青山学院大学 2002年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは、日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は、青山学院大学 2002年度 数学の過去問を徹底解説していきます。MARCH（明治・青山学院・立教・中央・法政）の一角を担う青山学院大学は、多くの受験生が憧れる人気校です。しかし、その入試問題は決して簡単ではありません。

この記事では、2002年度の数学入試問題を大問ごとに詳しく解説し、解法のポイントや別解まで丁寧にお伝えします。過去問演習を通じて、青山学院大学合格に必要な数学力を身につけていきましょう！

試験概要・難易度

2002年度 青山学院大学 数学入試の基本情報

全体講評

2002年度の青山学院大学数学入試は、例年通りの標準的な難易度でした。基礎・標準レベルの問題が中心で、教科書の章末問題レベルをしっかり押さえていれば対応できる問題が多く出題されました。

特徴的なのは以下の3点です：

1. 計算量の多さ：時間内に正確に処理する力が求められる
2. 幅広い分野からの出題：特定分野に偏らず、まんべんなく出題される
3. 典型問題の変形：基本問題をベースにした応用問題が多い

難易度の目安としては、青チャートや黄チャートの例題・練習問題レベルが解ければ十分合格点が狙えます。ただし、計算ミスは命取りになるので、正確性と速度の両立が重要です。

大問1：小問集合（数と式・二次関数・三角比）

問題

解説・解法のポイント

(1) 二重根号の計算

【解法のポイント】二重根号 $sqrt{a pm 2sqrt{b}}$ は、$sqrt{c} pm sqrt{d}$（ただし $c + d = a$, $cd = b$）の形に変形できます。

【解答】

$sqrt{12 - 6sqrt{3}}$ を計算します。

まず、$12 - 6sqrt{3} = 12 - 2sqrt{27}$ と変形します。

$a + b = 12$、$ab = 27$ を満たす $a, b$ を探すと、$a = 9$, $b = 3$ が見つかります。

（$9 + 3 = 12$、$9 times 3 = 27$ ✓）

よって、$sqrt{12 - 6sqrt{3}} = sqrt{9} - sqrt{3} = 3 - sqrt{3}$

（$sqrt{9} > sqrt{3}$ なので、引き算の形になります）

答：$3 - sqrt{3}$

(2) 解と係数の関係と対称式

【解法のポイント】解と係数の関係から $alpha + beta$、$alphabeta$ を求め、対称式の公式を使います。

【解答】

解と係数の関係より：

• $alpha + beta = 5$
• $alphabeta = 3$

$alpha^3 + beta^3$ は次の公式を使います：

$alpha^3 + beta^3 = (alpha + beta)^3 - 3alphabeta(alpha + beta)$

代入すると：

$alpha^3 + beta^3 = 5^3 - 3 times 3 times 5 = 125 - 45 = 80$

答：$80$

(3) 二次関数の平行移動

【解法のポイント】まず元の関数の頂点を求め、平行移動後の頂点の座標を文字で表します。

【解答】

$y = x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1$ より、元の頂点は $(2, 1)$

$x$ 軸方向に $a$、$y$ 軸方向に $b$ 平行移動すると：

• 新しい頂点：$(2+a, 1+b)$
• 新しい関数：$y = (x - 2 - a)^2 + 1 + b$

条件1：頂点が直線 $y = 2x$ 上にある

$1 + b = 2(2 + a)$

$1 + b = 4 + 2a$

$b = 3 + 2a$ ... ①

条件2：点 $(1, 3)$ を通る

$3 = (1 - 2 - a)^2 + 1 + b$

$3 = (-1 - a)^2 + 1 + b$

$3 = (1 + a)^2 + 1 + b$

$(1 + a)^2 + b = 2$ ... ②

①を②に代入：

$(1 + a)^2 + 3 + 2a = 2$

$1 + 2a + a^2 + 3 + 2a = 2$

$a^2 + 4a + 2 = 0$

$a = frac{-4 pm sqrt{16-8}}{2} = frac{-4 pm 2sqrt{2}}{2} = -2 pm sqrt{2}$

①より：

• $a = -2 + sqrt{2}$ のとき、$b = 3 + 2(-2 + sqrt{2}) = -1 + 2sqrt{2}$
• $a = -2 - sqrt{2}$ のとき、$b = 3 + 2(-2 - sqrt{2}) = -1 - 2sqrt{2}$

