空間ベクトル 苦手克服 完全解説｜藤原進之介が徹底解説【日本数学塾・数強塾】

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Step 3：共面条件を適用する

点Pが平面ABC上にあるとき、$overrightarrow{OP} = svec{a} + t'vec{b} + uvec{c}$と表したとき、係数の和が1になるという共面条件が成り立ちます。

つまり、$frac{1-t}{2} + frac{t}{3} + frac{2t}{3} = 1$

これを解きます：

$frac{1-t}{2} + frac{t + 2t}{3} = 1$

$frac{1-t}{2} + t = 1$

両辺に2を掛けて：

$(1-t) + 2t = 2$

$1 + t = 2$

$t = 1$

Step 4：$overrightarrow{OP}$を求める

$t = 1$を代入すると：

$overrightarrow{OP} = frac{1-1}{2}vec{a} + frac{1}{3}vec{b} + frac{2 times 1}{3}vec{c}$

$= 0 cdot vec{a} + frac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}$

$= frac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}$

【検算】係数の和を確認：$0 + frac{1}{3} + frac{2}{3} = 1$ ✓

【答え】$overrightarrow{OP} = frac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}$

【補足】この結果から、点Pは辺BC上の点（実はNと一致）であることがわかります。これは、直線MNを延長すると平面ABCと辺BC上で交わることを意味しています。

【問題4】垂直条件と垂線の足 〜難関大頻出〜

【解答・解説】

【解法の方針】

点から平面への垂線の足を求める問題は、空間ベクトルの中でも最重要パターンの一つです。

解法は以下の通りです：

1. 点Hは平面ABC上にある → 共面条件を使う
2. $overrightarrow{OH}$は平面ABCに垂直 → $overrightarrow{AB}$と$overrightarrow{AC}$の両方に垂直

Step 1：各ベクトルを求める

$overrightarrow{OA} = (1, 0, 0)$、$overrightarrow{OB} = (0, 2, 0)$、$overrightarrow{OC} = (0, 0, 3)$

$overrightarrow{AB} = overrightarrow{OB} - overrightarrow{OA} = (-1, 2, 0)$

$overrightarrow{AC} = overrightarrow{OC} - overrightarrow{OA} = (-1, 0, 3)$

Step 2：点Hの位置ベクトルを設定する

点Hは平面ABC上にあるので、共面条件より

$overrightarrow{OH} = overrightarrow{OA} + soverrightarrow{AB} + toverrightarrow{AC}$（$s, t$は実数）

$= (1, 0, 0) + s(-1, 2, 0) + t(-1, 0, 3)$

$= (1 - s - t, 2s, 3t)$

Step 3：垂直条件を立てる

$overrightarrow{OH}$が平面ABCに垂直であるためには、$overrightarrow{OH} perp overrightarrow{AB}$かつ$overrightarrow{OH} perp overrightarrow{AC}$

条件1：$overrightarrow{OH} cdot overrightarrow{AB} = 0$

$(1-s-t, 2s, 3t) cdot (-1, 2, 0) = 0$

$-(1-s-t) + 4s + 0 = 0$

$-1 + s + t + 4s = 0$

$5s + t = 1$ ... ①

条件2：$overrightarrow{OH} cdot overrightarrow{AC} = 0$

$(1-s-t, 2s, 3t) cdot (-1, 0, 3) = 0$

$-(1-s-t) + 0 + 9t = 0$

$-1 + s + t + 9t = 0$

$s + 10t = 1$ ... ②

Step 4：連立方程式を解く

① - ②より：

$5s + t - (s + 10t) = 0$

$4s - 9t = 0$

$s = frac{9t}{4}$ ... ③

③を②に代入：

$frac{9t}{4} + 10t = 1$

$frac{9t + 40t}{4} = 1$

$49t = 4$

$t = frac{4}{49}$

③に代入して：

$s = frac{9}{4} times frac{4}{49} = frac{9}{49}$

Step 5：点Hの座標を求める

$overrightarrow{OH} = (1 - s - t, 2s, 3t)$

$= left(1 - frac{9}{49} - frac{4}{49}, 2 times frac{9}{49}, 3 times frac{4}{49}right)$

