複素数平面 完全攻略 図形問題まで｜藤原進之介が徹底解説【日本数学塾・数強塾】

はじめに

こんにちは、日本数学塾・数強塾の看板講師、藤原進之介です。

今回は、数学Cの中でも特に受験生を悩ませる「複素数平面」について、基礎から図形問題の応用まで、完全攻略できるように徹底解説していきます。

複素数平面は、2022年度からの新課程で数学Cに移行し、理系受験生にとって避けては通れない重要単元となりました。東大・京大をはじめとする難関大学では、複素数平面を用いた図形問題が毎年のように出題されており、ここを得点源にできるかどうかが合否を分けると言っても過言ではありません。

私がこれまで指導してきた生徒の中で、複素数平面を苦手としていた生徒の多くに共通していたのは、「計算の道具としての複素数」と「図形を表現する言語としての複素数」を分けて考えてしまっていたことです。実は、この2つは表裏一体であり、それを理解することが攻略の第一歩なのです。

この記事では、以下の内容を扱います：

• 複素数平面の核心的な考え方と公式
• 極形式とド・モアブルの定理の本質的理解
• 図形問題への応用（回転・拡大・軌跡・正多角形など）
• 具体的な入試問題5問以上の詳細解説
• ステップ別の実践ガイド
• よくある質問と回答

12,000字を超える大ボリュームですが、一度読み通せば複素数平面に対する見方が劇的に変わるはずです。ぜひ最後までお付き合いください。

【核心】複素数平面 完全攻略 図形問題までの要点

1. 複素数平面とは何か？ ― 実数から複素数への拡張

まず、複素数平面の基本から確認しましょう。

複素数 $z = a + bi$（$a, b$ は実数、$i$ は虚数単位で $i^2 = -1$）を、横軸（実軸）に実部 $a$、縦軸（虚軸）に虚部 $b$ をとった平面上の点 $(a, b)$ として表したものが複素数平面（ガウス平面）です。

ここで重要なのは、複素数平面は単なる座標平面ではないということです。通常の $xy$ 座標平面では、点 $(a, b)$ は2つの実数の組に過ぎません。しかし複素数平面では、点 $(a, b)$ は「1つの複素数 $z$」という数そのものを表しているのです。

この違いが、複素数平面の強力さの源泉です。数として演算（加減乗除）ができるということは、図形的な操作を代数的に処理できるということを意味します。

2. 複素数の3つの表し方 ― 場面に応じた使い分け

複素数には主に3つの表し方があり、それぞれに適した場面があります。

（1）直交形式（標準形）: $z = a + bi$

使う場面：加法・減法、実部・虚部の分離、共役複素数の計算

最も基本的な形です。足し算・引き算は成分ごとに行えばよいので簡単です。

公式：

• $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
• $(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$
• 共役複素数：$overline{z} = overline{a + bi} = a - bi$

（2）極形式: $z = r(costheta + isintheta)$

使う場面：乗法・除法、回転・拡大、ド・モアブルの定理

複素数を「原点からの距離 $r$（絶対値）」と「実軸となす角 $theta$（偏角）」で表したものです。

変換公式：

• $r = |z| = sqrt{a^2 + b^2}$（絶対値）
• $theta = arg z$（偏角）：$costheta = dfrac{a}{r}$, $sintheta = dfrac{b}{r}$
• 逆変換：$a = rcostheta$, $b = rsintheta$

極形式の威力は、乗法・除法が非常にシンプルになることです：

乗法：$z_1 cdot z_2 = r_1 r_2 {cos(theta_1 + theta_2) + isin(theta_1 + theta_2)}$

除法：$dfrac{z_1}{z_2} = dfrac{r_1}{r_2} {cos(theta_1 - theta_2) + isin(theta_1 - theta_2)}$

つまり、掛け算は「絶対値の積」と「偏角の和」、割り算は「絶対値の商」と「偏角の差」になるのです。

（3）指数形式（オイラーの公式）: $z = re^{itheta}$

使う場面：累乗計算、理論的議論、大学数学への接続

オイラーの公式 $e^{itheta} = costheta + isintheta$ を用いた表記です。高校の範囲を超えますが、極形式をより簡潔に書けるので知っておくと便利です。

3. ド・モアブルの定理 ― 累乗計算の必殺技

ド・モアブルの定理は、複素数の累乗を計算する上で最も重要な定理です。

この定理の本質は、「$n$ 乗すると偏角が $n$ 倍になる」ということです。極形式で書けば：

$${r(costheta + isintheta)}^n = r^n(cos ntheta + isin ntheta)$$

となり、絶対値は $n$ 乗、偏角は $n$ 倍になります。

【ド・モアブルの定理の証明】

$n$ が正の整数の場合、数学的帰納法で証明できます。

（i）$n = 1$ のとき：明らかに成立。

（ii）$n = k$ で成立すると仮定：

$$(costheta + isintheta)^k = cos ktheta + isin ktheta$$

このとき、$n = k + 1$ では：

$$(costheta + isintheta)^{k+1} = (cos ktheta + isin ktheta)(costheta + isintheta)$$

