。

∫<sub>0</sub><sup>π</sup> x sin x / (1 + cos²x) dx

考え方

King Property: ∫<sub>0</sub><sup>a</sup> f(x) dx = ∫<sub>0</sub><sup>a</sup> f(a-x) dx を利用します。x を π - x で置き換えて、元の積分と足し合わせます。

解法

I = ∫<sub>0</sub><sup>π</sup> x sin x / (1 + cos²x) dx とおく

【King Property の適用】
x = π - t とおくと dx = -dt
x = 0 のとき t = π、x = π のとき t = 0

sin(π - t) = sin t
cos(π - t) = -cos t より cos²(π - t) = cos²t

I = ∫<sub>π</sub><sup>0</sup> (π - t) sin t / (1 + cos²t) · (-dt)
= ∫<sub>0</sub><sup>π</sup> (π - t) sin t / (1 + cos²t) dt
= ∫<sub>0</sub><sup>π</sup> (π - x) sin x / (1 + cos²x) dx（t を x に戻す）

【2つの式を足す】
2I = ∫<sub>0</sub><sup>π</sup> x sin x / (1 + cos²x) dx + ∫<sub>0</sub><sup>π</sup> (π - x) sin x / (1 + cos²x) dx
= ∫<sub>0</sub><sup>π</sup> [x + (π - x)] sin x / (1 + cos²x) dx
= ∫<sub>0</sub><sup>π</sup> π sin x / (1 + cos²x) dx
= π ∫<sub>0</sub><sup>π</sup> sin x / (1 + cos²x) dx

【残りの積分を計算】
cos x = u とおくと -sin x dx = du
x = 0 のとき u = 1、x = π のとき u = -1

∫<sub>0</sub><sup>π</sup> sin x / (1 + cos²x) dx = ∫<sub>1</sub><sup>-1</sup> 1/(1 + u²) · (-du)
= ∫<sub>-1</sub><sup>1</sup> 1/(1 + u²) du
= [arctan u]<sub>-1</sub><sup>1</sup>
= arctan 1 - arctan(-1)
= π/4 - (-π/4)
= π/2

【I を求める】
2I = π · π/2 = π²/2
I = π²/4

答

π²/4

ポイント：King Property は ∫<sub>0</sub><sup>a</sup> xf(x) dx の形で、f(x) = f(a-x) となる場合に特に有効です。難関大では頻出のテクニック！

【発展問題9】媒介変数表示の曲線の長さ

問題

サイクロイド x = a(θ - sin θ), y = a(1 - cos θ)（0 ≤ θ ≤ 2π, a > 0）の長さ L を求めよ。

考え方

媒介変数表示の曲線の長さは L = ∫√{(dx/dθ)² + (dy/dθ)²} dθ で求めます。

解法

【微分を求める】
dx/dθ = a(1 - cos θ)
dy/dθ = a sin θ

【(dx/dθ)² + (dy/dθ)² を計算】
(dx/dθ)² + (dy/dθ)² = a²(1 - cos θ)² + a²sin²θ
= a²[(1 - cos θ)² + sin²θ]
= a²[1 - 2cos θ + cos²θ + sin²θ]
= a²[1 - 2cos θ + 1]
= a²[2 - 2cos θ]
= 2a²(1 - cos θ)

半角公式より 1 - cos θ = 2sin²(θ/2) を代入：
= 2a² · 2sin²(θ/2)
= 4a²sin²(θ/2)

【平方根をとる】
√{(dx/dθ)² + (dy/dθ)²} = 2a|sin(θ/2)|
0 ≤ θ ≤ 2π では 0 ≤ θ/2 ≤ π なので sin(θ/2) ≥ 0
よって = 2a sin(θ/2)

【曲線の長さを計算】
L = ∫<sub>0</sub><sup>2π</sup> 2a sin(θ/2) dθ

θ/2 = t とおくと dθ = 2dt
θ = 0 のとき t = 0、θ = 2π のとき t = π

L = ∫<sub>0</sub><sup>π</sup> 2a sin t · 2dt
= 4a ∫<sub>0</sub><sup>π</sup> sin t dt
= 4a [-cos t]<sub>0</sub><sup>π</sup>
= 4a [(-cos π) - (-cos 0)]
= 4a [1 - (-1)]
= 4a · 2
= 8a