$= left(1 - frac{13}{49}, frac{18}{49}, frac{12}{49}right)$

$= left(frac{36}{49}, frac{18}{49}, frac{12}{49}right)$

【答え】$Hleft(frac{36}{49}, frac{18}{49}, frac{12}{49}right)$

【別解：法線ベクトルを使う方法】

平面ABCの法線ベクトル$vec{n}$は、$overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}$で求められます。

$vec{n} = overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC} = (-1, 2, 0) times (-1, 0, 3)$

$= (2 times 3 - 0 times 0, 0 times (-1) - (-1) times 3, (-1) times 0 - 2 times (-1))$

$= (6, 3, 2)$

点Hは直線OH上にあり、この直線は原点を通り方向ベクトルが$vec{n}$なので：

$overrightarrow{OH} = k(6, 3, 2)$（$k$は実数）

また、点Hは平面ABC上にあるので、平面の方程式を求めて代入することで$k$が求まります。

【問題5】四面体の体積

【解答・解説】

【解法の方針】

四面体の体積を求める方法は主に2つあります：

1. 底面積 × 高さ × $frac{1}{3}$
2. スカラー三重積を使う公式：$V = frac{1}{6}|(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}|$

ここでは両方の方法で解いてみましょう。

【方法1】底面積 × 高さ

Step 1：底面OABの面積を求める

$overrightarrow{OA} = (2, 0, 0)$、$overrightarrow{OB} = (1, 3, 0)$

底面OABはxy平面上にあるので、面積は

$S_{OAB} = frac{1}{2}|x_A cdot y_B - x_B cdot y_A| = frac{1}{2}|2 times 3 - 1 times 0| = frac{1}{2} times 6 = 3$

Step 2：点Cから底面への高さを求める

底面OABはxy平面上（$z = 0$）にあるので、点C(1, 1, 4)から底面への高さは単純にCのz座標である4です。

Step 3：体積を計算

$V = frac{1}{3} times 3 times 4 = 4$

【方法2】スカラー三重積

$vec{a} = overrightarrow{OA} = (2, 0, 0)$

$vec{b} = overrightarrow{OB} = (1, 3, 0)$

$vec{c} = overrightarrow{OC} = (1, 1, 4)$

Step 1：$vec{a} times vec{b}$を計算

$vec{a} times vec{b} = (0 times 0 - 0 times 3, 0 times 1 - 2 times 0, 2 times 3 - 0 times 1)$

$= (0, 0, 6)$

Step 2：$(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}$を計算

$(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c} = (0, 0, 6) cdot (1, 1, 4) = 0 + 0 + 24 = 24$

Step 3：体積を計算

$V = frac{1}{6}|24| = 4$

【答え】$V = 4$

【問題6】直線と平面の交点 〜位置ベクトルの応用〜

【解答・解説】

Step 1：各点の位置ベクトルを求める

点P（辺OAを3:2に内分）：$overrightarrow{OP} = frac{3}{5}vec{a}$

点Q（辺OBの中点）：$overrightarrow{OQ} = frac{1}{2}vec{b}$

点R（辺OCを1:4に内分）：$overrightarrow{OR} = frac{1}{5}vec{c}$

点G（三角形ABCの重心）：$overrightarrow{OG} = frac{vec{a} + vec{b} + vec{c}}{3}$

Step 2：直線OG上の点を表す

点Hは直線OG上にあるので、実数$k$を用いて

$overrightarrow{OH} = koverrightarrow{OG} = k cdot frac{vec{a} + vec{b} + vec{c}}{3} = frac{k}{3}vec{a} + frac{k}{3}vec{b} + frac{k}{3}vec{c}$

Step 3：平面PQR上の点を表す

点Hが平面PQR上にある条件を考えます。

$overrightarrow{OH} = overrightarrow{OP} + soverrightarrow{PQ} + toverrightarrow{PR}$

