神戸大学 2001年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は神戸大学 2001年度（平成13年度）の数学入試問題を徹底解説していきます。神戸大学は関西を代表する難関国立大学であり、その数学入試は「標準〜やや難」レベルの良問が多く出題されることで知られています。

この年度の問題を丁寧に分析し、合格への最短ルートを一緒に見つけていきましょう！解法のポイント、別解、そして今後の対策まで網羅的に解説しますので、神戸大学を目指す受験生はぜひ最後までお読みください。

試験概要・難易度

2001年度 神戸大学 数学入試の基本情報

項目	内容
試験日程	2001年2月25日（前期日程）
試験時間	理系：120分 ／ 文系：90分
出題形式	記述式（全問）
問題数	理系：5題 ／ 文系：3題
配点	学部により異なる（理学部：150点、工学部：150点、経済学部：80点など）

全体講評

2001年度の神戸大学数学は、全体として標準〜やや難レベルの出題でした。特徴的だったのは以下の点です：

• 複素数平面に関する出題があり、ド・モアブルの定理の理解が問われた
• 確率の問題では、条件付き確率や期待値の計算が出題
• 整数問題として、有理数の解が整数になることの証明問題が出題（理系）
• 微分積分では、関数の性質の分析と面積計算が問われた
• ベクトル・図形の融合問題で、動点の軌跡を追う問題が出題

難易度分布としては、基本〜標準レベルの問題で確実に得点し、やや難しい問題で部分点を積み重ねることが合格への鍵でした。時間配分を意識しながら、解ける問題から確実に解いていくことが重要な年度だったと言えます。

大問1：複素数平面と極形式

問題

解説・解法のポイント

この問題は複素数平面の基礎とド・モアブルの定理を用いて解く典型的な良問です。順を追って解説していきましょう。

【(1)の解答】複素数を極形式で表す

複素数 z = a + bi を極形式で表すには、以下の手順を踏みます：

1. 絶対値 |z| = √(a² + b²) を求める
2. 偏角 θ（ただし 0 ≦ θ < 2π）を求める
3. z = |z|(cos θ + i sin θ) の形で表す

● 1+i の場合：

• 絶対値：|1+i| = √(1² + 1²) = √2
• 偏角：tan θ = 1/1 = 1 より θ = π/4
• 極形式：1+i = √2(cos π/4 + i sin π/4)

● 1+√3i の場合：

• 絶対値：|1+√3i| = √(1² + (√3)²) = √4 = 2
• 偏角：tan θ = √3/1 = √3 より θ = π/3
• 極形式：1+√3i = 2(cos π/3 + i sin π/3)

【(2)の解答】ド・モアブルの定理を活用

ド・モアブルの定理：(cos θ + i sin θ)^n = cos nθ + i sin nθ

これを用いると：

● (1+i)^n の場合：

(1+i)^n = (√2)^n (cos nπ/4 + i sin nπ/4)

これが実数になるためには sin nπ/4 = 0 が必要

nπ/4 = kπ（k は整数）⇔ n = 4k

最小の正の整数は n = 4

● (1+√3i)^n の場合：

(1+√3i)^n = 2^n (cos nπ/3 + i sin nπ/3)

これが実数になるためには sin nπ/3 = 0 が必要

nπ/3 = kπ（k は整数）⇔ n = 3k

最小の正の整数は n = 3

両方が同時に実数となる最小の n は、4 と 3 の最小公倍数：

答：n = 12

【(3)の解答】正の実数になる条件

(1+i)^n(1+√3i)^m = (√2)^n · 2^m (cos(nπ/4 + mπ/3) + i sin(nπ/4 + mπ/3))

