青山学院大学 1998年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

定義域は頂点より右側にある。上に凸なので、定義域の左端 x = a で最大。

M(a) = f(a) = -(a - 3)² + 4

M(a) =

（3）M(a) の最小値

【藤原先生のワンポイント】M(a) のグラフを a の関数として描いてみると分かりやすいです！

• a < 1 のとき：M(a) = -(a-1)² + 4 は a = 1 で最大値 4
• 1 ≤ a ≤ 3 のとき：M(a) = 4（定数）
• a > 3 のとき：M(a) = -(a-3)² + 4 は a = 3 で最大値 4

M(a) は a → -∞ または a → +∞ のとき M(a) → -∞ となりますが、問題の文脈から「M(a) が有限の最小値をとる a」を求めていると解釈すると、M(a) は 1 ≤ a ≤ 3 以外では a が 1 や 3 から離れるほど小さくなり、最小値は存在しません。

しかし、「M(a) の最小値」という問いなので、定義域が有限で与えられている前提と解釈し直すか、あるいは M(a) の極小値（変曲点での値） を問うていると考えられます。

M(a) のグラフを見ると、a = 1 と a = 3 で M(a) = 4 となり、それが M(a) の最大値です。

別の解釈として、定義域の中点が頂点から最も離れるときが M(a) 最小と考えると：

M(a) は a 3 で減少し続けるため、有限の最小値は存在しない

（注：問題の設定によっては、a の範囲に制限がある場合があります。実際の入試問題では追加条件が付くことが多いです。）

別解・発展

【発展】定義域の中点と頂点の距離

定義域 [a, a+2] の中点は x = a + 1 です。頂点の x 座標は 3 なので、中点と頂点の距離は |a + 1 - 3| = |a - 2| となります。

この距離が 0（つまり a = 2）のとき、定義域の中心が頂点と一致し、最大値は頂点の値 4 となります。

大問3：三角関数

問題

解説・解法のポイント

（1）三角方程式（2次方程式型）

【藤原先生のワンポイント】cosθ = t と置き換えて、まず t の2次方程式を解きます。その後、-1 ≤ t ≤ 1 の範囲で解を持つか確認しましょう！

2cos²θ - 3cosθ + 1 = 0

t = cosθ とおくと：2t² - 3t + 1 = 0

因数分解：(2t - 1)(t - 1) = 0

t = 1/2 または t = 1

cosθ = 1/2 のとき：

0 ≤ θ < 2π で cosθ = 1/2 を満たすのは θ = π/3, 5π/3

cosθ = 1 のとき：

0 ≤ θ < 2π で cosθ = 1 を満たすのは θ = 0

θ = 0, π/3, 5π/3

（2）三角方程式（倍角）

【藤原先生のワンポイント】sin2θ = 2sinθcosθ を使って変形し、因数分解します！

sin2θ = cosθ

2sinθcosθ = cosθ

2sinθcosθ - cosθ = 0

cosθ(2sinθ - 1) = 0

cosθ = 0 のとき：

θ = π/2, 3π/2

sinθ = 1/2 のとき：

θ = π/6, 5π/6

θ = π/6, π/2, 5π/6, 3π/2

（3）三角関数の合成

【藤原先生のワンポイント】半角・倍角の公式を使って、すべて 2θ の三角関数に統一してから合成します！

y = 2sin²θ + 2√3 sinθcosθ - 1

公式を使って変形：

• sin²θ = (1 - cos2θ)/2
• 2sinθcosθ = sin2θ

y = 2 · (1 - cos2θ)/2 + √3 sin2θ - 1

= 1 - cos2θ + √3 sin2θ - 1

= √3 sin2θ - cos2θ

三角関数の合成：

y = √3 sin2θ - cos2θ = 2(√3/2 · sin2θ - 1/2 · cos2θ)

= 2(sin2θ cos(π/6) - cos2θ sin(π/6))

= 2sin(2θ - π/6)

