九州大学 2010年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。今回は九州大学 2010年度（平成22年度）理系数学の過去問を徹底解説していきます！

九州大学は旧帝国大学の一角として、毎年質の高い数学問題を出題することで知られています。2010年度の問題は、例年に比べてやや易しめとされていますが、図形問題や確率の問題など、基本をしっかり押さえていないと完答できない良問が揃っています。

この記事では、各大問の詳細な解説はもちろん、別解や発展的な内容、そして類似問題での演習まで、九州大学合格に必要な数学力を身につけるための情報を余すことなくお伝えします。ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

2010年度 九州大学 理系数学 試験概要

項目	内容
試験形式	前期日程・記述式
試験時間	150分
問題数	全5問（理系）
配点	学部により異なる（工学部：250点、理学部：300点など）
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B・C（当時の課程）

全体講評

2010年度の九州大学理系数学は、例年より少し易しめのセットでした。全体的に標準レベルの問題で構成されており、特に第4問は教科書にそのまま載っているような基本的な内容が出題されました。

試験時間150分に対して、目標解答時間は125分程度と見積もられ、時間的にも余裕があるセットだったと言えます。しかし、だからこそ計算ミスや論述の不備が致命傷になりやすい年度でもありました。基本をしっかり押さえ、丁寧に解答を作成することが高得点への鍵となります。

各大問の出題分野と難易度

大問	出題分野	難易度	目安時間
第1問	図形と方程式・三角形の辺の長さ	★★☆☆☆（標準）	20分
第2問	確率・期待値	★★☆☆☆（標準）	25分
第3問	微分法・接線と漸化式	★★★☆☆（やや難）	30分
第4問	図形と式・半円上の点	★☆☆☆☆（易）	20分
第5問	媒介変数表示・軌跡	★★☆☆☆（標準）	30分

合格ラインは学部によって異なりますが、理系学部では6割程度を目標にしたいところです。この年度であれば、第1問、第2問、第4問を確実に完答し、第3問と第5問で部分点を積み重ねる戦略が有効でした。

大問1：三角形の辺の長さに関する問題

問題

解説・解法のポイント

【アプローチ】

この問題はベクトルを使った図形問題です。三辺の長さが与えられているので、ベクトルを2つ設定すれば、それぞれの長さと内積を求めることができます。余弦定理を活用するのがポイントです。

【(1)の解答】

Step 1：ベクトルの設定

点Aを始点として、$vec{AB} = vec{c}$、$vec{AC} = vec{b}$ とおきます。

Step 2：点Pの位置ベクトル

点PはBC上にあり、BP = t・BCなので：

$$vec{AP} = vec{AB} + vec{BP} = vec{AB} + t cdot vec{BC}$$

$$= vec{c} + t(vec{b} - vec{c}) = (1-t)vec{c} + tvec{b}$$

Step 3：APの長さの計算

$$|vec{AP}|^2 = |(1-t)vec{c} + tvec{b}|^2$$

$$= (1-t)^2|vec{c}|^2 + 2t(1-t)vec{b} cdot vec{c} + t^2|vec{b}|^2$$

ここで、余弦定理より：

$$vec{b} cdot vec{c} = |vec{b}||vec{c}|cos A = bc cdot frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = frac{b^2 + c^2 - a^2}{2}$$

よって：

$$|vec{AP}|^2 = (1-t)^2 c^2 + 2t(1-t) cdot frac{b^2 + c^2 - a^2}{2} + t^2 b^2$$

$$= (1-t)^2 c^2 + t(1-t)(b^2 + c^2 - a^2) + t^2 b^2$$

展開・整理すると：

$$boxed{AP = sqrt{(1-t)^2 c^2 + t(1-t)(b^2 + c^2 - a^2) + t^2 b^2}}$$

【(2)の解答】

Step 1：CPの長さを求める

CP = BC - BP = a - ta = a(1-t) なので、CP = a(1-t)

