東京海洋大学 2018年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

今回は東京海洋大学 2018年度（平成30年度）前期日程の数学を徹底解説します。東京海洋大学は海洋系の国立大学として独自の魅力を持ち、毎年多くの受験生がチャレンジしています。数学は合否を大きく左右する科目ですので、過去問の徹底理解と傾向分析が極めて重要です。

この記事では、各大問をステップバイステップで丁寧に解説し、さらに別解や発展的な考え方も紹介します。最後まで読めば、東京海洋大学の数学攻略法がしっかり身につくはずです！

試験概要・難易度

2018年度 東京海洋大学 前期日程 数学 試験情報

全体講評

2018年度の東京海洋大学の数学は、例年通りの標準〜やや難レベルの出題でした。特徴的なのは以下の点です：

• 微分積分が必ず出題される（毎年の傾向）
• 確率の問題が比較的多く出題される
• ベクトルや数列からの出題も頻出
• 計算量が多いため、時間配分が重要
• 基本〜標準レベルの問題を確実に得点することが合格の鍵

難易度としては、教科書の章末問題〜標準的な入試問題集（青チャートなど）レベルをしっかりマスターしていれば、6〜7割の得点は十分に狙えます。ただし、計算ミスをすると芋づる式に失点するため、普段から正確な計算力を養っておくことが大切です。

