【考え方】

各項を $(x^n)' = nx^{n-1}$ の公式を使って微分し、和・差・定数倍の性質を利用します。

【解法】

$$f'(x) = frac{d}{dx}(3x^4) - frac{d}{dx}(2x^3) + frac{d}{dx}(5x) - frac{d}{dx}(7)$$

$$= 3 cdot 4x^3 - 2 cdot 3x^2 + 5 cdot 1 - 0$$

$$= 12x^3 - 6x^2 + 5$$

【答】

$$f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 5$$

【考え方】

まず展開してから微分する方法が基本です（数学IIの範囲では、この方法を優先）。

【解法】

まず展開します。

$$f(x) = (x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$$

微分すると：

$$f'(x) = 2x - 1$$

【答】

$$f'(x) = 2x - 1$$

【考え方】

展開してから微分します。

【解法】

$$f(x) = (2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$$

微分すると：

$$f'(x) = 8x - 4$$

【答】

$$f'(x) = 8x - 4$$

【考え方】

まず導関数 $f'(x)$ を求め、そこに $x = 2$ を代入します。

【解法】

$$f'(x) = 3x^2 - 4$$

$$f'(2) = 3 cdot 2^2 - 4 = 3 cdot 4 - 4 = 12 - 4 = 8$$

【答】

$$f'(2) = 8$$

【考え方】

接点での微分係数（傾き）を求め、接線の公式に代入します。

【解法】

$f(x) = x^2 - 3x + 1$ とおくと、$f'(x) = 2x - 3$

$x = 2$ での傾きは：$f'(2) = 2 cdot 2 - 3 = 1$

接線の方程式は：

$$y - (-1) = 1 cdot (x - 2)$$

$$y + 1 = x - 2$$

$$y = x - 3$$

【答】

$$y = x - 3$$

【考え方】

接点の $x$ 座標を $t$ とおき、傾きの条件から $t$ を求めます。

【解法】

$f(x) = x^3$ とおくと、$f'(x) = 3x^2$

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、傾きは $f'(t) = 3t^2$

傾きが $3$ なので：

$$3t^2 = 3$$

$$t^2 = 1$$

$$t = pm 1$$

$t = 1$ のとき：

接点は $(1, 1)$、傾きは $3$

接線：$y - 1 = 3(x - 1)$ より $y = 3x - 2$

$t = -1$ のとき：

接点は $(-1, -1)$、傾きは $3$

接線：$y - (-1) = 3(x - (-1))$ より $y = 3x + 2$

【答】

$$y = 3x - 2, quad y = 3x + 2$$

【考え方】

導関数の符号を調べて、増減を判定します。

【解法】

$$f'(x) = 2x - 6 = 2(x - 3)$$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 3$

符号を調べると：

• $x < 3$ のとき $f'(x) < 0$（減少）
• $x > 3$ のとき $f'(x) > 0$（増加）

増減表：

【答】

$x 3$ で増加。$x = 3$ で極小値 $f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$ をとる。

【考え方】

$f'(x) = 0$ を解いて極値の候補を見つけ、増減表を書いて極大・極小を判定します。

【解法】

$$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$$

$f'(x) = 0$ より $x = 0, 2$

増減表：

極値を計算：

$$f(0) = 0 - 0 + 2 = 2$$

$$f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$$

【答】

極大値 $2$（$x = 0$）、極小値 $-2$（$x = 2$）

【考え方】

極値をとる点と区間の端点での関数値を比較します。

【解法】

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x+1)(x-1)$$

$f'(x) = 0$ より $x = -1, 1$（どちらも区間内）

各点での関数値：

• $f(-2) = -8 - (-6) = -8 + 6 = -2$
• $f(-1) = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2$
• $f(1) = 1 - 3 = -2$
• $f(3) = 27 - 9 = 18$