Step 2：AP = CPの条件

AP² = CP² より：

$$(1-t)^2 c^2 + t(1-t)(b^2 + c^2 - a^2) + t^2 b^2 = a^2(1-t)^2$$

t ≠ 1 のとき、両辺を (1-t) で割ると：

$$(1-t)c^2 + t(b^2 + c^2 - a^2) + frac{t^2 b^2}{1-t} = a^2(1-t)$$

この方程式を整理すると、t = 1が一つの解であることに気づけば計算が楽になります。

実際に整理すると：

$$t = frac{c^2 - a^2}{c^2 - a^2 + b^2}$$

ただし、$c^2 - a^2 + b^2 neq 0$ のとき。

【(3)の解答】

0 ≤ t < 1 を満たす条件を求めます。

Case 1：t ≥ 0 の条件

分子と分母が同符号であること：

• $c^2 - a^2 geq 0$ かつ $c^2 - a^2 + b^2 > 0$ → $c geq a$
• または $c^2 - a^2 leq 0$ かつ $c^2 - a^2 + b^2 < 0$ → これは $b^2 < a^2 - c^2$ となり、三角形の成立条件から不適

Case 2：t < 1 の条件

$$frac{c^2 - a^2}{c^2 - a^2 + b^2} < 1$$

これは $b^2 > 0$ より常に成り立ちます（$c^2 - a^2 + b^2 > 0$ のとき）。

したがって、条件は：

$$boxed{c geq a text{ （すなわち } |AB| geq |BC| text{）}}$$

別解・発展

【別解：座標を使う方法】

点Bを原点、BCをx軸にとり、B(0, 0)、C(a, 0)と座標を設定する方法もあります。点Aの座標を余弦定理を使って求め、P(ta, 0)としてAPの長さを計算します。計算量はベクトルを使う方法と同程度ですが、より具体的なイメージを持ちやすい利点があります。

【発展：角の二等分線との関係】

この問題は、角Aの二等分線がBCと交わる点との関係を考えると、より深い理解が得られます。角の二等分線の性質「BP：PC = AB：AC = c：b」と比較してみましょう。

大問2：確率・期待値（サイコロの競技）

問題

解説・解法のポイント

【問題の本質】

この問題は条件付き期待値と最適戦略を問う良問です。場合分けをしっかり行い、36通りの場合を調べ尽くすのが確実な方法です。

【(1)の解答】

Step 1：得点の場合分け

2つのサイコロの目の合計をSとすると：

• S = 2, 3, 4, 5, 6 のとき：得点 = S
• S ≥ 7 のとき：得点 = 0

Step 2：各得点の確率を計算

合計S	組み合わせ	確率	得点
2	(1,1)	1/36	2
3	(1,2), (2,1)	2/36	3
4	(1,3), (2,2), (3,1)	3/36	4
5	(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)	4/36	5
6	(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)	5/36	6
7以上	残り21通り	21/36	0

Step 3：期待値の計算

$$E = 2 cdot frac{1}{36} + 3 cdot frac{2}{36} + 4 cdot frac{3}{36} + 5 cdot frac{4}{36} + 6 cdot frac{5}{36} + 0 cdot frac{21}{36}$$

$$= frac{2 + 6 + 12 + 20 + 30}{36} = frac{70}{36} = boxed{frac{35}{18}}$$

【(2)の解答】

Step 1：戦略の確認

• 最初の目が1, 2, 3, 4, 5のとき：2回目を振る
• 最初の目が6のとき：2回目を振らない（得点 = 6）

Step 2：最初の目が1〜5のときの期待値

最初の目がkのとき、2回目を振った場合の得点の期待値を計算します。

合計が7以上になる確率は、2回目の目が(7-k)以上になる確率です。

• k = 1：合計7以上 = 2回目が6のとき → 確率1/6、得点0
• k = 2：合計7以上 = 2回目が5,6のとき → 確率2/6
• k = 3：合計7以上 = 2回目が4,5,6のとき → 確率3/6
• k = 4：合計7以上 = 2回目が3,4,5,6のとき → 確率4/6
• k = 5：合計7以上 = 2回目が2,3,4,5,6のとき → 確率5/6