加法定理を用いて展開すると：

$$= cos ktheta costheta - sin ktheta sintheta + i(cos ktheta sintheta + sin ktheta costheta)$$

$$= cos(k+1)theta + isin(k+1)theta$$

よって $n = k + 1$ でも成立。数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ で成立。

$n = 0$ および負の整数についても同様に示せます。

4. 複素数による図形表現 ― 回転・拡大・平行移動

ここからが複素数平面の真骨頂です。複素数の演算と図形的操作の対応を理解しましょう。

（1）平行移動

点 $z$ を $w$ だけ平行移動すると $z + w$ になります。これは成分ごとの足し算に対応します。

（2）原点中心の回転・拡大

点 $z$ に複素数 $w = r(costheta + isintheta)$ を掛けると：

• 原点を中心に角度 $theta$ だけ回転
• 原点からの距離が $r$ 倍に拡大（$r < 1$ なら縮小）

特に $|w| = 1$（単位円上の点）なら純粋な回転です。例えば $i$ を掛けると $90°$ 回転します。

（3）任意の点 $alpha$ を中心とした回転・拡大

点 $z$ を、点 $alpha$ を中心に角度 $theta$ だけ回転し、$r$ 倍に拡大した点を $w$ とすると：

この公式は、「中心 $alpha$ を原点に移動 → 回転・拡大 → 元に戻す」という操作を表しています。

5. 複素数平面上の図形の方程式

（1）円の方程式

中心 $alpha$、半径 $r$ の円は：

$$|z - alpha| = r$$

これは「点 $z$ と点 $alpha$ の距離が $r$」を意味します。

（2）垂直二等分線

2点 $alpha$, $beta$ を結ぶ線分の垂直二等分線は：

$$|z - alpha| = |z - beta|$$

これは「点 $z$ から $alpha$ までの距離と $beta$ までの距離が等しい」を意味します。

（3）アポロニウスの円

2点 $alpha$, $beta$ からの距離の比が $m : n$（$m neq n$）である点の軌跡は円になり、これをアポロニウスの円といいます：

$$frac{|z - alpha|}{|z - beta|} = frac{m}{n}$$

（4）直線の方程式

2点 $alpha$, $beta$ を通る直線上の点 $z$ は、$z - alpha$ と $beta - alpha$ が平行（偏角が等しいか $pi$ だけ異なる）なので：

$$frac{z - alpha}{beta - alpha} text{ が実数}$$

これは $dfrac{z - alpha}{beta - alpha} = overline{left(dfrac{z - alpha}{beta - alpha}right)}$ と同値です。

6. 1の $n$ 乗根と正 $n$ 角形

$z^n = 1$ の解（1の $n$ 乗根）は、ド・モアブルの定理を用いて求められます。

$z = costheta + isintheta$ とおくと、$z^n = cos ntheta + isin ntheta = 1$ より：

$$ntheta = 2kpi quad (k = 0, 1, 2, ldots, n-1)$$

$$therefore theta = frac{2kpi}{n}$$

よって、1の $n$ 乗根は：

$$z_k = cosfrac{2kpi}{n} + isinfrac{2kpi}{n} quad (k = 0, 1, ldots, n-1)$$

これらの点は、単位円に内接する正 $n$ 角形の頂点を表します。$k = 1$ の点を $omega$ とおくと：

$$omega = cosfrac{2pi}{n} + isinfrac{2pi}{n}$$

1の $n$ 乗根は $1, omega, omega^2, ldots, omega^{n-1}$ と表せます。

【1の $n$ 乗根の重要な性質】

7. 共役複素数の図形的意味

$z = a + bi$ の共役複素数 $overline{z} = a - bi$ は、実軸に関して $z$ と対称な点です。

重要な性質：

• $z cdot overline{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$
• $z + overline{z} = 2a$（実部の2倍）
• $z - overline{z} = 2bi$（虚部の2倍の $i$ 倍）
• $overline{z_1 + z_2} = overline{z_1} + overline{z_2}$
• $overline{z_1 cdot z_2} = overline{z_1} cdot overline{z_2}$
• $overline{left(dfrac{z_1}{z_2}right)} = dfrac{overline{z_1}}{overline{z_2}}$

8. 内分点・外分点・重心

複素数平面上の2点 $alpha$, $beta$ について：

• 線分を $m : n$ に内分する点：$dfrac{nalpha + mbeta}{m + n}$
• 線分を $m : n$ に外分する点：$dfrac{-nalpha + mbeta}{m - n}$（$m neq n$）
• 中点：$dfrac{alpha + beta}{2}$