答：$(a, b) = (-2 + sqrt{2}, -1 + 2sqrt{2})$ または $(-2 - sqrt{2}, -1 - 2sqrt{2})$

(4) 三角比の相互関係

【解法のポイント】$sin^2theta + cos^2theta = 1$ を使い、角度の範囲から符号を決定します。

【解答】

$sin^2theta + cos^2theta = 1$ より：

$sin^2theta = 1 - left(-frac{3}{5}right)^2 = 1 - frac{9}{25} = frac{16}{25}$

$sintheta = pmfrac{4}{5}$

$0° leq theta leq 180°$ で $costheta < 0$ なので、$90° < theta leq 180°$（第2象限）

よって $sintheta > 0$ より、$sintheta = frac{4}{5}$

$tantheta = frac{sintheta}{costheta} = frac{4/5}{-3/5} = -frac{4}{3}$

答：$sintheta = frac{4}{5}$、$tantheta = -frac{4}{3}$

別解・発展

(1) の別解：直接展開して確認する方法

$(3 - sqrt{3})^2 = 9 - 6sqrt{3} + 3 = 12 - 6sqrt{3}$ ✓

(2) の別解：$alpha^2 + beta^2 = (alpha + beta)^2 - 2alphabeta = 25 - 6 = 19$ を先に求め、

$alpha^3 + beta^3 = (alpha + beta)(alpha^2 - alphabeta + beta^2) = 5 times (19 - 3) = 80$

大問2：場合の数と確率

問題

解説・解法のポイント

【基本方針】「同時に取り出す」は組み合わせで考えます。全事象の場合の数を分母とし、条件を満たす場合の数を分子として確率を求めます。

全事象の計算

9個から3個を選ぶ場合の数：

$_9C_3 = frac{9 times 8 times 7}{3 times 2 times 1} = 84$ 通り

(1) 3個とも同じ色である確率

【解答】

3個とも同じ色になるのは：

• 赤3個：$_3C_3 = 1$ 通り
• 白3個：$_4C_3 = 4$ 通り
• 青3個：$_2C_3 = 0$ 通り（青は2個しかないので不可能）

よって、$1 + 4 + 0 = 5$ 通り

確率 $= frac{5}{84}$

答：$frac{5}{84}$

(2) 3個とも異なる色である確率

【解答】

赤1個、白1個、青1個を選ぶ場合の数：

$_3C_1 times {_4C_1} times {_2C_1} = 3 times 4 times 2 = 24$ 通り

確率 $= frac{24}{84} = frac{2}{7}$

答：$frac{2}{7}$

(3) 少なくとも1個は赤球である確率

【解法のポイント】「少なくとも～」は余事象を使うと簡単です。

【解答】

余事象「赤球が1個も含まれない」を考えます。

白4個と青2個の計6個から3個を選ぶ：

$_6C_3 = frac{6 times 5 times 4}{3 times 2 times 1} = 20$ 通り

赤球が1個も含まれない確率 $= frac{20}{84} = frac{5}{21}$

よって、少なくとも1個は赤球である確率：

$1 - frac{5}{21} = frac{16}{21}$

答：$frac{16}{21}$

(4) 赤球がちょうど1個含まれる確率

【解答】

赤球1個を選ぶ方法：$_3C_1 = 3$ 通り

残り2個を白・青の計6個から選ぶ方法：$_6C_2 = 15$ 通り

よって、$3 times 15 = 45$ 通り

確率 $= frac{45}{84} = frac{15}{28}$

答：$frac{15}{28}$

別解・発展

(3) の別解：直接計算

赤球の個数が1個、2個、3個の場合をそれぞれ計算して足す方法もあります。

• 赤1個：$_3C_1 times {_6C_2} = 3 times 15 = 45$ 通り
• 赤2個：$_3C_2 times {_6C_1} = 3 times 6 = 18$ 通り
• 赤3個：$_3C_3 times {_6C_0} = 1 times 1 = 1$ 通り

合計：$45 + 18 + 1 = 64$ 通り

確率 $= frac{64}{84} = frac{16}{21}$ ✓

【発展】この問題を超幾何分布の観点から考えると、統計学への橋渡しになります。

大問3：図形と方程式（円と直線）

問題

解説・解法のポイント

(1) 2点で交わる条件

【解法のポイント】円の中心から直線までの距離が、円の半径より小さい条件を使います。

【解答】

円 $C$ の中心は原点 $(0, 0)$、半径は $2$

直線 $l: x - y + k = 0$ と原点の距離 $d$ は：

$d = frac{|0 - 0 + k|}{sqrt{1^2 + (-1)^2}} = frac{|k|}{sqrt{2}}$

2点で交わる条件：$d < 2$

$frac{|k|}{sqrt{2}} < 2$

$|k| < 2sqrt{2}$

$-2sqrt{2} < k < 2sqrt{2}$

答：$-2sqrt{2} < k < 2sqrt{2}$

(2) 線分 PQ の長さ

【解法のポイント】弦の長さの公式を使います。

【解答】

弦の長さの公式より：

$PQ = 2sqrt{r^2 - d^2} = 2sqrt{4 - frac{k^2}{2}} = 2sqrt{frac{8 - k^2}{2}} = sqrt{2(8 - k^2)} = sqrt{16 - 2k^2}$