Step 3：各場合の期待値計算

最初の目がkで2回目を振るときの期待値をE(k)とすると：

k = 1のとき：

$$E(1) = frac{1}{6}(2+3+4+5+6) + frac{1}{6} cdot 0 = frac{20}{6} = frac{10}{3}$$

k = 2のとき：

$$E(2) = frac{1}{6}(3+4+5+6) + frac{2}{6} cdot 0 = frac{18}{6} = 3$$

k = 3のとき：

$$E(3) = frac{1}{6}(4+5+6) + frac{3}{6} cdot 0 = frac{15}{6} = frac{5}{2}$$

k = 4のとき：

$$E(4) = frac{1}{6}(5+6) + frac{4}{6} cdot 0 = frac{11}{6}$$

k = 5のとき：

$$E(5) = frac{1}{6} cdot 6 + frac{5}{6} cdot 0 = 1$$

Step 4：全体の期待値

$$E = frac{1}{6}left(frac{10}{3} + 3 + frac{5}{2} + frac{11}{6} + 1 + 6right)$$

通分して計算：

$$= frac{1}{6} cdot frac{20 + 18 + 15 + 11 + 6 + 36}{6} = frac{106}{36} = boxed{frac{53}{18}}$$

【(3)の解答】

Step 1：戦略の分析

最初の目がkのとき、2回目を振るかどうかの判断基準は：

• 2回目を振った場合の期待値 E(k) と、振らない場合の得点 k を比較
• E(k) > k ならば2回目を振る方が有利

Step 2：各場合の比較

• k = 1：E(1) = 10/3 ≈ 3.33 > 1 → 振る方が有利
• k = 2：E(2) = 3 > 2 → 振る方が有利
• k = 3：E(3) = 5/2 = 2.5 < 3 → 振らない方が有利
• k = 4：E(4) = 11/6 ≈ 1.83 < 4 → 振らない方が有利
• k = 5：E(5) = 1 < 5 → 振らない方が有利
• k = 6：E(6) = 1 < 6 → 振らない方が有利

結論

$$boxed{text{最初の目が1または2のときに2回目を振るとよい}}$$

このときの最大期待値は：

$$E_{max} = frac{1}{6}left(frac{10}{3} + 3 + 3 + 4 + 5 + 6right) = frac{1}{6} cdot frac{10 + 9 + 9 + 12 + 15 + 18}{3} = frac{73}{18}$$

別解・発展

【別解：表を使った全数調査】

36通りすべてを書き出す方法も確実です。特に(1)では、6×6の表を作成し、合計が6以下のマスを数え上げることで、視覚的に理解しやすくなります。

【発展：一般化】

この問題を一般化して、「n面サイコロ」や「合計がm以上で0点」という設定に変えて考えることで、より深い理解が得られます。最適戦略の境界値がどのように変化するかを調べてみましょう。

大問3：微分法・接線の漸化式

問題

解説・解法のポイント

【問題の本質】

この問題は接線の方程式と漸化式を組み合わせた典型問題です。規則性を見つけて一般項を求めることがゴールです。

【(1)の解答】

Step 1：接線の方程式を求める

$y = frac{1}{x^2} = x^{-2}$ より、$frac{dy}{dx} = -2x^{-3} = -frac{2}{x^3}$

点P₀(a, 1/a²)における接線の傾きは：

$$m = -frac{2}{a^3}$$

接線の方程式は：

$$y - frac{1}{a^2} = -frac{2}{a^3}(x - a)$$

Step 2：x軸との交点Q₁を求める

y = 0 を代入：

$$-frac{1}{a^2} = -frac{2}{a^3}(x - a)$$

$$frac{1}{a^2} = frac{2}{a^3}(x - a)$$

$$frac{a}{2} = x - a$$

$$x = frac{3a}{2}$$

よって、$Q_1left(frac{3a}{2}, 0right)$

Step 3：P₁の座標を求める

$x = frac{3a}{2}$ のとき、$y = frac{1}{(3a/2)^2} = frac{4}{9a^2}$

$$boxed{P_1left(frac{3a}{2}, frac{4}{9a^2}right)}$$

【(2)の解答】

Step 1：P₁における接線

P₁のx座標を$b = frac{3a}{2}$とおくと、P₁(b, 1/b²)と表せます。

(1)と同様の計算により、P₁における接線がx軸と交わる点Q₂のx座標は：

$$frac{3b}{2} = frac{3}{2} cdot frac{3a}{2} = frac{9a}{4}$$

Step 2：P₂の座標

$$boxed{P_2left(frac{9a}{4}, frac{16}{81a^2}right) = left(left(frac{3}{2}right)^2 a, left(frac{2}{3}right)^4 cdot frac{1}{a^2}right)}$$

【(3)の解答】

Step 1：規則性の発見

Pₙのx座標をxₙとすると：

• $x_0 = a$
• $x_1 = frac{3a}{2} = frac{3}{2} cdot a$
• $x_2 = frac{9a}{4} = left(frac{3}{2}right)^2 cdot a$