答

L = 8a

ポイント：サイクロイドの長さは直径の4倍（= 8a）という美しい結果です。半角公式の利用が鍵！

【発展問題10】総合問題（東大・京大レベル）

問題

a を正の定数とする。曲線 C: y = e<sup>-x</sup> と直線 ℓ: y = e<sup>-a</sup>（x ≥ 0）および y 軸で囲まれた部分を D とする。

(1) D の面積 S(a) を求めよ。

(2) D を x 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 V(a) を求めよ。

(3) lim<sub>a→∞</sub> V(a)/S(a) を求めよ。

考え方

まず曲線と直線の位置関係を把握し、面積と体積をそれぞれ積分で求めます。極限では、指数関数の性質を利用します。

解法

【(1) 面積 S(a)】

0 ≤ x ≤ a において、e<sup>-x</sup> ≥ e<sup>-a</sup>（e<sup>-x</sup> は減少関数）

S(a) = ∫<sub>0</sub><sup>a</sup> (e<sup>-x</sup> - e<sup>-a</sup>) dx
= [-e<sup>-x</sup> - e<sup>-a</sup>x]<sub>0</sub><sup>a</sup>
= (-e<sup>-a</sup> - ae<sup>-a</sup>) - (-e<sup>0</sup> - 0)
= -e<sup>-a</sup> - ae<sup>-a</sup> + 1
= 1 - e<sup>-a</sup>(1 + a)
= 1 - (1 + a)e<sup>-a</sup>

【(2) 体積 V(a)】

x 軸まわりの回転体の体積は、外側の円柱から内側の回転体をくり抜く形で考える：

V(a) = π∫<sub>0</sub><sup>a</sup> {(e<sup>-x</sup>)² - (e<sup>-a</sup>)²} dx
= π∫<sub>0</sub><sup>a</sup> (e<sup>-2x</sup> - e<sup>-2a</sup>) dx
= π[-（1/2）e<sup>-2x</sup> - e<sup>-2a</sup>x]<sub>0</sub><sup>a</sup>
= π[(-（1/2）e<sup>-2a</sup> - ae<sup>-2a</sup>) - (-（1/2） - 0)]
= π[-（1/2）e<sup>-2a</sup> - ae<sup>-2a</sup> + 1/2]
= π[1/2 - （1/2）e<sup>-2a</sup> - ae<sup>-2a</sup>]
= (π/2)[1 - e<sup>-2a</sup> - 2ae<sup>-2a</sup>]
= (π/2)[1 - (1 + 2a)e<sup>-2a</sup>]

【(3) 極限の計算】

V(a)/S(a) = {(π/2)[1 - (1 + 2a)e<sup>-2a</sup>]} / {1 - (1 + a)e<sup>-a</sup>}

a → ∞ のとき：
・(1 + 2a)e<sup>-2a</sup> → 0（指数関数の減少が多項式の増加より速い）
・(1 + a)e<sup>-a</sup> → 0

よって：
lim<sub>a→∞</sub> V(a)/S(a) = {(π/2) · 1} / 1 = π/2

答

(1) S(a) = 1 - (1 + a)e<sup>-a</sup>
(2) V(a) = (π/2)[1 - (1 + 2a)e<sup>-2a</sup>]
(3) π/2

ポイント：この問題は面積・体積・極限の3つを組み合わせた総合問題です。(3)では「多項式 × 指数減衰 → 0」という重要な極限を使います。

📝 発展問題のまとめ

発展問題10問では、難関大入試で差がつく以下のテクニックを扱いました：

• ワイエルシュトラスの置換：t = tan(x/2) による三角関数の有理化
• 積分漸化式：ウォリスの積分とその応用
• 媒介変数表示と面積：アステロイドなどの特殊曲線
• 定積分で表された関数：x と t の分離テクニック
• 積分方程式：定数の設定による解法
• 断面積による体積：重積分的な考え方
• 積分と不等式：被積分関数の評価
• King Property：対称性を利用した計算の簡略化
• サイクロイドの長さ：半角公式の活用
• 面積・体積と極限：総合的な問題への対応

これらは東大・京大・医学部レベルの入試で頻出のテーマです！

❌ よくある間違い

∫cos x dx = sin x

✅ 正しい解答

∫cos x dx = sin x + C

❌ よくある間違い

∫<sub>0</sub><sup>1</sup> 2x√(1+x²) dx で x² + 1 = t と置換したとき、積分区間を x = 0 から x = 1 のまま計算してしまう

✅ 正しい解答

x = 0 のとき t = 1、x = 1 のとき t = 2 と区間も変換して、∫<sub>1</sub><sup>2</sup> √t dt として計算

❌ よくある間違い

∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) + ∫f'(x)g(x)dx（符号が＋になっている）

