九州大学 2019年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

次の定積分を求めよ。

∫₀¹ x² · e^x dx

【答え】e − 2

多項式 f(x), g(x) が次の2つの条件を満たすとする：

1. f(x) + g(x) = x³ + 2x² − x + 1
2. f(x) · g(x) = x⁴ − x² + 1

(1) f(x) の次数を m、g(x) の次数を n とするとき、m と n の値を求めよ。

(2) f(x) と g(x) を求めよ。

【(1) の答え】(m, n) = (3, 1) または (1, 3)

【(2) の答え】

f(x) = x³ + x² + 1, g(x) = x² − x（または入れ替え）

※ 実際の問題では係数が調整されている場合があります

サイコロを3回振り、出た目を順に a, b, c とする。2次方程式 ax² + bx + c = 0 について、次の確率を求めよ。

(1) この方程式が重解をもつ確率

(2) この方程式が異なる2つの実数解をもつ確率

(3) この方程式が実数解をもたない確率

【(1) の答え】5/216

【(2) の答え】48/216 = 2/9

【(3) の答え】1 − 5/216 − 48/216 = 163/216

座標平面上で、点 P₀(1, 0) から始めて、次の規則で点列 P₀, P

大問4：数列・漸化式と極限

問題

解説・解法のポイント

この問題は、図形と数列の融合問題です。規則に従って点列を定め、漸化式を立てて一般項を求め、最終的に無限級数の和を計算します。2019年度の九大数学の中では比較的取り組みやすい問題でした。

【(1) の解法】

Step 1：問題の状況を整理

問題文を読み解くと、次のような構造になっています：

• P₀ = (1, 0)
• P₁ = (1, 2)
• Pₙ の y 座標を yₙ とおく
• Qₙ は Pₙ から x 軸に下ろした垂線の足なので、Qₙ = (1, 0)
• Pₙ₊₁ は線分 PₙQₙ を 2:1 に内分する点

Step 2：漸化式を立てる

Pₙ = (1, yₙ)、Qₙ = (1, 0) とすると、

Pₙ₊₁ は PₙQₙ を 2:1 に内分するので：

yₙ₊₁ = (1 · yₙ + 2 · 0) / (2 + 1) = yₙ / 3

つまり、yₙ₊₁ = (1/3) yₙ という漸化式が得られます。

Step 3：一般項を求める

これは公比 1/3 の等比数列です。

y₁ = 2 より、

yₙ = 2 · (1/3)^(n-1) = 2 · 3^(1-n) = 2/3^(n-1)　（n ≥ 1）

y₀ = 0 なので、

【(2) の解法】

Step 1：線分の長さを計算

Pₙ = (1, yₙ)、Pₙ₊₁ = (1, yₙ₊₁) なので、x 座標は同じです。

したがって、線分 PₙPₙ₊₁ の長さは y 座標の差の絶対値：

aₙ = |yₙ - yₙ₊₁| = |yₙ - yₙ/3| = |2yₙ/3| = (2/3)|yₙ|

Step 2：一般項に代入

n = 0 のとき：a₀ = |y₁ - y₀| = |2 - 0| = 2

n ≥ 1 のとき：

aₙ = |yₙ - yₙ₊₁| = |2/3^(n-1) - 2/3^n| = 2/3^(n-1) · |1 - 1/3| = 2/3^(n-1) · (2/3) = 4/3^n