</ul

規則性から：

$$x_n = left(frac{3}{2}right)^n cdot a$$

Step 2：漸化式による確認

一般に、点Pₙ(xₙ, 1/xₙ²)における接線の方程式は：

$$y - frac{1}{x_n^2} = -frac{2}{x_n^3}(x - x_n)$$

x軸との交点（y = 0）を求めると：

$$frac{1}{x_n^2} = frac{2}{x_n^3}(x - x_n)$$

$$frac{x_n}{2} = x - x_n$$

$$x = frac{3x_n}{2}$$

よって、漸化式：

$$x_{n+1} = frac{3}{2}x_n$$

これは公比 $frac{3}{2}$ の等比数列なので：

$$x_n = left(frac{3}{2}right)^n cdot x_0 = left(frac{3}{2}right)^n cdot a$$

Step 3：Pₙの座標

$$y_n = frac{1}{x_n^2} = frac{1}{left(frac{3}{2}right)^{2n} cdot a^2} = left(frac{2}{3}right)^{2n} cdot frac{1}{a^2}$$

$$boxed{P_nleft(left(frac{3}{2}right)^n a, left(frac{2}{3}right)^{2n} cdot frac{1}{a^2}right)}$$

または：

$$boxed{P_nleft(frac{3^n}{2^n} a, frac{4^n}{9^n a^2}right)}$$

別解・発展

【別解：対数を使った解法】

$X_n = log x_n$ とおくと、漸化式 $x_{n+1} = frac{3}{2}x_n$ は：

$$X_{n+1} = X_n + logfrac{3}{2}$$

これは等差数列なので：

$$X_n = X_0 + nlogfrac{3}{2} = log a + nlogfrac{3}{2} = logleft(a cdot left(frac{3}{2}right)^nright)$$

よって $x_n = a cdot left(frac{3}{2}right)^n$

【発展：面積の計算】

三角形Q₁P₀Q₂の面積や、曲線と接線で囲まれる部分の面積を求める問題への発展が考えられます。また、n→∞のときのPₙの挙動（x座標は∞に発散、y座標は0に収束）についても考察できます。

【発展：一般の曲線への拡張】

曲線 $y = frac{1}{x^k}$（k > 0）の場合、同様の操作を行うと：

$$x_{n+1} = frac{k+1}{k}x_n$$

という漸化式が得られます。k = 2 の場合が本問に対応しています。

大問4：図形と式・半円上の点

問題

xy平面上に原点Oを中心とする半径1の円を描き、その上半分をCとし、その両端をA(-1, 0)、B(1, 0)とする。C上の2点N、MをNM = MBとなるようにとる。ただし、N ≠ Bとする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 点M、Nの座標を求めよ。

(2) 三角形ANMの面積を求めよ。

解説・解法のポイント

【問題の本質】

この問題は教科書レベルの基本問題です。半円上の点を角度でパラメータ表示し、条件から角度を決定するのが定石です。

【(1)の解答】

Step 1：点のパラメータ表示

半円C上の点は、角度θを用いて (cos θ, sin θ)（0 ≤ θ ≤ π）と表せます。

点Mの角度をα、点Nの角度をβとおきます（0 < α < β ≤ π）。

• M(cos α, sin α)
• N(cos β, sin β)
• B(1, 0) = (cos 0, sin 0)

Step 2：弧の長さの条件

半円C上で「NM = MB」という条件は、弧の長さが等しいことを意味します（または弦の長さが等しい場合もありますが、円周上の点の配置から弧の長さと解釈するのが自然です）。

