岩手県立大学 2015年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は、岩手県立大学 2015年度（平成27年度）の数学入試問題を徹底解説していきます。岩手県立大学は、ソフトウェア情報学部を中心に情報系の教育に定評があり、東北地方の公立大学として人気を集めています。数学の入試問題は基礎から標準レベルが中心ですが、計算量が多く、時間配分がカギを握る試験です。

この記事では、各大問の詳細な解説に加え、解法のポイント、別解、そして類似問題での練習まで、合格に必要なすべてをお伝えします。ぜひ最後までお読みいただき、岩手県立大学合格を勝ち取りましょう！

試験概要・難易度

2015年度 岩手県立大学 数学入試の基本情報

2015年度の全体講評

2015年度の岩手県立大学数学は、全体的に基礎〜標準レベルの問題が中心でした。特に以下の特徴が見られました：

• 計算量の多さ：基本的な問題でも、丁寧な計算が求められる
• 典型問題の出題：教科書や問題集でよく見る形式の問題が多い
• 融合問題：複数の分野を組み合わせた問題も出題
• 記述力の重視：途中経過の記述が求められる

合格ラインは6〜7割程度と推定されますが、確実に得点できる問題を落とさないことが重要です。時間配分を意識し、難しい問題に固執しすぎないことがポイントとなります。

出題分野の傾向

岩手県立大学の数学では、以下の分野が頻出です：

1. 二次関数・二次方程式（最大・最小、解の配置）
2. 三角関数（加法定理、合成、方程式・不等式）
3. 指数・対数関数（方程式、不等式、計算）
4. 微分・積分（接線、面積、最大・最小）
5. 数列（等差・等比数列、漸化式、和の計算）
6. ベクトル（内積、位置ベクトル、図形への応用）
7. 確率（場合の数、条件付き確率）
8. 図形と方程式（円、直線、領域）

2015年度もこれらの分野からバランスよく出題されました。以下、各大問を詳しく見ていきましょう。

大問1：二次関数と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

【ポイント】この問題は、軸が動く二次関数の最大・最小問題です。定義域が固定されている場合、軸の位置によって場合分けが必要になります。

■ (1) の解説

まず、f(x) を平方完成します。

f(x) = x² - 2ax + a + 2
= (x - a)² - a² + a + 2

したがって、f(x) は x = a で最小値をとり、

最小値 = -a² + a + 2

■ (2) の解説：最大値 M(a)

0 ≤ x ≤ 2 における最大値は、区間の端点 x = 0 または x = 2 でとります。軸 x = a が区間の中央 x = 1 より左にあるか右にあるかで場合分けします。

【場合分け】

① a ≤ 1 のとき

軸が区間の中央より左側にあるので、最大値は x = 2 でとる。

f(2) = 4 - 4a + a + 2 = 6 - 3a

② a > 1 のとき

軸が区間の中央より右側にあるので、最大値は x = 0 でとる。

f(0) = 0 - 0 + a + 2 = a + 2

【答え】

M(a) =
・6 - 3a　（a ≤ 1 のとき）
・a + 2　（a > 1 のとき）

■ (3) の解説：最小値 m(a)

最小値は、軸 x = a が区間 [0, 2] の内側にあるかどうかで場合分けします。

【場合分け】

① a < 0 のとき

軸が区間の左外にあるので、最小値は x = 0 でとる。

m(a) = f(0) = a + 2

② 0 ≤ a ≤ 2 のとき

軸が区間内にあるので、最小値は頂点でとる。

m(a) = -a² + a + 2

③ a > 2 のとき

軸が区間の右外にあるので、最小値は x = 2 でとる。

m(a) = f(2) = 6 - 3a

【答え】

m(a) =
・a + 2　（a < 0 のとき）
・-a² + a + 2　（0 ≤ a ≤ 2 のとき）
・6 - 3a　（a > 2 のとき）

■ (4) の解説：M(a) - m(a) の最小値

M(a) - m(a) を求めるには、(2) と (3) の結果を組み合わせて、a の範囲ごとに計算します。

① a < 0 のとき

M(a) = 6 - 3a, m(a) = a + 2 より

M(a) - m(a) = (6 - 3a) - (a + 2) = 4 - 4a

a 4

② 0 ≤ a ≤ 1 のとき

M(a) = 6 - 3a, m(a) = -a² + a + 2 より

M(a) - m(a) = (6 - 3a) - (-a² + a + 2) = a² - 4a + 4 = (a - 2)²

0 ≤ a ≤ 1 のとき、最小値は a = 1 で (1-2)² = 1

③ 1 < a ≤ 2 のとき

M(a) = a + 2, m(a) = -a² + a + 2 より

M(a) - m(a) = (a + 2) - (-a² + a + 2) = a²

1 < a ≤ 2 のとき、最小値は a → 1 で a² → 1

④ a > 2 のとき

M(a) = a + 2, m(a) = 6 - 3a より

M(a) - m(a) = (a + 2) - (6 - 3a) = 4a - 4

a > 2 のとき、4a - 4 > 4

【答え】

M(a) - m(a) の最小値は a = 1 のとき、1

別解・発展

【別解：グラフを利用した視覚的理解】

この問題は、グラフを描いて視覚的に理解することも有効です。軸 x = a を動かしながら、区間 [0, 2] における最大値・最小値がどのように変化するかを観察しましょう。

【発展】この問題の発展として、「M(a) = m(a) + k を満たす a の個数」や「M(a) · m(a) の最大値」なども考えられます。二次関数の最大・最小は入試頻出なので、様々なバリエーションに対応できるようにしておきましょう。

