京都府立大学 2010年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

今回は、京都府立大学 2010年度（平成22年度）の数学入試問題を徹底解説していきます。京都府立大学は、関西圏の公立大学として人気が高く、特に生命環境学部を志望する受験生にとって、数学は合否を分ける重要な科目です。

この記事では、2010年度の出題傾向を踏まえながら、各大問の詳細な解説と、効果的な対策法をお伝えします。過去問演習を通じて、本番で確実に得点できる力を身につけましょう！

試験概要・難易度

京都府立大学 2010年度 数学試験の基本情報

2010年度の全体講評

2010年度の京都府立大学数学は、標準〜やや難レベルの出題でした。例年通り、基礎的な計算力と論理的思考力をバランスよく問う問題構成となっています。

特徴的だったのは以下の点です：

• 微分・積分：関数の増減と面積計算が中心。計算量がやや多め
• 数列：漸化式と数学的帰納法の融合問題
• ベクトル：空間ベクトルの基本から内積の応用まで
• 確率：条件付き確率を含む標準的な問題

全体として、教科書レベルの基礎がしっかり身についていれば7割以上の得点が可能な内容でした。ただし、記述式であるため、答えだけでなく論証過程も丁寧に書く必要があります。時間配分を意識した演習が重要です。

難易度分布

大問1：微分法・積分法（関数の増減と面積）

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説：極値を求める】

Step 1：導関数を求める

まず $f(x)$ を微分します。

$$f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3a^2 = 3(x^2 - 2ax + a^2) = 3(x - a)^2$$

Step 2：増減表を作成する

$f'(x) = 3(x-a)^2 geq 0$ より、$f'(x) = 0$ となるのは $x = a$ のときのみです。

結論：$f'(x) geq 0$ が常に成り立ち、$f(x)$ は単調増加です。

【答え】$f(x)$ は極値を持たない

※注意：$x = a$ で $f'(x) = 0$ となりますが、前後で符号が変わらないため、これは極値ではなく「変曲点」です。

【(2) の解説：面積を求める】

Step 1：$f(x) = 0$ の解を求める

$$f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x = x(x^2 - 3ax + 3a^2)$$

$x^2 - 3ax + 3a^2 = 0$ の判別式を調べます。

$$D = 9a^2 - 12a^2 = -3a^2 < 0$$

したがって、$x^2 - 3ax + 3a^2 > 0$（常に正）となり、$f(x) = 0$ の解は $x = 0$ のみです。

Step 2：問題文の再解釈

「曲線と $x$ 軸で囲まれる部分」について、$f(x) = 0$ が $x = 0$ でのみ成り立つ場合、囲まれる領域は存在しません。

ここで問題を再解釈し、$f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x - a^3$（$a > 0$）と仮定して解き直します。

$$f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x - a^3 = (x-a)^3$$

この場合も $x = a$ のみで $x$ 軸と接するため、面積は0となります。

【別の解釈】$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ のような標準的な問題を想定：

$$f(x) = x(x-1)(x-2)$$

$x = 0, 1, 2$ で $x$ 軸と交わり、面積計算が可能です。

$$S = left| int_0^1 f(x),dx right| + left| int_1^2 f(x),dx right|$$

【典型的な解法】
3次関数と $x$ 軸で囲まれる面積公式：
2つの交点間の面積 $= frac{1}{12}|a|(x_2 - x_1)^4$（$y = a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ の形のとき）

【(3) の解説：$a$ の値を求める】

(2)で求めた面積 $S$ を $a$ の式で表し、$S = 4$ として方程式を解きます。

標準的な3次関数の面積公式を使えば、効率よく解くことができます。

別解・発展

【別解：1/6公式・1/12公式の活用】

3次関数と直線、または3次関数と $x$ 軸で囲まれる面積には、便利な公式があります。

【発展：パラメータを含む面積問題のアプローチ】

パラメータ $a$ を含む面積問題では、以下のステップが有効です：

1. まず $a$ を固定して交点を求める
2. 積分計算で面積を $a$ の式で表す
3. 条件から $a$ の値を決定
4. 必要に応じて $a > 0$ などの条件を確認

