九州大学 1996年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は、九州大学 1996年度（平成8年度）理系数学の過去問を徹底解説していきます。この年度は、一次変換（行列）、空間図形と球面、三角関数、場合の数、数列と漸化式など、九州大学の数学で頻出となる重要テーマがバランスよく出題された年度です。

九州大学の数学は、計算力と論理的思考力の両方が試される問題が多く、特にこの1996年度は旧課程の行列・一次変換が出題された最後の時代の問題として、今でも学習価値の高い内容となっています。現在のカリキュラムでは行列は扱われませんが、線形代数の基礎的な考え方は大学での学びにつながりますので、興味のある方はぜひ取り組んでみてください。

それでは、各大問を詳しく見ていきましょう！

試験概要・難易度

1996年度 九州大学理系数学 試験情報

項目	内容
試験形式	前期日程・記述式
試験時間	150分
問題数	大問5題
配点	理学部・工学部等：250点満点 医学部：250点満点
出題分野	一次変換（行列）、空間図形、三角関数、場合の数、数列

全体講評

1996年度の九州大学理系数学は、全体的な難易度は標準〜やや難のレベルでした。特徴的なのは以下の点です：

• 第1問：一次変換の基本問題。行列の計算と直線 y=x 上の点の像を求める典型問題
• 第2問：空間図形において球面上の点と円の関係を扱う問題。空間把握力が必要
• 第3問：三角関数の方程式・不等式。計算量がやや多い
• 第4問：場合の数の問題。グループ分けの数え上げに注意が必要
• 第5問：数列の漸化式と帰納法。論証力が試される

時間配分の目安としては、各大問に25〜30分程度を割り当て、得意分野から確実に得点していく戦略が有効です。

大問1：一次変換（行列）

問題

解説・解法のポイント

この問題は一次変換（回転変換）の基本を問う問題です。現在のカリキュラムでは行列は扱いませんが、回転の考え方は複素数平面でも重要になります。

【前準備】回転行列の確認

原点を中心とした角 θ の回転を表す行列 A は：

A = (

cos θ	−sin θ
sin θ	cos θ

)

点 P(x, y) の像 P'(x', y') は：

(

x'

y'

)
= A
(

x

y

)
=
(

x cos θ − y sin θ

x sin θ + y cos θ

)

【(1)の解答】

P(sin θ, cos θ) を回転行列で変換します：

x' = sin θ · cos θ − cos θ · sin θ = 0

y' = sin θ · sin θ + cos θ · cos θ = sin²θ + cos²θ = 1

よって、f による像は (0, 1)

【ポイント】三角関数の加法定理を逆に使う発想です。sin θ cos θ − cos θ sin θ = 0 は自明ですが、sin²θ + cos²θ = 1 という基本公式を使います。

【(2)の解答】

直線 y = x 上の点を (t, t) とおきます。この点の f による像が再び y = x 上にある条件を求めます。

像の座標は：

x' = t cos θ − t sin θ = t(cos θ − sin θ)

y' = t sin θ + t cos θ = t(sin θ + cos θ)

y' = x' となる条件は：

t(sin θ + cos θ) = t(cos θ − sin θ)

t(sin θ + cos θ − cos θ + sin θ) = 0

2t sin θ = 0

0 < θ < π/2 より sin θ ≠ 0 なので、t = 0

よって、求める点は原点 O(0, 0) のみ

【(3)の解答】

不動点とは f(P) = P となる点です。点 (x, y) が不動点であるとき：

x cos θ − y sin θ = x ... ①

x sin θ + y cos θ = y ... ②

①より：x(cos θ − 1) = y sin θ

②より：x sin θ = y(1 − cos θ)

①と②を辺々掛けると：

x²sin θ(cos θ − 1) = y²sin θ(1 − cos θ)

x²sin θ(cos θ − 1) + y²sin θ(cos θ − 1) = 0

(x² + y²)sin θ(cos θ − 1) = 0

0 < θ 0 かつ cos θ − 1 < 0 なので、sin θ(cos θ − 1) ≠ 0

したがって x² + y² = 0、すなわち x = y = 0

よって、不動点は原点 O(0, 0) のみ

別解・発展

【複素数平面を用いた別解】

点 P を複素数 z = x + yi で表すと、角 θ の回転は z に e^(iθ) = cos θ + i sin θ を掛けることに対応します。

(1) z = sin θ + i cos θ に e^(iθ) を掛けると：

z' = (sin θ + i cos θ)(cos θ + i sin θ)