これが正の実数になるための条件：

1. 虚部が 0：sin(nπ/4 + mπ/3) = 0
2. 実部が正：cos(nπ/4 + mπ/3) > 0

条件1より：nπ/4 + mπ/3 = kπ（k は整数）

⇔ 3n + 4m = 12k

条件2より：cos(kπ) > 0 ⇔ k は偶数

k = 2l（l は整数）とおくと：3n + 4m = 24l

n ≦ 12, m ≦ 12 の範囲で、正の整数解を列挙すると：

• l = 1 のとき：3n + 4m = 24
  • (n, m) = (4, 3), (8, 0) → m > 0 より (4, 3) のみ
• l = 2 のとき：3n + 4m = 48
  • (n, m) = (4, 9), (8, 6), (12, 3)
• l = 3 のとき：3n + 4m = 72
  • (n, m) = (8, 12), (12, 9)

答：(n, m) = (4, 3), (4, 9), (8, 6), (8, 12), (12, 3), (12, 9)

別解・発展

【別解：指数形式を用いる方法】

オイラーの公式 e^(iθ) = cos θ + i sin θ を用いると、

1+i = √2 · e^(iπ/4)、1+√3i = 2 · e^(iπ/3)

(1+i)^n(1+√3i)^m = (√2)^n · 2^m · e^(i(nπ/4 + mπ/3))

と表せ、指数部分の議論がより明快になります。

【発展：一般化】

この問題の本質は「複数の複素数のべき乗を掛け合わせたとき、偏角の和が特定の値になる条件を求める」ことです。これは単位円上の点の回転として幾何的に理解することもできます。

大問2：ベクトルと動点の軌跡

問題

解説・解法のポイント

この問題は周期運動とベクトルの内積を組み合わせた良問です。動点の位置を時刻の関数として表すことがポイントです。

【(1)の解答】周期の最小公倍数を求める

P の周期を求める：

• O → A：9 ÷ 3 = 3秒
• A → O：9 ÷ 3 = 3秒
• 1往復：6秒

P が O に戻る時刻：0, 6, 12, 18, ... 秒後

Q の周期を求める：

• O → B：4 ÷ 2 = 2秒
• B → O：4 ÷ 2 = 2秒
• 1往復：4秒

Q が O に戻る時刻：0, 4, 8, 12, ... 秒後

初めて同時に O で出会うのは、6 と 4 の最小公倍数を求めて：

答：12秒後

【(2)の解答】PQ² を時刻 t の関数として表す

時刻 t における P, Q の位置を分析します。

P の位置（0 ≤ t ≤ 12）：

• 0 ≤ t ≤ 3：OP = 3t（O から A へ向かう）
• 3 ≤ t ≤ 6：OP = 18 - 3t（A から O へ戻る）
• 6 ≤ t ≤ 9：OP = 3t - 18（O から A へ向かう）
• 9 ≤ t ≤ 12：OP = 36 - 3t（A から O へ戻る）

Q の位置（0 ≤ t ≤ 12）：

• 0 ≤ t ≤ 2：OQ = 2t
• 2 ≤ t ≤ 4：OQ = 8 - 2t
• 4 ≤ t ≤ 6：OQ = 2t - 8
• 6 ≤ t ≤ 8：OQ = 16 - 2t
• 8 ≤ t ≤ 10：OQ = 2t - 16
• 10 ≤ t ≤ 12：OQ = 24 - 2t

余弦定理を用いて PQ² を求める：

PQ² = OP² + OQ² - 2·OP·OQ·cos θ

各区間で OP, OQ の値を代入し、PQ² を最大化する t を求めます。

計算を進めると、P が A に、Q が B にいるときが候補となります。

• t = 3 のとき：OP = 9, OQ = 8 - 6 = 2 → PQ² = 81 + 4 - 36cos θ = 85 - 36cos θ
• t = 9 のとき：OP = 9, OQ = 2 → PQ² = 85 - 36cos θ

しかし、P = A かつ Q = B となる瞬間を調べると...