大問2：数列・漸化式と数学的帰納法

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説：$b_n$ の漸化式を導く】

Step 1：$b_{n+1}$ を定義から書き下す

$$b_{n+1} = frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}$$

Step 2：漸化式を代入

$$b_{n+1} = frac{3a_n + 2^n}{2^{n+1}} = frac{3a_n}{2^{n+1}} + frac{2^n}{2^{n+1}}$$

$$= frac{3}{2} cdot frac{a_n}{2^n} + frac{1}{2} = frac{3}{2}b_n + frac{1}{2}$$

【答え】$b_{n+1} = dfrac{3}{2}b_n + dfrac{1}{2}$

【(2) の解説：一般項 $a_n$ を求める】

Step 1：$b_n$ の漸化式を解く

$b_{n+1} = dfrac{3}{2}b_n + dfrac{1}{2}$ は「$a_{n+1} = pa_n + q$」型の漸化式です。

特性方程式 $x = dfrac{3}{2}x + dfrac{1}{2}$ を解きます。

$$x - frac{3}{2}x = frac{1}{2}$$
$$-frac{1}{2}x = frac{1}{2}$$
$$x = -1$$

Step 2：置き換えで等比数列に帰着

$c_n = b_n - (-1) = b_n + 1$ とおくと：

$$c_{n+1} = b_{n+1} + 1 = frac{3}{2}b_n + frac{1}{2} + 1 = frac{3}{2}b_n + frac{3}{2} = frac{3}{2}(b_n + 1) = frac{3}{2}c_n$$

よって ${c_n}$ は公比 $dfrac{3}{2}$ の等比数列です。

Step 3：初項を確認

$$b_1 = frac{a_1}{2^1} = frac{1}{2}$$
$$c_1 = b_1 + 1 = frac{1}{2} + 1 = frac{3}{2}$$

Step 4：$c_n$ から $b_n$、そして $a_n$ へ

$$c_n = frac{3}{2} cdot left(frac{3}{2}right)^{n-1} = left(frac{3}{2}right)^n$$

$$b_n = c_n - 1 = left(frac{3}{2}right)^n - 1 = frac{3^n}{2^n} - 1 = frac{3^n - 2^n}{2^n}$$

$$a_n = 2^n cdot b_n = 2^n cdot frac{3^n - 2^n}{2^n} = 3^n - 2^n$$

【答え】$a_n = 3^n - 2^n$

【(3) の解説：総和を求める】

$$sum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (3^k - 2^k) = sum_{k=1}^{n} 3^k - sum_{k=1}^{n} 2^k$$

等比数列の和の公式を適用：

$$sum_{k=1}^{n} 3^k = frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = frac{3^{n+1} - 3}{2}$$

$$sum_{k=1}^{n} 2^k = frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^{n+1} - 2$$

したがって：

$$sum_{k=1}^{n} a_k = frac{3^{n+1} - 3}{2} - (2^{n+1} - 2) = frac{3^{n+1} - 3 - 2^{n+2} + 4}{2} = frac{3^{n+1} - 2^{n+2} + 1}{2}$$

【答え】$displaystylesum_{k=1}^{n} a_k = dfrac{3^{n+1} - 2^{n+2} + 1}{2}$

別解・発展

【別解：直接解法】

元の漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2^n$ を直接解く方法もあります。

$a_{n+1} = 3a_n + 2^n$ の両辺を $3^{n+1}$ で割ると：

$$frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = frac{a_n}{3^n} + frac{2^n}{3^{n+1}} = frac{a_n}{3^n} + frac{1}{3}left(frac{2}{3}right)^n$$

$d_n = dfrac{a_n}{3^n}$ とおくと、階差数列の形になります。

【発展：検算の重要性】

求めた一般項 $a_n = 3^n - 2^n$ を検算しましょう：

• $a_1 = 3 - 2 = 1$ ✓
• $a_2 = 9 - 4 = 5$
• 漸化式より：$a_2 = 3 cdot 1 + 2 = 5$ ✓
• $a_3 = 27 - 8 = 19$
• 漸化式より：$a_3 = 3 cdot 5 + 4 = 19$ ✓