0 ≤ θ < 2π のとき、-π/6 ≤ 2θ - π/6 < 23π/6

最大値： sin(2θ - π/6) = 1 のとき、y = 2

2θ - π/6 = π/2 より 2θ = 2π/3、θ = π/3

または 2θ - π/6 = 5π/2 より 2θ = 8π/3、θ = 4π/3

最小値： sin(2θ - π/6) = -1 のとき、y = -2

2θ - π/6 = 3π/2 より 2θ = 5π/3、θ = 5π/6

または 2θ - π/6 = 7π/2 より 2θ = 11π/3、θ = 11π/6

最大値 2（θ = π/3, 4π/3）、最小値 -2（θ = 5π/6, 11π/6）

別解・発展

【別解】(3)を微分で解く

y = 2sin(2θ - π/6) として、

dy/dθ = 4cos(2θ - π/6) = 0

2θ - π/6 = π/2, 3π/2, 5π/2, ... となる θ を求めても同じ結果が得られます。

大問4：ベクトル

問題

解説・解法のポイント

（1）内積の計算

【藤原先生のワンポイント】内積の定義 →a · →b = |→a||→b|cosθ を使います！

→a · →b = OA · OB · cos60°

= 3 · 4 · (1/2)

→a · →b = 6

（2）交点のベクトル表

（2）交点のベクトル表示

【藤原先生のワンポイント】交点を求めるには、2通りの表し方をして係数比較します！

点P、Qの位置ベクトル：

P は OA を 2:1 に内分するので：

→OP = (2/3)→a

Q は OB を 1:3 に内分するので：

→OQ = (1/4)→b

直線AQ上の点R：

R は直線 AQ 上にあるので、実数 s を用いて：

→OR = (1-s)→OA + s→OQ = (1-s)→a + s·(1/4)→b = (1-s)→a + (s/4)→b ・・・①

直線BP上の点R：

R は直線 BP 上にあるので、実数 t を用いて：

→OR = (1-t)→OB + t→OP = (1-t)→b + t·(2/3)→a = (2t/3)→a + (1-t)→b ・・・②

係数比較：

→a と →b は一次独立なので、①と②の係数を比較して：

→a の係数：1 - s = 2t/3 ・・・③

→b の係数：s/4 = 1 - t ・・・④

④より s = 4(1-t) = 4 - 4t

③に代入：1 - (4 - 4t) = 2t/3

-3 + 4t = 2t/3

-9 + 12t = 2t（両辺を3倍）

10t = 9

t = 9/10

s = 4 - 4·(9/10) = 4 - 36/10 = 4/10 = 2/5

②に t = 9/10 を代入：

→OR = (2·9/10·1/3)→a + (1 - 9/10)→b

= (6/10)→a + (1/10)→b

= (3/5)→a + (1/10)→b

→OR = (3/5)→a + (1/10)→b

（3）三角形OPRの面積

【藤原先生のワンポイント】面積は基準となる三角形OABの面積との比で求めると楽です！

△OABの面積：

S_OAB = (1/2)·OA·OB·sin60° = (1/2)·3·4·(√3/2) = 3√3

△OPRの面積を求める：

→OP = (2/3)→a

→OR = (3/5)→a + (1/10)→b

△OPR と △OAB の面積比は、ベクトルの係数から求められます。

→OP = (2/3)→a + 0·→b

→OR = (3/5)→a + (1/10)→b

面積比 = |係数で作る行列の行列式|

= |(2/3)·(1/10) - 0·(3/5)|

= |2/30| = 1/15

したがって：

S_OPR = (1/15) × S_OAB = (1/15) × 3√3

△OPRの面積 = (√3)/5

別解・発展

【別解】面積を直接計算する方法

|→OP|² = (2/3)²|→a|² = (4/9)·9 = 4 より |→OP| = 2

|→OR|² = (3/5)²|→a|² + 2·(3/5)·(1/10)→a·→b + (1/10)²|→b|²

= (9/25)·9 + (6/50)·6 + (1/100)·16

= 81/25 + 36/50 + 16/100

= 324/100 + 72/100 + 16/100 = 412/100 = 103/25

→OP·→OR = (2/3)·(3/5)|→a|² + (2/3)·(1/10)→a·→b

= (2/5)·9 + (2/30)·6 = 18/5 + 2/5 = 20/5 = 4

cos∠POR = (→OP·→OR)/(|→OP||→OR|) = 4/(2·√(103/25)) = 4/(2√103/5) = 10/√103

sin∠POR = √(1 - 100/103) = √(3/103)

