名古屋工業大学 2013年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で得られること

名古屋工業大学 2013年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾・日本数学塾代表の藤原進之介です。

この記事では、名古屋工業大学（名工大）2013年度入試数学の全大問を、基礎から丁寧に・一歩一歩解説していきます。

この記事を読むと、以下の3つの価値が得られます：

• ✅ 名工大数学の出題傾向と解法パターンを完全に把握できる
• ✅ 各大問の解法ステップを途中計算まで全部見ることができる
• ✅ 合否を分けた難所と攻略法、そして今後の学習ロードマップが分かる

👨‍🏫 藤原先生からひとこと：
名古屋工業大学の数学は、「計算力」と「本質的な理解」が両方試されます。難しく見える問題も、正しい手順で一つひとつ解いていけば必ず解けるようになります。一緒に丁寧に攻略していきましょう！

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セクション1：名古屋工業大学の数学入試 全体像

試験形式・概要

項目	内容
試験時間	120分
大問数	4問（全問必答）
解答形式	記述式（論述形式）
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B
難易度帯	偏差値60〜65水準（標準〜やや難）

偏差値帯と求められる数学レベル

名古屋工業大学（名工大）の工学部は、河合塾偏差値でおおむね52.5〜57.5程度。国公立理系の中では「標準〜やや難」のレベルに位置します。ただし、数学の問題は計算量が多く、手を動かし続ける持久力が求められます。東大・京大のような純粋な論証・思考力問題ではなく、「正しい公式・手法を使い、正確に計算し切る力」が合否を直接左右します。

過去5〜10年の出題傾向まとめ

単元	出題頻度
微分・積分（数学Ⅲ）	★★★★★（最頻出）
行列・線形代数	★★★★☆
ベクトル	★★★★☆
数列・漸化式	★★★★☆
確率	★★★☆☆
複素数平面	★★★☆☆
三角関数	★★★☆☆
極限	★★★☆☆

他大学との違い・特徴

• 東京大学：論証・証明の緻密さが問われる「思考力型」
• 東北大学：計算量が多いが誘導が丁寧
• 名古屋工業大学：計算を正確に速くこなす「実行力型」。行列・積分・ベクトルといった理系の核心単元を毎年バランスよく出題。数Ⅲの積分（回転体・置換積分・部分積分）が特に頻出。

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🧑 生徒：「名工大の数学って、どんな勉強をすればいいですか？たとえば青チャートで十分ですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「良い質問だね！名工大の数学は、まず『青チャート（チャート式 基礎からの数学）』数研出版で公式・解法パターンをしっかり身につけることが最優先だよ。微分・積分・行列・ベクトルの典型問題が全部入ってるから、基礎固めには最適。そのあと『1対1対応の演習』東京出版で入試標準レベルの演習を積むと、名工大の問題はかなり対応できるようになるよ。計算ミスを減らすためには『合格る計算 数学』文英堂も並行して使うと効果的！」

💪 まずは出題傾向をしっかり把握して、戦略的に対策しよう！

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セクション2：2013年度 出題テーマ速報と分析

2013年度 大問別テーマ一覧

大問	テーマ	難易度	配点目安
[1]	対数関数の微分・増減・面積	★★★☆☆	25点
[2]	三角関数・接線の角度・回転体	★★★★☆	25点
[3]	行列の可換性・べき乗	★★★★☆	25点
[4]	ベクトルと垂線・内分点	★★★☆☆	25点

難易度評価と分析

• [1] 対数関数：$f(x) = \log(x+1) - \frac{1}{2}\log(x^2+1)$ の微分・極値・面積。微分の計算と面積計算が正確にできれば得点できる。標準問題。
• [2] 三角関数：接線の直交条件と回転体の体積。積分計算の処理が複雑で計算ミスが出やすい。やや難。
• [3] 行列：可換条件からの成分決定・冪等行列・行列のn乗。行列の多段階論証で丁寧な処理が必要。やや難。
• [4] ベクトル：三角形の垂線・内分点・面積。内積の条件設定が正確にできれば標準問題。

合格ラインと得点戦略

名工大の合格最低点は年度・学科によって異なりますが、数学は120点満点中75〜85点程度が合格ラインの目安です。

得点戦略：
1. [1]・[4] を確実に満点近く取る（標準問題）
2. [2]・[3] は(1)を必ず取り、(2)以降で部分点を積み上げる
3. 計算ミスを防ぐため、検算の時間を各大問に2〜3分確保する

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セクション3：全大問 完全解説

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大問[1]：対数関数の微分・増減・面積（難易度★★★☆☆）