ここで、

$overrightarrow{PQ} = overrightarrow{OQ} - overrightarrow{OP} = frac{1}{2}vec{b} - frac{3}{5}vec{a}$

$overrightarrow{PR} = overrightarrow{OR} - overrightarrow{OP} = frac{1}{5}vec{c} - frac{3}{5}vec{a}$

よって、

$overrightarrow{OH} = frac{3}{5}vec{a} + sleft(frac{1}{2}vec{b} - frac{3}{5}vec{a}right) + tleft(frac{1}{5}vec{c} - frac{3}{5}vec{a}right)$

$= frac{3}{5}vec{a} - frac{3s}{5}vec{a} - frac{3t}{5}vec{a} + frac{s}{2}vec{b} + frac{t}{5}vec{c}$

$= frac{3(1-s-t)}{5}vec{a} + frac{s}{2}vec{b} + frac{t}{5}vec{c}$

Step 4：係数を比較する

$vec{a}$、$vec{b}$、$vec{c}$は一次独立なので、係数を比較できます。

$frac{k}{3} = frac{3(1-s-t)}{5}$ ... ①

$frac{k}{3} = frac{s}{2}$ ... ②

$frac{k}{3} = frac{t}{5}$ ... ③

②より：$s = frac{2k}{3}$

③より：$t = frac{5k}{3}$

これらを①に代入：

$frac{k}{3} = frac{3left(1 - frac{2k}{3} - frac{5k}{3}right)}{5}$

$frac{k}{3} = frac{3left(1 - frac{7k}{3}right)}{5}$

$frac{k}{3} = frac{3 - 7k}{5}$

$frac{5k}{3} = 3 - 7k$

$5k = 9 - 21k$

$26k = 9$

$k = frac{9}{26}$

Step 5：$overrightarrow{OH}$を求める

$overrightarrow{OH} = frac{k}{3}(vec{a} + vec{b} + vec{c}) = frac{9}{26 times 3}(vec{a} + vec{b} + vec{c}) = frac{3}{26}(vec{a} + vec{b} + vec{c})$

【答え】$overrightarrow{OH} = frac{3}{26}(vec{a} + vec{b} + vec{c})$

【問題7】正射影ベクトル 〜発展問題〜

【解答・解説】

【正射影ベクトルとは】

ベクトル$vec{a}$の$vec{b}$方向への正射影ベクトルとは、$vec{a}$を$vec{b}$の方向に「影を落とした」ベクトルのことです。公式は：

$text{proj}_{vec{b}}vec{a} = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{b}|^2}vec{b}$

(1) 正射影ベクトルの計算

まず、必要な値を計算します。

$vec{a} cdot vec{b} = 1 times 3 + 2 times 0 + 2 times 4 = 3 + 0 + 8 = 11$

$|vec{b}|^2 = 3^2 + 0^2 + 4^2 = 9 + 0 + 16 = 25$

よって、正射影ベクトルは

$text{proj}_{vec{b}}vec{a} = frac{11}{25}(3, 0, 4) = left(frac{33}{25}, 0, frac{44}{25}right)$

(2) ベクトルの分解

$vec{a}$は以下のように分解できます：

$vec{a} = (vec{b}text{に平行な成分}) + (vec{b}text{に垂直な成分})$

$vec{b}$に平行な成分は、(1)で求めた正射影ベクトルです：

$vec{a}_{parallel} = left(frac{33}{25}, 0, frac{44}{25}right)$

$vec{b}$に垂直な成分は：

$vec{a}_{perp} = vec{a} - vec{a}_{parallel} = (1, 2, 2) - left(frac{33}{25}, 0, frac{44}{25}right)$

$= left(1 - frac{33}{25}, 2 - 0, 2 - frac{44}{25}right)$

$= left(frac{25-33}{25}, 2, frac{50-44}{25}right)$

$= left(-frac{8}{25}, 2, frac{6}{25}right)$

【検算】$vec{a}_{perp} cdot vec{b} = 0$を確認

$left(-frac{8}{25}, 2, frac{6}{25}right) cdot (3, 0, 4) = -frac{24}{25} + 0 + frac{24}{25} = 0$ ✓