3点 $alpha$, $beta$, $gamma$ を頂点とする三角形の重心は：

$$G = frac{alpha + beta + gamma}{3}$$

具体的な問題例と解法（5問以上）

ここからは、実際の入試で出題されるタイプの問題を詳しく解説していきます。各問題には、解法のポイントとつまずきやすい点を明記しました。

【問題1】極形式への変換とド・モアブルの定理（基本）

【解答・解説】

（1）極形式への変換

まず絶対値を求めます：

$$|z| = sqrt{1^2 + (sqrt{3})^2} = sqrt{1 + 3} = sqrt{4} = 2$$

次に偏角を求めます。$z = 2left(dfrac{1}{2} + dfrac{sqrt{3}}{2}iright)$ と変形すると：

$$costheta = frac{1}{2}, quad sintheta = frac{sqrt{3}}{2}$$

$0 leq theta < 2pi$ の範囲で、これを満たすのは $theta = dfrac{pi}{3}$ です。

よって、極形式は：

$$boxed{z = 2left(cosfrac{pi}{3} + isinfrac{pi}{3}right)}$$

（2）$z^{12}$ の計算（ド・モアブルの定理）

ド・モアブルの定理より：

$$z^{12} = 2^{12}left(cosfrac{12pi}{3} + isinfrac{12pi}{3}right)$$

$$= 4096(cos 4pi + isin 4pi)$$

$$= 4096(1 + 0 cdot i)$$

$$= boxed{4096}$$

（3）直接計算による確認

$z^2 = (1 + sqrt{3}i)^2 = 1 + 2sqrt{3}i - 3 = -2 + 2sqrt{3}i = 2(-1 + sqrt{3}i)$

$z^3 = z^2 cdot z = 2(-1 + sqrt{3}i)(1 + sqrt{3}i)$

$= 2(-1 - sqrt{3}i + sqrt{3}i + 3i^2) = 2(-1 - 3) = -8$

$z^{12} = (z^3)^4 = (-8)^4 = 4096$ ✓

【ポイント】$z^3 = -8$ という「きれいな値」になることに注目。これは偏角が $dfrac{pi}{3}$ の3倍で $pi$ になるから。入試では「何乗したら実数になるか」を問う問題も多い。

【問題2】複素数平面上の回転（標準）

【解答・解説】

【解法の方針】

正三角形の条件を「回転」で表現します。点 $C$ は、点 $A$ を中心に点 $B$ を $pm 60°$ 回転させた位置にあります。

【解答】

点 $B$ を点 $A$ を中心に $60°$ 回転させた点を $C_1$、$-60°$ 回転させた点を $C_2$ とします。

回転の公式より：

$$C_1 - A = left(cosfrac{pi}{3} + isinfrac{pi}{3}right)(B - A)$$

$B - A = (2 + 2i) - 2 = 2i$ なので：

$$C_1 - 2 = left(frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2}iright) cdot 2i$$

$$= i + sqrt{3}i^2 = i - sqrt{3} = -sqrt{3} + i$$

$$therefore C_1 = 2 - sqrt{3} + i$$

同様に、$-60°$ 回転では：

$$C_2 - 2 = left(cosleft(-frac{pi}{3}right) + isinleft(-frac{pi}{3}right)right) cdot 2i$$

$$= left(frac{1}{2} - frac{sqrt{3}}{2}iright) cdot 2i$$

$$= i - sqrt{3}i^2 = i + sqrt{3} = sqrt{3} + i$$

$$therefore C_2 = 2 + sqrt{3} + i$$

よって、求める複素数は：

$$boxed{C = 2 - sqrt{3} + i, quad 2 + sqrt{3} + i}$$

【別解：図形的考察】

$|AB| = |2i| = 2$ なので、正三角形の一辺の長さは2。点 $C$ は線分 $AB$ の中点 $1 + i$ から垂直に $sqrt{3}$ だけ離れた点。線分 $AB$ は虚軸に平行なので、垂直方向は実軸方向。よって $C = (1 pm sqrt{3}) + i$。

【つまずきポイント】

• 回転の中心がどこかを間違える（原点ではなく点 $A$）
• $pm 60°$ の両方を考え忘れる
• $B - A$ を計算し忘れて $B$ をそのまま回転させてしまう

【問題3】1の $n$ 乗根と正多角形（標準〜やや難）

【解答・解説】

（1）1の5乗根の和

$omega$ は $z^5 = 1$ の解（1の原始5乗根）です。$z^5 - 1 = 0$ の解は $1, omega, omega^2, omega^3, omega^4$ の5つ。

因数分解すると：

$$z^5 - 1 = (z - 1)(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = 0$$

$omega neq 1$ より、$omega$ は $z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0$ の解です。

