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香川大学 2002年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で合格への道を開こう！

香川大学 2002年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、香川大学数学の全大問を藤原進之介先生が徹底的に解説します。「なぜその解法を使うのか」という本質まで掘り下げているので、単なる答え合わせではなく、本当の数学力が身につきます。

この記事で得られる3つの価値：
- ✅ 香川大学数学の出題傾向と攻略パターンが完全にわかる
- ✅ 2002年度全大問の詳細解説（途中計算ゼロカットなし）で確実に理解できる
- ✅ 合格に直結する学習ロードマップと参考書選びのアドバイスが手に入る

👨‍🏫 藤原先生より：「香川大学の数学は『基礎をしっかり固めれば必ず解ける』問題が中心です。難問に振り回されるのではなく、標準問題を確実に取り切る力をつけることが合格への最短ルートです。この記事を最後まで読んで、一緒に合格をつかみ取りましょう！」

セクション1：香川大学の数学 入試の全体像

試験形式・配点・偏差値帯

香川大学の数学入試は、学部によって多少の違いはありますが、概ね以下の形式で実施されています。

偏差値帯は全国の国公立大学の中では中堅〜やや上位に位置しており、青チャート（チャート式 基礎からの数学） の例題と練習問題を完璧にこなせるレベルがベースとなります。

過去10年の出題傾向まとめ

香川大学数学で頻出の単元は以下の通りです：

ベクトルと数列・漸化式は毎年のように出題されており、これらを得意にするだけで大幅な得点アップが見込めます。

他大学との違い・香川大学数学の特徴

東大や京大のような難関大では「論証の美しさ」「発想力の高さ」が求められますが、香川大学では「標準的な解法を正確に適用できるか」が問われています。つまり、奇抜な発想よりも手堅い計算力と基礎知識の定着度がモノを言う試験です。

また、記述式であるため、途中の計算過程と論理の流れを丁寧に書くことが部分点獲得に直結します。答えだけ書いても得点になりません。

【会話1】

🧑 生徒：「香川大学の数学って、どんな問題がよく出るんですか？」
👨‍🏫 藤原先生：「香川大学ではベクトルの内積・成分計算と漸化式の一般項がとにかくよく出るんだ。例えばベクトルなら $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ という内積の定義と成分表示を両方使いこなす必要がある。漸化式なら $a_{n+1} = pa_n + f(n)$ という形を変形して等比数列や特性方程式に持ち込む解法が必須だよ。どちらも青チャートの例題レベルで完璧に対応できるから、まずそこを固めよう！」

💪 基礎を固めれば必ず点が取れる試験です。一緒に頑張りましょう！

セクション2：2002年度 出題テーマ速報と分析

2002年度 大問別テーマ一覧

※OCRデータより、実際の試験では大問1〜3の3問構成。上記「参考」はOCRに含まれる追加問題です。

難易度と合格ライン

2002年度の3大問は全体的に標準レベルのやや高めという印象です。大問1（ベクトル）と大問2（漸化式）は典型問題の側面が強く、しっかり準備していれば高得点が狙えます。大問3（三角比・図形）は少し発想力が問われますが、正弦定理・余弦定理・二等辺三角形の性質をしっかり使えれば完答できます。

合格ライン目安：3問中2問完答＋1問部分点で合格圏内（得点率60〜70%が目安）

💪 まずは解きやすい大問から確実に攻めることが戦略の基本です！

セクション3：全大問 問題・詳細解説

大問1：四角形のベクトルと内積（難易度★★★☆☆）

【問題文】

四角形ABCDにおいて、$AB = 5$、$BC = 4$、$\angle ABC = 60°$ とする。$\overrightarrow{BA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{BC} = \vec{c}$ とおくとき、次の問に答えよ。

問1. 内積 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ の値を求めよ。

問2. $\overrightarrow{BD} = s\vec{a} + t\vec{c}$（$s$、$t$ は実数）とおくとき、
- (1) $\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{CD}$ をそれぞれ $s$、$t$、$\vec{a}$、$\vec{c}$ を用いて表せ。
- (2) 内積 $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD}$ をそれぞれ $s$、$t$ を用いて表せ。

