金沢大学 2009年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は金沢大学 2009年度（平成21年度）前期日程 理系数学の過去問を徹底解説していきます。金沢大学は北陸地方を代表する総合大学であり、理工学域・医薬保健学域を志望する受験生にとって、数学の攻略は合格への重要な鍵となります。

この記事では、2009年度の全問題について、基本的な解法から応用的なテクニックまで丁寧に解説します。単に答えを出すだけでなく、「なぜその解法を選ぶのか」「どこに注目すべきか」という思考のプロセスを重視して説明していきますので、ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

2009年度 金沢大学 前期日程 理系数学の概要

2009年度の全体講評

2009年度の金沢大学理系数学は、全体として標準〜やや難レベルの出題でした。金沢大学の数学は例年、奇問・難問は少なく、教科書の内容をしっかり理解した上で、標準的な問題集（青チャートや1対1対応の演習など）をマスターしていれば十分に対応できる難易度です。

この年度の特徴として、以下の点が挙げられます：

• 微分積分が例年通り中心的な役割を果たしている
• 複数の単元を融合した問題が出題されている
• 計算量はやや多めだが、丁寧に処理すれば完答可能な問題が多い
• 論証力・記述力が問われる問題も含まれている

合格点を取るためには、全4問中2問を完答し、残り2問で部分点を確実に稼ぐことが目標となります。時間配分としては、1問あたり35〜40分を目安に、難しいと感じた問題は後回しにする戦略も有効です。

大問1：二次関数と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

【解法の方針】

この問題は、二次関数の最大・最小問題の典型的なパターンです。軸の位置と定義域の位置関係によって場合分けが必要になることがポイントです。

■ (1) の解説

まず、f(x)を平方完成します。

f(x) = x² - 2ax + a

= (x - a)² - a² + a

= (x - a)² - a² + a

この二次関数は下に凸の放物線で、頂点は (a, -a² + a) です。

したがって、f(x)の最小値は

-a² + a = a(1 - a) = a - a²

■ (2) の解説

定義域 0 ≤ x ≤ 2 における最大値を求めます。軸 x = a の位置によって場合分けが必要です。

【場合1】a ≤ 1 のとき

軸が定義域の中央 x = 1 より左側（または中央）にあるので、x = 2 で最大となります。

M(a) = f(2) = 4 - 4a + a = 4 - 3a

【場合2】a > 1 のとき

軸が定義域の中央より右側にあるので、x = 0 で最大となります。

M(a) = f(0) = a

以上より、

■ (3) の解説

M(a)の最小値を求めます。

• 0 < a ≤ 1 のとき：M(a) = 4 - 3a は単調減少で、a = 1 で最小値 1
• a > 1 のとき：M(a) = a は単調増加で、a → 1⁺ のとき最小値に近づき、その値は 1

a = 1 のとき、両方の式の値が一致し、M(1) = 1 となります。

答：M(a)の最小値は 1 （a = 1 のとき）

別解・発展

【別解：グラフを用いた視覚的理解】

M(a)のグラフを描くと、a = 1 で折れ曲がる形になります。4 - 3a と a の交点を求めると、4 - 3a = a より a = 1 となり、この点が最小値を与えることがグラフからも確認できます。

【発展】

この問題の本質は「パラメータを含む関数の最大・最小」です。大学入試では頻出のテーマであり、特に医学部や難関理工系では、さらに複雑な場合分けが要求されることもあります。

大問2：確率と漸化式

問題

解説・解法のポイント

【解法の方針】

これは反復試行の確率と二項分布に関する問題です。各回の試行が独立であることを利用します。

■ (1) の解説

白球を取り出す確率は 3/5、赤球を取り出す確率は 2/5 です。

3回の操作で白球をちょうど2回取り出す確率は、反復試行の確率の公式より：

P(W₃ = 2) = ₃C₂ × (3/5)² × (2/5)¹

= 3 × (9/25) × (2/5)

= 3 × 18/125

= 54/125

■ (2) の解説

n回の操作でちょうどk回白球を取り出す確率は、二項分布の確率関数として表されます。

P(W_n = k) = _nC_k × (3/5)^k × (2/5)^n-k

ここで、k = 0, 1, 2, ..., n です。

■ (3) の解説

W_nは二項分布 B(n, 3/5) に従います。

二項分布 B(n, p) の期待値は np であることから：

E(W_n) = n × (3/5) = 3n/5

【別の導出方法】

指示関数を用いて直接計算することもできます。i回目に白球を取り出したとき X_i = 1、そうでないとき X_i = 0 とすると、W_n = X₁ + X₂ + ... + X_n です。