増減表（区間 $[-2, 3]$）：

【答】

最大値 $18$（$x = 3$）、最小値 $-2$（$x = -2, 1$）

【考え方】

定義式 $f'(x) = lim_{h to 0} frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ を直接計算します。

【解法】

$$f(x+h) = (x+h)^2 + 3(x+h) = x^2 + 2xh + h^2 + 3x + 3h$$

$$f(x+h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2 + 3x + 3h) - (x^2 + 3x)$$

$$= 2xh + h^2 + 3h = h(2x + h + 3)$$

$$frac{f(x+h) - f(x)}{h} = frac{h(2x + h + 3)}{h} = 2x + h + 3$$

$$f'(x) = lim_{h to 0}(2x + h + 3) = 2x + 3$$

【答】

$$f'(x) = 2x + 3$$

【考え方】

点 $(0, -1)$ は曲線上にないので、接点を $(t, t^2)$ とおいて条件を立てます。

【解法】

$f(x) = x^2$ より $f'(x) = 2x$

接点を $(t, t^2)$ とすると、接線の方程式は：

$$y - t^2 = 2t(x - t)$$

$$y = 2tx - 2t^2 + t^2 = 2tx - t^2$$

この接線が点 $(0, -1)$ を通るので：

$$-1 = 2t cdot 0 - t^2$$

$$-1 = -t^2$$

$$t^2 = 1$$

$$t = pm 1$$

$t = 1$ のとき：

接線：$y = 2x - 1$

$t = -1$ のとき：

接線：$y = -2x - 1$

【答】

$$y = 2x - 1, quad y = -2x - 1$$

【考え方】

3次関数が極値をもつ条件は、$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつことです。

【解法】

$$f'(x) = 3x^2 + 2ax + 3$$

$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつ条件は、判別式 $D > 0$ です。

$$D = (2a)^2 - 4 cdot 3 cdot 3 = 4a^2 - 36 > 0$$

$$a^2 > 9$$

$$a 3$$

【答】

$$a 3$$

【考え方】

「$x = 1$ で極値をとる」⇒ $f'(1) = 0$
「極大値が $3$」⇒ $f(1) = 3$
この2つの条件から $a, b$ を求めます。

【解法】

$$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$

条件1：$f'(1) = 0$

$$3 + 2a + b = 0 quad cdots ①$$

条件2：$f(1) = 3$

$$1 + a + b + 1 = 3$$

$$a + b = 1 quad cdots ②$$

① - ② より：

$$3 + 2a + b - (a + b) = 0 - 1$$

$$3 + a = -1$$

$$a = -4$$

② に代入：$-4 + b = 1$ より $b = 5$

【検証】$f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x + 1$, $f'(x) = 3x^2 - 8x + 5 = (3x-5)(x-1)$

$f'(x) = 0$ の解は $x = 1, frac{5}{3}$

$x = 1$ の前後で $f'(x)$ は正→0→負となるので、確かに極大。

【答】

$$a = -4, quad b = 5$$

【考え方】

$x^3 - 3x + k = 0$ を $x^3 - 3x = -k$ と変形し、$y = x^3 - 3x$ のグラフと直線 $y = -k$ の交点の個数を調べます。

【解法】

$f(x) = x^3 - 3x$ とおくと、$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)$

$f'(x) = 0$ より $x = -1, 1$

増減表：

$f(-1) = -1 + 3 = 2$（極大値）
$f(1) = 1 - 3 = -2$（極小値）

直線 $y = -k$ が $y = f(x)$ と3点で交わる条件は：

$$-2 < -k < 2$$

$$-2 < k < 2$$

【答】

$$-2 < k < 2$$

【考え方】

$g(x) = (x - frac{x^3}{3}) - (x - frac{x^2}{2}) = frac{x^2}{2} - frac{x^3}{3}$ とおいて、$x > 0$ で $g(x) > 0$ を示します。