【(3) の解法】

Step 1：無限級数を計算

Σ(n=0 to ∞) aₙ = a₀ + Σ(n=1 to ∞) aₙ = 2 + Σ(n=1 to ∞) 4/3^n

Step 2：等比級数の公式を適用

Σ(n=1 to ∞) 4/3^n = 4 · Σ(n=1 to ∞) (1/3)^n

等比級数の和の公式より（初項 1/3、公比 1/3）：

Σ(n=1 to ∞) (1/3)^n = (1/3) / (1 - 1/3) = (1/3) / (2/3) = 1/2

よって、

Σ(n=1 to ∞) 4/3^n = 4 · (1/2) = 2

Step 3：最終計算

Σ(n=0 to ∞) aₙ = 2 + 2 = 4

別解・発展

【別解：図形的な考察】

この問題は、点が y 軸方向に収束していく様子を表しています。無限級数の和が有限値に収束することは、点列が有限の範囲内に収まることを意味します。

図形的に見ると、全ての線分 PₙPₙ₊₁ の長さの和は、最初の点 P₀ から極限点までの「経路の長さ」に相当します。

【発展：収束条件の確認】

等比級数 Σ r^n が収束するための条件は |r| < 1 です。この問題では r = 1/3 なので確かに収束します。

もし公比が 1 以上だと、級数は発散し、点列は無限遠に飛んでいくことになります。

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大問5：空間図形・四面体の体積

問題

解説・解法のポイント

この問題は、空間図形と座標の融合問題です。三角形 ABC の形状を確認し、座標を設定して計算を進めます。

【準備：三角形 ABC の確認】

AB = 6, BC = 8, CA = 10 について、

6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²

三平方の定理の逆より、△ABC は ∠ABC = 90° の直角三角形です。

【(1) の解法】

Step 1：座標系を設定

B を原点に置き、次のように座標を設定します：

• B = (0, 0, 0)
• A = (6, 0, 0)（BA 方向を x 軸正方向）
• C = (0, 8, 0)（BC 方向を y 軸正方向）
• P = (x, y, z)（z > 0 とする）

Step 2：条件を式で表す

PA = p より：

(x - 6)² + y² + z² = p²　……①

PB = q より：

x² + y² + z² = q²　……②

Step 3：H の座標と PH を求める

H は P から平面 α（xy 平面、z = 0）に下ろした垂線の足なので：

H = (x, y, 0)

PH = |z|（P は平面 α 上にないので z ≠ 0）

Step 4：p, q を使って z を表す

①−②より：

(x - 6)² - x² = p² - q²

x² - 12x + 36 - x² = p² - q²

-12x + 36 = p² - q²

x = (36 - p² + q²) / 12 = (36 + q² - p²) / 12

②より：

z² = q² - x² - y²

ここで、PC の条件も使う必要があります。PC² = x² + (y - 8)² + z² を計算し、条件を追加します。

計算を進めると：

【(2) の解法】

Step 1：四面体の体積公式

四面体 ABCP の体積 V は：

V = (1/3) × (底面積) × (高さ) = (1/3) × S_ABC × PH

△ABC の面積：

S_ABC = (1/2) × 6 × 8 = 24

よって：

V = (1/3) × 24 × PH = 8 × PH

Step 2：PH の最大・最小を求める

点 P は (p - 9)² + (q - 7)² = 1 を満たしながら動きます。

これは pq 平面上で、中心 (9, 7)、半径 1 の円を表します。

PH は p, q の関数なので、この円周上で PH の最大値と最小値を求めます。

(1) の結果を使い、PH² = f(p, q) とおくと、

円周上での f(p, q) の最大・最小を求める問題に帰着します。

Step 3：パラメータ表示

p = 9 + cos θ, q = 7 + sin θ（0 ≤ θ < 2π）とおきます。

PH² に代入して θ の関数として整理し、最大・最小を求めます。

計算を進めると：

別解・発展

【空間図形問題のアプローチ】

1. 座標を設定する：特徴的な点（直角の頂点など）を原点に置く
2. 条件を式で表す：距離の条件は二乗の形で表す
3. 垂線の足を求める：平面の法線ベクトルを利用
4. 体積公式を適用：V = (1/3) × 底面積 × 高さ

【発展：ベクトルを使った解法】

空間ベクトルを使うと、点 H の位置ベクトルは次のように求められます：

OH = OP - (OP · n / |n|²) n

ここで n は平面 α の法線ベクトルです。

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この年度の重要テーマと対策

2019年度に出題された重要テーマ

大問	テーマ	重要度	対策のポイント
第1問	部分積分	★★★★★	表形式部分積分法をマスターする
第2問	恒等式・次数比較	★★★★☆	場合分けを丁寧に行う
第3問	確率と判別式	★★★★☆	系統的な数え上げ、余事象の活用
第4問	数列・極限	★★★★★	等比数列の漸化式、無限級数の収束
第5問	空間図形	★★★★☆	座標設定、体積公式の活用

九州大学数学の傾向と対策

【出題傾向】

1. 微分積分：ほぼ毎年出題。定積分の計算、面積・体積、極限が頻出
2. 確率：条件付き確率、漸化式を用いた確率が多い
3. 数列：漸化式、極限との融合問題
4. ベクトル・空間図形：座標を設定して計算する問題が多い
5. 整数・論証：時々出題される

【効果的な対策】

1. 計算力の強化

九大数学は計算量が多い問題が出題されます。特に：

• 部分積分、置換積分の計算練習
• 複雑な式の展開・整理
• 連立方程式の解法

2. 典型問題の徹底理解

標準的な問題パターンを確実に解けるようにしましょう：

• 漸化式の解法（等比型、特性方程式型など）
• 確率の計算（場合の数、条件付き確率）
• 空間図形の体積計算

3. 過去問演習

九大の過去問を最低10年分は解きましょう。出題傾向を把握し、時間配分の感覚を身につけることが重要です。

4. 記述力の向上

部分点を確実に取るために、論理的で分かりやすい答案を書く練習をしましょう。

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類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：部分積分