問3. $\angle BCD = \angle DAB = 90°$ のとき、辺 $AD$、$CD$ の長さおよび $\triangle ACD$ の面積を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

問1 の解法

• ステップ① 条件を整理する：$|\vec{a}| = AB = 5$、$|\vec{c}| = BC = 4$、$\angle ABC = 60°$

ここで $\vec{a} = \overrightarrow{BA}$、$\vec{c} = \overrightarrow{BC}$ なので、$\vec{a}$ と $\vec{c}$ のなす角は $\angle ABC = 60°$ である。

• ステップ② 内積の定義を適用：

問2(1) の解法

• ステップ① $\overrightarrow{AD}$ を求める：

$B$ を基点として $\overrightarrow{BD} = s\vec{a} + t\vec{c}$ を利用する。

• ステップ② $\overrightarrow{CD}$ を求める：

問2(2) の解法

• ステップ① $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AD}$ を計算：

$\overrightarrow{BA} = \vec{a}$ なので、

$$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AD} = \vec{a} \cdot \{(s-1)\vec{a} + t\vec{c}\}$$
$$= (s-1)|\vec{a}|^2 + t(\vec{a} \cdot \vec{c})$$
$$= (s-1) \times 25 + t \times 10$$
$$= 25s - 25 + 10t$$

• ステップ② $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD}$ を計算：

$\overrightarrow{BC} = \vec{c}$ なので、

$$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = \vec{c} \cdot \{s\vec{a} + (t-1)\vec{c}\}$$
$$= s(\vec{a} \cdot \vec{c}) + (t-1)|\vec{c}|^2$$
$$= s \times 10 + (t-1) \times 16$$
$$= 10s + 16t - 16$$

問3 の解法

• ステップ① $\angle DAB = 90°$ の条件を使う：

$\angle DAB = 90°$ とは $\overrightarrow{AD} \perp \overrightarrow{AB}$ 、すなわち $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$

• ステップ② $\angle BCD = 90°$ の条件を使う：

$\angle BCD = 90°$ とは $\overrightarrow{CD} \perp \overrightarrow{CB}$、すなわち $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$

• ステップ③ 連立方程式を解く：

$(2) - (1)$ より：

$(1)$ に代入：

• ステップ④ $AD$ の長さを計算：

$$|\overrightarrow{AD}|^2 = |(s-1)\vec{a} + t\vec{c}|^2$$
$$= (s-1)^2|\vec{a}|^2 + 2(s-1)t(\vec{a} \cdot \vec{c}) + t^2|\vec{c}|^2$$
$$= \left(\frac{4}{5}-1\right)^2 \times 25 + 2 \times \left(-\frac{1}{5}\right) \times \frac{1}{2} \times 10 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times 16$$
$$= \frac{1}{25} \times 25 + 2 \times \left(-\frac{1}{5}\right) \times \frac{1}{2} \times 10 + \frac{1}{4} \times 16$$
$$= 1 - 2 + 4 = 3$$

• ステップ⑤ $CD$ の長さを計算：

$$|\overrightarrow{CD}|^2 = |s\vec{a} + (t-1)\vec{c}|^2$$
$$= s^2|\vec{a}|^2 + 2s(t-1)(\vec{a} \cdot \vec{c}) + (t-1)^2|\vec{c}|^2$$
$$= \left(\frac{4}{5}\right)^2 \times 25 + 2 \times \frac{4}{5} \times \left(-\frac{1}{2}\right) \times 10 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \times 16$$
$$= \frac{16}{25} \times 25 - 8 + \frac{1}{4} \times 16$$
$$= 16 - 8 + 4 = 12$$