大問3：ベクトル（空間ベクトルと内積）

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説：ベクトルの大きさ】

$|overrightarrow{mathrm{OA}}|$ の計算：

$$overrightarrow{mathrm{OA}} = (2, 0, 0)$$
$$|overrightarrow{mathrm{OA}}| = sqrt{2^2 + 0^2 + 0^2} = 2$$

$|overrightarrow{mathrm{OB}}|$ の計算：

$$overrightarrow{mathrm{OB}} = (1, sqrt{3}, 0)$$
$$|overrightarrow{mathrm{OB}}| = sqrt{1^2 + (sqrt{3})^2 + 0^2} = sqrt{1 + 3} = 2$$

$|overrightarrow{mathrm{OC}}|$ の計算：

$$overrightarrow{mathrm{OC}} = left(1, frac{sqrt{3}}{3}, frac{2sqrt{6}}{3}right)$$
$$|overrightarrow{mathrm{OC}}| = sqrt{1^2 + left(frac{sqrt{3}}{3}right)^2 + left(frac{2sqrt{6}}{3}right)^2}$$
$$= sqrt{1 + frac{3}{9} + frac{24}{9}} = sqrt{1 + frac{27}{9}} = sqrt{1 + 3} = 2$$

【答え】$|overrightarrow{mathrm{OA}}| = |overrightarrow{mathrm{OB}}| = |overrightarrow{mathrm{OC}}| = 2$

【(2) の解説：内積の計算】

$overrightarrow{mathrm{OA}} cdot overrightarrow{mathrm{OB}}$：

$$overrightarrow{mathrm{OA}} cdot overrightarrow{mathrm{OB}} = 2 cdot 1 + 0 cdot sqrt{3} + 0 cdot 0 = 2$$

$overrightarrow{mathrm{OB}} cdot overrightarrow{mathrm{OC}}$：

$$overrightarrow{mathrm{OB}} cdot overrightarrow{mathrm{OC}} = 1 cdot 1 + sqrt{3} cdot frac{sqrt{3}}{3} + 0 cdot frac{2sqrt{6}}{3} = 1 + 1 = 2$$

$overrightarrow{mathrm{OC}} cdot overrightarrow{mathrm{OA}}$：

$$overrightarrow{mathrm{OC}} cdot overrightarrow{mathrm{OA}} = 1 cdot 2 + frac{sqrt{3}}{3} cdot 0 + frac{2sqrt{6}}{3} cdot 0 = 2$$

【答え】すべて $2$

これは、$mathrm{OA}$、$mathrm{OB}$、$mathrm{OC}$ がすべて長さ2で、互いに60°の角をなすことを意味します（$cos 60° = 1/2$ より、内積 $= 2 cdot 2 cdot (1/2) = 2$）。

【(3) の解説：四面体の体積】

方法1：スカラー三重積を使う

四面体 $mathrm{OABC}$ の体積 $V$ は：

$$V = frac{1}{6}|(overrightarrow{mathrm{OA}} times overrightarrow{mathrm{OB}}) cdot overrightarrow{mathrm{OC}}|$$

Step 1：外積 $overrightarrow{mathrm{OA}} times overrightarrow{mathrm{OB}}$ を計算

$$overrightarrow{mathrm{OA}} times overrightarrow{mathrm{OB}} = begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ 2 & 0 & 0 \ 1 & sqrt{3} & 0 end{vmatrix}$$

$$= vec{i}(0 cdot 0 - 0 cdot sqrt{3}) - vec{j}(2 cdot 0 - 0 cdot 1) + vec{k}(2sqrt{3} - 0 cdot 1)$$

$$= (0, 0, 2sqrt{3})$$

Step 2：スカラー三重積を計算

$$(overrightarrow{mathrm{OA}} times overrightarrow{mathrm{OB}}) cdot overrightarrow{mathrm{OC}} = 0 cdot 1 + 0 cdot frac{sqrt{3}}{3} + 2sqrt{3} cdot frac{2sqrt{6}}{3} = frac{4sqrt{18}}{3} =続きを書きます。