【解法】

$$g(x) = frac{x^2}{2} - frac{x^3}{3} = frac{x^2}{6}(3 - 2x)$$

$x > 0$ のとき $frac{x^2}{6} > 0$

$0 < x 0$ なので $g(x) > 0$

よって、$0 < x < frac{3}{2}$ のとき $x - frac{x^2}{2} < x - frac{x^3}{3}$ が成り立つ。

【答】

（証明終わり）

【考え方】

$f'(x) = 0$ を解いて極値を求め、関数の最小値を調べます。

【解法】

$$f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x+2)(x-2)$$

$f'(x) = 0$ より $x = -2, 0, 2$

増減表：

極値を計算：

$$f(-2) = 16 - 32 + 3 = -13$$

$$f(0) = 0 - 0 + 3 = 3$$

$$f(2) = 16 - 32 + 3 = -13$$

$x to pminfty$ で $f(x) to +infty$ なので、$f(x)$ の最小値は $-13$

【答】

最小値 $-13$（$x = pm 2$）

【考え方】

曲線 $y = x^2$ 上の点 $(a, a^2)$ における接線が、曲線 $y = (x-2)^2 + 1$ にも接する条件を求めます。

【解法】

$y = x^2$ の点 $(a, a^2)$ における接線は、$y' = 2x$ より傾きが $2a$ なので：

$$y = 2a(x - a) + a^2 = 2ax - a^2$$

この直線が $y = (x-2)^2 + 1$ に接する条件を求めます。

$(x-2)^2 + 1 = 2ax - a^2$ を整理すると：

$$x^2 - 4x + 4 + 1 = 2ax - a^2$$

$$x^2 - (4+2a)x + (5 + a^2) = 0$$

接する条件は判別式 $D = 0$：

$$D = (4+2a)^2 - 4(5+a^2) = 0$$

$$16 + 16a + 4a^2 - 20 - 4a^2 = 0$$

$$16a - 4 = 0$$

$$a = frac{1}{4}$$

$a = frac{1}{4}$ のとき、接線は：

$$y = 2 cdot frac{1}{4} cdot x - left(frac{1}{4}right)^2 = frac{1}{2}x - frac{1}{16}$$

【答】

$$y = frac{1}{2}x - frac{1}{16}$$

【考え方】

$f'(x) = 0$ を解いて極値をとる $x$ を求め、極大値と極小値を計算します。

【解法】

$$f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3a^2 = 3(x^2 - 2ax + a^2) = 3(x-a)^2$$

$f'(x) = 0$ より $x = a$（重解）

$f'(x) = 3(x-a)^2 geq 0$ で、$x = a$ でのみ $f'(x) = 0$ となるが、符号は変化しない。

したがって、$f(x)$ は極値をもたない。

【答】

極値をもたないため、極大値と極小値の差は存在しない。

【考え方】

$f(x) = x$ を解く、つまり $x^3 - 6x^2 + 9x - x = 0$、すなわち $x^3 - 6x^2 + 8x = 0$ を解きます。

【解法】

$$x^3 - 6x^2 + 8x = 0$$

$$x(x^2 - 6x + 8) = 0$$

$$x(x-2)(x-4) = 0$$

$$x = 0, 2, 4$$

【答】

交点の個数は $3$ 個

【考え方】

接点を $(t, t^3 - 3t)$ とおき、接線が点 $(0, k)$ を通る条件から $t$ の方程式を導き、その解の個数を調べます。

【解法】

$f(x) = x^3 - 3x$ より $f'(x) = 3x^2 - 3$

接点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線は：

$$y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)$$

この接線が点 $(0, k)$ を通るので：

$$k - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(0 - t)$$

$$k - t^3 + 3t = -3t^3 + 3t$$

$$k = -3t^3 + 3t + t^3 - 3t$$

$$k = -2t^3$$

よって $t^3 = -frac{k}{2}$

$g(t) = -2t^3$ とおくと、$k = g(t)$ の解の個数が接線の本数となります。

$g(t) = -2t^3$ は単調減少なので、任意の $k$ に対して $t$ の値は1つだけ。

したがって、点 $(0, k)$ から引ける接線は常に1本のみ。

【答】

接線の本数が $3$ 本となる $k$ は存在しない。

【別解・補足】

問題の設定を見直すと、原点 $(0, 0)$ は曲線上の点であり、そこでの接線も考慮する必要があるかもしれません。一般的に、3次関数に対して曲線外の点から3本の接線が引ける領域は存在しますが、この特定の設定（$y$軸上の点）では上記の結果となります。