答：$PQ = sqrt{16 - 2k^2}$

(3) PQ = 2 のときの k

【解答】

$sqrt{16 - 2k^2} = 2$

$16 - 2k^2 = 4$

$2k^2 = 12$

$k^2 = 6$

$k = pmsqrt{6}$

（$-2sqrt{2} < k < 2sqrt{2}$ の範囲内であることを確認：$sqrt{6} approx 2.45 < 2sqrt{2} approx 2.83$ ✓）

答：$k = pmsqrt{6}$

(4) PQ を直径とする円（k = √2 の場合）

【解法のポイント】まず P, Q の座標を求め、中点と半径を計算します。

【解答】

$k = sqrt{2}$ のとき、直線 $l: y = x + sqrt{2}$ と円 $x^2 + y^2 = 4$ の交点を求めます。

$x^2 + (x + sqrt{2})^2 = 4$

$x^2 + x^2 + 2sqrt{2}x + 2 = 4$

$2x^2 + 2sqrt{2}x - 2 = 0$

$x^2 + sqrt{2}x - 1 = 0$

解の公式より：

$x = frac{-sqrt{2} pm sqrt{2 + 4}}{2} = frac{-sqrt{2} pm sqrt{6}}{2}$

P, Q の座標：

• $Pleft(frac{-sqrt{2} + sqrt{6}}{2}, frac{-sqrt{2} + sqrt{6}}{2} + sqrt{2}right) = left(frac{-sqrt{2} + sqrt{6}}{2}, frac{sqrt{2} + sqrt{6}}{2}right)$
• $Qleft(frac{-sqrt{2} - sqrt{6}}{2}, frac{-sqrt{2} - sqrt{6}}{2} + sqrt{2}right) = left(frac{-sqrt{2} - sqrt{6}}{2}, frac{sqrt{2} - sqrt{6}}{2}right)$

中点 M の座標：

$M = left(frac{-sqrt{2}}{2}, frac{sqrt{2}}{2}right) = left(-frac{sqrt{2}}{2}, frac{sqrt{2}}{2}right)$