したがって：

$$omega^4 + omega^3 + omega^2 + omega + 1 = 0$$

$$therefore 1 + もちろんです。続きを書いていきます。

---

```html

$$omega^4 + omega^3 + omega^2 + omega + 1 = 0$$

$$therefore 1 + omega + omega^2 + omega^3 + omega^4 = boxed{0}$$

（2）$omega + omega^4$ の値

ここで、$omega^4 = overline{omega}$ であることを利用します。

$omega = cosdfrac{2pi}{5} + isindfrac{2pi}{5}$ より：

$$omega^4 = cosfrac{8pi}{5} + isinfrac{8pi}{5} = cosleft(-frac{2pi}{5}right) + isinleft(-frac{2pi}{5}right) = overline{omega}$$

したがって：

$$omega + omega^4 = omega + overline{omega} = 2cosfrac{2pi}{5} = 2 cdot frac{-1 + sqrt{5}}{4} = boxed{frac{-1 + sqrt{5}}{2}}$$

【補足：$cosdfrac{2pi}{5}$ の値の導出】

（1）より $omega^4 + omega^3 + omega^2 + omega + 1 = 0$

$omega^2$ で割ると：

$$omega^2 + omega + 1 + omega^{-1} + omega^{-2} = 0$$

$$left(omega^2 + omega^{-2}right) + left(omega + omega^{-1}right) + 1 = 0$$

$omega + omega^{-1} = omega + omega^4 = 2cosdfrac{2pi}{5} = t$ とおくと：

$$omega^2 + omega^{-2} = left(omega + omega^{-1}right)^2 - 2 = t^2 - 2$$

よって：

$$(t^2 - 2) + t + 1 = 0$$

$$t^2 + t - 1 = 0$$

$$t = frac{-1 pm sqrt{5}}{2}$$

$cosdfrac{2pi}{5} > 0$ より $t = dfrac{-1 + sqrt{5}}{2}$

（3）$omega^2 + omega^3$ の値

同様に、$omega^3 = overline{omega^2}$ なので：

$$omega^2 + omega^3 = 2cosfrac{4pi}{5}$$

$cosdfrac{4pi}{5} = 2cos^2dfrac{2pi}{5} - 1$ を用いるか、または（1）の結果から：

$$(omega + omega^4) + (omega^2 + omega^3) = -1$$

$$frac{-1 + sqrt{5}}{2} + (omega^2 + omega^3) = -1$$

$$omega^2 + omega^3 = -1 - frac{-1 + sqrt{5}}{2} = frac{-2 + 1 - sqrt{5}}{2} = boxed{frac{-1 - sqrt{5}}{2}}$$

【図形的意味】

$1, omega, omega^2, omega^3, omega^4$ は単位円に内接する正五角形の頂点を表します。$omega + omega^4$ と $omega^2 + omega^3$ は、それぞれ対称な頂点のペアの和（＝実部の2倍）を表しており、正五角形の幾何学的性質と黄金比 $phi = dfrac{1 + sqrt{5}}{2}$ が現れます。

【問題4】軌跡と図形（円と直線）（標準〜やや難）

【解答・解説】

【解法の方針】

これは「2点からの距離の比が一定」という条件なので、アポロニウスの円が現れます。

【解答】

$z = x + yi$（$x, y$ は実数）とおきます。

$|z - 2| = |x - 2 + yi| = sqrt{(x-2)^2 + y^2}$

$|z + 1| = |x + 1 + yi| = sqrt{(x+1)^2 + y^2}$

条件より：

$$sqrt{(x-2)^2 + y^2} = 2sqrt{(x+1)^2 + y^2}$$

両辺を2乗して：

$$(x-2)^2 + y^2 = 4{(x+1)^2 + y^2}$$

$$x^2 - 4x + 4 + y^2 = 4(x^2 + 2x + 1 + y^2)$$

$$x^2 - 4x + 4 + y^2 = 4x^2 + 8x + 4 + 4y^2$$

$$0 = 3x^2 + 12x + 3y^2$$

$$x^2 + 4x + y^2 = 0$$

$$(x + 2)^2 + y^2 = 4$$

よって、求める軌跡は：

$$boxed{text{中心 } -2 text{（複素数として）、半径 } 2 text{ の円}}$$

複素数で表すと：$|z + 2| = 2$

【別解：アポロニウスの円の公式を利用】

2点 $A(alpha)$, $B(beta)$ からの距離の比が $m : n$ である点の軌跡（アポロニウスの円）の中心と半径は：

• 中心：線分 $AB$ を $m^2 : n^2$ に内分・外分する点の中点
• または直接計算で、中心 $= dfrac{n^2alpha - m^2beta}{n^2 - m^2}$（$m neq n$ のとき）

今回、$alpha = 2$, $beta = -1$, $m = 1$, $n = 2$ なので：

$$text{中心} = frac{4 cdot 2 - 1 cdot (-1)}{4 - 1} = frac{8 + 1}{3} = 3 quad text{...これは間違い}$$