大問1：二次関数と領域（小問集合）

問題

解説・解法のポイント

(1)(a) 二次関数の最小値

【解法の流れ】

二次関数の最大・最小を求める際は、まず平方完成を行います。

【解答】

f(x) = x² - 4x + 3 を平方完成すると、

f(x) = (x² - 4x + 4) - 4 + 3 = (x - 2)² - 1

x² の係数が正（+1）なので、この放物線は下に凸です。

したがって、頂点で最小値をとります。

答え：x = 2 のとき、最小値 -1

(1)(b) 異なる2つの実数解の条件

【解法の流れ】

f(x) = k が異なる2つの実数解をもつ条件は、y = f(x) のグラフと y = k（水平線）が異なる2点で交わる条件と同じです。

【解答】

f(x) = (x - 2)² - 1 のグラフは、頂点(2, -1)の下に凸の放物線です。

このグラフと直線 y = k が異なる2点で交わるのは、

k > -1

のときです。

答え：k > -1

(2) 対数不等式

【解法の流れ】

1. 真数条件を確認する
2. 対数の性質を使って整理する
3. 真数条件と合わせて解を求める

【解答】

Step 1：真数条件

対数の真数は正でなければならないので、

• x - 1 > 0 より x > 1
• x - 3 > 0 より x > 3

したがって、x > 3 が必要条件です。

Step 2：不等式を変形

対数の性質 log_a M + log_a N = log_a(MN) を使うと、

log₂(x-1) + log₂(x-3) ≤ 3

log₂{(x-1)(x-3)} ≤ 3

log₂{(x-1)(x-3)} ≤ log₂ 8

底 2 > 1 なので、不等号の向きは変わらず、

(x-1)(x-3) ≤ 8

x² - 4x + 3 ≤ 8

x² - 4x - 5 ≤ 0

(x-5)(x+1) ≤ 0

-1 ≤ x ≤ 5

Step 3：真数条件との共通部分

x > 3 と -1 ≤ x ≤ 5 の共通部分は、

3 < x ≤ 5

答え：3 < x ≤ 5

(3) 線形計画法

【解法の流れ】

領域 D における一次式 x + 2y の最大・最小を求める問題は、線形計画法の典型問題です。一次式の最大・最小は必ず領域の頂点で達成されます。

【解答】

Step 1：領域 D を図示

条件：x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0

これは直線 x + y = 4 と x軸、y軸で囲まれた三角形領域（境界含む）です。

Step 2：頂点を求める

• O(0, 0)
• A(4, 0)：x + y = 4 と y = 0 の交点
• B(0, 4)：x + y = 4 と x = 0 の交点

Step 3：各頂点での x + 2y の値

• O(0, 0)：0 + 2×0 = 0
• A(4, 0)：4 + 2×0 = 4
• B(0, 4)：0 + 2×4 = 8

答え：最大値 8（点(0, 4)のとき）、最小値 0（点(0, 0)のとき）

別解・発展

【(3)の別解：ラグランジュの未定乗数法風の考え方】

x + 2y = k とおくと、y = (k - x)/2 となります。この直線が領域 D と共有点をもつような k の範囲を考えます。

直線 y = -x/2 + k/2 は傾き -1/2 で、k が大きいほど y切片が大きくなります。

領域 D と共有点をもつ最大の k は、直線が点 B(0, 4) を通るときで k = 8。

最小の k は、直線が原点 O を通るときで k = 0。

【発展：三角形の内部・境界での最適化】

一般に、凸多角形領域での一次式の最適化は、頂点のみをチェックすれば十分です（線形計画法の基本定理）。これは大学で学ぶ最適化理論の基礎となる重要な考え方です。

大問2：確率

問題

解説・解法のポイント

(1) 和が3の倍数となる確率

【解法の流れ】

1〜6の各数を3で割った余りで分類し、余りの和が3の倍数になる組み合わせを数えます。

【解答】

Step 1：3で割った余りによる分類

• 余り0：3, 6（2個）
• 余り1：1, 4（2個）
• 余り2：2, 5（2個）

Step 2：和が3の倍数になる条件

a, b, c の余りをそれぞれ r_a, r_b, r_c とすると、

r_a + r_b + r_c ≡ 0 (mod 3) となる組み合わせは：

• (0, 0, 0)：全部余り0
• (1, 1, 1)：全部余り1
• (2, 2, 2)：全部余り2
• (0, 1, 2)：余りが0, 1, 2が1つずつ（順序は問わない）

Step 3：場合の数を計算

全事象：6³ = 216 通り

・(0, 0, 0)：2³ = 8 通り

・(1, 1, 1)：2³ = 8 通り

・(2, 2, 2)：2³ = 8 通り

・(0, 1, 2)の並べ替え：3! × 2³ = 6 × 8 = 48 通り

合計：8 + 8 + 8 + 48 = 72 通り

確率 = 72/216 = 1/3

答え：1/3

(2) 積が4の倍数となる確率

【解法の流れ】

余事象「積が4の倍数でない」を考えます。積が4の倍数でない ⟺ 因数として2が2個未満。

【解答】

Step 1：各目の素因数2の個数

• 2⁰ = 1：目は 1, 3, 5（3個）... 奇数
• 2¹ = 2：目は 2, 6（2個）... 2で1回だけ割れる
• 2² = 4：目は 4（1個）... 2で2回割れる

Step 2：余事象の計算

積が4の倍数でない場合：

• 全て奇数：3³ = 27 通り
• 奇数2つ + 2または6が1つ：C(3,1) × 3² × 2 = 3 × 9 × 2 = 54 通り

余事象：27 + 54 = 81 通り

Step 3：求める確率

積が4の倍数となる確率 = 1 - 81/216 = 135/216 = 5/8

答え：5/8

(3) 二次方程式が整数解をもつ確率

【解法の流れ】

x² + ax + b = 0 が整数解 α をもつとき、因数定理より (x - α) で割り切れます。解と係数の関係を使います。

【解答】

Step 1：整数解の条件を考える

x² + ax + b = 0 が整数解 α をもつとする。

α² + aα + b = 0 より、b = -α² - aα = -α(α + a)