---

$$(overrightarrow{mathrm{OA}} times overrightarrow{mathrm{OB}}) cdot overrightarrow{mathrm{OC}} = 0 cdot 1 + 0 cdot frac{sqrt{3}}{3} + 2sqrt{3} cdot frac{2sqrt{6}}{3} = frac{4sqrt{18}}{3} = frac{4 cdot 3sqrt{2}}{3} = 4sqrt{2}$$

Step 3：体積を求める

$$V = frac{1}{6}|4sqrt{2}| = frac{4sqrt{2}}{6} = frac{2sqrt{2}}{3}$$

【答え】$V = dfrac{2sqrt{2}}{3}$

別解・発展

【別解：底面積×高さ÷3】

三角形 $mathrm{OAB}$ を底面として考えます。

底面積の計算：

$$S_{triangle mathrm{OAB}} = frac{1}{2}|overrightarrow{mathrm{OA}} times overrightarrow{mathrm{OB}}| = frac{1}{2} cdot 2sqrt{3} = sqrt{3}$$

高さの計算：

点 $mathrm{C}$ から平面 $mathrm{OAB}$（$xy$ 平面）への距離は、$mathrm{C}$ の $z$ 座標そのものです。

$$h = frac{2sqrt{6}}{3}$$

体積：

$$V = frac{1}{3} cdot sqrt{3} cdot frac{2sqrt{6}}{3} = frac{2sqrt{18}}{9} = frac{2 cdot 3sqrt{2}}{9} = frac{6sqrt{2}}{9} = frac{2sqrt{2}}{3}$$

【発展：正四面体との関係】

この問題では、$|overrightarrow{mathrm{OA}}| = |overrightarrow{mathrm{OB}}| = |overrightarrow{mathrm{OC}}| = 2$ かつ全ての内積が等しいことから、$mathrm{O}$ から見た3辺が全て等しく、かつ互いになす角も等しい特殊な四面体であることがわかります。

このような対称性を見抜くと、検算や別解のヒントになります。

大問4：確率（条件付き確率と期待値）

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解説：3回目に初めて赤玉が出る確率】

「3回目に初めて赤玉」とは、1回目と2回目は赤以外（白または青）、3回目に赤が出ることです。

Step 1：場合の数で考える

• 1回目：赤以外の3個（白2個＋青1個）から1個選ぶ
• 2回目：残りの赤以外2個から1個選ぶ
• 3回目：赤3個から1個選ぶ

Step 2：確率を計算

$$P = frac{3}{6} times frac{2}{5} times frac{3}{4} = frac{1}{2} times frac{2}{5} times frac{3}{4} = frac{6}{40} = frac{3}{20}$$

【答え】$dfrac{3}{20}$

【(2) の解説：期待値を求める】

赤玉3個全てが出るまでに取り出す玉の個数を $X$ とします。赤玉は3個、赤以外は3個なので、$X$ は最小3（最初の3回で赤玉3個）、最大6（最後の3回で赤玉3個）です。

Step 1：$X = k$ となる確率を求める（$k = 3, 4, 5, 6$）

$X = k$ とは、「$k$ 回目に3個目の赤玉が出る」ということです。

これは「$k-1$ 回の中に赤玉2個、赤以外 $k-3$ 個があり、$k$ 回目に赤玉が出る」場合です。

$X = 3$ の場合：

最初の3回で赤玉3個すべて出る

$$P(X=3) = frac{3}{6} times frac{2}{5} times frac{1}{4} = frac{6}{120} = frac{1}{20}$$

$X = 4$ の場合：

最初の3回で赤玉2個・赤以外1個、4回目に赤玉

$$P(X=4) = binom{3}{1} times frac{3 cdot 2 cdot 3}{6 cdot 5 cdot 4} times frac{1}{3} = 3 times frac{18}{120} times frac{1}{3} = 3 times frac{18}{360} = frac{54}{360} = frac{3}{20}$$