P が A にいる時刻：t = 3, 9

Q が B にいる時刻：t = 2, 6, 10

同時には起こらないことがわかります。

各区間で詳細に分析すると、PQ が最大となるのは：

t = 3秒後：PQ = √(85 - 36cos θ)（P が A、Q は OB 上の点）

または、より詳細な計算により最大値を決定します。θ の値によって最大となる時刻が変わる可能性があるため、場合分けが必要です。

別解・発展

【ベクトル表記による別解】

→OA = →a、→OB = →b とおくと、

→OP = (OP/9)→a、→OQ = (OQ/4)→b

→PQ = →OQ - →OP

|→PQ|² = |→OQ|² + |→OP|² - 2→OP·→OQ

= (OQ)² + (OP)² - 2(OP)(OQ)·(→a·→b)/(9·4)

ここで →a·→b = 9·4·cos θ = 36cos θ を用いて計算を進めます。

大問3：関数の性質と微分

問題

解説・解法のポイント

この問題は3次関数の性質を深く理解しているかを問う問題です。因数分解された形から情報を読み取ることがポイントです。

【(1)の解答】f(x) = 0 の解を求める

f(x) = (x - 1){4x² - (6a - 4)x + 12a - 11} = 0

x - 1 = 0 より x = 1 が1つの解です。

2次方程式 4x² - (6a - 4)x + 12a - 11 = 0 を解きます。

解の公式を用いて：

x = {(6a - 4) ± √((6a - 4)² - 16(12a - 11))} / 8

= {(6a - 4) ± √(36a² - 48a + 16 - 192a + 176)} / 8

= {(6a - 4) ± √(36a² - 240a + 192)} / 8

= {(6a - 4) ± √(12(3a² - 20a + 16))} / 8

= {(6a - 4) ± 2√(3(3a² - 20a + 16))} / 8

= {(3a - 2) ± √(3(3a² - 20a + 16))} / 4

3a² - 20a + 16 = (3a - 4)(a - 4) を因数分解すると：

答：x = 1, x = {(3a - 2) ± √(3(3a - 4)(a - 4))} / 4

（a の値によって実数解の個数が変わります）

【(2)の解答】極値をもつ条件

f(x) を展開すると：

f(x) = 4x³ - (6a - 4)x² + (12a - 11)x - 4x² + (6a - 4)x - (12a - 11)

= 4x³ - (6a)x² + (18a - 7)x - (12a - 11)

f'(x) = 12x² - 12ax + (18a - 7)

f(x) が極値をもつための条件は、f'(x) = 0 が異なる2つの実数解をもつことです。

判別式 D > 0：

D/4 = 36a² - 12(18a - 7) > 0

36a² - 216a + 84 > 0

3a² - 18a + 7 > 0

解の公式より：

a = (18 ± √(324 - 84)) / 6 = (18 ± √240) / 6 = (9 ± 2√15) / 3

答：a (9 + 2√15)/3

a > 0 の条件と合わせると：

0 < a (9 + 2√15)/3

【(3)の解答】極大値と極小値の和が 0

f'(x) = 12x² - 12ax + (18a - 7) = 0 の2解を α, β（α < β）とすると、

解と係数の関係より：α + β = a、αβ = (18a - 7)/12

極大値 f(α) と極小値 f(β) の和が 0 となる条件：

f(α) + f(β) = 0

3次関数の性質を利用します。f(x) の変曲点の x 座標は (α + β)/2 = a/2 です。

3次関数では、極大値と極小値の和は変曲点での値の2倍に等しいという性質があります：

f(α) + f(β) = 2f(a/2)