【答え】

(1) $left(frac{33}{25}, 0, frac{44}{25}right)$

(2) $vec{b}$に平行な成分：$left(frac{33}{25}, 0, frac{44}{25}right)$、$vec{b}$に垂直な成分：$left(-frac{8}{25}, 2, frac{6}{25}right)$

ステップ別 実践ガイド

ここからは、空間ベクトルを確実にマスターするための具体的な学習ステップを紹介します。私がこれまで指導してきた中で、最も効果的だった学習法です。

【Step 1】平面ベクトルの完全復習（1〜2週間）

空間ベクトルに入る前に、平面ベクトルの基礎を完璧にしましょう。

チェックリスト

• □ ベクトルの加法・減法・実数倍が確実にできる
• □ 内積の定義（2通り）を説明できる
• □ 位置ベクトルの意味を理解している
• □ 内分点・外分点の公式を使いこなせる
• □ 共線条件（係数の和が1）を説明できる
• □ 垂直条件（内積が0）を使いこなせる
• □ ベクトル方程式の基本形を理解している

おすすめ教材

• 教科書の例題・練習問題をすべて解く
• 『チャート式 数学B』の基本例題
• 『Focus Gold 数学B』の基本問題

【Step 2】空間ベクトルの基本概念（1週間）

平面ベクトルとの違いを意識しながら、空間特有の概念を学びましょう。

学習内容

• 空間座標と成分表示（z成分の追加）
• 空間における内積の計算
• 2点間の距離の公式
• 空間における位置ベクトル

学習のポイント

「平面ベクトルの公式に z 成分を加えただけ」という意識で学ぶと、スムーズに理解できます。例えば：

続きを出力いたします。

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【Step 3】共面条件の徹底理解（1週間）

空間ベクトル最大の難所である「共面条件」を完璧にマスターしましょう。

共面条件とは

4点O, A, B, Cが同一平面上にないとき（四面体を作るとき）、点Pが平面ABC上にある条件は：

$overrightarrow{OP} = soverrightarrow{OA} + toverrightarrow{OB} + uoverrightarrow{OC}$（$s + t + u = 1$）

共面条件の別表現

同じ条件を別の形で表すこともできます：

$overrightarrow{OP} = overrightarrow{OA} + soverrightarrow{AB} + toverrightarrow{AC}$（$s, t$は任意の実数）

この形は「点Aを基準として、平面ABC上を$overrightarrow{AB}$方向と$overrightarrow{AC}$方向に動く」というイメージです。

練習問題の選び方

• 四面体の問題で「平面との交点」を求める問題を重点的に
• 「3点を通る平面上の点」という条件が出てきたら共面条件
• まずは係数の和が1になることを確認する習慣をつける

【Step 4】垂直条件と垂線の足（1〜2週間）

入試で最も頻出のパターンである「点から平面への垂線の足」を徹底的に練習しましょう。

基本的な解法手順

1. 垂線の足Hは平面上にある → 共面条件で$overrightarrow{OH}$を表す
2. $overrightarrow{OH}$（または$overrightarrow{PH}$）が平面に垂直 → 平面上の2つのベクトルとの内積が0
3. 連立方程式を解いて係数を決定

よくある間違い

• ❌ 垂直条件を1つしか立てない（2つ必要！）
• ❌ 共面条件を忘れる
• ❌ 計算ミス（特に符号）

【Step 5】体積計算のマスター（1週間）

四面体の体積を求める方法を複数習得しましょう。

方法1：底面積 × 高さ × 1/3

最も基本的な方法。底面を決めて、対応する頂点からの高さを求めます。

方法2：スカラー三重積

$V = frac{1}{6}|(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}|$

3つのベクトルが与えられているときに有効。

方法3：行列式を使う

$V = frac{1}{6}left|begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \ c_1 & c_2 & c_3 end{vmatrix}right|$