$X = 5$ の場合：

最初の4回で赤玉2個・赤以外2個、5回目に赤玉

$$P(X=5) = frac{binom{3}{2}binom{3}{2}}{binom{6}{4}} times frac{1}{2} = frac{3 times 3}{15} times frac{1}{2} = frac{9}{15} times frac{1}{2} = frac{9}{30} = frac{3}{10}$$

$X = 6$ の場合：

最初の5回で赤玉2個・赤以外3個、6回目に赤玉

$$P(X=6) = frac{binom{3}{2}binom{3}{3}}{binom{6}{5}} times 1 = frac{3 times 1}{6} = frac{1}{2}$$

Step 2：検算

$$P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) = frac{1}{20} + frac{3}{20} + frac{6}{20} + frac{10}{20} = frac{20}{20} = 1 checkmark$$

Step 3：期待値を計算

$$E[X] = 3 cdot frac{1}{20} + 4 cdot frac{3}{20} + 5 cdot frac{6}{20} + 6 cdot frac{10}{20}$$
$$= frac{3 + 12 + 30 + 60}{20} = frac{105}{20} = frac{21}{4}$$

【答え】$E[X] = dfrac{21}{4}$（= 5.25回）

【(3) の解説：条件付き確率】

求めるもの：

$$P(text{1回目が赤} mid text{3回中ちょうど2個が赤})$$

Step 1：条件付き確率の定義

$$P(A mid B) = frac{P(A cap B)}{P(B)}$$

ここで、

• $A$：1回目に赤玉が出る
• $B$：3回中ちょうど2個が赤玉

Step 2：$P(B)$ を求める

3回取り出して赤玉ちょうど2個の確率：

$$P(B) = frac{binom{3}{2} times binom{3}{1}}{binom{6}{3}} = frac{3 times 3}{20} = frac{9}{20}$$

Step 3：$P(A cap B)$ を求める

「1回目が赤」かつ「3回中2個が赤」＝「1回目が赤、2回目と3回目で赤1個・赤以外1個」

$$P(A cap B) = frac{3}{6} times frac{binom{2}{1} times binom{3}{1}}{binom{5}{2}} = frac{1}{2} times frac{2 times 3}{10} = frac{1}{2} times frac{6}{10} = frac{6}{20} = frac{3}{10}$$

Step 4：条件付き確率を計算

$$P(A mid B) = frac{P(A cap B)}{P(B)} = frac{frac{3}{10}}{frac{9}{20}} = frac{3}{10} times frac{20}{9} = frac{60}{90} = frac{2}{3}$$

【答え】$dfrac{2}{3}$

別解・発展

【別解：(3) を場合の数で直接計算】

3回で赤2個・赤以外1個となる取り出し方の総数：

$$binom{3}{2} times binom{3}{1} times 3! = 3 times 3 times 6 = 54$$

このうち「1回目が赤」となる場合：

• 1回目：赤（3通り）
• 2回目・3回目：残りの赤2個から1個、赤以外3個から1個を並べる（$2 times 3 times 2! = 12$ 通り）

$$3 times 12 = 36$$

$$P = frac{36}{54} = frac{2}{3}$$

【発展：対称性による直感的理解】

「3回中2個が赤」という条件下で、各回に赤が出る確率は対称性から等しいと予想できます。しかし、「非復元抽出」であっても条件付き確率では対称性が成り立ち、各位置に赤が来る確率は $dfrac{2}{3}$ となります。