1 ≤ b ≤ 6 なので、-α(α + a) が 1〜6 の値をとる必要があります。

Step 2：可能な整数解を探す

a は 1〜6 の値をとるので、以下を調べます。

α = -1 のとき：b = -(-1)(-1 + a) = -(a - 1) = 1 - a

1 ≤ 1 - a ≤ 6 より -5 ≤ a ≤ 0 ... a は 1〜6 なので不適

α = -2 のとき：b = -(-2)(-2 + a) = -2(a - 2) = 4 - 2a

1 ≤ 4 - 2a ≤ 6 より -1 ≤ a ≤ 1.5 ... a = 1 のとき b = 2 ✓

α = -3 のとき：b = -(-3)(-3 + a) = -3(a - 3) = 9 - 3a

1 ≤ 9 - 3a ≤ 6 より 1 ≤ a ≤ 8/3 ... a = 1 で b = 6, a = 2 で b = 3 ✓

α = -4 のとき：b = 16 - 4a

1 ≤ 16 - 4a ≤ 6 より 2.5 ≤ a ≤ 3.75 ... a = 3 で b = 4 ✓

α = -5 のとき：b = 25 - 5a

1 ≤ 25 - 5a ≤ 6 より 3.8 ≤ a ≤ 4.8 ... a = 4 で b = 5 ✓

α = -6 のとき：b = 36 - 6a

1 ≤ 36 - 6a ≤ 6 より 5 ≤ a ≤ 35/6 ... a = 5 で b = 6, a = 6 で b = 0（不適）✓

Step 3：条件を満たす (a, b) の組

• (1, 2)：x² + x + 2 = 0 の解は x = -2（確認：4 - 2 + 2 = 4 ≠ 0）... 再確認

【再計算】α = -2, a = 1 のとき：(-2)² + 1×(-2) + b = 4 - 2 + b = 0 より b = -2（不適）

条件を満たす組を丁寧に列挙し直すと：

• (2, 1)：x = -1 が解（1 - 2 + 1 = 0 ✓）
• (3, 2)：x = -1, -2 が解（1 - 3 + 2 = 0 ✓, 4 - 6 + 2 = 0 ✓）
• (4, 3)：x = -1, -3 が解
• (4, 4)：x = -2 が解（4 - 8 + 4 = 0 ✓）
• (5, 4)：x = -1, -4 が解
• (5, 6)：x = -2, -3 が解
• (6, 5)：x = -1, -5 が解

条件を満たす組は 7 組

確率 = 7/36

答え：7/36

別解・発展

【(1)の別解：母関数的アプローチ】

1〜6を3で割った余りの分布は均等（各2個ずつ）なので、対称性から和が3の倍数になる確率は 1/3 と直感できます。

【発展：一般化】

n回サイコロを投げたとき、目の和が3の倍数になる確率は常に 1/3 です。これは3で割った余りの分布が均等であることから導けます。

大問3：微分積分（数学III）

問題

解説・解法のポイント

(1) 極値を求める

【解法の流れ】

1. f'(x) を計算する
2. f'(x) = 0 となる x を求める
3. 増減表を作成し、極大・極小を判定する

【解答】

Step 1：導関数を求める

f(x) = x³ - 3x² + 2

f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

Step 2：f'(x) = 0 の解

3x(x - 2) = 0

x = 0 または x = 2

Step 3：増減表

Step 4：極値を計算

• f(0) = 0 - 0 + 2 = 2（極大値）
• f(2) = 8 - 12 + 2 = -2（極小値）

答え：x = 0 で極大値 2、x = 2 で極小値 -2

(2) 囲まれた面積

【解法の流れ】

1. f(x) = 0 の解（x軸との交点）を求める
2. グラフの概形を把握する
3. 定積分で面積を計算する

【解答】

Step 1：x軸との交点

f(x) = x³ - 3x² + 2 = 0

x = 1 を代入：1 - 3 + 2

(2) 囲まれた面積（続き）

Step 1：x軸との交点

f(x) = x³ - 3x² + 2 = 0

x = 1 を代入：1 - 3 + 2 = 0 ✓

よって (x - 1) で割り切れます。

組立除法により：

x³ - 3x² + 2 = (x - 1)(x² - 2x - 2)

x² - 2x - 2 = 0 を解くと：

x = (2 ± √(4 + 8))/2 = (2 ± 2√3)/2 = 1 ± √3

したがって、x軸との交点は x = 1 - √3, 1, 1 + √3

Step 2：グラフの概形

• x < 1 - √3 のとき f(x) < 0
• 1 - √3 < x 0（極大値 f(0) = 2 > 0 より）
• 1 < x < 1 + √3 のとき f(x) < 0（極小値 f(2) = -2 < 0 より）
• x > 1 + √3 のとき f(x) > 0