計算が複雑になりがちなので、使いこなすには練習が必要。

【Step 6】入試問題演習（2〜4週間）

最後に、実際の入試問題を使って総合力を鍛えましょう。

レベル別おすすめ問題集

効果的な演習方法

1. 時間を計る：1問15〜20分を目安に
2. 解法を言語化する：なぜその方法を選んだか説明できるように
3. 間違えた問題は3回解き直す：翌日、1週間後、1ヶ月後
4. パターンを分類する：「この問題は共面条件型だ」と瞬時に判断できるように

【学習スケジュール例】

以下は、空間ベクトルを6週間で完成させるモデルスケジュールです。

よくある質問と回答

受験生からよく寄せられる質問に、一つ一つ丁寧に答えていきます。

Q1. 空間ベクトルと座標空間、どちらで解くべきですか？

A. 問題のタイプによって使い分けるのがベストです。

座標空間（成分ベクトル）が有利な場合：

• 座標が具体的な数値で与えられている
• 距離や角度の具体的な値を求める
• 直線や平面の方程式を求める

位置ベクトルが有利な場合：

• 図形の性質を使う問題
• 内分点・外分点が関係する問題
• 「○：△に内分」のような条件がある
• 座標が文字で与えられている

【藤原のアドバイス】迷ったら、まず位置ベクトルで考えてみてください。位置ベクトルの方が図形的なイメージを持ちやすく、見通しが立てやすいことが多いです。

Q2. 共面条件の「係数の和が1」が覚えられません。

A. 以下のように理解すると、自然に覚えられます。

点Pが平面ABC上にあるとき、$overrightarrow{OP} = svec{a} + tvec{b} + uvec{c}$と表せます。

ここで、特に点Pが三角形ABCの重心Gのとき：

$overrightarrow{OG} = frac{1}{3}vec{a} + frac{1}{3}vec{b} + frac{1}{3}vec{c}$

係数の和 = $frac{1}{3} + frac{1}{3} + frac{1}{3} = 1$

また、点Pが頂点Aのとき：

$overrightarrow{OA} = 1 cdot vec{a} + 0 cdot vec{b} + 0 cdot vec{c}$

係数の和 = $1 + 0 + 0 = 1$

つまり、平面ABC上のどの点をとっても、係数の和は必ず1になるのです。

Q3. 外積（ベクトル積）は覚えるべきですか？

A. 志望校のレベルによります。

覚えるべき人：

• 難関国公立大学（東大・京大・阪大・東工大など）を受験する人
• 医学部を受験する人
• 計算を速くしたい人

必須ではない人：

• 共通テストのみで空間ベクトルを使う人
• 私立大学（早慶以外）を受験する人

外積を使わなくても、ほとんどの問題は内積だけで解けます。ただし、外積を知っていると、法線ベクトルや面積・体積の計算が格段に速くなります。

【外積の公式（念のため）】

$vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$、$vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$のとき