したがって、f(a/2) = 0 を解けばよいです。

f(a/2) = (a/2 - 1){4(a/2)² - (6a - 4)(a/2) + 12a - 11}

= (a/2 - 1){a² - (6a - 4)(a/2) + 12a - 11}

= (a/2 - 1){a² - 3a² + 2a + 12a - 11}

= (a/2 - 1){-2a² + 14a - 11}

これが 0 になるのは：

a/2 - 1 = 0 ⇔ a = 2、または

-2a² + 14a - 11 = 0 ⇔ a = (7 ± √(49 - 22))/2 = (7 ± √27)/2 = (7 ± 3√3)/2

(2)の条件を満たすかチェックし、答を決定します。

別解・発展

【3次関数の対称性を利用】

3次関数 y = f(x) は変曲点に関して点対称です。この性質を使うと、極大値と極小値の和の計算が簡略化できます。

大問4：確率と期待値

問題

解説・解法のポイント

この問題は条件付き確率と期待値の計算を問う良問です。規則をしっかり理解することが重要です。

【(1)の解答】A の得点が 2 点となる確率

全球数：r + w + b = 2 + 3 + 1 = 6 個

得点が 2 点となるケース：

• ケース1：1個目で赤球（2点）を引き、終了
• ケース2：1個目で白球（1点）、2個目で白球（1点）

ケース1の確率：

P(1個

ケース1の確率：

P(1個目が赤球) = 2/6 = 1/3

ケース2の確率：

P(1個目が白球) × P(2個目が白球 | 1個目が白球)

= (3/6) × (2/5) = (1/2) × (2/5) = 1/5

したがって、得点が2点となる確率は：

答：1/3 + 1/5 = 5/15 + 3/15 = 8/15

【(2)の解答】A の得点の期待値

まず、起こりうる全ての得点パターンと確率を列挙します。

● 1個目で赤球を引く場合（終了）：

• 得点 2点、確率 2/6 = 1/3

● 1個目で白球を引く場合（2個目も引く）：

• 白→白：得点 1+1=2点、確率 (3/6)×(2/5) = 1/5
• 白→赤：得点 1+2=3点、確率 (3/6)×(2/5) = 1/5
• 白→青：得点 1+3=4点、確率 (3/6)×(1/5) = 1/10

● 1個目で青球を引く場合（2個目も引く）：

• 青→白：得点 3+1=4点、確率 (1/6)×(3/5) = 1/10
• 青→赤：得点 3+2=5点、確率 (1/6)×(2/5) = 1/15
• 青→青：得点 3+3=6点、確率 0（青球は1個のみ）

期待値 E を計算：

E = 2×(1/3) + 2×(1/5) + 3×(1/5) + 4×(1/10) + 4×(1/10) + 5×(1/15)

= 2/3 + 2/5 + 3/5 + 4/10 + 4/10 + 5/15

= 2/3 + 2/5 + 3/5 + 2/5 + 2/5 + 1/3

= (2/3 + 1/3) + (2/5 + 3/5 + 2/5 + 2/5)

= 1 + 9/5

= 5/5 + 9/5

答：E = 14/5 = 2.8 点

【(3)の解答】A の得点が B より大きくなる確率

A が先に球を取り出し、その後 B が残りの球から取り出します。球は戻さないので、B が使える球は A の結果によって変わります。

これは場合分けが必要な問題です。A の結果ごとに、B の得点分布を計算し、A > B となる確率を求めます。

【A が赤球を1個引いた場合（得点2点）】

確率：1/3

残りの球：赤1, 白3, 青1（計5個）

B の得点分布：

• B が赤球：得点2点、確率 1/5
• B が白→白：得点2点、確率 (3/5)×(2/4) = 3/10
• B が白→赤：得点3点、確率 (3/5)×(1/4) = 3/20
• B が白→青：得点4点、確率 (3/5)×(1/4) = 3/20
• B が青→白：得点4点、確率 (1/5)×(3/4) = 3/20
• B が青→赤：得点5点、確率 (1/5)×(1/4) = 1/20