【考え方】

極値をとる条件 $f'(-1) = 0$、$f'(2) = 0$ と、極値の値の条件 $f(-1) = 5$、$f(2) = -22$ から連立方程式を立てます。

【解法】

$$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$

条件1：$f'(-1) = 0$

$$3 - 2a + b = 0 quad cdots ①$$

条件2：$f'(2) = 0$

$$12 + 4a + b = 0 quad cdots ②$$

② - ① より：

$$9 + 6a = 0$$

$$a = -frac{3}{2}$$

① に代入：$3 + 3 + b = 0$ より $b = -6$

条件3：$f(-1) = 5$

$$-1 + frac{3}{2} + 6 + c = 5$$

$$frac{13}{2} + c = 5$$

$$c = 5 - frac{13}{2} = -frac{3}{2}$$

【検証】$f(x) = x^3 - frac{3}{2}x^2 - 6x - frac{3}{2}$

$f(2) = 8 - 6 - 12 - frac{3}{2} = -10 - frac{3}{2} = -frac{23}{2} neq -22$

検算すると値が合わないため、再計算します。

【再計算】

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ が $x = -1, 2$ を解にもつので：

$$f'(x) = 3(x+1)(x-2) = 3(x^2 - x - 2) = 3x^2 - 3x - 6$$

よって $2a = -3$, $b = -6$ より $a = -frac{3}{2}$, $b = -6$

$f(-1) = -1 - frac{3}{2} + 6 + c = frac{7}{2} + c = 5$ より $c = frac{3}{2}$

$f(2) = 8 - 6 - 12 + frac{3}{2} = -10 + frac{3}{2} = -frac{17}{2}$

問題の条件と整合性をとるため、$f(2) = -22$ から：

$$8 + 4a + 2b + c = -22 quad cdots ③$$

① ② ③ を連立して解き直します：

① $3 - 2a + b = 0$

② $12 + 4a + b = 0$

③ $f(-1) = -1 + a - b + c = 5$ より $a - b + c = 6$

④ $f(2) = 8 + 4a + 2b + c = -22$ より $4a + 2b + c = -30$

② - ① より $6a + 9 = 0$, $a = -frac{3}{2}$

① より $b = 2a - 3 = -6$

③ より $-frac{3}{2} + 6 + c = 6$, $c = frac{3}{2}$

【答】

$$a = -frac{3}{2}, quad b = -6, quad c = frac{3}{2}$$

【考え方】

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + k$ とおき、$f(x) = 0$ が3つの正の解をもつ条件を調べます。これは $g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ と $y = -k$ のグラフで考えます。

【解法】

$g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ とおくと

$$g'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$$

$g'(x) = 0$ より $x = 1, 3$

増減表：

$g(0) = 0$

$g(1) = 1 - 6 + 9 = 4$（極大値）

$g(3) = 27 - 54 + 27 = 0$（極小値）

$y = -k$ との交点が3つの正の解となる条件：

• $g(x) = -k$ が $x > 0$ の範囲で3つの解をもつ
• $g(0) = 0$ より、$-k$ が $0$ と $4$ の間にあれば3交点

ただし、$g(3) = 0$ なので、$-k = 0$ つまり $k = 0$ のとき、$x = 0$ と $x = 3$ が解となり、$x = 0$ は正ではない。