$vec{a} times vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)$

覚え方：「たすきがけ」のイメージで、2→3、3→1、1→2の順に計算します。

Q4. 図が描けなくて困っています。どうすればいいですか？

A. 以下の方法を試してみてください。

方法1：簡略化した図を描く

完璧な立体図を描こうとせず、重要な点と線だけを描きます。四面体なら、「Y」の形に3本の線を描いて、頂点に点を打つだけでOKです。

方法2：複数の平面図を描く

上から見た図（xy平面）、横から見た図（xz平面）など、複数の2次元の図を描いて考えます。

方法3：座標軸を意識する

問題に座標が与えられているときは、座標軸を描いて、その上に点をプロットしていきます。

方法4：図を描かずに計算で処理する

実は、多くの空間ベクトルの問題は、図を描かなくても計算だけで解けます。位置ベクトルと公式をしっかり使いこなせば、図形的な直感に頼る必要はありません。

Q5. 共通テストの空間ベクトル対策で特に注意することは？

A. 以下の3点を意識してください。

①計算スピードを上げる

共通テストは時間との戦いです。内積や大きさの計算を素早く正確にできるよう、日頃から計算練習をしましょう。

②誘導に乗る

共通テストは丁寧に誘導してくれます。前の小問の結果を次の小問で使うことが多いので、誘導の意図を読み取りましょう。

③典型パターンを押さえる

共通テストで出題される空間ベクトルは、比較的オーソドックスな問題が多いです。本記事で紹介した7つのパターンをしっかりマスターすれば、十分対応できます。

Q6. ベクトルの問題で、始点を変えるテクニックがよくわかりません。

A. ベクトルの等式$overrightarrow{AB} = overrightarrow{OB} - overrightarrow{OA}$を使いこなすことが重要です。

例えば、$overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{CD}$を計算したいとき：

$overrightarrow{AB} = overrightarrow{OB} - overrightarrow{OA} = vec{b} - vec{a}$

$overrightarrow{CD} = overrightarrow{OD} - overrightarrow{OC} = vec{d} - vec{c}$

よって、

$overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{CD} = (vec{b} - vec{a}) cdot (vec{d} - vec{c})$

このように、すべてのベクトルを「原点Oからの位置ベクトル」で表すと、計算がスムーズになります。

Q7. 空間ベクトルの勉強はいつから始めるべきですか？

A. 理想的なスケジュールは以下の通りです。

高校2年生の場合：

• 2年生の冬休み〜3年生の春休み：平面ベクトルを完成
• 3年生の4〜5月：空間ベクトルの基礎固め
• 3年生の6〜8月：入試問題演習

高校3年生で遅れている場合：

• 夏休みに集中的に取り組む（上記の6週間スケジュールを参考に）
• 9月以降は過去問演習と並行して弱点補強

【藤原のアドバイス】空間ベクトルは「やればできる」分野です。時間をかければ必ず伸びます。諦めずに取り組んでください！

藤原進之介からのメッセージ

ここまで読んでいただき、ありがとうございます。

空間ベクトルは、多くの受験生が「苦手」と感じる分野です。しかし、私はこれまで数千人の生徒を指導してきた中で、「正しい方法で学べば、誰でも空間ベクトルを得意にできる」ということを確信しています。

実際、私の生徒の中には、最初は「空間ベクトルが全くわからない」と言っていたのに、数ヶ月後には「空間ベクトルが一番得意になった」という生徒がたくさんいます。彼らに共通しているのは、以下の3つの姿勢です。

1. 基礎を疎かにしない

「早く入試問題を解きたい」という気持ちはわかります。しかし、基礎が不十分なまま応用問題に挑んでも、結局は遠回りになります。平面ベクトルの復習から始めて、一歩一歩着実に進んでください。

2. 公式の意味を理解する

公式を丸暗記するのではなく、「なぜその公式が成り立つのか」を理解することが大切です。理解していれば、公式を忘れても自分で導けますし、応用問題にも対応できます。

3. 繰り返し練習する

空間ベクトルは「わかる」と「できる」の間に大きなギャップがある分野です。解法を理解したら、類似問題を繰り返し解いて、体に染み込ませてください。

受験勉強は長く厳しい道のりです。しかし、その先には必ず、あなたの努力が報われる瞬間が待っています。

私は、著書を9冊出版し、YouTube「数学・英語のトリセツ」チャンネルで多くの受験生に数学を教えてきました。その経験から言えるのは、「数学は才能ではなく、努力で伸びる」ということです。

空間ベクトルも例外ではありません。正しい方法で、十分な量の練習を積めば、必ず得点源に変えることができます。

この記事が、あなたの空間ベクトル攻略の第一歩になれば、これほど嬉しいことはありません。

最後に、私の座右の銘をお伝えして、このメッセージを締めくくりたいと思います。

「数学は、考える力を鍛える最高のトレーニングである」

空間ベクトルを通じて、あなたの「考える力」がさらに磨かれることを願っています。

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藤原進之介

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A. もちろんです。早めに始めるほど、じっくりと基礎を固めることができます。高1・高2のうちから受講を始めて、高3では応用問題や過去問演習に集中できる状態を作りましょう。

最後に

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まとめ：空間ベクトル攻略のポイント

最後に、この記事の重要ポイントを整理します。

この記事が、あなたの空間ベクトル克服の助けになれば幸いです。

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