PQ の長さ（先の結果より）：

$PQ = sqrt{16 - 2 times 2} = sqrt{12} = 2sqrt{3}$

よって、直径 $= 2sqrt{3}$、半径 $= sqrt{3}$

円の方程式：

$left(x + frac{sqrt{2}}{2}right)^2 + left(y - frac{sqrt{2}}{2}right)^2 = 3$

答：$left(x + frac{sqrt{2}}{2}right)^2 + left(y - frac{sqrt{2}}{2}right)^2 = 3$

別解・発展

(2) の別解：連立方程式を解いて P, Q の座標を直接求め、距離の公式で計算する方法もあります。ただし、弦の長さの公式を使う方が計算量は少なくなります。

【発展】PQ を直径とする円は、必ず P, Q を通り、PQ が直径なので円周角の定理より、この円上の任意の点から PQ を見込む角は 90° になります。

大問4：三角関数

問題

解説・解法のポイント

(1) 2倍角の公式を用いた変形

【解法のポイント】半角の公式と2倍角の公式を逆に使います。

• $sin^2theta = frac{1 - cos 2theta}{2}$
• $2sinthetacostheta = sin 2theta$

【解答】

$f(theta) = 2sin^2theta + 2sqrt{3}sinthetacostheta - 1$

$= 2 cdot frac{1 - cos 2theta}{2} + sqrt{3} cdot 2sinthetacostheta - 1$

$= (1 - cos 2theta) + sqrt{3}sin 2theta - 1$

$= sqrt{3}sin 2theta - cos 2theta$

答：$f(theta) = sqrt{3}sin 2theta - cos 2theta$

(2) 最大値・最小値

【解法のポイント】$asin x + bcos x$ の形は、$sqrt{a^2 + b^2}sin(x + alpha)$ に合成します。

【解答】

$f(theta) = sqrt{3}sin 2theta - cos 2theta$

三角関数の合成：

$= 2left(frac{sqrt{3}}{2}sin 2theta - frac{1}{2}cos 2thetaright)$

$= 2left(sin 2theta cosfrac{pi}{6} - cos 2theta sinfrac{pi}{6}right)$

$= 2sinleft(2theta - frac{pi}{6}right)$

$0 leq theta leq pi$ より、$0 leq 2theta leq 2pi$

よって、$-frac{pi}{6} leq 2theta - frac{pi}{6} leq frac{11pi}{6}$

$sinleft(2theta - frac{pi}{6}right)$ の値の範囲を考えると：

• 最大値：$2theta - frac{pi}{6} = frac{pi}{2}$ のとき、$sin = 1$
• 最小値：$2theta - frac{pi}{6} = -frac{pi}{6}$ または $frac{3pi}{2}$ で、$sin = -frac{1}{2}$ または $-1$

$-frac{pi}{6} leq 2theta - frac{pi}{6} leq frac{11pi}{6}$ の範囲で：

• $sin$ の最大値は $1$（$2theta - frac{pi}{6} = frac{pi}{2}$ のとき）
• $sin$ の最小値は $-1$（$2theta - frac{pi}{6} = frac{3pi}{2}$ のとき）

最大値：

$2theta - frac{pi}{6} = frac{pi}{2}$ より $theta = frac{pi}{3}$

最大値 $= 2 times 1 = 2$

最小値：

$2theta - frac{pi}{6} = frac{3pi}{2}$ より $2theta = frac{3pi}{2} + frac{pi}{6} = frac{10pi}{6} = frac{5pi}{3}$

$theta = frac{5pi}{6}$

最小値 $= 2 times (-1) = -2$

答：最大値 $2$（$theta = frac{pi}{3}$ のとき）、最小値 $-2$（$theta = frac{5pi}{6}$ のとき）

(3) f(θ) = 1 の解

【解答】

$2sinleft(2theta - frac{pi}{6}right) = 1$

$sinleft(2theta - frac{pi}{6}right) = frac{1}{2}$

$-frac{pi}{6} leq 2theta - frac{pi}{6} leq frac{11pi}{6}$ の範囲で $sin = frac{1}{2}$ となるのは：

$2theta - frac{pi}{6} = frac{pi}{6}, frac{5pi}{6}$

それぞれ解くと：

• $2theta - frac{pi}{6} = frac{pi}{6}$ より $2theta = frac{pi}{3}$、$theta = frac{pi}{6}$
• $2theta - frac{pi}{6} = frac{5pi}{6}$ より $2theta = pi$、$theta = frac{pi}{2}$

答：$theta = frac{pi}{6}, frac{pi}{2}$

別解・発展

(1) の確認：$theta = 0$ を代入すると、元の式では $f(0) = 0 + 0 - 1 = -1$、変形後では $sqrt{3} times 0 - 1 = -1$ ✓

【発展】三角関数の合成は、ベクトルの内積を使って説明することもできます。$(sqrt{3}, -1)$ と $(sin 2theta, cos 2theta)$ の内積として捉えると、角度のずれが視覚的に理解できます。

大問5：数列

問題

解説・解法のポイント

(1) 数列 {bₙ} の漸化式

【解法のポイント】$a_n = 2^n b_n$ として元の漸化式に代入します。

【解答】

$b_n = frac{a_n}{2^n}$ より $a_n = 2^n b_n$

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2^n$ に代入：

$2^{n+1} b_{n+1} = 3 cdot 2^n b_n + 2^n$

両辺を $2^n$ で割る：

$2b_{n+1} = 3b_n + 1$

$b_{n+1} = frac{3}{2}b_n + frac{1}{2}$

答：$b_{n+1} = frac{3}{2}b_n + frac{1}{2}$

(2) 数列 {bₙ} の一般項

【解法のポイント】$b_{n+1} = pb_n + q$ 型は、特性方程式 $x = px + q$ を解いて $b_n - alpha$ が等比数列になることを利用します。

【解答】

特性方程式：$x = frac{3}{2}x + frac{1}{2}$

$x - frac{3}{2}x = frac{1}{2}$

$-frac{1}{2}x = frac{1}{2}$

$x = -1$

よって、$c_n = b_n - (-1) = b_n + 1$ とおくと：

$c_{n+1} = b_{n+1} + 1 = frac{3}{2}b_n + frac{1}{2} + 1 = frac{3}{2}b_n + frac{3}{2} = frac{3}{2}(b_n + 1) = frac{3}{2}c_n$