✅ 正しい公式

∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx

❌ よくある間違い

∫sin x dx = cos x + C

✅ 正しい解答

∫sin x dx = -cos x + C

❌ よくある間違い

∫(1/x)dx = log x + C

✅ 正しい解答

∫(1/x)dx = log|x| + C

❌ よくある間違い

y = x² - 1 と x 軸で囲まれた面積を、∫<sub>-1</sub><sup>1</sup>(x² - 1)dx で計算（負の値になってしまう）

✅ 正しい解答

-1 ≤ x ≤ 1 で x² - 1 ≤ 0 なので、∫<sub>-1</sub><sup>1</sup>|x² - 1|dx = -∫<sub>-1</sub><sup>1</sup>(x² - 1)dx として計算

❌ よくある間違い

∫e<sup>3x</sup>dx = e<sup>3x</sup> + C

✅ 正しい解答

∫e<sup>3x</sup>dx = (1/3)e<sup>3x</sup> + C

❌ よくある間違い

1/((x-1)(x+1)) を A/(x-1) + B/(x+1) と分解するとき、係数を間違える

✅ 正しい方法

1 = A(x+1) + B(x-1) に x = 1 を代入 → 1 = 2A → A = 1/2
x = -1 を代入 → 1 = -2B → B = -1/2
よって 1/((x-1)(x+1)) = (1/2)/(x-1) - (1/2)/(x+1)

💡 藤原からのアドバイス：計算ミスを防ぐ3つの習慣

1. 検算の習慣：不定積分は答えを微分して元に戻るか確認。定積分は概算値と照らし合わせる。
2. 途中式を丁寧に書く：暗算に頼らず、1行1行確実に計算する。特に符号と係数に注意。
3. 単位の確認：面積なら正の値、体積ならπを含む形など、答えの妥当性を確認。

【計算問題】出題頻度ランキング

1. 置換積分（★★★★★）：毎年必ず出題される
2. 部分積分（★★★★★）：特に多項式×指数・三角関数
3. 部分分数分解（★★★★☆）：分数関数の積分で頻出
4. 三角関数の積分（★★★★☆）：半角公式・積和公式の利用
5. 無理関数の積分（★★★☆☆）：三角関数置換との組み合わせ

【応用問題】出題頻度ランキング

1. 面積の計算（★★★★★）：2曲線で囲まれた領域が最頻出
2. 回転体の体積（★★★★★）：x軸・y軸まわり両方出題
3. 区分求積法（★★★★☆）：極限との融合問題
4. 曲線の長さ（★★★☆☆）：媒介変数表示との組み合わせ
5. 積分漸化式（★★★☆☆）：難関大で頻出

【直前期の対策ポイント】

1. 基本公式の最終確認：置換積分・部分積分の公式、三角関数・指数関数の積分公式を完璧に
2. 計算スピードの向上：過去問を時間を計って解き、本番のペースを体感する
3. 頻出パターンの総復習：面積・体積・曲線の長さの公式と典型問題を確認
4. 計算ミスの傾向分析：自分がよく間違えるポイントをリストアップし、意識的に注意
5. 検算の習慣化：時間が許す限り検算を行う癖をつける

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✅ 基礎レベル（教科書レベル）

• □ べき関数・三角関数・指数関数・対数関数の基本積分ができる
• □ 置換積分の3つの基本パターンを理解している
• □ 部分積分の公式を正しく使える
• □ 定積分の計算で積分区間の変換ができる
• □ 半角公式を使った三角関数の積分ができる

✅ 標準レベル（入試基礎〜標準）

• □ 部分積分の繰り返し、循環型の部分積分ができる
• □ 三角関数置換（x = a sin θ など）ができる
• □ 部分分数分解を使った積分ができる
• □ 2曲線で囲まれた面積を求められる
• □ 回転体の体積（x軸・y軸まわり）を求められる
• □ 曲線の長さを求められる
• □ 区分求積法を使った極限計算ができる

✅ 発展レベル（難関大入試）

• □ ワイエルシュトラスの置換（t = tan(x/2)）を使える
• □ 積分漸化式を立てて解ける
• □ 媒介変数表示の曲線の面積・長さを求められる
• □ 定積分で表された関数を扱える
• □ 積分方程式を解ける
• □ 積分を使った不等式の証明ができる
• □ King Property など高度なテクニックを使える