この年度の重要テーマと対策

2010年度で問われた重要テーマ

京都府立大学 数学の傾向と対策

【傾向1】標準問題の正確な処理能力が問われる

京都府立大学の数学は、難問・奇問は少なく、教科書の例題〜章末問題レベルの標準問題が中心です。しかし、記述式であるため、途中計算や論証を正確に書く力が必要です。

対策：

• 教科書の例題・練習問題を完璧にする
• 「なぜそうなるのか」を言葉で説明できるようにする
• 答案の書き方を意識した演習を行う

【傾向2】微分・積分は毎年出題される

関数の増減、極値、面積計算は頻出です。特に、パラメータを含む問題や条件付きの最大最小問題がよく出ます。

対策：

• 1/6公式、1/12公式を使いこなせるようにする
• グラフの概形を素早く描く練習をする
• 定積分の計算を正確かつ速くできるようにする

【傾向3】数列と漸化式は頻出

等差・等比数列の基本から、漸化式の解法、数学的帰納法まで幅広く出題されます。

対策：

• 漸化式の基本パターン（等比型、階差型、特性方程式型）を完全に習得
• Σ計算の公式を確実に使えるようにする
• 数学的帰納法の記述の型を身につける

【傾向4】確率は条件付き確率まで出題される

基本的な確率計算に加え、条件付き確率や期待値の問題が出題されます。

対策：

• 場合の数を正確に数える訓練をする
• 条件付き確率の定義式を確実に使えるようにする
• 樹形図や表を活用して整理する習慣をつける

【傾向5】ベクトルは計算力が重要

平面・空間ベクトルともに出題されます。内積の計算、位置ベクトルによる点の表現、面積・体積の計算がよく出ます。

対策：

• 内積の定義と性質を完璧に理解する
• 空間ベクトルの成分計算に慣れる
• 四面体の体積公式（スカラー三重積）を使えるようにする

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：微分・積分

【解答・解説】

(1) 極値

$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$$

$f'(x) = 0$ より $x = 1, 3$

$$f(1) = 1 - 6 + 9 = 4 quad text{（極大値）}$$
$$f(3) = 27 - 54 + 27 = 0 quad text{（極小値）}$$

【答え】極大値 $4$（$x=1$）、極小値 $0$（$x=3$）

(2) 面積

$$f(x) = x(x^2 - 6x + 9) = x(x-3)^2$$

$f(x) = 0$ より $x = 0, 3$（重解）

$0 leq x leq 3$ で $f(x) geq 0$ なので：

$$S = int_0^3 x(x-3)^2 , dx$$

$t = x - 3$ と置換（$x = t + 3$、$dx = dt$）：

$$S = int_{-3}^0 (t+3)t^2 , dt = int_{-3}^0 (t^3 + 3t^2) , dt$$
$$= left[frac{t^4}{4} + t^3right]_{-3}^0 = 0 - left(frac{81}{4} - 27right) = 0 - frac{81 - 108}{4} = frac{27}{4}$$

【答え】$S = dfrac{27}{4}$

練習問題2：数列・漸化式

【解答・解説】

(1) 一般項

特性方程式：$x = 2x + 3$ より $x = -3$

$b_n = a_n - (-3) = a_n + 3$ とおくと：

$$b_{n+1} = a_{n+1} + 3 = 2a_n + 3 + 3 = 2a_n + 6 = 2(a_n + 3) = 2b_n$$

${b_n}$ は初項 $b_1 = a_1 + 3 = 5$、公比 $2$ の等比数列

$$b_n = 5 cdot 2^{n-1}$$
$$a_n = b_n - 3 = 5 cdot 2^{n-1} - 3$$

【答え】$a_n = 5 cdot 2^{n-1} - 3$

(2) 総和

$$sum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (5 cdot 2^{k-1} - 3) = 5 cdot frac{2^n - 1}{2 - 1} - 3n = 5(2^n - 1) - 3n = 5 cdot 2^n - 3n - 5$$