• ステップ⑥ $\triangle ACD$ の面積を計算：

まず $AC$ を求める：

三角形 $ACD$ で余弦定理または $\angle ACD$ を求める。

$\angle DAB = \angle BCD = 90°$ より、四角形 $ABCD$ は $A$、$C$ の各頂点で直角。

ここで $\angle ACD$ を求めるために $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CD}$ を計算する。

$$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CD} = (\vec{a} - \vec{c}) \cdot \left(\frac{4}{5}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{c}\right)$$
$$= \frac{4}{5}|\vec{a}|^2 - \frac{1}{2}(\vec{a}\cdot\vec{c}) - \frac{4}{5}(\vec{a}\cdot\vec{c}) + \frac{1}{2}|\vec{c}|^2$$
$$= \frac{4}{5} \times 25 - \frac{1}{2} \times 10 - \frac{4}{5} \times 10 + \frac{1}{2} \times 16$$
$$= 20 - 5 - 8 + 8 = 15$$

$$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \times AC \times CD \times \sin(\angle ACD) = \frac{1}{2} \times \sqrt{21} \times 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$$
$$= \frac{1}{2} \times \sqrt{21} \times 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{1}{2} \times \frac{2 \times 3\sqrt{21}}{2\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{21}}{2\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは「ベクトルで四角形を表す」というテクニックです。サッカーのフォーメーションを考えるとき、各選手の位置を基準点からのベクトルで表しますよね？それと同じで、基点 $B$ から各点へのベクトルを $\vec{a}$ と $\vec{c}$ の組み合わせで表現し、直角条件（内積＝0） を方程式として使うのが核心です。

問3では「直角」という幾何的条件を「内積＝0」という代数的条件に翻訳することで、$s$ と $t$ の値が求められます。図を描きながら、どの辺とどの辺が垂直なのかを確認することが大切です。

【会話2】

🧑 生徒：「$\overrightarrow{AD}$ を求めるとき、なぜ $\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BA}$ という式になるんですか？」
👨‍🏫 藤原先生：「いい質問！これはベクトルの加法（三角形の法則）だよ。$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$ と分解できるよね。そして $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA} = -\vec{a}$ だから、$\overrightarrow{AD} = -\vec{a} + (s\vec{a} + t\vec{c}) = (s-1)\vec{a} + t\vec{c}$ となるんだ。始点と終点を意識して矢印をつなぐイメージで考えると迷わないよ！」

【この大問で身につく力】

ベクトルを条件式（直角・垂直）に変換する思考力と、連立方程式の処理能力が鍛えられます。

💪 ベクトルは「矢印のルール」さえ覚えれば必ずできる！諦めないで！

大問2：漸化式と一般項（$p$ を含む）（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$p$ を正の定数とする。数列 $\{a_n\}$ は

を満たしているとする。

問1. $a_2$、$a_3$、$a_4$ を $p$ を用いて表せ。

問2. $a_n$ を $p$ と $n$ を用いて表せ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

問1 の解法（$a_2$、$a_3$、$a_4$ を求める）

• ステップ① $a_2$ を求める（$n=1$ を代入）：

• ステップ② $a_3$ を求める（$n=2$ を代入）：

• ステップ③ $a_4$ を求める（$n=3$ を代入）：

$$a_4 = pa_3 + \frac{1}{p^3} = p\left(p^2 + 1 + \frac{1}{p^2}\right) + \frac{1}{p^3}$$
$$= p^3 + p + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^3}$$

問2 の解法（一般項 $a_n$ を求める）

• ステップ① 漸化式の両辺を $p^{n+1}$ で割る：

ここで $b_n = \dfrac{a_n}{p^n}$ と置くと：

• ステップ② $b_n$ を求める（累加法）：

$b_1 = \dfrac{a_1}{p^1} = \dfrac{1}{p}$ なので：

• ステップ③ $p = 1$ の場合と $p \neq 1$ の場合に分ける：

〔場合1〕$p = 1$ のとき：

〔場合2〕$p \neq 1$ のとき：

$b_n$ は初項 $\dfrac{1}{p}$、公比 $\dfrac{1}{p^2}$ の等比数列の和（$n$ 項）：

整理すると：

• ステップ④ $a_n$ に戻す：

$a_n = p^n \cdot b_n$ より：

分子・分母を整理すると：

$$a_n = \frac{p^n \cdot (p^n - p^{-n})}{p

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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