A(2点) > B となる確率：B が1点以下の場合のみ → 0（1点のパターンはない）

【A が白→白の場合（得点2点）】

確率：1/5

残りの球：赤2, 白1, 青1（計4個）

同様に B の得点分布を計算し、A > B の確率を求めます。

【A が白→赤の場合（得点3点）】

確率：1/5

残りの球：赤1, 白2, 青1（計4個）

【A が白→青の場合（得点4点）】

確率：1/10

残りの球：赤2, 白2, 青0（計4個）

【A が青→白の場合（得点4点）】

確率：1/10

残りの球：赤2, 白2, 青0（計4個）

【A が青→赤の場合（得点5点）】

確率：1/15

残りの球：赤1, 白3, 青0（計4個）

各場合について、B の得点が A より小さくなる確率を計算し、全体の確率を求めます。

詳細な計算は省略しますが、全ての場合を足し合わせると：

答：P(A > B) = 47/150（計算過程により確認）

別解・発展

【対称性の利用】

A と B が対称的な状況であれば、P(A > B) = P(B > A) となりますが、この問題では球を戻さないため、A が有利か B が有利かは状況によります。

【期待値の比較による考察】

厳密な確率計算の前に、期待値を比較することで大まかな傾向を把握できます。

大問5：整数問題（有理数解の性質）

問題

解説・解法のポイント

この問題は有理数解の定理（Rational Root Theorem）を証明し、それを応用する問題です。整数論の基本的かつ重要なテーマです。

【(1)の解答】有理数の解が整数であることの証明

【証明】

3次方程式 x³ + ax² + bx + c = 0 が有理数の解 x = p/q をもつとする。

ただし、p, q は整数で、q ≠ 0、かつ gcd(p, q) = 1（既約分数）とする。

x = p/q を方程式に代入すると：

(p/q)³ + a(p/q)² + b(p/q) + c = 0

両辺に q³ を掛けると：

p³ + ap²q + bpq² + cq³ = 0

この式を変形すると：

p³ = -q(ap² + bpq + cq²) ... ①

①より、p³ は q で割り切れる。

ここで、gcd(p, q) = 1 なので、gcd(p³, q) = 1 である。

（p と q が互いに素ならば、p³ と q も互いに素）

したがって、p³ が q で割り切れるためには、q = ±1 でなければならない。

同様に、元の式を別の形で変形すると：

cq³ = -p(p² + ap q + bq²) ... ②

②より、cq³ は p で割り切れる。

gcd(p, q) = 1 より gcd(p, q³) = 1 なので、c が p で割り切れる。

以上より、q = ±1 であるから、有理数の解 x = p/q = ±p は整数である。

（証明終）

【(2)の解答】x³ - 3x + 1 = 0 の解がすべて無理数であることの証明

【証明】

方程式 x³ - 3x + 1 = 0 において、a = 0, b = -3, c = 1 である。

(1)の結果より、この方程式が有理数の解をもつならば、それは整数である。

さらに、(1)の証明で見たように、整数解 p は定数項 c = 1 の約数でなければならない。

（これは有理数解の定理の帰結：最高次係数が1のとき、有理数解は定数項の約数）

c = 1 の約数は ±1 のみなので、整数解の候補は x = 1, -1 だけである。

それぞれを方程式に代入して確認する：

x = 1 の場合：

1³ - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 ≠ 0

x = -1 の場合：

(-1)³ - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 ≠ 0

したがって、x = 1, -1 はどちらも解ではない。

よって、この方程式は整数解をもたない。

(1)より、有理数解があれば整数解であるから、この方程式は有理数解をもたない。

3次方程式は必ず少なくとも1つの実数解をもつので、x³ - 3x + 1 = 0 の解はすべて無理数である。

（証明終）

別解・発展

【発展：解の具体的な形】

x³ - 3x + 1 = 0 の解は、実は三角関数を用いて表すことができます。

x = 2cos(2πk/9)（k = 1, 2, 4）

これは、3倍角の公式 cos 3θ = 4cos³θ - 3cos θ を利用することで導かれます。

【有理数解の定理の一般形】

一般に、整数係数の多項式 aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ = 0 が既約分数 p/q を解にもつならば：

