明治大学 2015年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

M(a) = f(a) = -(a - 3)² + 4

M(a) =

• -(a - 1)² + 4　（0 < a < 1 のとき）
• 4　（1 ≤ a ≤ 3 のとき）
• -(a - 3)² + 4　（a > 3 のとき）

1つのさいころを4回投げるとき、以下の問いに答えよ。

(1) 1の目がちょうど2回出る確率を求めよ。

(2) 1の目が少なくとも1回出る確率を求めよ。

(3) 出た目の和が6以下である確率を求めよ。

反復試行の確率： ₙCᵣ × pʳ × (1-p)ⁿ⁻ʳ

P = ₄C₂ × (1/6)² × (5/6)²

= 6 × (1/36) × (25/36)

= 6 × 25 / 1296

= 150/1296

= 25/216

【余事象の公式】 P(少なくとも1回) = 1 - P(0回)

P(1の目が0回) = (5/6)⁴ = 625/1296

P(少なくとも1回) = 1 - 625/1296 = 671/1296

P = (1 + 4 + 10) / 1296 = 15/1296 = 5/432

曲線 C: y = x³ - 3x と直線 ℓ: y = x - 2 について、以下の問いに答えよ。

(1) 曲線 C と直線 ℓ の交点の座標を求めよ。

(2) 曲線 C と直線 ℓ で囲まれた図形の面積を求めよ。

x³ - 3x = x - 2

x³ - 4x + 2 = 0

x³ - 3x = -x

x³ - 2x = 0

x(x² - 2) = 0

x = 0, ±√2

面積 S = ∫₋√₂⁰ {(x³ - 3x) - (-x)} dx + ∫₀^√² {(-x) - (x³ - 3x)} dx

= ∫₋√₂⁰ (x³ - 2x) dx + ∫₀^√² (-x³ + 2x) dx

S = 2∫₀^√² |x³ - 2x| dx = 2∫₀^√² (2x - x³) dx

= 2[x² - x⁴/4]₀^√²

= 2{(2 - 1) - 0}

= 2 × 1 = 2

1/12公式： y = a(x - α)(x - β)(x - γ) と直線の間の面積

2つの交点 α, β の間の面積 = (a/12)|β - α|⁴

x 軸周りの回転体の体積： V = π∫ₐᵇ {f(x)}² dx

y 軸周りの回転体の体積： V = 2π∫ₐᵇ x·f(x) dx（バウムクーヘン積分）

空間内に3点 A(1, 0, 2), B(3, 1, 0), C(0, 2, 1) がある。以下の問いに答えよ。

(1) ベクトル AB⃗ と AC⃗ を成分で表せ。

(2) △ABC の面積を求めよ。

(3) 点 D(2, 3, 4) から平面 ABC に下ろした垂線の足 H の座標を求めよ。

AB⃗ = B - A = (3-1, 1-0, 0-2) = (2, 1, -2)

AC⃗ = C - A = (0-1, 2-0, 1-2) = (-1, 2, -1)

公式： △ABC の面積 = (1/2)|AB⃗ × AC⃗|

AB⃗ × AC⃗ = (2, 1, -2) × (-1, 2, -1)

= (1·(-1) - (-2)·2, (-2)·(-1) - 2·(-1), 2·2 - 1·(-1))

= (-1 + 4, 2 + 2, 4 + 1)

= (3, 4, 5)

|AB⃗ × AC⃗| = √(3² + 4² + 5²) = √(9 + 16 + 25) = √50 = 5√2

S = (1/2) × 5√2 = (5√2)/2

OH⃗ = OA⃗ + s·AB⃗ + t·AC⃗

= (1, 0, 2) + s(2, 1, -2) + t(-1, 2, -1)

= (1 + 2s - t, s + 2t, 2 - 2s - t)

DH⃗ = OH⃗ - OD⃗ = (1 + 2s - t - 2, s + 2t - 3, 2 - 2s - t - 4)

= (-1 + 2s - t, s + 2t - 3, -2 - 2s - t)

2(-1 + 2s - t) + 1(s + 2t - 3) + (-2)(-2 - 2s - t) = 0

-2 + 4s - 2t + s + 2t - 3 + 4 + 4s + 2t = 0

9s + 2t - 1 = 0 ... ①

(-1)(-1 + 2s - t) + 2(s + 2t - 3) + (-1)(-2 - 2s - t) = 0

1 - 2s + t + 2s + 4t - 6 + 2 + 2s + t = 0

2s + 6t - 3 = 0 ... ②

① 9s + 2t = 1

② 2s + 6t = 3

①×3 - ②：27s + 6t - 2s - 6t = 3 - 3

25s = 0 → s = 0

②に代入：6t = 3 → t = 1/2

H = (1 + 2·0 - 1/2, 0 + 2·(1/2), 2 - 2·0 - 1/2)

= (1/2, 1, 3/2)

H = (1/2, 1, 3/2)

平面 ABC：3(x - 1) + 4(y - 0) + 5(z - 2) = 0

3x + 4y + 5z - 13 = 0

直線：(x, y, z) = (2, 3, 4) + k(3, 4, 5) = (2 + 3k, 3 + 4k, 4 + 5k)

3(2 + 3k) + 4(3 + 4k) + 5(4 + 5k) - 13 = 0

6 + 9k + 12 + 16k + 20 + 25k - 13 = 0

50k + 25 = 0

k = -1/2

数列 {aₙ} が以下の漸化式を満たすとき、一般項 aₙ を求めよ。

a₁ = 1, aₙ₊₁ = 3aₙ + 2ⁿ (n = 1, 2, 3, ...)