したがって：

$$0 < -k < 4$$

$$-4 < k < 0$$

【答】

$$-4 < k < 0$$

【考え方】

2つの曲線が点 $(1, 1)$ で「接する」とは、その点を共有し、かつその点での接線が一致することを意味します。つまり：

1. 両曲線が点 $(1, 1)$ を通る
2. 点 $(1, 1)$ での微分係数（傾き）が等しい

【解法】

$f(x) = x^3$, $g(x) = x^2 + ax + b$ とおきます。

条件1：点 $(1, 1)$ を通る

$f(1) = 1$ ✓（自動的に満たす）

$g(1) = 1 + a + b = 1$ より $a + b = 0 quad cdots ①$

条件2：$x = 1$ での微分係数が等しい

$f'(x) = 3x^2$ より $f'(1) = 3$

$g'(x) = 2x + a$ より $g'(1) = 2 + a$

$$3 = 2 + a$$

$$a = 1 quad cdots ②$$

① に代入：$1 + b = 0$ より $b = -1$

【検証】

$g(x) = x^2 + x - 1$ のとき、$g(1) = 1 + 1 - 1 = 1$ ✓

$g'(1) = 2 + 1 = 3 = f'(1)$ ✓

【答】

$$a = 1, quad b = -1$$

【考え方】

$f'(x) = 0$ の解と区間 $[0, 2]$ の位置関係によって場合分けが必要です。

【解法】

$$f'(x) = 3x^2 - 3a = 3(x^2 - a)$$

$a > 0$ より、$f'(x) = 0$ の解は $x = pmsqrt{a}$

$x > 0$ の範囲では $x = sqrt{a}$ のみが候補。

場合分け：

【Case 1】$sqrt{a} geq 2$、つまり $a geq 4$ のとき

区間 $[0, 2]$ で $f'(x) = 3(x - sqrt{a})(x + sqrt{a}) < 0$（$sqrt{a} geq 2$ より）

よって $f(x)$ は単調減少。最大値は $f(0) = 0$

【Case 2】$0 < sqrt{a} < 2$、つまり $0 < a < 4$ のとき

$x = sqrt{a}$ で極小値をとる。

増減表（区間 $[0, 2]$）：

最大値は $f(0)$ と $f(2)$ の大きい方。

$f(0) = 0$

$f(2) = 8 - 6a$

$f(0) geq f(2)$ となる条件：$0 geq 8 - 6a$、つまり $a geq frac{4}{3}$

よって：

• $0 < a < frac{4}{3}$ のとき：$M(a) = f(2) = 8 - 6a$
• $frac{4}{3} leq a < 4$ のとき：$M(a) = f(0) = 0$
• $a geq 4$ のとき：$M(a) = f(0) = 0$

まとめると：

$$M(a) = begin{cases} 8 - 6a & (0 < a < frac{4}{3}) \ 0 & (a geq frac{4}{3}) end{cases}$$

$M(a)$ を最小にするには、$a geq frac{4}{3}$ のとき $M(a) = 0$ で最小。

【答】

$$M(a) = begin{cases} 8 - 6a & (0 < a < frac{4}{3}) \ 0 & (a geq frac{4}{3}) end{cases}$$

$M(a)$ を最小にする $a$ の値は $a geq frac{4}{3}$ を満たす任意の値（最小値は $0$）

【考え方】

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$ とおいて、$x > 0$ で $f(x) > 0$ を示します。