${c_n}$ は初項 $c_1 = b_1 + 1$、公比 $frac{3}{2}$ の等比数列

$b_1 = frac{a_1}{2^1} = frac{1}{2}$ より、$c_1 = frac{1}{2} + 1 = frac{3}{2}$

$c_n = frac{3}{2} cdot left(frac{3}{2}right)^{n-1} = left(frac{3}{2}right)^n$

$b_n = c_n - 1 = left(frac{3}{2}right)^n - 1 = frac{3^n}{2^n} - 1 = frac{3^n - 2^n}{2^n}$

答：$b_n = frac{3^n - 2^n}{2^n}$

(3) 数列 {aₙ} の一般項

【解答】

$a_n = 2^n b_n = 2^n cdot frac{3^n - 2^n}{2^n} = 3^n - 2^n$

答：$a_n = 3^n - 2^n$

【検算】

• $a_1 = 3^1 - 2^1 = 1$ ✓
• $a_2 = 3a_1 + 2^1 = 3 + 2 = 5$ と $3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$ ✓
• $a_3 = 3a_2 + 2^2 = 15 + 4 = 19$ と $3^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19$ ✓

(4) 和の計算

【解答】

$sum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (3^k - 2^k) = sum_{k=1}^{n} 3^k - sum_{k=1}^{n} 2^k$

等比数列の和の公式より：

$sum_{k=1}^{n} 3^k = frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = frac{3^{n+1} - 3}{2}$

$sum_{k=1}^{n} 2^k = frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^{n+1} - 2$

よって：

$sum_{k=1}^{n} a_k = frac{3^{n+1} - 3}{2} - (2^{n+1} - 2)$

$= frac{3^{n+1} - 3}{2} - 2^{n+1} + 2$

$= frac{3^{n+1} - 3 - 2^{n+2} + 4}{2}$

$= frac{3^{n+1} - 2^{n+2} + 1}{2}$

答：$sum_{k=1}^{n} a_k = frac{3^{n+1} - 2^{n+2} + 1}{2}$

別解・発展

(3) の別解：漸化式を直接解く方法

$a_{n+1} = 3a_n + 2^n$ の特殊解を $a_n = alpha cdot 2^n$ と仮定すると：

$alpha cdot 2^{n+1} = 3alpha cdot 2^n + 2^n$

$2alpha = 3alpha + 1$

$alpha = -1$

特殊解 $-2^n$ を引くと、$a_n + 2^n$ が等比数列になります。

【発展】この型の漸化式 $a_{n+1} = pa_n + q^n$（$p neq q$）は、特殊解を $alpha q^n$ とおくことで一般的に解けます。

大問6：微分法と積分法（理工学部向け）

問題

解説・解法のポイント

(1) 増減と極値

【解法のポイント】積の微分公式 $(fg)' = f'g + fg'$ を使います。

【解答】

$f(x) = xe^{-x}$

$f'(x) = 1 cdot e^{-x} + x cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$

$x geq 0$ において $e^{-x} > 0$ なので、$f'(x)$ の符号は $(1 - x)$ で決まる。

• $0 leq x 0$（増加）
• $x = 1$ のとき $f'(x) = 0$
• $x > 1$ のとき $f'(x) < 0$（減少）

$f(1) = 1 cdot e^{-1} = frac{1}{e}$

答：$x = 1$ で極大値 $frac{1}{e}$

(2) 面積の計算

【解法のポイント】部分積分を使います。$int xe^{-x}dx$ は $int f cdot g' dx = fg - int f' cdot g dx$ の形で計算。

【解答】

$S = int_0^2 xe^{-x} dx$

部分積分（$f = x$, $g' = e^{-x}$, $g = -e^{-x}$）：

$= left[x cdot (-e^{-x})right]_0^2 - int_0^2 1 cdot (-e^{-x}) dx$

$= left[-xe^{-x}right]_0^2 + int_0^2 e^{-x} dx$

$= (-2e^{-2} - 0) + left[-e^{-x}right]_0^2$

$= -2e^{-2} + (-e^{-2} - (-e^0))$

$= -2e^{-2} - e^{-2} + 1$

$= 1 - 3e^{-2}$

$= 1 - frac{3}{e^2}$

答：$S = 1 - frac{3}{e^2}$

(3) 回転体の体積

【解法のポイント】$V = pi int_a^b {f(x)}^2 dx$ を使います。$x^2 e^{-2x}$ の積分には部分積分を2回使います。

【解答】

$V = pi int_0^2 (xe^{-x})^2 dx = pi int_0^2 x^2 e^{-2x} dx$

$I = int x^2 e^{-2x} dx$ を計算します。

1回目の部分積分：（$f = x^2$, $g' = e^{-2x}$, $g = -frac{1}{2}e^{-2x}$）

$I = x^2 cdot left(-frac{1}{2}e^{-2x}right) - int 2x cdot left(-frac{1}{2}e^{-2x}right) dx$