aₙ₊₁/2ⁿ⁺¹ = (3aₙ + 2ⁿ)/2ⁿ⁺¹

aₙ₊₁/2ⁿ⁺¹ = (3/2) · (aₙ/2ⁿ) + 1/2

bₙ₊₁ = (3/2)bₙ + 1/2

α - (3/2)α = 1/2

-(1/2)α = 1/2

α = -1

cₙ = (3/2) · (3/2)ⁿ⁻¹ = (3/2)ⁿ = 3ⁿ/2ⁿ

bₙ = cₙ - 1 = 3ⁿ/2ⁿ - 1 = (3ⁿ - 2ⁿ)/2ⁿ

aₙ = 2ⁿ · bₙ = 2ⁿ · (3ⁿ - 2ⁿ)/2ⁿ = 3ⁿ - 2ⁿ

aₙ = 3ⁿ - 2ⁿ

aₙ₊₁/3ⁿ⁺¹ = aₙ/3ⁿ + 2ⁿ/3ⁿ⁺¹

aₙ₊₁/3ⁿ⁺¹ = aₙ/3ⁿ + (1/3)(2/3)ⁿ

bₙ₊₁ = bₙ + (1/3)(2/3)ⁿ

bₙ = b₁ + Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ (1/3)(2/3)ᵏ

= 1/3 + (1/3) · (2/3){1 - (2/3)ⁿ⁻¹}/(1 - 2/3)

= 1/3 + (2/3){1 - (2/3)ⁿ⁻¹}

= 1/3 + 2/3 - (2/3)ⁿ

= 1 - (2/3)ⁿ

1. 二次関数の最大・最小（定義域が動く問題）

場合分けの力が試される典型問題。頂点と定義域の位置関係を素早く把握する訓練が必要です。

2. 確率（反復試行・余事象）

「少なくとも〜」の問題では余事象を使うのが定石。反復試行の公式も必須です。

3. ベクトル（外積・平面の方程式）

理系では空間ベクトルが頻出。外積の計算に習熟しておくと有利です。

4. 微分積分（面積計算）

曲線と直線で囲まれた面積は定番。交点を正確に求め、積分計算をミスなく行う練習を。

5. 数列（漸化式）

様々な形の漸化式に対応できるよう、パターン別の解法をマスターしておきましょう。

【問題】

a を実数とする。二次関数 f(x) = x² - 2ax + a + 2 の 0 ≤ x ≤ 2 における最小値 m(a) を求めよ。

【問題】

赤玉3個、白玉5個が入った袋から、1個ずつ3回玉を取り出す（取り出した玉は戻さない）。以下の確率を求めよ。

(1) 3個とも赤玉である確率

(2) 赤玉が少なくとも1個含まれる確率

(3) 赤玉がちょうど2個含まれる確率

【問題】

数列 {aₙ} が a₁ = 2, aₙ₊₁ = 2aₙ + 3 を満たすとき、一般項 aₙ を求めよ。

目標：教科書レベルの完全習得

• 4〜5月：数学Ⅰ・Aの総復習。特に二次関数、場合の数・確率を重点的に
• 6〜7月：数学Ⅱ・Bの総復習。三角関数、指数・対数、数列、ベクトルを中心に
• 8月：理系は数学Ⅲの微分積分を集中学習。文系は苦手分野の克服に充てる

使用教材：教科書、教科書傍用問題集（4STEP、サクシードなど）

目標：入試典型問題の解法パターン習得

• 9月：青チャートまたはFocus Goldの重要問題を周回
• 10月：明治大学と同レベルの大学（法政、中央、立教など）の過去問に挑戦
• 11月：明治大学の過去問を年度別に解き始める。時間を計って実戦形式で

使用教材：青チャート、Focus Gold、良問プラチカ

目標：本番で実力を発揮できる状態に仕上げる

• 12月：明治大学の過去問を最低5年分、学部別に解く
• 1月前半：共通テスト対策に集中
• 1月後半〜2月：明治大学の過去問と予想問題で最終調整。苦手分野の再確認

ポイント：この時期は新しい問題集に手を出さず、これまでやってきた問題の復習に徹する

計算ミスを減らすためのテクニック

• 途中式を省略しない：急いで計算しようとして式を飛ばすとミスの原因に
• 検算の習慣：特に方程式の解や積分結果は、代入して確認する
• 字をきれいに書く：自分で書いた数字を読み間違えるミスは意外と多い
• 単位円や公式を図で確認：三角関数の符号ミスを防ぐ

部分点を取るためのポイント

• 方針を明記する：「余弦定理より」「平方完成すると」など、使う公式や手法を書く
• 途中計算も残す：消しゴムで消さず、見やすく整理して書く
• わからなくても諦めない：わかるところまで書けば、そこまでの点数がもらえる
• 図やグラフを活用：特にベクトルや図形の問題では、図を描くことで減点を防げる

【文系】頻出TOP5

1. 二次関数（最大・最小、解の配置）
2. 確率（条件付き確率、期待値）
3. 三角関数（加法定理、合成）
4. 数列（漸化式、Σ計算）
5. ベクトル（内積、位置ベクトル）

【理系】頻出TOP5

1. 微分法（極値、最大・最小、接線）
2. 積分法（面積、体積、区分求積法）
3. 数列（漸化式、数学的帰納法）
4. ベクトル（空間ベクトル、外積）
5. 複素数平面（図形への応用）