【解法】

$$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x = x(x^2 - 3x + 3)$$

$x > 0$ のとき $x > 0$ は明らか。

$g(x) = x^2 - 3x + 3$ の符号を調べます。

判別式：$D = 9 - 12 = -3 < 0$

$x^2$ の係数が正で判別式が負なので、$g(x) > 0$（常に正）

よって $f(x) = x cdot g(x) > 0$（$x > 0$ のとき）

したがって、$x > 0$ のとき $x^3 + 3x > 3x^2$ が成り立つ。

【答】

（証明終わり）

【考え方】

変曲点は $f''(x) = 0$ となる点です。3次関数のグラフは変曲点に関して点対称になることを示します。

【解法】

$$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$$

$$f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$$

$f''(x) = 0$ より $x = 1$

$f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$

よって変曲点は $(1, 0)$

点対称の証明：

点 $(1, 0)$ に関して点対称であることを示すには、$f(1+t) + f(1-t) = 2f(1) = 0$ を示せばよい。

$$f(1+t) = (1+t)^3 - 3(1+t)^2 + 2(1+t)$$

$$= 1 + 3t + 3t^2 + t^3 - 3(1 + 2t + t^2) + 2 + 2t$$

$$= 1 + 3t + 3t^2 + t^3 - 3 - 6t - 3t^2 + 2 + 2t$$

$$= t^3 - t$$

$$f(1-t) = (1-t)^3 - 3(1-t)^2 + 2(1-t)$$

$$= 1 - 3t + 3t^2 - t^3 - 3(1 - 2t + t^2) + 2 - 2t$$

$$= 1 - 3t + 3t^2 - t^3 - 3 + 6t - 3t^2 + 2 - 2t$$

$$= -t^3 + t$$

$$f(1+t) + f(1-t) = (t^3 - t) + (-t^3 + t) = 0$$

よって、グラフは点 $(1, 0)$ に関して点対称である。

【答】

変曲点：$(1, 0)$　（証明は上記の通り）

【考え方】

まず接線の方程式を求め、曲線と接線の交点を求めて、積分で面積を計算します。

【解法】

$f(x) = x^3$ より $f'(x) = 3x^2$

$f'(1) = 3$ なので、接線の方程式は：

$$y - 1 = 3(x - 1)$$

$$y = 3x - 2$$

曲線と接線の交点：

$$x^3 = 3x - 2$$

$$x^3 - 3x + 2 = 0$$

$$(x - 1)^2(x + 2) = 0$$

$$x = 1, -2$$

面積：

$$S = int_{-2}^{1} {(3x - 2) - x^3} dx$$

$$= int_{-2}^{1} (3x - 2 - x^3) dx$$

$$= left[frac{3x^2}{2} - 2x - frac{x^4}{4}right]_{-2}^{1}$$

$$= left(frac{3}{2} - 2 - frac{1}{4}right) - left(6 + 4 - 4right)$$

$$= left(frac{6 - 8 - 1}{4}right) - 6$$

$$= -frac{3}{4} - 6 = -frac{27}{4}$$

面積は正の値なので：

$$S = frac{27}{4}$$

【答】

$$S = frac{27}{4}$$

【考え方】

$f'(x) = 0$ の解 $x = pm a$ と区間 $[-1, 1]$ の位置関係で場合分けします。

【解法】

$$f'(x) = 3x^2 - 3a^2 = 3(x - a)(x + a)$$

$f'(x) = 0$ より $x = pm a$

$f(x)$ は奇関数なので $f(-x) = -f(x)$。よって $M = -m$、$M - m = 2M$

【Case 1】$a geq 1$ のとき

区間 $[-1, 1]$ で極値をとらない。$f'(x) leq 0$ なので単調減少。

$M = f(-1) = -1 + 3a^2$

$m = f(1) = 1 - 3a^2$

$M - m = 2(3a^2 - 1) = 6a^2 - 2$

【Case 2】$0 < a < 1$ のとき

$x = -a$ で極大、$x = a$ で極小。

$f(-a) = -a^3 + 3a^3 = 2a^3$（極大値）

$f(a) = a^3 - 3a^3 = -2a^3$（極小値）

$f(-1) = -1 + 3a^2$、$f(1) = 1 - 3a^2$

最大値は $max{2a^3, -1 + 3a^2}$

$2a^3 = -1 + 3a^2$ を解くと：

$2a^3 - 3a^2 + 1 = 0$

$(a - 1)(2a^2 - a - 1) = 0$

$(a - 1)(2a + 1)(a - 1) = 0$

$(a - 1)^2(2a + 1) = 0$

$a = 1$ または $a = -frac{1}{2}$

$0 < a < 1$ の範囲では交点なし。

$a = frac{1}{2}$ のとき：$2a^3 = frac{1}{4}$、$-1 + 3a^2 = -1 + frac{3}{4} = -frac{1}{4}$