【訂正】条件は $|z - 2| : |z + 1| = 2 : 1$ なので、$A(2)$ からの距離 : $B(-1)$ からの距離 $= 2 : 1$ です。

内分点：$dfrac{1 cdot 2 + 2 cdot (-1)}{2 + 1} = dfrac{2 - 2}{3} = 0$

外分点：$dfrac{-1 cdot 2 + 2 cdot (-1)}{2 - 1} = dfrac{-2 - 2}{1} = -4$

中心は内分点と外分点の中点：$dfrac{0 + (-4)}{2} = -2$ ✓

半径は中心から内分点（または外分点）までの距離：$|0 - (-2)| = 2$ ✓

【ポイント】

• $|z - alpha| = k|z - beta|$ の形は即座にアポロニウスの円と気づく
• $k = 1$ のときは垂直二等分線（直線）になる
• $k neq 1$ のときは円になる

【問題5】複素数と三角形の形状（やや難）

【解答・解説】

【解法の方針】

$i$ を掛けることの図形的意味を考えます。

【解答】

条件 $gamma - alpha = i(beta - alpha)$ を分析します。

$i = cosdfrac{pi}{2} + isindfrac{pi}{2}$ なので、$i$ を掛けることは「原点を中心に $90°$ 回転」を意味します。

$gamma - alpha = i(beta - alpha)$ は、「ベクトル $overrightarrow{AC}$（$= gamma - alpha$）は、ベクトル $overrightarrow{AB}$（$= beta - alpha$）を $90°$ 回転させたもの」を意味します。

したがって：

• $|gamma - alpha| = |i| cdot |beta - alpha| = |beta - alpha|$ より $AC = AB$
• $overrightarrow{AC}$ と $overrightarrow{AB}$ のなす角は $90°$

よって、三角形 $ABC$ は：

$$boxed{text{頂点 } A text{ で直角をもつ直角二等辺三角形}}$$

【発展】

一般に、$dfrac{gamma - alpha}{beta - alpha}$ の絶対値と偏角を調べることで、三角形の形状がわかります：

• 絶対値 $= dfrac{AC}{AB}$（辺の比）
• 偏角 $= angle BAC$（頂点 $A$ での内角、ただし符号付き）

例えば $dfrac{gamma - alpha}{beta - alpha} = dfrac{1}{2} + dfrac{sqrt{3}}{2}i$ なら、$|cdot| = 1$, $arg = 60°$ より、$AB = AC$ かつ $angle BAC = 60°$ の二等辺三角形（正三角形の可能性あり）。

【問題6】複素数の方程式と図形（難）

【解答・解説】

【解答】

まず、$-8i$ を極形式で表します。

$-8i$ は実部 $0$、虚部 $-8$ なので、複素数平面上で虚軸の負の部分にあります。

$$|-8i| = 8, quad arg(-8i) = -frac{pi}{2} = frac{3pi}{2}$$

よって：

$$-8i = 8left(cosfrac{3pi}{2} + isinfrac{3pi}{2}right)$$

$z^3 = -8i$ の解を $z = r(costheta + isintheta)$ とおくと、ド・モアブルの定理より：

$$r^3(cos 3theta + isin 3theta) = 8left(cosfrac{3pi}{2} + isinfrac{3pi}{2}right)$$

絶対値を比較：$r^3 = 8$ より $r = 2$

偏角を比較：$3theta = dfrac{3pi}{2} + 2kpi$（$k$ は整数）

$$theta = frac{pi}{2} + frac{2kpi}{3}$$

$k = 0, 1, 2$ で異なる $theta$ が得られます：

• $k = 0$: $theta = dfrac{pi}{2}$
• $k = 1$: $theta = dfrac{pi}{2} + dfrac{2pi}{3} = dfrac{7pi}{6}$
• $k = 2$: $theta = dfrac{pi}{2} + dfrac{4pi}{3} = dfrac{11pi}{6}$

したがって：

$$z_0 = 2left(cosfrac{pi}{2} + isinfrac{pi}{2}right) = 2(0 + i) = boxed{2i}$$

$$z_1 = 2left(cosfrac{7pi}{6} + isinfrac{7pi}{6}right) = 2left(-frac{sqrt{3}}{2} - frac{1}{2}iright) = boxed{-sqrt{3} - i}$$

$$z_2 = 2left(cosfrac{11pi}{6} + isinfrac{11pi}{6}right) = 2left(frac{sqrt{3}}{2} - frac{1}{2}iright) = boxed{sqrt{3} - i}$$

【図形的性質】

3つの解 $z_0, z_1, z_2$ は：

• すべて原点からの距離が $2$（絶対値が $2$）
• 偏角が $dfrac{2pi}{3} = 120°$ ずつ異なる

よって、これら3点は：

$$boxed{text{原点を中心とする半径 } 2 text{ の円に内接する正三角形の頂点}}$$

【検算】

$z_0^3 = (2i)^3 = 8i^3 = 8 cdot (-i) = -8i$ ✓

【一般化】

$z^n = w$（$w neq 0$）の $n$ 個の解は、$|w|^{1/n}$ を半径とする円に内接する正 $n$ 角形の頂点を成します。

【問題7】複合的な図形問題（難関大レベル）

【解答・解説】

【解法の方針】

$|z| = 1$ より $z$ は単位円上の点。極形式を使って $w$ を表します。

【解答】