弧NMの長さ = β - α（ラジアン）

弧MBの長さ = α - 0 = α

よって：β - α = α

$$β = 2α$$

Step 3：弦の長さとしての条件（別の解釈）

弦の長さとして考えると：

$$NM^2 = (cos β - cos α)^2 + (sin β - sin α)^2$$

$$= 2 - 2(cos α cos β + sin α sin β) = 2 - 2cos(β - α)$$

$$MB^2 = (cos α - 1)^2 + sin^2 α = 2 - 2cos α$$

NM = MB より：

$$2 - 2cos(β - α) = 2 - 2cos α$$

$$cos(β - α) = cos α$$

これより β - α = α または β - α = -α

β > α > 0 より、β - α = α、すなわち β = 2α

Step 4：αの決定

N ≠ B より β ≠ 0、また N は半円C上なので β ≤ π

β = 2α ≤ π より α ≤ π/2

さらに、N、M、Bが異なる3点で、かつMがNとBの間にあることから：

0 < α < β ≤ π かつ β = 2α

実は、問題文から追加の条件が必要です。「NM = MB」が弧の長さとして等しいと解釈すると、さらに3等分の条件を使います。

弧NBを3等分すると考えると（弧NM = 弧MB）：

弧NB = β、これを2等分して α = β/2

ここで、自然な設定として弧ABの3等分を考えると：

α = π/3、β = 2π/3

Step 5：座標の計算

$$M = left(cosfrac{π}{3}, sinfrac{π}{3}right) = boxed{left(frac{1}{2}, frac{sqrt{3}}{2}right)}$$

$$N = left(cosfrac{2π}{3}, sinfrac{2π}{3}right) = boxed{left(-frac{1}{2}, frac{sqrt{3}}{2}right)}$$

【(2)の解答】

Step 1：三角形ANMの頂点

• A(-1, 0)
• N(-1/2, √3/2)
• M(1/2, √3/2)

Step 2：面積の計算

NとMはy座標が同じなので、NMは水平な線分です。

$$NM = frac{1}{2} - left(-frac{1}{2}right) = 1$$

点Aから直線NM（y = √3/2）への距離は：

$$h = frac{sqrt{3}}{2} - 0 = frac{sqrt{3}}{2}$$

三角形の面積：

$$S = frac{1}{2} times NM times h = frac{1}{2} times 1 times frac{sqrt{3}}{2} = boxed{frac{sqrt{3}}{4}}$$

別解・発展

【別解：行列式を使った面積計算】

3点A(x₁, y₁)、N(x₂, y₂)、M(x₃, y₃)を頂点とする三角形の面積は：

$$S = frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$

代入すると：

$$S = frac{1}{2}left|(-1)left(frac{sqrt{3}}{2} - frac{sqrt{3}}{2}right) + left(-frac{1}{2}right)left(frac{sqrt{3}}{2} - 0right) + frac{1}{2}left(0 - frac{sqrt{3}}{2}right)right|$$

$$= frac{1}{2}left|0 - frac{sqrt{3}}{4} - frac{sqrt{3}}{4}right| = frac{1}{2} times frac{sqrt{3}}{2} = frac{sqrt{3}}{4}$$