【問題文】

について、次の問いに答えよ。

(1) $f(x)$ の増減を調べて極値を求めよ。

(2) $k$ を実数とする。$x$ についての方程式 $f(x) = k$ の相異なる実数解の個数を調べよ。

(3) 曲線 $y = f(x)$、$x$ 軸および直線 $x = 1$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ。

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(1)：増減と極値

【使う公式・定理】

公式名	内容
対数関数の微分	$(\log u)' = \frac{u'}{u}$
増減表	$f'(x) > 0$ で単調増加、$f'(x) < 0$ で単調減少

【解法ステップ】

ステップ① $f'(x)$ を求める。

ステップ② 通分して整理する。

ステップ③ 符号を調べる。

$x > -1$ より $(x+1) > 0$、$(x^2+1) > 0$ なので、$f'(x)$ の符号は分子 $-(x-1)$ で決まる。

$x$	$-1 < x < 1$	$x = 1$	$x > 1$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	増加 ↗	極大	減少 ↘

ステップ④ 極大値を計算する。

【答】 $x=1$ で極大値 $\dfrac{1}{2}\log 2$、極小値なし

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🧑 生徒：「$f'(x)$ を計算するとき、$\frac{1}{2}\log(x^2+1)$ の微分はどうすればいいですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「これは合成関数の微分を使うよ！$(\log u)' = \frac{u'}{u}$ という公式で、$u = x^2+1$ とおくと $u' = 2x$ だから、$\left(\frac{1}{2}\log(x^2+1)\right)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2+1} = \frac{x}{x^2+1}$ になるんだ。これを $\frac{1}{x+1}$ から引けば $f'(x)$ が求まるよ。あとは通分して分子を整理するだけ。料理に例えると、通分は『具材を同じお皿にのせる』作業だよ！」

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(2)：方程式 $f(x) = k$ の実数解の個数

【解法ステップ】

ステップ① 境界値を求める。

$x \to -1^+$ のとき $\log(x+1) \to -\infty$ なので $f(x) \to -\infty$

$x \to +\infty$ のとき：

よって $f(x) \to \log 1 = 0$（ただし $f(x) > 0$ のまま $0$ に近づく）

ステップ② また $f(0) = \log 1 - \frac{1}{2}\log 1 = 0$ なので $x=0$ で $f(0)=0$。

$x \to -1^+$ で $f(x) \to -\infty$、$x=0$ で $f(x)=0$、$x=1$ で極大値 $\frac{1}{2}\log 2 > 0$、$x \to +\infty$ で $f(x) \to 0^+$。

ステップ③ 実数解の個数をまとめる。

$k$ の値	実数解の個数
$k > \frac{1}{2}\log 2$	0個
$k = \frac{1}{2}\log 2$	1個（極大点）
$0 < k < \frac{1}{2}\log 2$	2個
$k = 0$	2個（$x=0$ と $x \to +\infty$ の漸近は除外されるので注意；$x>-1$ の範囲で $f(x)=0$ は $x=0$ の1点のみ、ただし $x \to \infty$ は解にならない）

補足： $k=0$ のとき：$f(x)=0$ は $\log\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}=0$、つまり $\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}=1$、$(x+1)^2 = x^2+1$、$2x=0$、$x=0$ の1個。

$k < 0$ のとき：$f$ は $(-1, 0)$ の区間でのみ負の値をとり（$f(0)=0$、$x<0$ で $f$ は増加しているから）、1個。

整理すると：

$k$ の値	実数解の個数
$k > \frac{1}{2}\log 2$	0個
$k = \frac{1}{2}\log 2$	1個
$0 < k < \frac{1}{2}\log 2$	2個
$k = 0$	1個
$k < 0$	1個

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(3)：面積 $S$

【使う公式・定理】

公式名	内容
定積分による面積	$S = \int_a^b |f(x)|\,dx$
部分積分	$\int u v'\,dx = uv - \int u'v\,dx$