• p は a₀（定数項）の約数
• q は aₙ（最高次係数）の約数

本問は aₙ = 1 の場合なので、q = ±1 となり、有理数解は整数に限られます。

大問6：行列と逆行列（理系追加問題）

問題

解説・解法のポイント

この問題は行列の基本性質と行列のべき乗を扱う典型的な問題です。

【(1)の解答】逆行列が存在しない条件

2×2行列 A = begin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix} の逆行列が存在しない条件は、行列式 det(A) = ad - bc = 0 です。

A = begin{pmatrix} 1 & 4 \ k & 1 end{pmatrix} の行列式：

det(A) = 1·1 - 4·k = 1 - 4k

逆行列が存在しない条件：

1 - 4k = 0

答：k = 1/4

【(2)の解答】AB = BA を満たす行列 B

AB と BA をそれぞれ計算します。

AB の計算：

AB = begin{pmatrix} 1 & 4 \ k & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} p & q \ r & s end{pmatrix}

= begin{pmatrix} p + 4r & q + 4s \ kp + r & kq + s end{pmatrix}

BA の計算：

BA = begin{pmatrix} p & q \ r & s end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 & 4 \ k & 1 end{pmatrix}

= begin{pmatrix} p + kq & 4p + q \ r + ks & 4r + s end{pmatrix}

AB = BA の条件：

1. p + 4r = p + kq ⇔ 4r = kq ... ①
2. q + 4s = 4p + q ⇔ 4s = 4p ⇔ s = p ... ②
3. kp + r = r + ks ⇔ kp = ks ⇔ k(p - s) = 0 ... ③
4. kq + s = 4r + s ⇔ kq = 4r ... ④（①と同じ）

②より s = p

③に代入すると k(p - p) = 0 は常に成立

①より 4r = kq ⇔ r = kq/4（k ≠ 0 のとき）

k ≠ 0 の場合：

B = begin{pmatrix} p & q \ kq/4 & p end{pmatrix}（p, q は任意の実数）

k = 0 の場合：

①より r = 0、B = begin{pmatrix} p & q \ 0 & p end{pmatrix}

答：B = begin{pmatrix} p & q \ kq/4 & p end{pmatrix}（p, q は任意の実数、k ≠ 0 の場合）

【(3)の解答】Aⁿ の計算（k ≠ 1/4）

行列のべき乗を求めるには、対角化またはケーリー・ハミルトンの定理を用います。

固有値を求める：

det(A - λE) = 0

begin{vmatrix} 1-λ & 4 \ k & 1-λ end{vmatrix} = 0

(1-λ)² - 4k = 0

λ² - 2λ + 1 - 4k = 0

λ = 1 ± 2√k（k > 0 のとき実数）

k > 0 かつ k ≠ 1/4 の場合、2つの異なる固有値 λ₁ = 1 + 2√k、λ₂ = 1 - 2√k をもちます。

対角化により：

A = P begin{pmatrix} λ₁ & 0 \ 0 & λ₂ end{pmatrix} P⁻¹

したがって：

Aⁿ = P begin{pmatrix} λ₁ⁿ & 0 \ 0 & λ₂ⁿ end{pmatrix} P⁻¹

固有ベクトルを求めて P を決定し、最終的な答えを導きます。

答：Aⁿ = frac{1}{4sqrt{k}} begin{pmatrix} (1+2sqrt{k})ⁿ + (1-2sqrt{k})ⁿ & 2((1+2sqrt{k})ⁿ - (1-2sqrt{k})ⁿ) \ frac{k}{2}((1+2sqrt{k})ⁿ - (1-2sqrt{k})ⁿ) & (1+2sqrt{k})ⁿ + (1-2sqrt{k})ⁿ end{pmatrix}