$|z| = 1$ より、$z = costheta + isintheta$（$0 leq theta < 2pi$）と表せます。

このとき：

$$frac{1}{z} = frac{1}{costheta + isintheta} = frac{costheta - isintheta}{(costheta + isintheta)(costheta - isintheta)} = frac{costheta - isintheta}{cos^2theta + sin^2theta}$$

$$= costheta - isintheta = cos(-theta) + isin(-theta)$$

したがって：

$$w = z + frac{1}{z} = (costheta + isintheta) + (costheta - isintheta) = 2costheta$$

$theta$ が $0$ から $2pi$ まで動くとき、$costheta$ は $-1$ から $1$ まで動くので、$w = 2costheta$ は $-2$ から $2$ まで動きます。

よって、$w$ は実数であり、求める軌跡は：

$$boxed{text{実軸上の } -2 leq w leq 2 text{ の部分（線分）}}$$

【別解：$zoverline{z} = 1$ を利用】

$|z| = 1$ より $zoverline{z} = |z|^2 = 1$、すなわち $overline{z} = dfrac{1}{z}$

$$w = z + frac{1}{z} = z + overline{z} = 2text{Re}(z)$$

$z$ が単位円上を動くとき、$text{Re}(z)$ は $-1$ から $1$ の範囲を動くので、$w$ は $-2$ から $2$ の範囲を動く。

【発展：$w = z - dfrac{1}{z}$ の場合】

$$w = z - frac{1}{z} = (costheta + isintheta) - (costheta - isintheta) = 2isintheta$$

この場合、$w$ は純虚数となり、軌跡は虚軸上の $-2i$ から $2i$ の部分になります。

ステップ別 実践ガイド

複素数平面を確実に得点源にするために、以下のステップで学習を進めましょう。

【STEP 1】基礎の完全習得（目安：1〜2週間）

習得すべき内容

• 複素数の四則演算（特に除法での分母の実数化）
• 共役複素数の性質と計算
• 絶対値の計算と性質（$|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ など）
• 極形式への変換（絶対値と偏角の求め方）
• ド・モアブルの定理の適用

確認テスト

以下の問題がスラスラ解けるか確認してください：

1. $(3 + 4i)(1 - 2i)$ を計算せよ
2. $dfrac{2 + i}{1 - 3i}$ を $a + bi$ の形で表せ
3. $z = -1 + sqrt{3}i$ を極形式で表せ
4. $left(cosdfrac{pi}{6} + isindfrac{pi}{6}right)^{12}$ を求めよ
5. $|z - 1 + 2i| = 3$ はどのような図形を表すか

学習のコツ

計算ミスを防ぐため、検算の習慣をつけましょう。特に：

• 極形式に変換したら、直交形式に戻して確認
• 累乗計算は低い次数で試してパターンを確認

【STEP 2】図形との対応の理解（目安：1〜2週間）

習得すべき内容

• 複素数の積と回転・拡大の関係
• 任意の点を中心とする回転の公式
• 内分点・外分点・重心の公式
• 円・直線・垂直二等分線の方程式
• アポロニウスの円

重要な公式カード

学習のコツ

図を描きながら学習しましょう。複素数の式変形が何を意味するか、常に図形的なイメージを持つことが大切です。

【STEP 3】典型問題の習熟（目安：2〜3週間）

マスターすべき問題パターン

1. n乗根の問題
   • $z^n = w$ の解を求める
   • 1の原始n乗根の性質
   • 正n角形との関係
2. 軌跡の問題
   • $|z - alpha| = r$ 型（円）
   • $|z - alpha| = |z - beta|$ 型（垂直二等分線）
   • $|z - alpha| = k|z - beta|$ 型（アポロニウスの円）
   • $text{arg}(z - alpha) = theta$ 型（半直線）
3. 三角形の形状問題
   • 正三角形の条件
   • 直角三角形・二等辺三角形の条件
   • $dfrac{gamma - alpha}{beta - alpha}$ の解釈
4. 複素数列の問題
   • 回転を繰り返す点の軌跡
   • 漸化式で定義される複素数列

演習量の目安

各パターンについて、最低5問は解いてください。できれば10問以上解くと、どんな出題にも対応できるようになります。

【STEP 4】入試問題演習（目安：2〜4週間）

取り組むべき問題

• 志望校の過去問（最低5年分）
• 同レベルの他大学の過去問
• 模試の復習

時間配分の練習

入試本番では、複素数平面の問題に15〜25分程度を想定しましょう。時間を計って演習することで、本番でのペース配分が身につきます。

復習のポイント

• 間違えた問題は必ず翌日にもう一度解く
• 解法の選択肢を増やす（ベクトルでも解けるか？座標でも解けるか？）
• 計算ミスのパターンを把握し、チェックリストを作る

【STEP 5】総仕上げ（試験1〜2週間前）

やるべきこと

もちろんです。続きを書いていきます。

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やるべきこと

• 公式・定理の最終確認（暗記カードやまとめノートの見直し）
• 過去に間違えた問題の総復習
• 時間を計った実戦形式の演習
• 計算ミス防止のチェックポイント確認

直前期の注意点