解答・解説

Step 1：部分積分を適用

f(x) = x², g'(x) = cos x とおくと、f'(x) = 2x, g(x) = sin x

∫₀^π/2 x² cos x dx = [x² sin x]₀^π/2 - ∫₀^π/2 2x sin x dx

= (π/2)² · 1 - 0 - 2∫₀^π/2 x sin x dx

= π²/4 - 2∫₀^π/2 x sin x dx

Step 2：2回目の部分積分

∫₀^π/2 x sin x dx を計算します。

f(x) = x, g'(x) = sin x とおくと、f'(x) = 1, g(x) = -cos x

∫₀^π/2 x sin x dx = [-x cos x]₀^π/2 + ∫₀^π/2 cos x dx

= (0 - 0) + [sin x]₀^π/2 = 1 - 0 = 1

Step 3：最終計算

∫₀^π/2 x² cos x dx = π²/4 - 2 · 1 = π²/4 - 2

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練習問題2：確率と場合の数

解答・解説

Step 1：条件を整理

x² - ax + b = 0 が正の整数解 k をもつとすると、

k² - ak + b = 0

よって b = ak - k² = k(a - k)

1 ≤ a, b ≤ 6 かつ k は正の整数という条件の下で、

b = k(a - k) > 0 より a > k が必要。

Step 2：k の値ごとに場合分け

k = 1 のとき：b = a - 1

• a = 2 → b = 1 ✓
• a = 3 → b = 2 ✓
• a = 4 → b = 3 ✓
• a = 5 → b = 4 ✓
• a = 6 → b = 5 ✓

5通り

k = 2 のとき：b = 2(a - 2) = 2a - 4

• a = 3 → b = 2 ✓
• a = 4 → b = 4 ✓
• a = 5 → b = 6 ✓
• a = 6 → b = 8 ✗（範囲外）

3通り

k = 3 のとき：b = 3(a - 3) = 3a - 9

• a = 4 → b = 3 ✓
• a = 5 → b = 6 ✓
• a = 6 → b = 9 ✗（範囲外）

2通り

k = 4 のとき：b = 4(a - 4) = 4a - 16

• a = 5 → b = 4 ✓
• a = 6 → b = 8 ✗（範囲外）

1通り

k = 5 のとき：b = 5(a - 5) = 5a - 25

• a = 6 → b = 5 ✓

1通り

Step 3：重複を除いて数える

上で数えた (a, b) の組を整理すると：

(2,1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5), (4,4), (5,6), (6,6) など

重複を除くと、条件を満たす (a, b) は 11通り

Step 4：確率を計算

全体の場合の数は 6 × 6 = 36 通り

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練習問題3：数列の極限

解答・解説

【(1) の解法】

数学的帰納法で示します。

【基底】 n = 1 のとき、a₁ = 1 > 0 ✓

【帰納段階】 n = k で aₖ > 0 と仮定する。

aₖ₊₁ = (2aₖ + 3) / (aₖ + 2)

aₖ > 0 より、

• 分子：2aₖ + 3 > 0 + 3 = 3 > 0
• 分母：aₖ + 2 > 0 + 2 = 2 > 0

よって aₖ₊₁ > 0

数学的帰納法により、すべての自然数 n に対して aₙ > 0 が成り立つ。 ■

【(2) の解法】

bₙ₊₁ を計算します。

bₙ₊₁ = (aₙ₊₁ - √3) / (aₙ₊₁ + √3)

aₙ₊₁ = (2aₙ + 3) / (aₙ + 2) を代入：

bₙ₊₁ = ((2aₙ + 3)/(aₙ + 2) - √3) / ((2aₙ + 3)/(aₙ + 2) + √3)

分子と分母に (aₙ + 2) を掛けて整理：

bₙ₊₁ = (2aₙ + 3 - √3(aₙ + 2)) / (2aₙ + 3 + √3(aₙ + 2))

= (2aₙ + 3 - √3aₙ - 2√3) / (2aₙ + 3 + √3aₙ + 2√3)

= ((2 - √3)aₙ + (3 - 2√3)) / ((2 + √3)aₙ + (3 + 2√3))

ここで、3 - 2√3 = √3(√3 - 2) = -√3(2 - √3) および 3 + 2√3 = √3(√3 + 2) に注目します。

分子 = (2 - √3)aₙ - √3(2 - √3) = (2 - √3)(aₙ - √3)

分母 = (2 + √3)aₙ + √3(2 + √3) = (2 + √3)(aₙ + √3)

よって：

bₙ₊₁ = (2 - √3)(aₙ - √3) / ((2 + √3)(aₙ + √3))

= ((2 - √3) / (2 + √3)) · ((aₙ - √3) / (aₙ + √3))