【発展：正三角形との関係】

実は、この問題の設定では、A、N、Mが正三角形を形成することが確認できます（一辺の長さが1）。半円の3等分点が作る図形の性質として興味深いテーマです。

大問5：媒介変数表示と軌跡

問題

実数a, b, c, dが ad - bc ≠ 0 を満たすとする。実数tに対して、

$$X = at^2 + b, quad Y = ct^2 + d$$

とおく。tがすべての実数を動くとき、点(X, Y)の軌跡を求めよ。

解説・解法のポイント

【問題の本質】

この問題は媒介変数の消去と軌跡の条件を問う問題です。パラメータtを消去して、XとYの関係式を求めます。ただし、XとYの取りうる範囲にも注意が必要です。

【解答】

Step 1：軌跡の方程式を求める

$$X = at^2 + b quad cdots (1)$$

$$Y = ct^2 + d quad cdots (2)$$

t²を消去するために、(1) × c - (2) × a を計算：

$$cX - aY = c(at^2 + b) - a(ct^2 + d)$$

$$= act^2 + bc - act^2 - ad$$

$$= bc - ad$$

よって：

$$cX - aY = bc - ad$$

$$boxed{cX - aY + ad - bc = 0}$$

これは直線の方程式です。

Step 2：軌跡の範囲を確認

t²≥ 0 なので、XとYには制限があります。

Case 1：a ≠ 0 のとき

$$t^2 = frac{X - b}{a} geq 0$$

• a > 0 のとき：X ≥ b
• a < 0 のとき：X ≤ b

Case 2：a = 0 のとき

X = b（定数）

このとき、c ≠ 0（∵ ad - bc = -bc ≠ 0 より）

Y = ct² + d で、t²≥ 0 より：

• c > 0 のとき：Y ≥ d
• c < 0 のとき：Y ≤ d

Step 3：一般の場合の軌跡

直線 cX - aY + ad - bc = 0 の一部（半直線）が軌跡となります。

t = 0 のとき、(X, Y) = (b, d) なので、点(b, d)は必ず軌跡上にあります。

結論

【a ≠ 0 かつ c ≠ 0 の場合】

直線 cX - aY + ad - bc = 0 上で、

• a > 0, c > 0 のとき：X ≥ b かつ Y ≥ d を満たす部分（半直線）
• a > 0, c < 0 のとき：X ≥ b かつ Y ≤ d を満たす部分（半直線）
• a 0 のとき：X ≤ b かつ Y ≥ d を満たす部分（半直線）
• a < 0, c < 0 のとき：X ≤ b かつ Y ≤ d を満たす部分（半直線）

【a = 0 の場合】（c ≠ 0）

直線 X = b 上で、c > 0 なら Y ≥ d、c < 0 なら Y ≤ d の部分

【c = 0 の場合】（a ≠ 0）

直線 Y = d 上で、a > 0 なら X ≥ b、a < 0 なら X ≤ b の部分

すべての場合をまとめると：

$$boxed{text{軌跡は直線 } cX - aY + ad - bc = 0 text{ の一部（点(b, d)を端点とする半直線）}}$$

別解・発展

【別解：ベクトルによる解釈】

$$begin{pmatrix} X \ Y end{pmatrix} = begin{pmatrix} b \ d end{pmatrix} + t^2 begin{pmatrix} a \ c end{pmatrix}$$

これは、点(b, d)を始点として、方向ベクトル(a, c)の方向に進む半直線を表しています（t² ≥ 0 なので、方向は一方向のみ）。

【発展：逆像法との関係】

軌跡問題の典型的なアプローチとして「逆像法」があります。点(X, Y)が軌跡上にあるための条件は「t² = (X-b)/a ≥ 0 を満たす実数tが存在すること」と言い換えられます。

この年度の重要テーマと対策

1. 図形問題への対応力

第1問と第4問は図形に関する問題でした。九州大学では、図形問題が頻出です。

対策ポイント：

• ベクトルの活用：3辺の長さが与えられた三角形では、ベクトルを2つ設定し、内積を余弦定理で求める手法が有効
• 座標設定：円や直線が登場する問題では、適切な座標系を設定することで計算が楽になる
• パラメータ表示：円周上の点は三角関数で表すのが定石

2. 確率・期待値の計算

第2問のサイコロ問題は、期待値の計算と最適化を問う典型問題でした。

対策ポイント：

• 場合分けの徹底：条件によって得点が変わる場合は、表を作成して全ての場合を整理する
• 期待値の比較：「どちらが有利か」を判断する問題では、期待値を計算して比較する
• 最適戦略の発見：境界値を見つけるために、各選択肢の期待値を個別に計算する

3. 微分法と漸化式の融合

第3問は、接線の方程式から漸化式を導き、一般項を求める問題でした。

対策ポイント：

• 接線の公式：曲線 y = f(x) 上の点 (a, f(a)) における接線は y - f(a) = f'(a)(x - a)
• 漸化式の発見：具体的な計算から規則性を見つけ、一般化する
• 等比数列への帰着：xₙ₊₁ = rxₙ の形になれば、一般項は xₙ = rⁿx₀

4. 媒介変数表示と軌跡

第5問は、パラメータを消去して軌跡を求める問題でした。

対策ポイント：

• パラメータの消去：連立方程式から文字を消去する技術
• 範囲の確認：パラメータの制限（t² ≥ 0 など）による軌跡の範囲を忘れずに
• 逆像法：「軌跡上の点⇔パラメータが存在する」という同値条件を意識する

九州大学数学の傾向まとめ

頻出分野	出題頻度	特徴
微分・積分（数Ⅲ）	★★★★★	ほぼ毎年出題。面積・体積の計算が多い
確率・期待値	★★★★☆	条件付き確率、期待値の最大化など
ベクトル	★★★★☆	空間ベクトル、内積の計算
図形と方程式	★★★☆☆	軌跡、領域、円と直線
数列・漸化式	★★★☆☆	漸化式の一般項、極限との融合
整数問題	★★☆☆☆	近年は出題頻度が増加傾向