S_OPR = (1/2)|→OP||→OR|sin∠POR = (1/2)·2·(√103/5)·√(3/103) = √3/5 ✓

大問5：微分・積分（理系）

問題

解説・解法のポイント

（1）極値

【藤原先生のワンポイント】極値を求めるには、f'(x) = 0 となる x を見つけ、その前後での符号変化を確認します！

f(x) = x³ - 3x² + 4

f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

f'(x) = 0 となるのは x = 0, 2

増減表：

f(0) = 0 - 0 + 4 = 4

f(2) = 8 - 12 + 4 = 0

極大値 4（x = 0）、極小値 0（x = 2）

（2）曲線とx軸で囲まれた面積

【藤原先生のワンポイント】まず曲線と x 軸の交点を求め、積分区間を特定します！

x軸との交点：

f(x) = x³ - 3x² + 4 = 0

x = 2 が解であることは（1）より分かっているので、(x - 2) で割ります：

x³ - 3x² + 4 = (x - 2)(x² - x - 2) = (x - 2)(x - 2)(x + 1) = (x - 2)²(x + 1)

よって、x 軸との交点は x = -1, 2（2は重解）

グラフの概形：

-1 ≤ x ≤ 2 で f(x) ≥ 0（x = 2 で x 軸に接する）

面積の計算：

S = ∫_{-1}^{2} f(x) dx = ∫_{-1}^{2} (x - 2)²(x + 1) dx

t = x - 2 と置換すると、x = t + 2、dx = dt

x = -1 のとき t = -3、x = 2 のとき t = 0

x + 1 = t + 3

S = ∫_{-3}^{0} t²(t + 3) dt = ∫_{-3}^{0} (t³ + 3t²) dt

= [t⁴/4 + t³]_{-3}^{0}

= (0) - (81/4 - 27)

= -(81/4 - 108/4)

= -(-27/4) = 27/4

面積 S = 27/4

（3）接線と囲まれた面積

【藤原先生のワンポイント】接線の方程式を求め、曲線との交点を見つけてから「1/12公式」などを活用します！

接線の方程式：

f(1) = 1 - 3 + 4 = 2 ✓（点(1, 2)は曲線上にある）

f'(1) = 3·1 - 6·1 = -3

接線：y - 2 = -3(x - 1)

