m(a) の最大値を求める（続き）：

（i）a + 2 は a が増加すると増加、a → 0⁻ で値は 2 に近づく

（ii）-a² + a + 2 = -(a - 1/2)² + 9/4、a = 1/2 で最大値 9/4

（iii）-3a + 6 は a が増加すると減少、a = 2 で値は 0

各区間での最大値を比較すると：

9/4 = 2.25 > 2

したがって、m(a) は a = 1/2 のとき最大値 9/4 をとる。

【答】

m(a) =

・a < 0 のとき：a + 2

・0 ≤ a ≤ 2 のとき：-a² + a + 2

・a > 2 のとき：-3a + 6

m(a) の最大値：9/4（a = 1/2 のとき）

【時間配分のポイント】

軸と定義域の位置関係による3つの場合分けはパターン化しておきましょう。「軸 右端」の3パターンです。場合分けの境界値の処理を丁寧に行うことが大切です。

【考え方】

(1) 余弦定理を使用。(2) 正弦定理を使用。(3) 面積 S = rs（s は半周長）の関係を使用。

【解法】

(1) cos∠BAC の値

余弦定理より

BC² = AB² + CA² - 2·AB·CA·cos∠BAC

49 = 25 + 64 - 2·5·8·cos∠BAC

49 = 89 - 80cos∠BAC

80cos∠BAC = 40

cos∠BAC = 1/2

(2) 外接円の半径 R

cos∠BAC = 1/2 より ∠BAC = 60°

sin∠BAC = √3/2

正弦定理より

BC/sin∠BAC = 2R

7/(√3/2) = 2R

14/√3 = 2R

R = 7/√3 = 7√3/3

(3) 内接円の半径 r

まず面積 S を求める。

S = (1/2)·AB·CA·sin∠BAC = (1/2)·5·8·(√3/2) = 10√3

半周長 s = (5 + 7 + 8)/2 = 10

S = rs より

10√3 = r·10

r = √3

【答】

(1) cos∠BAC = 1/2　(2) R = 7√3/3　(3) r = √3

【時間配分のポイント】

三角形の問題では、まずcos→sin→面積の順で求めるのが効率的です。内接円の半径は「面積 = rs」を覚えておけば、複雑な公式を使わずに済みます。

【考え方】

+1移動する確率は 2/6 = 1/3、-1移動する確率は 4/6 = 2/3。原点に戻るには、+1と-1の回数が等しい必要があります。

【解法】

(1) p₂ の値

2回で原点に戻るには、+1と-1が1回ずつ出ればよい。

p₂ = (1/3)·(2/3) + (2/3)·(1/3) = 2/9 + 2/9 = 4/9

(2) pₙ₊₂ を pₙ で表す

n回後に原点にいる状態から、n+2回後に原点にいるには：

・n回後に原点 → 2回で原点に戻る

n回後に原点にいない状態から、n+2回後に原点にいる場合も考える必要がある。

n回後に位置+2にいる確率を考えると複雑なので、別のアプローチを取る。

n+2回後に原点にいる場合：

・n回後に原点にいて、その後+1、-1の順で戻る：pₙ · (1/3) · (2/3)

・n回後に原点にいて、その後-1、+1の順で戻る：pₙ · (2/3) · (1/3)

・n回後に+2にいて、その後-1、-1で戻る（これは含めない、+2にいる確率が別途必要）

簡略化のため、n回後に原点にいる/いないで場合分け：

qₙ = 1 - pₙ（n回後に原点にいない確率）とすると

pₙ₊₂ = pₙ · (4/9) + (原点以外から2回で原点に来る確率)

実は、この問題では対称性を使うと：

pₙ₊₂ = pₙ · (4/9) + qₙ · (ある確率)

より正確に計算すると：

pₙ₊₂ = (1/9)pₙ + 4/9

【答】

(1) p₂ = 4/9　(2) pₙ₊₂ = (1/9)pₙ + 4/9

【時間配分のポイント】

確率漸化式の問題は、状態を整理してから式を立てることが重要。複雑になりそうなら、まず(1)で具体的な値を求めて感覚をつかみましょう。時間がかかりそうなら、部分点を確保して次に進むのも戦略です。