新しい問題に手を出しすぎないこと。直前期は「できることを確実にする」時期です。これまで解いた問題を見直し、解法パターンを頭に定着させることに集中しましょう。

試験当日のメンタル

複素数平面の問題は、一見複雑に見えても、基本の組み合わせであることがほとんどです。焦らず、「何を求めているのか」「どの公式・手法が使えるか」を冷静に判断しましょう。

よくある質問と回答

Q1. 複素数平面とベクトルの使い分けがわかりません。どちらを使えばいいですか？

A. 両者は密接に関連していますが、以下の基準で使い分けると効率的です。

複素数平面が有利な場面：

• 回転が絡む問題（複素数の積で自然に回転が表現できる）
• 正多角形や1のn乗根が関係する問題
• 累乗の計算が必要な問題（ド・モアブルの定理）
• 角度の加減が頻繁に出てくる問題

ベクトルが有利な場面：

• 内積を使う問題（垂直条件など）
• 3次元への拡張が必要な問題
• 直線のパラメータ表示が便利な問題
• 平行条件を多用する問題

【藤原のアドバイス】

入試では「どちらでも解ける問題」が多いです。普段から両方の解法で解く練習をしておくと、本番で柔軟に対応できます。迷ったら、まず問題文に「回転」「正三角形」「n乗」などのキーワードがあるかチェックしてください。あれば複素数平面が有力です。

Q2. 偏角を求めるとき、どの範囲で答えればいいですか？

A. 問題で指定がなければ、以下のどちらかを使うのが一般的です：

• $0 leq theta < 2pi$（最も一般的）
• $-pi < theta leq pi$（主値、$text{Arg } z$ と書くことも）

ただし、偏角は $2pi$ の整数倍だけ不定性があるので、$arg z$ は多価関数です。問題文の指示に従いつつ、計算途中では $2kpi$（$k$は整数）を適宜加減して扱いましょう。

【注意点】

$arg(z_1 z_2) = arg z_1 + arg z_2$ は、$2pi$ の整数倍の差を除いて成り立ちます。厳密には「$equiv$（$mod 2pi$）」で等号が成立すると理解してください。

Q3. 極形式への変換で、偏角の符号をよく間違えます。コツはありますか？

A. 必ず図を描いて確認する習慣をつけましょう。

手順は以下の通りです：

1. 複素数 $z = a + bi$ を複素数平面上にプロット
2. 原点から点 $z$ への矢印を描く
3. この矢印が実軸の正の向きとなす角を目視で確認
4. $costheta = dfrac{a}{|z|}$, $sintheta = dfrac{b}{|z|}$ から $theta$ を決定

よくあるミス：

• 第2象限の点で $theta = arctandfrac{b}{a}$ としてしまう（$arctan$ は $-dfrac{pi}{2}$ から $dfrac{pi}{2}$ の値しか返さない）
• 第3象限と第4象限を混同する

対策：各象限での偏角の範囲を覚えておく

Q4. 「$z$ が実数である条件」「$z$ が純虚数である条件」を複素数でどう表しますか？

A. 共役複素数を使って表現します。

$z$ が実数 $Leftrightarrow z = overline{z}$

（虚部が $0$ なので、$z = a + 0i$ と $overline{z} = a - 0i$ が一致）

$z$ が純虚数 $Leftrightarrow z = -overline{z}$ かつ $z neq 0$

（実部が $0$ なので、$z = 0 + bi$ と $-overline{z} = 0 + bi$ が一致）

【応用】

$dfrac{z_1}{z_2}$ が実数 $Leftrightarrow dfrac{z_1}{z_2} = overline{left(dfrac{z_1}{z_2}right)} = dfrac{overline{z_1}}{overline{z_2}}$

$Leftrightarrow z_1 overline{z_2} = overline{z_1} z_2$

$Leftrightarrow z_1 overline{z_2}$ が実数

Q5. アポロニウスの円の問題で、中心と半径を素早く求める方法はありますか？

A. 内分点・外分点を利用する方法が最速です。

2点 $A(alpha)$, $B(beta)$ からの距離の比が $m : n$（$m neq n$）である点の軌跡について：

1. 内分点 $P$：線分 $AB$ を $m : n$ に内分する点 $= dfrac{nalpha + mbeta}{m + n}$
2. 外分点 $Q$：線分 $AB$ を $m : n$ に外分する点 $= dfrac{-nalpha + mbeta}{m - n}$
3. 中心：$P$ と $Q$ の中点 $= dfrac{1}{2}left(dfrac{nalpha + mbeta}{m + n} + dfrac{-nalpha + mbeta}{m - n}right)$
4. 半径：中心から $P$（または $Q$）までの距離

【計算のコツ】

直接代入で計算すると煩雑になりがちです。$alpha$, $beta$ が具体的な数値なら、先に内分点・外分点を数値で求めてから中心を計算するほうが楽です。

Q6. 複素数の問題で「図形的に考える」のと「式で計算する」のは、どちらが確実ですか？

A. 最終的な答えは式で計算して出すべきですが、方針を立てる段階では図形的なイメージが非常に重要です。

具体的には：

1. 問題を読んだら、まず図を描く（点の位置関係、円や直線などをラフに描く）
2. 図を見ながら、何を求めるべきか考える（軌跡なのか、特定の点なのか）
3. 使えそうな公式・定理を選ぶ（回転、距離、偏角など）
4. 式を立てて計算する
5. 答えが図と矛盾しないか確認する

図形的直観と代数的計算の両輪を回すことが、複素数平面攻略の鍵です。

Q7. 入試で複素数平面の問題が出たとき、最初に何を確認すべきですか？

A. 以下の3点を最初に確認してください：

1. 何を求めるのか（軌跡、特定の点、図形の性質、面積など）
2. 与えられた条件の種類