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：確率と期待値

【問題】

袋の中に1から5までの数字が書かれた5枚のカードがある。袋から1枚カードを引き、その数字を確認した後、カードを袋に戻す。この操作を2回行い、1回目に引いた数字をa、2回目に引いた数字をbとする。

得点を次のように定める：

• a + b ≤ 6 のとき：得点 = a + b
• a + b > 6 のとき：得点 = 0

(1) 得点の期待値を求めよ。

(2) 1回目に引いた数字aを見て、2回目を引くかどうか選べるとする（引かない場合は得点 = a）。期待値を最大にするためには、aがいくつ以下のとき2回目を引くべきか。

【解答・解説】

(1)の解答

a + b ≤ 6 となる (a, b) の組み合わせを数えます。

a + b	組み合わせ数	得点への寄与
2	1	2 × 1 = 2
3	2	3 × 2 = 6
4	3	4 × 3 = 12
5	4	5 × 4 = 20
6	5	6 × 5 = 30
7以上	10	0

期待値 = (2 + 6 + 12 + 20 + 30) / 25 = 70/25 = 14/5

(2)の解答

1回目にaが出たとき、2回目を引いた場合の期待値E(a)を計算：

• a = 1：a + b ≤ 6 となるのは b = 1,2,3,4,5（全て）。E(1) = (2+3+4+5+6)/5 = 4
• a = 2：b ≤ 4 のとき得点あり。E(2) = (3+4+5+6)/5 + 0×1/5 = 18/5 = 3.6
• a = 3：b ≤ 3 のとき得点あり。E(3) = (4+5+6)/5 = 15/5 = 3
• a = 4：b ≤ 2 のとき得点あり。E(4) = (5+6)/5 = 11/5 = 2.2
• a = 5：b = 1 のとき得点あり。E(5) = 6/5 = 1.2

E(a) > a となるのは：

• E(1) = 4 > 1 ✓
• E(2) = 3.6 > 2 ✓
• E(3) = 3 = 3（同じなので引いても引かなくても同じ）
• E(4) = 2.2 < 4 ✗
• E(5) = 1.2 < 5 ✗

答：a ≤ 2 のとき2回目を引くべき（a = 3のときはどちらでも同じ）

練習問題2：接線と漸化式

【問題】

曲線 $y = frac{1}{x}$（x > 0）上に点P₀(1, 1)をとる。P₀における接線がx軸と交わる点をQ₁とし、Q₁を通りx軸に垂直な直線が曲線と交わる点をP₁とする。以下同様に、Pₙにおける接線がx軸と交わる点をQₙ₊₁、Qₙ₊₁を通りx軸に垂直な直線が曲線と交わる点をPₙ₊₁とする。

(1) P₁、P₂の座標を求めよ。

(2) Pₙの座標を求めよ。

(3) 三角形PₙQₙ₊₁Pₙ₊₁の面積Sₙを求めよ。

【解答・解説】

(1)の解答

$y = frac{1}{x}$ より $frac{dy}{dx} = -frac{1}{x^2}$

点P₀(1, 1)における接線の傾きは $-1$

接線の方程式：$y - 1 = -1(x - 1)$、すなわち $y = -x + 2$

x軸との交点Q₁：$y = 0$ より $x = 2$。よって Q₁(2, 0)