E(X_i) = 3/5 なので、期待値の線形性より：

E(W_n) = E(X₁) + E(X₂) + ... + E(X_n) = n × (3/5) = 3n/5

別解・発展

【発展：分散の計算】

もし分散も問われた場合、V(W_n) = np(1-p) = n × (3/5) × (2/5) = 6n/25 となります。

【発展：漸化式を用いたアプローチ】

より複雑な確率問題では、状態を定義して漸化式を立てるアプローチが有効です。例えば「連続して白球を取り出す」などの条件が加わると、マルコフ連鎖的な考え方が必要になります。

大問3：微分法と積分法（面積・体積）

問題

解説・解法のポイント

【解法の方針】

三次関数と直線の交点問題は金沢大学で頻出です。グラフの特徴を正確に把握し、面積計算では1/12公式などを活用します。

■ (1) の解説

y = x³ - 3x を微分すると：

y' = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x+1)(x-1)

y' = 0 となるのは x = -1, 1

• x = -1 で極大値 2（y = (-1)³ - 3(-1) = -1 + 3 = 2）
• x = 1 で極小値 -2（y = 1³ - 3(1) = 1 - 3 = -2）

また、y'' = 6x より、x = 0 が変曲点で、原点に関して点対称なグラフです。

■ (2) の解説

y = x³ - 3x と y = kx の交点を求めます。

x³ - 3x = kx

x³ - (3+k)x = 0

x(x² - (3+k)) = 0

x = 0 は常に解です。残りの x² = 3+k が異なる2つの実数解を持つ条件は：

3 + k > 0 すなわち k > -3

したがって、異なる3点で交わる条件は k > -3 です。

■ (3) の解説

交点の x 座標は x = 0, ±√(3+k) です。

α = √(3+k) とおくと、交点は x = -α, 0, α です。

曲線と直線で囲まれた面積は、対称性より：

S(k) = 2∫₀^α |x³ - 3x - kx| dx

= 2∫₀^α |x³ - (3+k)x| dx

= 2∫₀^α |x(x² - α²)| dx

0 ≤ x ≤ α では x² - α² ≤ 0 なので、x(x² - α²) ≤ 0 です。したがって：

S(k) = 2∫₀^α (α²x - x³) dx

= 2[α²x²/2 - x⁴/4]₀^α

= 2(α⁴/2 - α⁴/4)

= 2 × α⁴/4

= α⁴/2

α² = 3+k より α⁴ = (3+k)² なので：

S(k) = (3+k)²/2

■ (4) の解説

S(k) = (3+k)²/2 は k = -3 で最小値 0 をとりますが、k > -3 の範囲では最小値を持ちません（k → -3⁺ のとき S(k) → 0⁺）。

ただし、問題の意図として「異なる3点で交わる」という条件下での最小値を問うている場合、S(k)に最小値は存在しない（下限値0に限りなく近づくが、その値を取らない）という答えになります。

別解・発展

【別解：1/12公式の適用】

三次関数と直線で囲まれた面積には、いわゆる「1/12公式」があります。

y = ax³ + bx² + cx + d と直線が x = α, β, γ で交わるとき（α < β < γ）、囲まれた面積は |a|/12 × (β-α)³(γ-β)/(γ-α) のような形で表せます。

【発展：回転体の体積】

この問題の発展として、囲まれた図形をx軸周りに回転させた回転体の体積を求める問題もあり得ます。

大問4：空間ベクトルと空間図形

問題

解説・解法のポイント

【解法の方針】

空間ベクトルの問題では、まず与えられた条件から内積を計算し、その後、各小問に応じて式を立てていきます。正四面体に関連する問題は頻出です。

■ (1) の解説

|AB|² = |b - a|² = |b|² - 2a・b + |a|² を利用します。

|AB| = 2, |OA| = |OB| = 2 より：

4 = 4 - 2a・b + 4

2a・b = 4

a・b = 2

同様に |BC| = 2 より：

|c - b|² = 4

4 - 2b・c + 4 = 4

b・c = 2

同様に |CA| = 2 より：

c・a = 2

■ (2) の解説

点M、Nの位置ベクトルを求めます。

OM = a/2

ON = (b + c)/2

したがって：

MN = ON - OM = (b + c)/2 - a/2 = (b + c - a)/2

|MN|² を計算します：

|MN|² = |(b + c - a)/2|²

= (1/4)|b + c - a|²

= (1/4)(|b|² + |c|² + |a|² + 2b・c - 2a・b - 2c・a)