$= -frac{x^2}{2}e^{-2x} + int x e^{-2x} dx$

2回目の部分積分：（$f = x$, $g' = e^{-2x}$, $g = -frac{1}{2}e^{-2x}$）

$int x e^{-2x} dx = x cdot left(-frac{1}{2}e^{-2x}right) - int 1 cdot left(-frac{1}{2}e^{-2x}right) dx$

$= -frac{x}{2}e^{-2x} + frac{1}{2} int e^{-2x} dx$

$= -frac{x}{2}e^{-2x} + frac{1}{2} cdot left(-frac{1}{2}e^{-2x}right)$

$= -frac{x}{2}e^{-2x} - frac{1}{4}e^{-2x}$

よって：

$I = -frac{x^2}{2}e^{-2x} - frac{x}{2}e^{-2x} - frac{1}{4}e^{-2x} = -e^{-2x}left(frac{x^2}{2} + frac{x}{2} + frac{1}{4}right)$

$= -frac{e^{-2x}}{4}(2x^2 + 2x + 1)$

定積分：

$int_0^2 x^2 e^{-2x} dx = left[-frac{e^{-2x}}{4}(2x^2 + 2x + 1)right]_0^2$

$= -frac{e^{-4}}{4}(8 + 4 + 1) - left(-frac{1}{4}(0 + 0 + 1)right)$

$= -frac{13e^{-4}}{4} + frac{1}{4}$

$= frac{1 - 13e^{-4}}{4}$

$V = pi cdot frac{1 - 13e^{-4}}{4} = frac{pi(1 - 13e^{-4})}{4} = frac{pi(e^4 - 13)}{4e^4}$

答：$V = frac{pi(e^4 - 13)}{4e^4}$

別解・発展

【発展】$int x^n e^{ax} dx$ の形の積分は、漸化式を立てて解く方法もあります。$I_n = int x^n e^{ax} dx$ とおくと、$I_n = frac{x^n e^{ax}}{a} - frac{n}{a}I_{n-1}$ という関係が成り立ちます。

この年度の重要テーマと対策

2002年度の出題傾向まとめ

2002年度の青山学院大学数学入試を振り返ると、以下のような特徴が見られました。

青山学院大学数学攻略のための5つのポイント

ポイント1：基礎の徹底

青学の数学は、難問奇問ではなく基礎〜標準レベルの問題を確実に解けるかが問われます。教科書の例題・章末問題、チャート式の例題レベルを完璧に仕上げましょう。

ポイント2：計算力の強化

試験時間に対して計算量が多いため、正確かつ素早い計算力が必須です。日頃から計算練習を怠らず、特に分数・根号・指数の計算に慣れておきましょう。

ポイント3：頻出分野の重点対策

特に以下の分野は毎年のように出題されます：

• 三角関数：合成、方程式、最大最小
• 数列：漸化式、一般項、Σ計算
• ベクトル：内積、位置ベクトル、空間図形
• 微分積分：増減表、面積、回転体の体積（理系）

ポイント4：時間配分の練習

本番では時間との戦いになります。過去問演習では必ず時間を計って解く習慣をつけましょう。目安として、1問あたり15〜20分で解けるスピードを目指してください。

ポイント5：見直しの時間を確保

計算ミスが命取りになる試験です。最後の5〜10分は必ず見直しの時間として確保し、符号ミスや計算ミスがないかチェックしましょう。

分野別の詳細対策

【三角関数】の対策

青学では三角関数の問題がほぼ毎年出題されます。特に重要なのは：

• 三角関数の合成：$asintheta + bcostheta = sqrt{a^2+b^2}sin(theta + alpha)$ の形への変形
• 2倍角・半角の公式：$sin 2theta = 2sinthetacostheta$、$cos 2theta = 1 - 2sin^2theta$ など
• 三角方程式・不等式：単位円を使った解法をマスター

【数列】の対策

漸化式は青学の頻出分野です。以下の型を確実に解けるようにしておきましょう：

• 等差型：$a_{n+1} = a_n + d$
• 等比型：$a_{n+1} = ra_n$
• 階差型：$a_{n+1} = a_n + f(n)$
• 特性方程式型：$a_{n+1} = pa_n + q$
• 指数混合型：$a_{n+1} = pa_n + q^n$（今回の大問5）

【図形と方程式】の対策

円と直線の問題は定番中の定番です：

• 円と直線の位置関係：中心から直線への距離と半径の比較
• 弦の長さの公式：$2sqrt{r^2 - d^2}$
• 接線の方程式：円上の点、円外の点からの接線