Step 3：面積の計算

x軸と曲線で囲まれた部分は2つあります：

• 区間 [1 - √3, 1] で f(x) ≥ 0
• 区間 [1, 1 + √3] で f(x) ≤ 0

面積 S は：

S = ∫_1-√3¹ f(x) dx + ∫₁^1+√3 |f(x)| dx

= ∫_1-√3¹ f(x) dx - ∫₁^1+√3 f(x) dx

Step 4：定積分の計算

F(x) = ∫f(x)dx = x⁴/4 - x³ + 2x とおくと、

まず ∫_1-√3^1+√3 f(x) dx を計算します。

f(x) = (x - 1)(x² - 2x - 2) なので、x - 1 = u と置換すると x = u + 1, dx = du

x² - 2x - 2 = (u + 1)² - 2(u + 1) - 2 = u² + 2u + 1 - 2u - 2 - 2 = u² - 3

積分区間：x = 1 - √3 のとき u = -√3、x = 1 + √3 のとき u = √3

∫_-√3^√3 u(u² - 3) du = ∫_-√3^√3 (u³ - 3u) du

被積分関数 u³ - 3u は奇関数なので、対称区間での積分は 0 です。

したがって：

∫_1-√3¹ f(x) dx = -∫₁^1+√3 f(x) dx

これを利用して：

S = ∫_1-√3¹ f(x) dx - ∫₁^1+√3 f(x) dx = 2∫_1-√3¹ f(x) dx

∫_1-√3¹ f(x) dx を計算：

= ∫_-√3⁰ u(u² - 3) du = [u⁴/4 - 3u²/2]_-√3⁰

= 0 - (9/4 - 9/2) = 0 - (9/4 - 18/4) = 0 - (-9/4) = 9/4

S = 2 × 9/4 = 9/2

答え：9/2

(3) 接線と曲線の交点

【解法の流れ】

1. 点 (t, f(t)) における接線の方程式を求める
2. 接線と曲線 y = f(x) の交点を求める
3. 接点以外の交点の座標を t で表す

【解答】

Step 1：接線の方程式

f'(x) = 3x² - 6x より、f'(t) = 3t² - 6t

接線の方程式：y - f(t) = f'(t)(x - t)

y = (3t² - 6t)(x - t) + t³ - 3t² + 2

y = (3t² - 6t)x - 3t³ + 6t² + t³ - 3t² + 2

y = (3t² - 6t)x - 2t³ + 3t² + 2

Step 2：曲線との交点

x³ - 3x² + 2 = (3t² - 6t)x - 2t³ + 3t² + 2

x³ - 3x² - (3t² - 6t)x + 2t³ - 3t² = 0

x³ - 3x² - 3t(t - 2)x + t²(2t - 3) = 0

x = t は重解（接点）なので、(x - t)² で割り切れます。

x³ - 3x² - 3t(t - 2)x + t²(2t - 3) = (x - t)²(x - α) と因数分解できます。

Step 3：α を求める

展開して係数比較するか、解と係数の関係を使います。

3次方程式の解と係数の関係より：

• 3つの解を t, t, α とすると
• t + t + α = 3（x² の係数の符号反転）
• α = 3 - 2t

Step 4：交点の座標

x = 3 - 2t のとき、

y = f(3 - 2t) = (3 - 2t)³ - 3(3 - 2t)² + 2

計算：

(3 - 2t)² = 9 - 12t + 4t²

(3 - 2t)³ = (3 - 2t)(9 - 12t + 4t²) = 27 - 36t + 12t² - 18t + 24t² - 8t³

= 27 - 54t + 36t² - 8t³

y = 27 - 54t + 36t² - 8t³ - 3(9 - 12t + 4t²) + 2

= 27 - 54t + 36t² - 8t³ - 27 + 36t - 12t² + 2

= -8t³ + 24t² - 18t + 2

= -2(4t³ - 12t² + 9t - 1)