y = -3x + 5

接線の方程式：y = -3x + 5

曲線と接線の交点：

x³ - 3x² + 4 = -3x + 5

x³ - 3x² + 3x - 1 = 0

x = 1 が解（接点）なので (x - 1) で割ります：

x³ - 3x² + 3x - 1 = (x - 1)(x² - 2x + 1) = (x - 1)³

よって x = 1 は3重解。これは接線が曲線に対して変曲点で接していることを意味します。

実は f''(x) = 6x - 6 = 0 より x = 1 は変曲点です。

変曲点での接線は曲線と「1点でのみ」交わるため、囲まれた面積は存在しません。

【問題の再解釈】

もし問題が「点(0, 4)における接線」であれば：

f'(0) = 0 なので、接線は y = 4（水平線）

曲線 y = x³ - 3x² + 4 と直線 y = 4 の交点：

x³ - 3x² + 4 = 4

x³ - 3x² = 0

x²(x - 3) = 0

x = 0（重解）, 3

面積 = ∫_{0}^{3} |4 - (x³ - 3x² + 4)| dx = ∫_{0}^{3} (3x² - x³) dx

= [x³ - x⁴/4]_{0}^{3} = 27 - 81/4 = 108/4 - 81/4 = 27/4

（参考）点(0, 4)での接線と曲線で囲まれた面積 = 27/4

別解・発展

【発展】1/12公式の活用

3次関数 y = a(x - α)²(x - β) と x 軸で囲まれた面積は：

S = (a/12)|β - α|⁴

本問では f(x) = (x - 2)²(x + 1) = 1·(x - 2)²(x - (-1)) なので：

S = (1/12)|2 - (-1)|⁴ = (1/12)·81 = 27/4 ✓

この年度の重要テーマと対策

1998年度に見られた出題傾向

1998年度の青山学院大学数学では、以下のテーマが重点的に出題されました：

【頻出テーマ1】2次関数の最大・最小

定義域が動く場合の最大・最小問題は、青学数学の定番です。場合分けを正確に行い、グラフをイメージしながら解くことが重要です。

対策ポイント：

• 軸と定義域の位置関係で場合分け
• 定義域の幅が固定か変動かを確認
• 最大・最小が切り替わる境界の値を正確に求める

【頻出テーマ2】三角関数の合成と方程式

三角関数の合成は毎年のように出題されます。倍角・半角公式と組み合わせた問題に慣れておきましょう。

対策ポイント：

• 公式を使って sin2θ, cos2θ に統一する
• 合成の公式 a sinθ + b cosθ = √(a² + b²) sin(θ + α) をマスター
• 角度の範囲に注意して解を求める

【頻出テーマ3】平面ベクトル

内分点・外分点の位置ベクトル、直線の交点、面積計算が典型的です。

対策ポイント：

• 2通りの表し方で係数比較する方法をマスター
• 面積比とベクトルの係数の関係を理解
• 内積を使った角度・長さの計算に慣れる

【頻出テーマ4】微分・積分

3次関数の極値、接線、面積計算は理系では必須です。

対策ポイント：

• 増減表を素早く正確に書く練習
• 面積公式（1/6公式、1/12公式など）を活用
• 置換積分で計算を簡略化

青山学院大学 数学対策の全体方針

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

【練習問題1】2次関数の最大・最小

解答・解説

f(x) = (x - 1)² + 1 より、頂点は (1, 1)。下に凸の放物線。

【Case 1】0 < a ≤ 1 のとき

定義域 [0, a] は軸 x = 1 より左側。左端 x = 0 で最大。

M(a) = f(0) = 2

【Case 2】a > 1 のとき

定義域 [0, a] に軸が含まれるか、軸より右まで広がる。右端 x = a で最大。

M(a) = f(a) = a² - 2a + 2

答え：
M(a) = 2 （0 < a ≤ 1 のとき）
M(a) = a² - 2a + 2 （a > 1 のとき）

【練習問題2】三角関数

解答・解説

t = sinθ + cosθ とおくと、

t² = sin²θ + 2sinθcosθ + cos²θ = 1 + 2sinθcosθ

よって sinθcosθ = (t² - 1)/2

y = t + (t² - 1)/2 = (t² + 2t - 1)/2

また、t = √2 sin(θ + π/4) より、-√2 ≤ t ≤ √2

g(t) = (t² + 2t - 1)/2 = (1/2)(t + 1)² - 1

軸は t = -1、下に凸の放物線。

-√2 ≤ t ≤ √2 において：

• t = -1 で最小：g(-1) = (1 - 2 - 1)/2 = -1
• t = √2 で最大：g(√2) = (2 + 2√2 - 1)/2 = (1 + 2√2)/2

答え：
最大値：(1 + 2√2)/2（t = √2、すなわち θ = π/4 のとき）
最小値：-1（t = -1、すなわち θ = π または 3π/2 のとき）

【練習問題3】ベクトルと面積

解答・解説

→ON の計算：

N は AB を 2:1 に内分するので：

→ON = (1·→OA + 2·→OB)/(2+1) = (→a + 2→b)/3 = (1/3)→a + (2/3)→b

△OMN の面積：

→OM = (1/2)→a

→ON = (1/3)→a + (2/3)→b

△OAB の面積 = (1/2)·4·3·sin90° = 6

面積比 = |(1/2)·(2/3) - 0·(1/3)| = |1/3| = 1/3

△OMN の面積 = (1/3) × 6 = 2

答え：
→ON = (1/3)→a + (2/3)→b
△OMN の面積 = 2

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ここまで1998年度の青山学院大学数学を詳しく解説してきましたが、いかがでしたでしょうか？

青山学院大学の数学は、「基本に忠実でありながら、確実な計算力と応用力が問われる」という特徴があります。一見すると標準的な問題に見えても、計算ミスや時間配分の失敗で思わぬ失点をしてしまうことも少なくありません。

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