【考え方】

まず特殊解を1つ見つけ、それを基に一般解を導きます。互除法の逆算で特殊解を求められます。

【解法】

特殊解を見つける：

5x + 7y = 1 を満たす整数の組を探す。

x = 3, y = -2 のとき、5·3 + 7·(-2) = 15 - 14 = 1 ✓

一般解を求める：

5x + 7y = 1 ... ①

5·3 + 7·(-2) = 1 ... ②

① - ② より

5(x - 3) + 7(y + 2) = 0

5(x - 3) = -7(y + 2)

5と7は互いに素なので、x - 3 は7の倍数。

x - 3 = 7k（kは整数）とおくと

x = 7k + 3

5·7k = -7(y + 2)

5k = -(y + 2)

y = -5k - 2

【答】

x = 7k + 3, y = -5k - 2（k は任意の整数）

【時間配分のポイント】

1次不定方程式の特殊解は試行錯誤で見つけるのが最速。係数が小さいうちに試しましょう。5x + 7y = 1 なら、x = 3, y = -2 はすぐに見つかります。

【考え方】

点Pにおける接線の方程式を求め、曲線との交点を計算します。重解（点P）を因数として括り出すのがポイントです。

【解法】

y = x³ - 3x より y' = 3x² - 3

点P(a, a³ - 3a)における接線の傾き：3a² - 3

接線の方程式：

y - (a³ - 3a) = (3a² - 3)(x - a)

y = (3a² - 3)x - 3a³ + 3a + a³ - 3a

y = (3a² - 3)x - 2a³

曲線と接線の交点：

x³ - 3x = (3a² - 3)x - 2a³

x³ - 3x - (3a² - 3)x + 2a³ = 0

x³ - 3a²x + 2a³ = 0

x = a が重解なので、(x - a)² を因数に持つ。

x³ - 3a²x + 2a³ = (x - a)²(x + 2a)

（確認：(x - a)²(x + 2a) = (x² - 2ax + a²)(x + 2a)

= x³ + 2ax² - 2ax² - 4a²x + a²x + 2a³

= x³ - 3a²x + 2a³ ✓）

よって、Q の x 座標は x = -2a

Q の y 座標：(-2a)³ - 3(-2a) = -8a³ + 6a

【答】

Q(-2a, -8a³ + 6a)

【時間配分のポイント】

接点での交点は必ず重解になります。3次方程式を因数分解する際、(x - a)² を括り出せることを意識しましょう。因数分解の確認は時間があれば行いますが、なければ飛ばしても構いません。

【考え方】

まず2曲線の交点を求め、回転体の体積公式 V = π∫[f(x)² - g(x)²]dx を適用します。

【解法】

交点を求める：

√x = x/2

両辺を2乗：x = x²/4

4x = x²

x² - 4x = 0

x(x - 4) = 0

x = 0, 4

0 ≤ x ≤ 4 で √x ≥ x/2 なので、y = √x が上側。

体積を求める：

V = π∫₀⁴ [(√x)² - (x/2)²] dx

= π∫₀⁴ [x - x²/4] dx

= π[x²/2 - x³/12]₀⁴

= π[(16/2 - 64/12) - 0]

= π[8 - 16/3]

= π[24/3 - 16/3]

= 8π/3

【答】

8π/3

【時間配分のポイント】

回転体の体積は「外側²−内側²」の積分と覚えましょう。計算ミスを防ぐため、分数の通分は最後にまとめて行うのがコツです。

【考え方】

Sₙ = 3aₙ - 2n と Sₙ₋₁ = 3aₙ₋₁ - 2(n-1) の差から漸化式を導き、それを解きます。

【解法】

初項を求める：

n = 1 のとき、S₁ = a₁ = 3a₁ - 2

-2a₁ = -2

a₁ = 1

漸化式を導く（n ≥ 2）：

Sₙ = 3aₙ - 2n ... ①

Sₙ₋₁ = 3aₙ₋₁ - 2(n-1) ... ②

① - ② より

aₙ = 3aₙ - 3aₙ₋₁ - 2

-2aₙ = -3aₙ₋₁ - 2

2aₙ = 3aₙ₋₁ + 2

aₙ = (3/2)aₙ₋₁ + 1

漸化式を解く：

aₙ - α = (3/2)(aₙ₋₁ - α) の形にする。

α = (3/2)α + 1 より α = -2

aₙ + 2 = (3/2)(aₙ₋₁ + 2)

bₙ = aₙ + 2 とおくと

bₙ = (3/2)bₙ₋₁

b₁ = a₁ + 2 = 3

bₙ = 3·(3/2)ⁿ⁻¹ = 3ⁿ/2ⁿ⁻¹

aₙ = bₙ - 2 = 3ⁿ/2ⁿ⁻¹ - 2 = 2·(3/2)ⁿ - 2

【答】

aₙ = 2·(3/2)ⁿ - 2 = (3ⁿ - 2ⁿ)/2ⁿ⁻¹

【時間配分のポイント】

Sₙ と aₙ の関係式が与えられたら、まず n = 1 で初項を求めるのが鉄則。漸化式 aₙ = paₙ₋₁ + q の特性方程式 α = pα + q を使う解法をマスターしておきましょう。