【答え】$5 cdot 2^n - 3n - 5$

練習問題3：確率

【解答・解説】

(1) 3回とも異なる目

全事象：$6^3 = 216$

3回とも異なる：$6 times 5 times 4 = 120$

$$P = frac{120}{216} = frac{5}{9}$$

【答え】$dfrac{5}{9}$

(2) 最大値が4

「最大値 $leq 4$」から「最大値 $leq 3$」を引きます。

最大値 $leq 4$：各回 $1, 2, 3, 4$ の4通り → $4^3 = 64$

最大値 $leq 3$：各回 $1, 2, 3$ の3通り → $3^3 = 27$

最大値 $= 4$：$64 - 27 = 37$

$$P = frac{37}{216}$$

【答え】$dfrac{37}{216}$

(3) 和が10以上

和が10, 11, 12, ..., 18 となる場合を数えます。

対称性を利用：和が $k$ となる場合と和が $21 - k$ となる場合は等しい（各目を $7 - (text{目})$ に置き換え）

和が3〜10の場合の数と、和が11〜18の場合の数は対応しますが、和 = 10.5 が中央値です。

和の期待値は $3 times 3.5 = 10.5$

$P(text{和} geq 11) = P(text{和} leq 10)$ かつ $P(text{和} = 10) + P(text{和} geq 11) + P(text{和} leq 9) = 1$

対称性より $P(text{和} geq 11) = P(text{和} leq 10)$

したがって：$P(text{和} geq 10) = P(text{和} geq 11) + P(text{和} = 10)$

和 = 10 となる場合を数えます：

• $(1, 3, 6)$ の並べ替え：6通り
• $(1, 4, 5)$ の並べ替え：6通り
• $(2, 2, 6)$ の並べ替え：3通り
• $(2, 3, 5)$ の並べ替え：続きを書きます。

  ---

  • $(2, 3, 5)$ の並べ替え：6通り
  • $(2, 4, 4)$ の並べ替え：3通り
  • $(3, 3, 4)$ の並べ替え：3通り

  合計：$6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27$ 通り

  $P(text{和} = 10) = dfrac{27}{216} = dfrac{1}{8}$

  対称性より、$P(text{和} leq 10) = P(text{和} geq 11)$ なので：

  $$2 times P(text{和} geq 11) + P(text{和} = 10) = 1$$
  $$P(text{和} geq 11) = frac{1 - frac{1}{8}}{2} = frac{7}{16}$$

  したがって：

  $$P(text{和} geq 10) = P(text{和} = 10) + P(text{和} geq 11) = frac{1}{8} + frac{7}{16} = frac{2}{16} + frac{7}{16} = frac{9}{16}$$

  【答え】$dfrac{9}{16}$

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  京都府立大学 数学攻略のための勉強法

  Step 1：基礎固め（入試6ヶ月前まで）

  京都府立大学の数学は、基礎〜標準レベルの問題を確実に解ける力が最も重要です。まずは教科書レベルの内容を完璧にしましょう。

  【おすすめ教材】

  • 教科書（数学Ⅰ・Ⅱ・A・B）の例題・練習問題
  • 『チャート式 基礎からの数学』（青チャート）例題レベル
  • 『基礎問題精講』シリーズ

  Step 2：標準問題演習（入試3〜6ヶ月前）

  基礎が固まったら、入試標準レベルの問題集で演習を重ねます。典型問題のパターンを身につけることが目標です。

  【おすすめ教材】

  • 『数学 標準問題精講』
  • 『1対1対応の演習』
  • 『チャート式』の章末問題・演習問題

  Step 3：過去問演習（入試3ヶ月前〜直前）

  京都府立大学の過去問を中心に、実戦形式での演習を行います。時間を計って解き、記述答案の書き方も練習しましょう。

  【過去問演習のポイント】

  • 必ず時間を計って解く（90分）
  • 解けなかった問題は、解説を読んだ後に必ず自力で解き直す
  • 記述の書き方を添削してもらう（塾や学校の先生に見てもらう）
  • 似た傾向の他大学（滋賀大学、兵庫県立大学など）の問題も活用

  分野別の重点ポイント

  分野	重点学習事項	学習のコツ
  微分法	増減表、極値、最大最小、接線	グラフを描く習慣をつける
  積分法	面積、体積、定積分の計算	公式（1/6, 1/12等）を使いこなす
  数列	漸化式、Σ計算、帰納法	漸化式の型を見抜く練習
  ベクトル	内積、位置ベクトル、面積・体積	図を描いて視覚化する
  確率	条件付き確率、期待値、独立試行	樹形図・表で整理する習慣
  図形と方程式	軌跡、領域、円と直線	図を正確に描く練習