【解法ステップ】

ステップ① $0 \le x \le 1$ での $f(x)$ の符号を確認する。

$f(0) = 0$、$x \in (0,1]$ では $f'(x)>0$ かつ $f(0)=0$ より $f(x)>0$。

ステップ② 面積を積分で表す。

ステップ③ $\int_0^1 \log(x+1)\,dx$ を部分積分で計算する。

$u = \log(x+1)$、$v' = 1$ とおくと $u' = \frac{1}{x+1}$、$v = x$。

$\frac{x}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}$ なので：

よって：

ステップ④ $\frac{1}{2}\int_0^1 \log(x^2+1)\,dx$ を部分積分で計算する。

$u = \log(x^2+1)$、$v' = 1$ とおくと $u' = \frac{2x}{x^2+1}$、$v = x$。

$\frac{x^2}{x^2+1} = 1 - \frac{1}{x^2+1}$ なので：

よって：

ステップ⑤ 答えを求める。

【答】 $\displaystyle S = \frac{3}{2}\log 2 - \frac{\pi}{4}$

【この大問で身につく力】
部分積分の運用力と、対数関数・逆三角関数を組み合わせた積分処理の正確さ。計算の多い問題でミスなく最後まで走り切る「計算持久力」が鍛えられる。

💪 部分積分は「使い方が分かる」だけでなく「使いこなせる」まで練習しよう！

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大問[2]：三角関数・接線の角度・回転体の体積（難易度★★★★☆）

【問題文】

$k$ を正の定数とする。2つの曲線

について、次の問いに答えよ。

(1) $C_1$ と $C_2$ の交点における、それぞれの曲線の接線を $\ell_1,\, \ell_2$ とする。直線 $\ell_1,\, \ell_2$ がなす角を $\theta$ $\left(0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}\right)$ とするとき、$\theta$ の値を求めよ。

(2) $k = \dfrac{3}{2}$ のとき、曲線 $C_1$, $C_2$ と $y$ 軸で囲まれる図形を $x$ 軸のまわりに回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。

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(1)：接線がなす角 $\theta$

【使う公式・定理】

公式名	内容
2直線の直交条件	$m_1 \cdot m_2 = -1$
三角関数の微分	$(\cos x)' = -\sin x$、$(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$

【解法ステップ】

ステップ① 交点の $x$ 座標を $t$ とおく（$0 < t < \dfrac{\pi}{2}$）。

交点では $\cos t = k\tan t = k\dfrac{\sin t}{\cos t}$ が成立するから：

ステップ② 各曲線の接線の傾きを求める。

ステップ③ 積を計算する。

$(*)$ より $\cos^2 t = k\sin t$ なので：

2つの接線は直交するから $\theta = \dfrac{\pi}{2}$。

【答】 $\theta = \dfrac{\pi}{2}$（常に $k$ の値によらず直交する！）

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🧑 生徒：「接線がなす角の問題で、$\theta = \frac{\pi}{2}$ になるのはどうして $k$ の値を使わなくていいんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい気づきだね！これはね、交点の条件 $\cos^2 t = k\sin t$ を使うと、積 $m_1 \cdot m_2$ の式から $k$ がきれいにキャンセルされてしまうんだ。つまり $m_1 \cdot m_2 = \frac{-k\sin t}{\cos^2 t} = \frac{-k\sin t}{k\sin t} = -1$ になる。これが2直線の直交条件 $m_1 m_2 = -1$ そのものだよ。$k$ がどんな正の値でも、交点では必ず直交するという美しい性質なんだ！」

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(2)：回転体の体積 $V$（$k = \frac{3}{2}$）

【使う公式・定理】

公式名	内容
回転体の体積（ワッシャー法）	$V = \pi\int_a^b \left[f(x)^2 - g(x)^2\right]dx$
半角公式	$\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}$

【解法ステップ】

ステップ① 交点を求める。$k = \dfrac{3}{2}$ のとき：

$0 \le x < \dfrac{\pi}{2}$ で $\sin x \ge 0$ より $\sin x = \dfrac{1}{2}$、$x = \dfrac{\pi}{6}$

ステップ② $0 \le x \le \dfrac{\pi}{6}$ で $\cos x \ge \dfrac{3}{2}\tan x \ge 0$ を確認する。

$x \in \left[0, \dfrac{\pi}{6}\right]$ では $\cos x \ge k\tan x$（交点以外は $C_1$ が上）。

ステップ③ 回転体の体積を求める。

ステップ④ 各積分を計算する。

$\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}$、$\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1 = \sec^2 x - 1$ を用いる。

ステップ⑤ まとめる。

【答】 $\displaystyle V = \frac{11\pi^2}{24} - \frac{5\sqrt{3}}{8}\pi$

【この大問で身につく力】
回転体の体積計算における「ワッシャー法」の適用と、三角関数の積分変形力（半角・$\sec^2$ の活用）が鍛えられる。

💪 回転体の体積は「どちらの関数が上にあるか」の確認を忘れずに！

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大問[3]：行列の可換性・冪等行列・$n$ 乗（難易度★★★★☆）

【問題文】

$$A = \begin{pmatrix} 4 & -6 \ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{p

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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