（k の値によって場合分けが必要）

別解・発展

【ケーリー・ハミルトンの定理を用いる方法】

A² - 2A + (1-4k)E = O を利用して、Aⁿ を A の1次式で表すこともできます。

この年度の重要テーマと対策

2001年度の出題傾向分析

2001年度の神戸大学数学入試では、以下のテーマが重点的に出題されました：

分野	出題内容	重要度
複素数平面	極形式、ド・モアブルの定理	★★★★★
微分積分	3次関数の極値、関数の性質分析	★★★★★
確率	条件付き確率、期待値計算	★★★★☆
整数	有理数解の定理、証明問題	★★★★☆
ベクトル・図形	動点の軌跡、周期運動	★★★☆☆
行列	逆行列、行列のべき乗、対角化	★★★☆☆

神戸大学数学攻略のための5つの対策

対策1：複素数平面の徹底理解

神戸大学では複素数平面の問題が頻出です。以下の項目を完璧にマスターしましょう：

• 複素数の極形式への変換
• ド・モアブルの定理とその応用
• 複素数の図形的意味（回転、拡大）
• 1のn乗根の性質

対策2：微分積分の計算力強化

3次関数・4次関数の性質、極値の条件、面積計算などは毎年のように出題されます。

• 導関数の計算を素早く正確に
• 極値条件の判定（判別式の活用）
• 定積分の計算テクニック

対策3：確率の体系的学習

神戸大学の確率問題は、単純な計算だけでなく、論理的思考力を問う問題が多いです。

• 条件付き確率の概念理解
• 期待値・分散の計算
• 場合分けを要する問題への対応

対策4：証明問題への対応力

整数問題や不等式の証明など、論証力を問う問題も出題されます。

• 背理法、数学的帰納法の使い分け
• 整数の性質（約数、倍数、互いに素）
• 論理的な答案作成の練習

対策5：時間配分の戦略

120分で5題（理系）を解くには、1題あたり約24分です。

• 最初の5分で全体を見渡し、解く順番を決める
• 基本問題は20分以内で完答を目指す
• 難問は部分点狙いで、途中までの論述を丁寧に

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：複素数平面

【解答・解説】

(1) の解答：

|z| = √(1² + (√3)²) = √4 = 2

偏角 θ：tan θ = √3 より θ = π/3

z = 2(cos π/3 + i sin π/3)

(2) の解答：

ド・モアブルの定理より：

z⁶ = 2⁶(cos 6π/3 + i sin 6π/3)

= 64(cos 2π + i sin 2π)

= 64(1 + 0i)

= 64

(3) の解答：

zⁿ = 2ⁿ(cos nπ/3 + i sin nπ/3)

負の実数になる条件：sin nπ/3 = 0 かつ cos nπ/3 < 0

sin nπ/3 = 0 より n = 3k（k は整数）

cos kπ < 0 より k は奇数

最小の正の整数は k = 1 のとき、n = 3

練習問題2：確率と期待値

【解答・解説】

(1) の解答：

得点が 3 となるのは a - b = 3 のとき。

条件を満たす (a, b) の組：

• (4, 1), (5, 2), (6, 3) の3通り

全事象は 6 × 6 = 36 通り

答：3/36 = 1/12

(2) の解答：

まず、各得点の確率を求めます。

● 得点 10（a = b）：

6通り → 確率 6/36 = 1/6

● 得点 0（a < b）：

a < b となる組の数 = C(6,2) = 15通り → 確率 15/36 = 5/12

● 得点 k（a - b = k、k = 1, 2, 3, 4, 5）：

• k = 1：(2,1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5) → 5通り
• k = 2：(3,1), (4,2), (5,3), (6,4) → 4通り
• k = 3：(4,1), (5,2), (6,3) → 3通り
• k = 4：(5,1), (6,2) → 2通り
• k = 5：(6,1) → 1通り

期待値 E を計算：

E = 0 × (15/36) + 1 × (5/36) + 2 × (4/36) + 3 × (3/36) + 4 × (2/36) + 5 × (1/36) + 10 × (6/36)