= sin θ cos θ + i sin²θ + i cos θ cos θ − cos θ sin θ

= i(sin²θ + cos²θ) = i

よって像は (0, 1)

この別解は、現行課程の複素数平面の知識で解けるため、実践的です。

大問2：空間図形と球面

問題

解説・解法のポイント

この問題は空間における球と平面の交わり（円）を扱います。座標設定と空間把握がカギです。

【基本事項の確認】

・球面 S：x² + y² + z² = 1（中心 O、半径 1）

・C₀ は平面 z = 0 と球面の交円なので、x² + y² = 1, z = 0 で半径 1 の円

・P が球面上の点で z 座標が h のとき、P を通り z = 0 に平行な平面は z = h

【(1)の解答】

P(1/√3, 1/√3, 1/√3) は球面上の点です（確認：3×(1/3) = 1 ✓）

P の z 座標は 1/√3 なので、平面 z = 1/√3 と球面 S の交わりを求めます。

z = 1/√3 を x² + y² + z² = 1 に代入：

x² + y² + 1/3 = 1

x² + y² = 2/3

これは平面 z = 1/√3 上の、中心 (0, 0, 1/√3)、半径 √(2/3) = √6/3 の円です。

【(2)の解答】

C₀ の半径は 1 なので、C の半径が 1/2 となる条件を求めます。

P の z 座標を h (0 < h < 1) とすると、C は平面 z = h と球面の交円です。

x² + y² + h² = 1 より x² + y² = 1 − h²

C の半径 r = √(1 − h²)

r = 1/2 より：

√(1 − h²) = 1/2

1 − h² = 1/4

h² = 3/4

h = √3/2（h > 0 より）

【(3)の解答】

P の z 座標を h とすると、P は球面上で z = h を満たすので、P の座標を (a, b, h) とおけます（a² + b² + h² = 1）。

C は平面 z = h 上の中心 (0, 0, h)、半径 r = √(1 − h²) の円です。

Q は C 上の点なので、Q の座標を (r cos φ, r sin φ, h) と表せます。

ここで、P も C 上の点であることに注意！（P は球面と平面 z = h の交円上にある）

P = (a, b, h) で a² + b² = 1 − h² = r² なので、P = (r cos α, r sin α, h) と書けます。

PQ² = (r cos φ − r cos α)² + (r sin φ − r sin α)² + 0

= r²[(cos φ − cos α)² + (sin φ − sin α)²]

= r²[2 − 2(cos φ cos α + sin φ sin α)]

= r²[2 − 2cos(φ − α)]

= 2r²[1 − cos(φ − α)]

これは φ − α = π のとき最大となり：

PQ²の最大値 = 2r² × 2 = 4r² = 4(1 − h²)

よって、|PQ|の最大値 = 2√(1 − h²)

（これは C の直径に等しく、P と Q が C 上で直径の両端にあるときです）

別解・発展

【幾何学的考察】

C 上の2点間の距離の最大値は、円の直径に等しいです。P が C 上にあるとき、P から最も遠い C 上の点は、P と中心を結ぶ直線の反対側の端点です。したがって、最大距離は直径 2r = 2√(1 − h²) となります。

この幾何学的直観を持っておくと、計算を省略できます。

大問3：三角関数の方程式と不等式

問題

解説・解法のポイント

三角関数の問題では、適切な置換と三角関数の合成が重要です。

【(1)の解答】

方法1：三角関数の合成

sin x + cos x = √2 sin(x + π/4)