= (1/4)(4 + 4 + 4 + 2×2 - 2×2 - 2×2)

= (1/4)(12 + 4 - 4 - 4)

= (1/4) × 8

= 2

答：MN = √2

■ (3) の解説

四面体の体積は、V = (1/6)|a・(b×c)| で計算できます。

スカラー三重積の二乗は次の行列式で計算できます：

|a・(b×c)|² =
| a・a a・b a・c |
| b・a b・b b・c |
| c・a c・b c・c |

これはグラム行列式と呼ばれるものです。(1)の結果を代入すると：

|a・(b×c)|² =
| 4 2 2 |
| 2 4 2 |
| 2 2 4 |

この行列式を計算します。サラスの方法または余因子展開を用います：

= 4(4×4 - 2×2) - 2(2×4 - 2×2) + 2(2×2 - 4×2)

= 4(16 - 4) - 2(8 - 4) + 2(4 - 8)

= 4×12 - 2×4 + 2×(-4)

= 48 - 8 - 8

= 32

したがって |a・(b×c)| = √32 = 4√2

四面体の体積は：

V = (1/6) × 4√2 = (2√2)/3

別解・発展

【別解：底面積と高さから求める方法】

底面△ABCは一辺2の正三角形なので、その面積は：

S = (√3/4) × 2² = √3

次に、頂点Oから底面ABCへの高さhを求めます。△ABCの重心Gは：

OG = (a + b + c)/3

|OG|²を計算すると：

|OG|² = (1/9)(|a|² + |b|² + |c|² + 2a・b + 2b・c + 2c・a)

= (1/9)(4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4)

= (1/9) × 24 = 8/3

よって |OG| = √(8/3) = 2√6/3

この四面体は正四面体ではありませんが、対称性からOは底面ABCの重心の真上にあります。したがって h = |OG| = 2√6/3 です。

体積は：

V = (1/3) × √3 × (2√6/3) = (2√18)/9 = (6√2)/9 = (2√2)/3

【発展：正四面体との比較】

一辺2の正四面体の体積は (2√2)/3 です。この問題の四面体も同じ体積になることは興味深い結果です。実は、OA = OB = OC かつ AB = BC = CA という条件を満たす四面体は、底面が正三角形で頂点がその重心の真上にある「等面四面体」の一種です。

大問5：数列と極限

問題

解説・解法のポイント

【解法の方針】

分数型の漸化式は、適切な変換によって等比数列型に帰着させるのが定石です。この問題では b_n という変換が与えられているので、その誘導に乗りましょう。

■ (1) の解説

b_n+1 = (a_n+1 - 1)/(a_n+1 + 1) に、a_n+1 = (2a_n + 1)/(a_n + 2) を代入します。

分子：

a_n+1 - 1 = (2a_n + 1)/(a_n + 2) - 1

= (2a_n + 1 - a_n - 2)/(a_n + 2)

= (a_n - 1)/(a_n + 2)

分母：

a_n+1 + 1 = (2a_n + 1)/(a_n + 2) + 1

= (2a_n + 1 + a_n + 2)/(a_n + 2)

= (3a_n + 3)/(a_n + 2)

= 3(a_n + 1)/(a_n + 2)

したがって：

b_n+1 = [(a_n - 1)/(a_n + 2)] ÷ [3(a_n + 1)/(a_n + 2)]

= (a_n - 1)/[3(a_n + 1)]

= (1/3) × (a_n - 1)/(a_n + 1)

= (1/3)b_n

■ (2) の解説

b_n+1 = (1/3)b_n より、{b_n}は公比1/3の等比数列です。

初項 b₁ = (a₁ - 1)/(a₁ + 1) = (1 - 1)/(1 + 1) = 0

よって b_n = 0 × (1/3)^n-1 = 0 （すべてのnについて）

b_n = (a_n - 1)/(a_n + 1) = 0 より、a_n - 1 = 0

答：a_n = 1 （すべての自然数nについて）

【検証】

a₁ = 1 のとき、a₂ = (2×1 + 1)/(1 + 2) = 3/3 = 1

同様にして、a_n = 1 ならば a_n+1 = (2×1 + 1)/(1 + 2) = 1

確かに定数列 a_n = 1 が解です。

■ (3) の解説

a_n = 1（定数列）より：

答：lim_n→∞ a_n = 1

別解・発展

【別解：極限の直接計算】

仮に a_n → α（収束すると仮定）とすると、漸化式の両辺でn→∞とすることで：

α = (2α + 1)/(α + 2)