【微分積分】の対策（理系）

理工学部志望者は数学Ⅲの微積分が必須です：

• 様々な関数の微分：指数関数、対数関数、三角関数
• 部分積分：$int f cdot g' dx = fg - int f' cdot g dx$
• 置換積分：$int f(g(x))g'(x)dx = int f(t)dt$（$t = g(x)$）
• 面積・体積：回転体の体積は頻出

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2002年度の問題で学んだ内容を定着させるために、類似の練習問題を3問用意しました。ぜひ自分で解いてから解答を確認してください。

練習問題1：二重根号と対称式

解答・解説

(1) の解答

$7 + 4sqrt{3} = 7 + 2sqrt{12}$ と変形します。

$a + b = 7$、$ab = 12$ を満たす $a, b$ を探すと、$a = 4$, $b = 3$ が見つかります。

よって、$sqrt{7 + 4sqrt{3}} = sqrt{4} + sqrt{3} = 2 + sqrt{3}$

【確認】$(2 + sqrt{3})^2 = 4 + 4sqrt{3} + 3 = 7 + 4sqrt{3}$ ✓

答：$2 + sqrt{3}$

(2) の解答

解と係数の関係より：$alpha + beta = 3$、$alphabeta = 1$

$alpha^2 + beta^2 = (alpha + beta)^2 - 2alphabeta = 9 - 2 = 7$

$frac{1}{alpha^2} + frac{1}{beta^2} = frac{alpha^2 + beta^2}{(alphabeta)^2} = frac{7}{1^2} = 7$

答：$alpha^2 + beta^2 = 7$、$frac{1}{alpha^2} + frac{1}{beta^2} = 7$

練習問題2：三角関数の合成と最大最小

解答・解説

(1) の解答

$g(theta) = sintheta + sqrt{3}costheta$

$= 2left(frac{1}{2}sintheta + frac{sqrt{3}}{2}costhetaright)$

$= 2left(sinthetacosfrac{pi}{3} + costhetasinfrac{pi}{3}right)$

$= 2sinleft(theta + frac{pi}{3}right)$

答：$g(theta) = 2sinleft(theta + frac{pi}{3}right)$

(2) の解答

$0 leq theta leq pi$ より、$frac{pi}{3} leq theta + frac{pi}{3} leq frac{4pi}{3}$

この範囲で $sinleft(theta + frac{pi}{3}right)$ は：

• 最大値 $1$（$theta + frac{pi}{3} = frac{pi}{2}$、すなわち $theta = frac{pi}{6}$ のとき）
• 最小値 $-frac{sqrt{3}}{2}$（$theta + frac{pi}{3} = frac{4pi}{3}$、すなわち $theta = pi$ のとき）

答：最大値 $2$（$theta = frac{pi}{6}$ のとき）、最小値 $-sqrt{3}$（$theta = pi$ のとき）

(3) の解答

$2sinleft(theta + frac{pi}{3}right) = sqrt{2}$

$sinleft(theta + frac{pi}{3}right) = frac{sqrt{2}}{2} = frac{1}{sqrt{2}}$

$frac{pi}{3} leq theta + frac{pi}{3} leq frac{4pi}{3}$ の範囲で $sin = frac{1}{sqrt{2}}$ となるのは：

$theta + frac{pi}{3} = frac{pi}{4}$（範囲外）、$frac{3pi}{4}$

$theta + frac{pi}{3} = frac{3pi}{4}$ より $theta = frac{3pi}{4} - frac{pi}{3} = frac{9pi - 4pi}{12} = frac{5pi}{12}$

答：$theta = frac{5pi}{12}$

練習問題3：数列の漸化式

解答・解説

(1) の解答

$a_n = 3^n b_n$ を漸化式に代入：

$3^{n+1} b_{n+1} = 2 cdot 3^n b_n + 3^n$

両辺を $3^n$ で割る：

$3b_{n+1} = 2b_n + 1$

$b_{n+1} = frac{2}{3}b_n + frac{1}{3}$

答：$b_{n+1} = frac{2}{3}b_n + frac{1}{3}$

(2) の解答

特性方程式：$x = frac{2}{3}x + frac{1}{3}$ より $frac{1}{3}x = frac{1}{3}$、$x = 1$

$c_n = b_n - 1$ とおくと：

$c_{n+1} = b_{n+1} - 1 = frac{2}{3}b_n + frac{1}{3} - 1 = frac{2}{3}b_n - frac{2}{3} = frac{2}{3}(b_n - 1) = frac{2}{3}c_n$