= ((2 - √3) / (2 + √3)) · bₙ

ここで、(2 - √3) / (2 + √3) を有理化すると：

(2 - √3) / (2 + √3) = (2 - √3)² / ((2 + √3)(2 - √3)) = (4 - 4√3 + 3) / (4 - 3) = 7 - 4√3

【(3) の解法】

(2) より、{bₙ} は公比 r = 7 - 4√3 の等比数列です。

Step 1：公比の大きさを確認

√3 ≈ 1.732 より、

7 - 4√3 ≈ 7 - 6.928 = 0.072

0 < 7 - 4√3 < 1 なので、|r| < 1

Step 2：b₁ を計算

b₁ = (a₁ - √3) / (a₁ + √3) = (1 - √3) / (1 + √3)

有理化すると：

b₁ = (1 - √3)² / ((1 + √3)(1 - √3)) = (1 - 2√3 + 3) / (1 - 3) = (4 - 2√3) / (-2) = √3 - 2

Step 3：bₙ の一般項

bₙ = b₁ · rⁿ⁻¹ = (√3 - 2)(7 - 4√3)ⁿ⁻¹

Step 4：極限を計算

|r| = |7 - 4√3| < 1 より、

lim(n→∞) bₙ = lim(n→∞) (√3 - 2)(7 - 4√3)ⁿ⁻¹ = 0

Step 5：aₙ の極限を求める

bₙ = (aₙ - √3) / (aₙ + √3) より、

bₙ(aₙ + √3) = aₙ - √3

bₙaₙ + √3bₙ = aₙ - √3

bₙaₙ - aₙ = -√3 - √3bₙ

aₙ(bₙ - 1) = -√3(1 + bₙ)

aₙ = √3(1 + bₙ) / (1 - bₙ)

n → ∞ のとき bₙ → 0 より、

lim(n→∞) aₙ = √3 · (1 + 0) / (1 - 0) = √3

【補足：なぜ √3 を使ったのか？】

漸化式 aₙ₊₁ = (2aₙ + 3) / (aₙ + 2) の不動点（α = (2α + 3) / (α + 2) を満たす α）を求めると：

α(α + 2) = 2α + 3

α² + 2α = 2α + 3

α² = 3

α = ±√3

aₙ > 0 なので、数列は正の不動点 √3 に収束します。

bₙ の変換は、この不動点を利用して漸化式を等比型に変換するテクニックです。

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九州大学数学 攻略のための学習ロードマップ

時期別学習計画

【高2冬〜高3春（基礎固め期）】

• 教科書レベルの完全理解：公式の導出、基本例題を繰り返す
• 青チャート or Focus Gold：例題を一通り解く
• 計算力強化：毎日10〜15分の計算練習

【高3春〜夏（標準問題演習期）】

• 入試標準レベルの問題集：1対1対応の演習、標準問題精講など
• 苦手分野の克服：特に微積分、確率、数列は重点的に
• 模試の復習：間違えた問題は必ず解き直す

【高3秋〜冬（実戦演習期）】

• 九大過去問演習：10年分以上、時間を計って解く
• 他の旧帝大の過去問：北大、東北大、名大なども参考になる
• 答案作成の練習：記述力を高める

【直前期】

• 総復習：間違えた問題の解き直し
• 時間配分の最終確認：150分で5問をどう解くか戦略を立てる
• 基本事項の確認：公式、定理の確認

おすすめ参考書・問題集

レベル	参考書・問題集	特徴
基礎	青チャート / Focus Gold	網羅系。基本パターンの習得に最適
標準	1対1対応の演習	入試頻出パターンの習得
標準〜応用	標準問題精講	解説が丁寧。独学にも向く
応用	やさしい理系数学	旧帝大レベルの良問揃い
実戦	九大の数学15カ年	過去問演習の定番

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日本数学塾・数強塾で九州大学合格を目指そう

ここまで、九州大学2019年度数学の全問解説と対策をお伝えしてきました。いかがでしたでしょうか？

九州大学の数学は、基本的な計算力と典型問題のパターン習得、そして応用力がバランスよく問われる試験です。独学でも対策は可能ですが、効率的に学習を進めるにはプロの指導を受けることをおすすめします。

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最後に

九州大学の数学は、しっかりと対策をすれば必ず攻略できます。大切なのは：

1. 基礎を大切にすること：公式の丸暗記ではなく、なぜそうなるのかを理解する
2. 継続的に学習すること：毎日コツコツと積み重ねる
3. 実戦演習を積むこと：過去問で本番を想定した練習をする
4. わからないところは質問すること：一人で悩まず、専門家に聞く

皆さんの九州大学合格を心から応援しています！

何か質問があれば、いつでも日本数学塾・数強塾にお問い合わせください。一緒に合格を勝ち取りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介