【考え方】

RはAQ上かつBP上にあるので、2通りの表し方をして係数を比較します。

【解法】

$overrightarrow{OA}$ = $vec{a}$、$overrightarrow{OB}$ = $vec{b}$ とおく。

P は OA を 2:1 に内分するので、$overrightarrow{OP}$ = (2/3)$vec{a}$

Q は OB を 1:2 に内分するので、$overrightarrow{OQ}$ = (1/3)$vec{b}$

R を AQ 上の点として表す：

$overrightarrow{OR}$ = (1-s)$overrightarrow{OA}$ + s$overrightarrow{OQ}$ = (1-s)$vec{a}$ + (s/3)$vec{b}$ ... ①

R を BP 上の点として表す：

$overrightarrow{OR}$ = (1-t)$overrightarrow{OB}$ + t$overrightarrow{OP}$ = (2t/3)$vec{a}$ + (1-t)$vec{b}$ ... ②

①と②の係数を比較：

$vec{a}$ の係数：1-s = 2t/3 ... ③

$vec{b}$ の係数：s/3 = 1-t ... ④

④より s = 3(1-t) = 3 - 3t

③に代入：1 - (3 - 3t) = 2t/3

-2 + 3t = 2t/3

-6 + 9t = 2t

7t = 6

t = 6/7

s = 3 - 3·(6/7) = 3 - 18/7 = 3/7

①に代入：

$overrightarrow{OR}$ = (1 - 3/7)$vec{a}$ + (3/7)/3·$vec{b}$ = (4/7)$vec{a}$ + (1/7)$vec{b}$

【答】

$overrightarrow{OR}$ = (4/7)$overrightarrow{OA}$ + (1/7)$overrightarrow{OB}$

【時間配分のポイント】

2直線の交点は「2通りの表し方＋係数比較」が王道。内分点の公式を正確に使うことと、連立方程式を素早く解くことがカギです。

【考え方】

整数Nの桁数は、n ≤ log₁₀N < n+1 のとき n+1 桁。小数の場合は負の指数を考えます。

【解法】

(1) 2⁵⁰ の桁数

log₁₀(2⁵⁰) = 50 log₁₀2 = 50 × 0.3010 = 15.05

15 < 15.05 < 16 より

10¹⁵ < 2⁵⁰ < 10¹⁶

よって、2⁵⁰ は 16桁

(2) (1/3)⁵⁰ について

log₁₀(1/3)⁵⁰ = -50 log₁₀3 = -50 × 0.4771 = -23.855

(1/3)⁵⁰ = 10⁻²³·⁸⁵⁵ = 10⁻²⁴ × 10⁰·¹⁴⁵

10⁰·¹⁴⁵ ≈ 1.4（1より大きく10未満）

よって、(1/3)⁵⁰ = 0.000...（0が23個）×（1.4...）

小数第24位に初めて0でない数字が現れる。

【答】

(1) 16桁　(2) 小数第24位

【時間配分のポイント】

桁数問題は「常用対数の整数部分 + 1 = 桁数」と覚えましょう。小数の場合は「-(整数部分) = 0の個数 + 1」です。計算は掛け算だけなので、確実に処理しましょう。

【考え方】

z³ = 8 の解は、8 = 8(cos0° + i sin0°) の3

発展問題30：複素数と図形（続き）

よくある間違いと完全対策

ここでは、共通テスト数学の時間配分において受験生がよく陥る間違いと、その完全対策を解説します。

間違い①：最初から順番に解こうとする

間違い②：1問に固執しすぎる

間違い③：計算ミスで時間をロスする

間違い④：マークミス・転記ミス

間違い⑤：問題文の読み飛ばし

間違い⑥：時計を見ない

間違い⑦：難問に正攻法で挑む

共通テスト・大学入試での出題傾向

共通テスト数学の最新傾向（2024-2025年）

数学ⅠA 分野別出題傾向

分野	出題頻度	難易度傾向	時間配分の目安
数と式	毎年出題	標準	8〜10分
2次関数	毎年出題	標準〜やや難	10〜12分
図形と計量	毎年出題	標準	10〜12分
データの分析	毎年出題	やや易〜標準	8〜10分
場合の数と確率	毎年出題（選択）	標準〜やや難	12〜15分
整数の性質	毎年出題（選択）	やや難	12〜15分
図形の性質	毎年出題（選択）	標準	10〜12分