$b_1 = frac{a_1}{3^1} = frac{2}{3}$ より、$c_1 = frac{2}{3} - 1 = -frac{1}{3}$

$c_n = -frac{1}{3} cdot left(frac{2}{3}right)^{n-1} = -frac{1}{3} cdot frac{2^{n-1}}{3^{n-1}} = -frac{2^{n-1}}{3^n}$

$b_n = c_n + 1 = 1 - frac{2^{n-1}}{3^n} = frac{3^n - 2^{n-1}}{3^n}$

$a_n = 3^n b_n = 3^n - 2^{n-1}$

【検算】

• $a_1 = 3 - 1 = 2$ ✓
• $a_2 = 2a_1 + 3 = 4 + 3 = 7$ と $3^2 - 2^1 = 9 - 2 = 7$ ✓

答：$a_n = 3^n - 2^{n-1}$

(3) の解答

$sum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (3^k - 2^{k-1}) = sum_{k=1}^{n} 3^k - sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$

$sum_{k=1}^{n} 3^k = frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = frac{3^{n+1} - 3}{2}$

$sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = sum_{j=0}^{n-1} 2^j = frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1$

$sum_{k=1}^{n} a_k = frac{3^{n+1} - 3}{2} - (2^n - 1) = frac{3^{n+1} - 3 - 2^{n+1} + 2}{2} = frac{3^{n+1} - 2^{n+1} - 1}{2}$

答：$sum_{k=1}^{n} a_k = frac{3^{n+1} - 2^{n+1} - 1}{2}$

過去問演習の効果的な進め方

ステップ1：まずは時間を計らずに解く

初めて過去問に取り組む際は、時間を気にせずじっくり考えましょう。解けない問題があっても、最低10分は粘ってから解答を見るようにしてください。

ステップ2：解答を見て理解する

解答を見る際は、なぜその解法を選んだのかを考えながら読みましょう。単に答えを覚えるのではなく、「この形を見たらこの変形をする」というパターンを身につけることが大切です。

ステップ3：時間を計って解き直す

解説を理解したら、1週間後に同じ問題を時間を計って解き直しましょう。スラスラ解けるようになっていれば定着した証拠です。

ステップ4：類題で応用力を養う

同じ単元の別の問題にも挑戦し、パターンの幅を広げていきましょう。青山学院大学の過去問だけでなく、他のMARCH校（明治・立教・中央・法政）の過去問も良い練習になります。

よくある質問（FAQ）

Q1. 青山学院大学の数学で何点取れば合格できますか？

A. 学部・学科によって異なりますが、文系学部では70〜75%、理工学部では65〜70%が合格ラインの目安です。ただし、他の科目との総合点で決まるため、数学で稼ぎたい場合は80%以上を目指しましょう。

Q2. いつから過去問を始めるべきですか？

A. 基礎固めが終わった高3の夏〜秋頃から始めるのがおすすめです。遅くとも11月には過去問演習を始め、本番までに最低5年分は解いておきましょう。

Q3. チャート式は黄色と青色のどちらを使うべきですか？

A. 青山学院大学の数学対策なら、黄色チャートで十分です。黄チャートを完璧にした上で余裕があれば青チャートに進みましょう。ただし、中途半端に青チャートをやるよりも、黄チャートを完璧にする方が効果的です。

Q4. 計算ミスが多いのですが、どうすれば減らせますか？

A. 計算ミスを減らすには、①途中式を丁寧に書く、②計算後に検算する習慣をつける、③日頃から計算練習を欠かさないことが重要です。特に、符号ミスや約分忘れに注意しましょう。

Q5. 数学が苦手でも青山学院大学に合格できますか？

A. もちろん可能です！青学の数学は基礎〜標準レベルの問題が中心なので、正しい方法で勉強すれば必ず点数は伸びます。苦手な人こそ基礎の反復を大切にしてください。一人で不安な場合は、ぜひ数強塾や日本数学塾にご相談ください。

日本数学塾・数強塾で青山学院大学合格を目指そう

ここまで2002年度の青山学院大学数学入試を詳しく解説してきましたが、いかがでしたか？

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最後に

青山学院大学の数学は、正しい方法で努力すれば必ず攻略できます。大切なのは、基礎を固め、典型問題を確実に解けるようにすること。そして、過去問演習を通じて出題傾向をつかむことです。

この記事が皆さんの受験勉強の一助となれば幸いです。

青山学院大学合格を目指して、一緒に頑張りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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※本記事は2002年度の青山学院大学入試問題を基に作成した解説記事です。実際の入試問題とは一部異なる場合があります。最新の入試情報は大学公式サイトでご確認ください。