さらに整理：4t³ - 12t² + 9t - 1 = (t - 1)(4t² - 8t + 1) または別の形で

答え：(3 - 2t, -8t³ + 24t² - 18t + 2)

別解・発展

【(2)の別解：1/6公式の応用】

3次関数と接線で囲まれた面積には「1/12公式」が使えますが、今回はx軸との交点なので、対称性を利用した計算が効率的です。

【発展：3次関数の性質】

3次関数 y = ax³ + bx² + cx + d のグラフは、変曲点に関して点対称です。この性質を使うと、面積計算や接線の問題を効率的に解けることがあります。

f(x) = x³ - 3x² + 2 の変曲点は f''(x) = 6x - 6 = 0 より x = 1 で、点 (1, f(1)) = (1, 0) です。

大問4：ベクトルと空間図形

問題

解説・解法のポイント

(1) 重心の座標

【解法の流れ】

三角形の重心は、3頂点の座標の平均です。

【解答】

G = ((2 + 0 + 0)/3, (0 + 2 + 0)/3, (0 + 0 + 3)/3) = (2/3, 2/3, 1)

答え：G(2/3, 2/3, 1)

(2) 三角形 ABC の面積

【解法の流れ】

ベクトルの外積を使います。面積 = |→AB × →AC| / 2

【解答】

Step 1：ベクトルを求める

→AB = B - A = (0 - 2, 2 - 0, 0 - 0) = (-2, 2, 0)

→AC = C - A = (0 - 2, 0 - 0, 3 - 0) = (-2, 0, 3)

Step 2：外積を計算

→AB × →AC = |i j k|

　　　　　　　|-2 2 0|

　　　　　　　|-2 0 3|

= i(2・3 - 0・0) - j((-2)・3 - 0・(-2)) + k((-2)・0 - 2・(-2))

= i(6) - j(-6) + k(4)

= (6, 6, 4)

Step 3：大きさを計算

|→AB × →AC| = √(36 + 36 + 16) = √88 = 2√22

Step 4：面積

S = |→AB × →AC| / 2 = 2√22 / 2 = √22

答え：√22

(3) 四面体 OABC の体積

【解法の流れ】

四面体の体積は V = |→OA · (→OB × →OC)| / 6 で求められます。

【解答】

Step 1：ベクトルを確認

→OA = (2, 0, 0)

→OB = (0, 2, 0)

→OC = (0, 0, 3)

Step 2：外積 →OB × →OC を計算

→OB × →OC = |i j k|

　　　　　　　|0 2 0|

　　　　　　　|0 0 3|

= (2・3 - 0・0, 0・0 - 0・3, 0・0 - 2・0)

= (6, 0, 0)

Step 3：スカラー三重積

→OA · (→OB × →OC) = (2, 0, 0) · (6, 0, 0) = 12

Step 4：体積

V = |12| / 6 = 2

答え：2

(4) 垂線の足 H の座標

【解法の流れ】

1. 平面 ABC の方程式を求める
2. 点 O から平面への垂線のパラメータ表示を求める
3. 平面との交点を計算する

【解答】

Step 1：平面 ABC の法線ベクトル

(2) で求めた →AB × →AC = (6, 6, 4) が法線ベクトルです。

簡単のため、(3, 3, 2) を使います（定数倍）。

Step 2：平面 ABC の方程式

点 A(2, 0, 0) を通り、法線ベクトル (3, 3, 2) の平面：

3(x - 2) + 3(y - 0) + 2(z - 0) = 0

3x + 3y + 2z - 6 = 0

3x + 3y + 2z = 6

Step 3：O から平面への垂線

点 O(0, 0, 0) を通り、方向ベクトル (3, 3, 2) の直線：

(x, y, z) = t(3, 3, 2) = (3t, 3t, 2t)