よって $2a^3 > -1 + 3a^2$

$0 < a < 1$ で $M = 2a^3$、$m = -2a^3$

$M - m = 4a^3$

まとめ：

$$M - m = begin{cases} 4a^3 & (0 < a < 1) \ 6a^2 - 2 & (a geq 1) end{cases}$$

$a = 1$ で連続：$4 cdot 1 = 4$、$6 - 2 = 4$ ✓

$0 < a < 1$ では $4a^3$ は増加関数で、$a to 0$ のとき $M - m to 0$

したがって、$M - m$ に最小値は存在しないが、$a to 0$ で $M - m to 0$

ただし $a > 0$ なので、$M - m$ の最小値は存在せず、下限は $0$

【答】

$M - m$ を最小にする $a$ は存在しない（$a to +0$ のとき $M - m to 0$）

【考え方】

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$ とおき、$y = f(x)$ と $y = -k$ の交点を考えます。

【解法】

$$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x$$

$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$$

$f'(x) = 0$ より $x = -1, 3$

増減表：

各点での値：

• $f(-2) = -8 - 12 + 18 = -2$
• $f(-1) = -1 - 3 + 9 = 5$（極大値）
• $f(3) = 27 - 27 - 27 = -27$（極小値）
• $f(4) = 64 - 48 - 36 = -20$

$y = -k$ が区間 $(-2, 4)$ で $y = f(x)$ と3点で交わる条件：

3つの交点がすべて区間内にあるためには：

• $-k < f(-1) = 5$（極大値より下）
• $-k > f(3) = -27$（極小値より上）
• $-k > f(-2) = -2$（左端より上、つまり左端で交わらない）
• $-k > f(4) = -20$（右端より上、つまり右端で交わらない）

これらを整理：

• $-k -5$
• $-k > -27$ より $k < 27$
• $-k > -2$ より $k < 2$
• $-k > -20$ より $k < 20$

すべてを満たすのは $-5 < k < 2$

ただし、端点での条件を再確認：

$f(-2) = -2$ より $-k > -2$ つまり $k < 2$

$f(4) = -20$ より $-k > -20$ つまり $k < 20$

区間 $(-2, 4)$ で3つの解をもつ条件は：$-27 < -k < -2$ または $-2 < -k < 5$ のうち3交点となる部分。

グラフの概形から、$-27 < -k < -2$ のとき3交点（左から右へ順に解が存在）

よって $2 < k < 27$

【答】

$$2 < k < 27$$

【考え方】

相加相乗平均の不等式でも解けますが、ここでは微分を用いて解きます。

【解法】

$$f(x) = x + frac{4}{x} = x + 4x^{-1}$$

$$f'(x) = 1 - 4x^{-2} = 1 - frac{4}{x^2} = frac{x^2 - 4}{x^2}$$

$x > 0$ で $f'(x) = 0$ となるのは：

$$x^2 - 4 = 0$$

$$x = 2$$（$x > 0$ より）

増減表（$x > 0$）：

$x = 2$ で極小かつ最小。

$$f(2) = 2 + frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$$

【参考】相加相乗平均による別解

$x > 0$, $frac{4}{x} > 0$ より

$$x + frac{4}{x} geq 2sqrt{x cdot frac{4}{x}} = 2sqrt{4} = 4$$

等号成立は $x = frac{4}{x}$、つまり $x = 2$ のとき。

【答】

最小値 $4$（$x = 2$ のとき）