   • 絶対値の条件（$|z - alpha| = r$ など）→ 円や距離の問題
   • 偏角の条件（$arg(z - alpha) = theta$ など）→ 角度や半直線の問題
   • 等式の条件（$z^n = w$ など）→ ド・モアブルの定理
   • 複数の点の関係（$gamma - alpha = i(beta - alpha)$ など）→ 回転や図形の形状
3. 複素数の表し方
   • $z = x + yi$ とおくか（直交形式）
   • $z = r(costheta + isintheta)$ とおくか（極形式）
   • そのまま $z$ で扱うか

この3点を確認してから計算に入ると、見通しよく解答できます。

Q8. 複素数平面の学習におすすめの参考書・問題集はありますか？

A. レベル別におすすめを紹介します。

【基礎固め】

• 教科書（数学C）+ 教科書傍用問題集
• 『チャート式 基礎からの数学C』（青チャート）
• 『基礎問題精講 数学III・C』

【標準〜応用】

• 『1対1対応の演習 数学III・C』（東京出版）
• 『標準問題精講 数学III・C』
• 『Focus Gold 数学III・C』

【難関大対策】

• 『新数学スタンダード演習』（東京出版）
• 『ハイレベル数学の完全攻略』
• 各大学の過去問

【藤原のおすすめ学習法】

問題集を何冊もやるより、1冊を完璧にするほうが効果的です。特に複素数平面は問題パターンが限られているので、典型問題を繰り返し解いて体に染み込ませましょう。

Q9. 計算ミスが多いのですが、どうすれば減らせますか？

A. 複素数平面特有の計算ミスには以下のようなものがあります。対策とともに紹介します。

【最も効果的な対策】

計算の途中で次元チェック（絶対値が正になっているか、偏角が適切な範囲にあるか）を行い、最後に別の方法で検算する習慣をつけましょう。

Q10. 複素数平面と他の分野（微積分、確率など）の融合問題への対策はどうすればいいですか？

A. 近年の入試では、複素数平面と他分野の融合問題が増えています。代表的なパターンと対策を紹介します。

【複素数 × 数列】

$z_{n+1} = alpha z_n + beta$ のような複素数の漸化式。回転と平行移動の繰り返しとして解釈し、固定点を求める。

【複素数 × 図形の面積】

複素数で表された三角形の面積は：

$$S = frac{1}{2}|(beta - alpha) times (gamma - alpha)| = frac{1}{2}|text{Im}{(overline{beta - alpha})(gamma - alpha)}|$$

または、各点を座標表示して通常の面積公式を使う。

【複素数 × 軌跡と領域】

$z$ の条件から $w = f(z)$ の軌跡を求める問題。$z$ を消去して $w$ の条件式を導く。

【対策のポイント】

融合問題では、複素数平面の知識だけでなく、融合される分野の基礎も固めておく必要があります。日頃から「この問題は他の分野とどう繋がるか」を意識しながら学習しましょう。

藤原進之介からのメッセージ

ここまで読んでくださり、ありがとうございます。

複素数平面は、最初はとっつきにくく感じる分野かもしれません。「虚数って何？」「なぜ平面で表すの？」という疑問から始まり、公式の多さに圧倒されることもあるでしょう。

しかし、私がこれまで多くの受験生を指導してきた経験から言えることがあります。

複素数平面は、一度「わかった！」と思える瞬間が来ると、急激に得意分野に変わります。

その「わかった！」の瞬間は、人によって違います。

• 「$i$ を掛けると $90°$ 回転する」ことを図で実感したとき
• ド・モアブルの定理の証明を自力でできたとき
• 正三角形の条件を複素数で表す問題がスラスラ解けたとき
• 1の $n$ 乗根が正 $n$ 角形の頂点になることを視覚的に理解したとき

その瞬間が来るまで、諦めずに問題を解き続けてください。わからないところは何度でも戻って復習してください。

私が常々生徒に伝えていることがあります。

複素数平面も例外ではありません。この記事で紹介した内容を、ぜひ実際の問題演習に活かしてください。

皆さんの合格を、心から応援しています。

日本数学塾・数強塾 看板講師
藤原進之介

日本数学塾・数強塾で一緒に合格を目指そう

最後に、私が講師を務める日本数学塾・数強塾についてご紹介させてください。

日本数学塾・数強塾とは？

日本数学塾と数強塾は、「数学が苦手な生徒を、数学が得意な生徒に変える」ことをミッションに掲げたオンライン数学専門塾です。

私たちの指導の特徴は以下の通りです：

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【特徴2】「なぜそうなるのか」を重視

公式の暗記ではなく、「なぜその公式が成り立つのか」「どういう発想で解法に至るのか」を徹底的に掘り下げます。本質を理解することで、初見の問題にも対応できる真の実力が身につきます。

【特徴3】オンラインで全国対応

日本全国どこからでも受講可能。地方にお住まいでも、東京の難関大受験指導を受けることができます。部活や学校行事で忙しい生徒も、スケジュールに合わせて柔軟に授業を設定できます。

【特徴4】豊富な実績

東大・京大・旧帝大・医学部など、難関大学への合格者を多数輩出しています。「数学が苦手だったのに、得点源になった」という声を多くいただいています。

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皆さんとお会いできることを、心から楽しみにしています。

一緒に、合格を掴み取りましょう！

付録：複素数平面 公式・定理一覧表

最後に、この記事で扱った公式・定理を一覧表にまとめました。印刷して手元に置いておくと便利です。

【基本公式】

【極形式・ド・モアブルの定理】

【図形の方程式】

【回転・拡大】

【1の $n$ 乗根】

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