√2 sin(x + π/4) = 1

sin(x + π/4) = 1/√2

0 ≤ x < 2π より π/4 ≤ x + π/4 < 9π/4

x + π/4 = π/4, 3π/4 より

x = 0, π/2

方法2：両辺を2乗

(sin x + cos x)² = 1

1 + 2sin x cos x = 1

sin 2x = 0

2x = 0, π, 2π, 3π より x = 0, π/2, π, 3π/2

元の式に代入して確認：

x = 0：sin 0 + cos 0 = 1 ✓

x = π/2：sin(π/2) + cos(π/2) = 1 ✓

x = π：sin π + cos π = −1 ✗

x = 3π/2：sin(3π/2) + cos(3π/2) = −1 ✗

よって x = 0, π/2

【(2)の解答】

sin 2x = 2 sin x cos x であり、sin x + cos x = t とおくと：

t² = 1 + 2 sin x cos x より sin 2x = t² − 1

元の方程式は：

(t² − 1) + t = 1

t² + t − 2 = 0

(t + 2)(t − 1) = 0

t = −2 または t = 1

ここで t = sin x + cos x = √2 sin(x + π/4) の範囲は −√2 ≤ t ≤ √2

t = −2 は範囲外なので不適

t = 1 のとき、(1) より x = 0, π/2

よって x = 0, π/2

【(3)の解答】

同様に t = sin x + cos x とおくと、不等式は：

t² + t − 2 > 0

(t + 2)(t − 1) > 0

t 1

−√2 ≤ t ≤ √2 より、t < −2 は不可能

t > 1 すなわち √2 sin(x + π/4) > 1

sin(x + π/4) > 1/√2

π/4 ≤ x + π/4 1/√2 となるのは：

π/4 < x + π/4 < 3π/4

よって 0 < x < π/2

別解・発展

【グラフによる考察】

y = sin 2x + sin x + cos x と y = 1 のグラフの位置関係を調べると、交点が方程式の解、y = sin 2x + sin x + cos x が上にある部分が不等式の解となります。

また、この問題は t = sin x + cos x の置換テクニックが有効な典型例です。sin 2x = t² − 1 という関係式は頻出なので、しっかり覚えておきましょう。

大問4：場合の数（グループ分け）

問題

解説・解法のポイント

グループ分けの問題では、「区別のあるグループ」か「区別のないグループ」かを見極めることが最重要です。

【4人を2人ずつ2グループに分ける場合】

間違いやすいポイント

「4人から2人を選ぶ」と考えて ₄C₂ = 6 とすると間違いです！

正しい考え方

A, B, C, D から2人を選ぶ組み合わせを列挙すると：

• {A, B} と {C, D}
• {A, C} と {B, D}
• {A, D} と {B, C}
• {B, C} と {A, D}（上と同じ）
• {B, D} と {A, C}（上と同じ）
• {C, D} と {A, B}（上と同じ）

グループに区別がない（「グループ1」「グループ2」という名前がない）場合、同じ分け方を2回数えています。

したがって、₄C₂ ÷ 2! = 6 ÷ 2 = 3 通り

【6人を2人ずつ3グループに分ける場合】

6人から順に2人ずつ選んでいくと考えます：

・最初の2人の選び方：₆C₂ = 15 通り

・次の2人の選び方：₄C₂ = 6 通り

・残りの2人：₂C₂ = 1 通り

積は 15 × 6 × 1 = 90 通り

しかし、これは3つのグループを選ぶ「順番」を区別しています。グループに区別がないので、3! = 6 で割ります。

90 ÷ 6 = 15 通り

【公式化】

n人を k人ずつ m グループに分ける（n = km、グループの区別なし）：

_nC_k × _n-kC_k × ... × _kC_k ÷ m!

別解・発展

【一般化：同じ人数でないグループ分け】

例えば、6人を (2人, 2人, 2人) でなく (1人, 2人, 3人) に分ける場合は、グループのサイズが異なるため、割る必要がありません：

₆C₁ × ₅C₂ × ₃C₃ = 6 × 10 × 1 = 60 通り

【応用問題】

8人を (2人, 2人, 4人) のグループに分ける場合：

2人グループが2つあるので、そこだけ 2! で割ります：

(₈C₂ × ₆C₂ × ₄C₄) ÷ 2! = (28 × 15 × 1) ÷ 2 = 210 通り

大問5：数列と漸化式（帰納法）

問題