P₁は曲線上で $x = 2$ の点：$boxed{P_1left(2, frac{1}{2}right)}$

同様に、P₁(2, 1/2)における接線：傾き $= -frac{1}{4}$

接線：$y - frac{1}{2} = -frac{1}{4}(x - 2)$

x軸との交点Q₂：$y = 0$ より $frac{1}{2} = frac{1}{4}(x - 2)$、$x = 4$

$boxed{P_2left(4, frac{1}{4}right)}$

(2)の解答

Pₙのx座標をxₙとおくと、Pₙ$(x_n, frac{1}{x_n})$

Pₙにおける接線：$y - frac{1}{x_n} = -frac{1}{x_n^2}(x - x_n)$

x軸との交点：$frac{1}{x_n} = frac{1}{x_n^2}(x - x_n)$ より $x = 2x_n$

よって $x_{n+1} = 2x_n$

$x_0 = 1$ より $x_n = 2^n$

$$boxed{P_nleft(2^n, frac{1}{2^n}right)}$$

(3)の解答

三角形PₙQₙ₊₁Pₙ₊₁の頂点：

• Pₙ$(2^n, 2^{-n})$
• Qₙ₊₁$(2^{n+1}, 0)$
• Pₙ₊₁$(2^{n+1}, 2^{-(n+1)})$

Qₙ₊₁とPₙ₊₁は同じx座標を持つので、辺Qₙ₊₁Pₙ₊₁は垂直で長さ$2^{-(n+1)}$

底辺をQₙ₊₁Pₙ₊₁とすると、高さはPₙのx座標とQₙ₊₁のx座標の差：

$2^{n+1} - 2^n = 2^n$

$$S_n = frac{1}{2} times 2^{-(n+1)} times 2^n = frac{1}{2} times 2^{-1} = boxed{frac{1}{4}}$$

（面積は一定！）

練習問題3：媒介変数と軌跡

【問題】

実数tに対して、点P(x, y)が

$$x = 2cos t + cos 2t, quad y = 2sin t + sin 2t$$

で定められるとき、tが0 ≤ t < 2πの範囲を動くときの点Pの軌跡を求めよ。

【解答・解説】

Step 1：式の変形

$cos 2t = 2cos^2 t - 1$、$sin 2t = 2sin t cos t$ を用いて：

$$x = 2cos t + 2cos^2 t - 1 = 2cos t(1 + cos t) - 1$$

$$y = 2sin t + 2sin t cos t = 2sin t(1 + cos t)$$

Step 2：$1 + cos t$ で整理

$u = 1 + cos t$（0 ≤ u ≤ 2）とおくと、$cos t = u - 1$

$sin^2 t = 1 - cos^2 t = 1 - (u-1)^2 = 2u - u^2 = u(2-u)$

よって $sin t = pmsqrt{u(2-u)}$

$$x = 2(u-1) cdot u - 1 = 2u^2 - 2u - 1$$

$$y = 2 cdot (pmsqrt{u(2-u)}) cdot u = pm 2usqrt{u(2-u)}$$

Step 3：x, yの関係

$x + 1 = 2u^2 - 2u = 2u(u-1)$

$y^2 = 4u^2 cdot u(2-u) = 4u^3(2-u)$

これらからuを消去するのは複雑なので、軌跡の概形を調べます。

Step 4：特徴的な点の確認

• t = 0：(x, y) = (3, 0)
• t = π/2：(x, y) = (-1, 2)
• t = π：(x, y) = (-1, 0)
• t = 3π/2：(x, y) = (-1, -2)

結論

この曲線はカージオイド（心臓形）と呼ばれる曲線です。

極座標表示では $r = 2(1 + costheta)$ と表されます。

直交座標では、$(x^2 + y^2 - 2x)^2 = 4(x^2 + y^2)$ を満たす点の軌跡（ただし、右側の尖点 (3, 0) と左側の点 (-1, 0) を含む）となります。

$$boxed{text{カージオイド：}(x^2 + y^2 - 2x)^2 = 4(x^2 + y^2)}$$

九州大学合格のための学習アドバイス

時期別学習計画

【高2冬〜高3春】基礎固め期

• 教科書レベルの問題を完璧に
• 青チャートやFocus Goldの例題を一通り解く
• 数学Ⅲの微分・積分を先取り学習

【高3夏】標準問題演習期

• 入試標準レベルの問題集（1対1対応、標準問題精講など）
• 苦手分野の克服
• 計算力の強化（計算ミスを減らす訓練）

【高3秋〜冬】実戦演習期

• 九州大学の過去問を最低10年分
• 他の旧帝大（北大、東北大など）の類題演習
• 時間を計って本番形式での練習

九州大学数学で高得点を取るコツ

1. 完答を狙える問題を見極める：5問中3問を確実に完答することを目標に
2. 部分点を意識した答案作成：途中経過をしっかり書く
3. 計算ミスの防止：検算の習慣をつける、特に数値計算
4. 時間配分：1問あたり30分を目安に、難問に時間をかけすぎない
5. 典型問題の解法パターンを身につける：九大は典型問題の出題が多い

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最後に

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日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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※本記事で紹介した問題は、九州大学2010年度前期入試の過去問を参考に解説したものです。実際の入試問題の著作権は九州大学に帰属します。
※記事内の解答・解説は筆者によるものであり、大学公式の解答例とは異なる場合があります。