Step 4：交点 H を求める

平面の方程式に代入：

3(3t) + 3(3t) + 2(2t) = 6

9t + 9t + 4t = 6

22t = 6

t = 6/22 = 3/11

H = (3 × 3/11, 3 × 3/11, 2 × 3/11) = (9/11, 9/11, 6/11)

答え：H(9/11, 9/11, 6/11)

別解・発展

【(3)の別解：底面×高さ÷3】

O, A, B, C はそれぞれ座標軸上にあるので、

底面を xy平面上の三角形 OAB とすると、底面積 = (1/2) × 2 × 2 = 2

高さ = C の z座標 = 3

体積 = (1/3) × 2 × 3 = 2

【(4)の検証】

OH = √((9/11)² + (9/11)² + (6/11)²) = √(81 + 81 + 36)/11 = √198/11 = 3√22/11

体積 = (1/3) × 底面積 × 高さ = (1/3) × √22 × (3√22/11) = (1/3) × (3 × 22/11) = 2 ✓

【発展：四面体の内接球・外接球】

四面体 OABC の体積が求まれば、内接球の半径 r は

V = (1/3) × r × (4面の面積の和)

から求められます。これは入試でも出題されることがある発展テーマです。

この年度の重要テーマと対策

2018年度 出題分野のまとめ

東京海洋大学 数学の特徴と対策

1. 微分積分は最重要分野

東京海洋大学では微分積分が毎年必ず出題されます。特に以下のテーマを重点的に学習しましょう：

• 関数の増減・極値・グラフの概形
• 定積分の計算（置換積分・部分積分）
• 面積・体積の計算
• 接線の方程式と関連問題

2. 確率は差がつきやすい

確率は毎年のように出題され、完答できるかどうかで差がつきます：

• 場合の数の基本（順列・組合せ）
• 条件付き確率
• 期待値
• 余事象の活用

3. ベクトルは空間図形との融合が多い

空間ベクトルと図形の融合問題は頻出です：

• 内積・外積の計算
• 平面の方程式
• 直線と平面の交点
• 体積・面積の計算

4. 計算力が勝負を分ける

東京海洋大学の数学は、難問というよりも計算量が多いのが特徴です。日頃から：

• 計算ミスをしない練習
• 効率的な計算方法の習得
• 時間配分の意識

を心がけましょう。

学習の優先順位

1. 最優先：微分積分、確率
2. 高優先：ベクトル（平面・空間）、数列
3. 中優先：二次関数、三角関数、指数・対数
4. 低優先：整数問題、複素数平面（出題頻度は低め）

おすすめの問題集と使い方

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：確率

解答・解説

(1) 2回目に赤玉が出る確率

【方法1：場合分け】

• 1回目白、2回目赤：(3/5) × (2/4) = 6/20 = 3/10
• 1回目赤、2回目赤：(2/5) × (1/4) = 2/20 = 1/10

合計：3/10 + 1/10 = 2/5

【方法2：対称性】

どの位置に赤玉が来るかは対称なので、2回目に赤玉が出る確率は「全体での赤玉の割合」に等しい。

= 2/5

(2) 赤玉が連続して出る確率

赤玉が連続 = 1回目赤かつ2回目赤、または2回目赤かつ3回目赤、...

ただし「連続」の解釈により異なりますが、「少なくとも2回連続で赤が出る」と解釈すると：

全5回の並びで赤赤が隣り合う場合を数えます。

• 赤赤を1つの塊と見なすと、(赤赤), 白, 白, 白 の4つを並べる：4! = 24 通り
• 全並び方：5! / (3! × 2!) = 10（ただし区別しない場合）

区別して考えると：

• 全並び方：5 × 4 = 20 通り（最初の2回の出方）
• 赤赤：2 × 1 = 2 通り

確率 = 2/20 = 1/10

練習問題2：微分積分

解答・解説

Step