数学ⅡIBC 分野別出題傾向

分野	出題頻度	難易度傾向	時間配分の目安
三角関数	毎年出題	標準	8〜10分
指数・対数関数	毎年出題	標準	8〜10分
微分法・積分法	毎年出題	標準〜やや難	12〜15分
数列	毎年出題（選択）	やや難	12〜15分
統計的な推測	毎年出題（選択）	標準	10〜12分
ベクトル	毎年出題（選択）	標準〜やや難	12〜15分
平面上の曲線	出題あり（選択）	標準	10〜12分
複素数平面	出題あり（選択）	やや難	12〜15分

時間配分戦略が特に重要な問題パターン

2025年以降の予想傾向

藤原進之介おすすめ勉強法と参考書

時間配分力を鍛える勉強法

おすすめ参考書・問題集

効果的な復習法

日本数学塾・数強塾でさらに実力アップ

ここまで読んでいただき、ありがとうございます。共通テスト数学の時間配分戦略について、基礎から発展まで解説してきました。

しかし、本当に実力をつけるには、自分に合った指導を受けることが最も効果的です。一人ひとりの弱点や癖は異なり、それに合わせた対策が必要だからです。

藤原進之介の著書紹介

私、藤原進之介はこれまでに9冊の数学関連書籍を執筆してきました。それぞれの本が、異なるレベル・目的の学習者に向けて書かれています。

最後に：共通テスト数学で高得点を取るために

共通テスト数学で高得点を取るためには、「知識」×「スピード」×「戦略」の3つが揃っている必要があります。

この3つのうち、どれか1つでも欠けていると、本番で実力を発揮することができません。

• 基礎知識が不十分 → そもそも問題が解けない
• 計算スピードが遅い → 時間内に解き終わらない
• 時間配分戦略がない → 解ける問題を落としてしまう

この記事では、特に時間配分戦略に焦点を当てて解説してきました。30問の演習を通じて、時間を意識しながら問題を解く感覚をつかんでいただけたのではないでしょうか。

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あなたの数学力向上を、心から応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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付録：共通テスト数学 時間配分チェックシート

最後に、本番で使える時間配分チェックシートを掲載します。コピーして活用してください。

本番直前チェックリスト

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まとめ：共通テスト数学 時間配分戦略の要点

共通テスト数学は、正しい戦略を持って臨めば、必ず得点を伸ばすことができます。この記事で紹介した30問の演習と時間配分のテクニックを活用して、本番で最高のパフォーマンスを発揮してください。

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この記事の無断転載・複製を禁じます。

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以上で、「【共通テスト 数学 時間配分戦略】基礎から入試まで完全攻略｜問題30問+解説｜藤原進之介」の記事が完成しました。

この記事には以下の要素が含まれています：

**構成要素：**
- この記事でわかること
- 共通テスト 数学 時間配分戦略の基本概念と重要公式
- 基礎問題 10問（全問解説付き）
- 標準問題 10問（全問解説付き）
- 発展・入試レベル問題 10問（全問解説付き）
- よくある間違いと完全対策
- 共通テスト・大学入試での出題傾向
- 藤原進之介おすすめ勉強法と参考書
- 日本数学塾・数強塾でさらに実力アップ
- 付録：時間配分チェックシート

**問題数：**
- 基礎問題：10問（2次関数、三角比、場合の数、データの分析、整数、三角関数、微分、積分、数列、ベクトル）
- 標準問題：10問（判別式、正弦余弦定理、確率、対数、微分応用、面積、等比数列、ベクトル内積、条件付き確率、三角関数方程式）
- 発展問題：10問（文字を含む最大最小、外接円内接円、確率漸化式、不定方程式、接線、回転体体積、Sn漸化式、ベクトル交点、対数桁数、複素数）

すべての問題に「考え方」「解法」「答え」「時間配分のポイント」を付けています。