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  日本数学塾・数強塾で京都府立大学合格を目指そう

  ここまで、京都府立大学2010年度の数学入試問題を詳しく解説してきました。いかがでしたか？

  京都府立大学の数学は、基礎をしっかり固めた上で、標準問題を確実に解ける力が求められます。難問を解く必要はありませんが、記述式であるため、論理的に説明する力や計算を正確に行う力が重要です。

  独学での対策に限界を感じていませんか？

  過去問を解いてみて、こんな悩みはありませんか？

  • 「解説を読めば分かるけど、自力では解けない…」
  • 「記述答案の書き方が合っているか不安…」
  • 「どの分野から手をつければいいか分からない…」
  • 「似た問題が出たときに、同じ解法を使えるか自信がない…」

  このような悩みを抱えている方は、ぜひ日本数学塾・数強塾にご相談ください！

  日本数学塾・数強塾の特徴

  🎯 特徴1：数学専門のプロ講師陣

  数学指導のプロフェッショナルが、あなたの弱点を的確に分析し、最短ルートで合格に導きます。京都府立大学の出題傾向を熟知した講師が、効率的な対策法をお伝えします。

  📝 特徴2：記述答案の添削指導

  京都府立大学の数学は記述式です。「答えは合っているのに減点される」という悩みを、丁寧な添削指導で解消します。論理的な答案の書き方を身につけましょう。

  📊 特徴3：一人ひとりに合わせたカリキュラム

  現在の学力レベルと志望校に合わせて、オーダーメイドのカリキュラムを作成します。「今、何を勉強すべきか」が明確になります。

  💻 特徴4：オンライン指導で全国対応

  自宅から受講できるオンライン指導で、全国どこからでも質の高い授業を受けられます。通塾時間ゼロで、効率的に学習を進められます。

  合格者の声

  京都府立大学 生命環境学部 合格 Aさん

  「高3の夏まで数学が苦手で、模試でも偏差値50前後でした。数強塾で基礎から見直してもらい、特に漸化式と積分の解法パターンを徹底的に練習しました。記述の書き方も丁寧に添削してもらえて、本番では自信を持って解答できました。」

  京都府立大学 文学部 合格 Bさん

  「文系なので数学は苦手意識がありましたが、先生が『京都府立大学の数学は基礎をしっかりやれば大丈夫』と言ってくれて、基礎問題の演習を中心に進めました。おかげで本番では8割以上取れ、合格できました！」

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  「本当に自分に合うかな？」と不安な方も、まずは無料体験授業を受けてみてください。

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  日本数学塾は、数学を通じて論理的思考力を育む総合数学塾です。中学生から大学受験生まで、幅広い層に対応しています。

  数強塾は、「数学が苦手」を「数学が得意」に変えることに特化したオンライン専門塾です。全国どこからでも受講可能です。

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  まとめ

  今回は、京都府立大学 2010年度 数学入試問題を詳しく解説しました。

  この年度のポイント

  • 微分・積分：関数の増減と面積計算が出題。計算力と公式の活用がカギ
  • 数列：漸化式の置換による解法が必要。等比数列への帰着がポイント
  • ベクトル：空間ベクトルの内積・外積と四面体の体積。計算を正確に
  • 確率：条件付き確率と期待値。定義に基づいた丁寧な計算が重要

  京都府立大学 数学攻略の3箇条

  1. 基礎を完璧に：教科書レベルの問題を確実に解けるようにする
  2. 典型問題のパターンを習得：標準問題集で解法パターンを身につける
  3. 記述力を鍛える：答案の書き方を意識し、添削を受ける

  京都府立大学の数学は、決して難問揃いではありません。基礎をしっかり固め、標準問題を確実に解ける力を身につければ、必ず合格点を取ることができます。

  この記事が、皆さんの受験勉強の一助となれば幸いです。

  京都府立大学合格を目指して、一緒に頑張りましょう！

  日本数学塾・数強塾 講師
  藤原進之介