α(α + 2) = 2α + 1

α² + 2α = 2α + 1

α² = 1

α = ±1

a₁ = 1 > 0 で、漸化式から a_n > 0 が帰納的に示せるので、α = 1 が極限値です。

【発展：一般の初期値の場合】

初期値が a₁ ≠ 1 の場合は b₁ ≠ 0 となり、b_n = b₁ × (1/3)^n-1 → 0 (n→∞) です。この場合も極限は1に収束します。

この年度の重要テーマと対策

2009年度に見られた重要テーマ

2009年度の金沢大学理系数学を分析すると、以下の重要テーマが浮かび上がります。

1. 二次関数の最大・最小（パラメータを含む場合）

軸と定義域の位置関係による場合分けは、金沢大学に限らず多くの大学で頻出です。グラフを正確に描き、場合分けを丁寧に行う訓練が必要です。

対策：

• 青チャートの「二次関数」の章を徹底的に復習
• 場合分けの基準（軸と定義域の端点・中央の位置関係）を整理
• 最大値・最小値が連続になるかの確認も忘れずに

2. 確率と期待値

反復試行の確率、二項分布、期待値の計算は基本中の基本です。指示関数を用いた期待値の計算法も身につけておくと、複雑な問題でも対応できます。

対策：

• 二項分布 B(n, p) の確率関数・期待値・分散を確実に覚える
• 条件付き確率、ベイズの定理も押さえておく
• 漸化式を立てて確率を求める問題にも慣れておく

3. 微分積分（三次関数と直線）

三次関数のグラフと直線の交点問題、囲まれた面積の計算は金沢大学で特に頻出です。

対策：

• 三次関数の極値・変曲点を素早く求められるように
• 面積公式（1/6公式、1/12公式など）を使いこなす
• パラメータを含む面積の最小値問題に慣れる

4. 空間ベクトル

内積の計算、位置ベクトル、四面体の体積などが出題されます。

対策：

• 内積の性質と計算を確実に
• スカラー三重積（体積公式）を使えるように
• 座標を設定して解く方法とベクトルのまま解く方法の両方を習得

5. 漸化式と極限

分数型漸化式を等比数列型に変換するテクニックは重要です。

対策：

• 様々なタイプの漸化式の解法パターンを整理
• 特性方程式の利用法を理解
• 極限値の存在を仮定して方程式を立てる方法も使えるように

金沢大学数学攻略のための学習戦略

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

以下に、2009年度の出題傾向に沿った練習問題を3問用意しました。解答・解説も付けていますので、力試しにチャレンジしてください！

練習問題1：二次関数の最大・最小

練習問題2：確率と漸化式

練習問題3：微分積分（面積）

日本数学塾・数強塾で金沢大学合格を目指そう

ここまで金沢大学2009年度の数学過去問を詳しく解説してきました。いかがでしたでしょうか？

金沢大学の数学は、基礎力の徹底と標準問題の完全習得が合格への王道です。奇をてらった難問よりも、教科書や標準問題集の内容を確実に身につけることが重要です。

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金沢大学合格者の声

よくある質問

最後に：金沢大学合格に向けて

金沢大学の数学は、決して「天才」でなければ解けない問題ではありません。正しい方法で、正しい努力を積み重ねれば、必ず合格点に到達できます。

この記事で解説した2009年度の問題も、一つひとつは標準的なテクニックの組み合わせです。大切なのは：

1. 基礎を徹底的に固めること
2. なぜその解法を使うのかを理解すること
3. 繰り返し演習して定着させること
4. 時間配分を意識した実戦練習をすること

一人で悩まず、ぜひ私たちと一緒に合格を目指しましょう！

付録：2009年度 金沢大学数学 出題一覧と配点目安

※配点は学類によって異なります。上記は理工学域の目安です。

参考文献・関連リンク

• 金沢大学公式サイト - 過去問題及び正解・解答例
• 『金沢大学数学入試問題50年』（昭和41年〜平成27年収録）
• 旺文社『全国大学入試問題正解 数学』各年度版
• 数強塾 大学入試過去問データベース

執筆者：藤原進之介
日本数学塾・数強塾 講師
「数学の面白さと奥深さを伝えたい」をモットーに、
全国の受験生の数学力向上をサポートしています。

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