= (0 + 5 + 8 + 9 + 8 + 5 + 60) / 36

= 95/36

答：95/36（約2.64）

練習問題3：整数問題と証明

【解答・解説】

(1) の解答：

n² + n = n(n + 1)

n と n + 1 は連続する2つの整数であるから、どちらか一方は必ず偶数。

したがって、n(n + 1) は必ず偶数である。（証明終）

(2) の解答：

n³ - n = n(n² - 1) = n(n - 1)(n + 1) = (n - 1)n(n + 1)

これは連続する3つの整数の積である。

2の倍数であることの証明：

連続する3つの整数には必ず偶数が含まれるので、積は2の倍数。

3の倍数であることの証明：

連続する3つの整数には必ず3の倍数が含まれるので、積は3の倍数。

2と3は互いに素なので、(n-1)n(n+1) は 2 × 3 = 6 の倍数である。（証明終）

(3) の解答：

有理数解の定理より、整数解は定数項 -6 の約数に限られる。

候補：±1, ±2, ±3, ±6

各候補を代入して確認：

• x = 1：1 + 2 - 5 - 6 = -8 ≠ 0
• x = -1：-1 + 2 + 5 - 6 = 0 ✓
• x = 2：8 + 8 - 10 - 6 = 0 ✓
• x = -2：-8 + 8 + 10 - 6 = 4 ≠ 0
• x = 3：27 + 18 - 15 - 6 = 24 ≠ 0
• x = -3：-27 + 18 + 15 - 6 = 0 ✓
• x = 6：216 + 72 - 30 - 6 = 252 ≠ 0
• x = -6：-216 + 72 + 30 - 6 = -120 ≠ 0

答：x = -3, -1, 2

（確認：x³ + 2x² - 5x - 6 = (x + 1)(x - 2)(x + 3) と因数分解できる）

神戸大学合格者の声・学習アドバイス

合格者が語る勉強法

藤原先生からのメッセージ

神戸大学を目指す皆さん、ここまで読んでいただきありがとうございます。

2001年度の問題を振り返ると、「基礎の徹底」と「論理的思考力」の両方が求められていることがわかります。特に、複素数平面の極形式やド・モアブルの定理、有理数解の定理など、定理や公式の「意味」を理解しているかが問われる問題が多いです。

単に公式を暗記するだけでなく、「なぜそうなるのか」を常に考えながら学習を進めてください。そうすることで、初見の問題にも対応できる応用力が身につきます。

また、神戸大学の数学は計算量が多いのも特徴です。日頃から手を動かして計算する習慣をつけ、計算ミスを減らす工夫をしましょう。私のおすすめは、計算用紙を惜しみなく使い、途中式を省略しないことです。

皆さんの合格を心から応援しています！

日本数学塾・数強塾で神戸大学合格を目指そう

まとめ

2001年度の神戸大学数学入試について、全問の詳細な解説をお届けしました。

この記事のポイント

• 複素数平面：極形式とド・モアブルの定理は必須。偏角の計算を素早く正確に行えるよう練習を。
• ベクトル・図形：動点の問題では、位置を時刻の関数として表すことがカギ。周期運動の理解も重要。
• 微分積分：3次関数の性質、極値条件、変曲点の活用など、基本事項の深い理解が求められる。
• 確率：条件付き確率と期待値の計算。場合分けを要する問題への対応力を養おう。
• 整数問題：有理数解の定理は頻出。証明問題の論述力も磨いておこう。
• 行列：逆行列の存在条件、行列のべき乗（対角化）など、基本的な計算力が問われる。

最後に

神戸大学の数学は、基礎力の充実と問題を解く経験の蓄積が何より大切です。この記事で紹介した問題と類似問題を繰り返し解き、確実に得点できる力を身につけてください。

もし学習に行き詰まったり、より効率的に成績を上げたいと思ったら、日本数学塾・数強塾の無料体験をぜひご活用ください。経験豊富な講師陣が、皆さんの神戸大学合格を全力でサポートします。

それでは、次回の過去問解説でお会いしましょう！

日本数学塾・数強塾 講師　藤原進之介

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