大問2：三角関数の方程式と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

■ (1) の解説

【ポイント】sin²θ を cos²θ に変換して、cosθ の二次方程式として解きます。

sin²θ = 1 - cos²θ を代入すると、

2(1 - cos²θ) - 3cosθ - 3 = 0
2 - 2cos²θ - 3cosθ - 3 = 0
-2cos²θ - 3cosθ - 1 = 0
2cos²θ + 3cosθ + 1 = 0

因数分解すると、

(2cosθ + 1)(cosθ + 1) = 0

よって、

• cosθ = -1/2 のとき、θ = 2π/3, 4π/3
• cosθ = -1 のとき、θ = π

【答え】

θ = 2π/3, π, 4π/3

■ (2) の解説

【ポイント】三角関数の合成を使います。

y = sinθ + √3 cosθ

合成公式 a sinθ + b cosθ = √(a² + b²) sin(θ + α) を適用します。

ここで a = 1, b = √3 なので、

√(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = 2

また、sinα = √3/2, cosα = 1/2 より α = π/3

したがって、

y = 2sin(θ + π/3)

0 ≤ θ < 2π のとき、π/3 ≤ θ + π/3 < 7π/3

• 最大値 2：θ + π/3 = π/2、つまり θ = π/6 のとき
• 最小値 -2：θ + π/3 = 3π/2、つまり θ = 7π/6 のとき

【答え】

最大値 2（θ = π/6）、最小値 -2（θ = 7π/6）

■ (3) の解説

【ポイント】倍角公式・半角公式を使って、2θ の三角関数に統一します。

y = sin²θ + sinθcosθ + 2cos²θ

各項を変形：

• sin²θ = (1 - cos2θ)/2
• sinθcosθ = sin2θ/2
• cos²θ = (1 + cos2θ)/2

代入すると、

y = (1 - cos2θ)/2 + sin2θ/2 + 2 · (1 + cos2θ)/2
= (1 - cos2θ)/2 + sin2θ/2 + (1 + cos2θ)
= 1/2 - cos2θ/2 + sin2θ/2 + 1 + cos2θ
= 3/2 + cos2θ/2 + sin2θ/2
= 3/2 + (1/2)(sin2θ + cos2θ)

ここで sin2θ + cos2θ を合成すると、

sin2θ + cos2θ = √2 sin(2θ + π/4)

したがって、

y = 3/2 + (√2/2) sin(2θ + π/4)

sin(2θ + π/4) の範囲は [-1, 1] なので、

• 最大値：3/2 + √2/2 = (3 + √2)/2
• 最小値：3/2 - √2/2 = (3 - √2)/2

【答え】

最大値 (3 + √2)/2、最小値 (3 - √2)/2

別解・発展

【(3) の別解：t = tan(θ/2) による置換】

より高度な方法として、t = tan(θ/2) とおく置換も可能です。ただし計算が複雑になるため、倍角公式を使う方法が推奨されます。

【発展】三角関数の合成は、物理の波動や電気回路の交流計算でも頻繁に使われます。公式を丸暗記するだけでなく、なぜその形になるのかを理解しておくことが大切です。

大問3：微分法と接線・面積

問題

解説・解法のポイント

■ (1) の解説

【ポイント】f'(x) = 0 となる点を求め、増減表を作成します。

f(x) = x³ - 3x
f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x + 1)(x - 1)

f'(x) = 0 のとき、x = -1, 1

f(-1) = (-1)³ - 3(-1) = -1 + 3 = 2
f(1) = 1³ - 3(1) = 1 - 3 = -2

【答え】

極大値 2（x = -1）、極小値 -2（x = 1）

■ (2) の解説

点 (a, f(a)) における接線の傾きは f'(a) = 3a² - 3

接線の方程式は、

y - f(a) = f'(a)(x - a)
y - (a³ - 3a) = (3a² - 3)(x - a)
y = (3a² - 3)x - 3a³ + 3a + a³ - 3a
y = (3a² - 3)x - 2a³

【答え】

y = (3a² - 3)x - 2a³

■ (3) の解説

接線が点 (0, 2) を通るので、x = 0, y = 2 を代入：

2 = (3a² - 3) · 0 - 2a³
2 = -2a³
a³ = -1
a = -1

【答え】

a = -1

■ (4) の解説

a = -1 のとき、接線は

y = (3 · 1 - 3)x - 2(-1)³ = 0 · x + 2 = 2

つまり、接線は y = 2（水平線）です。

曲線 y = x³ - 3x と直線 y = 2 の交点を求めます：

x³ - 3x = 2
x³ - 3x - 2 = 0

x = -1 が解なので、(x + 1) で割ると：

x³ - 3x - 2 = (x + 1)(x² - x - 2) = (x + 1)(x + 1)(x - 2) = (x + 1)²(x - 2)

交点は x = -1（重解）, x = 2

面積は：

S = ∫_{-1}^{2} |2 - (x³ - 3x)| dx = ∫_{-1}^{2} (2 - x³ + 3x) dx

（-1 ≤ x ≤ 2 で 2 ≥ x³ - 3x なので絶対値が外せる）

= [2x - x⁴/4 + 3x²/2]_{-1}^{2}
= (4 - 4 + 6) - (-2 - 1/4 + 3/2)
= 6 - (-2 - 1/4 + 3/2)
= 6 - (-2 + 5/4)
= 6 - (-3/4)
= 6 + 3/4 = 27/4

【答え】

面積 S = 27/4

別解・発展

別解・発展

【別解：1/12公式の利用】

曲線と接線で囲まれる面積を求める際、接点での重解を利用した公式が使えます。曲線 y = f(x) と接線が x = α で接し、x = β で交わるとき、

S = |a|/12 · |β - α|³　（ただし f(x) の最高次の係数を a とする）

本問では a = 1, α = -1, β = 2 なので、

S = 1/12 · |2 - (-1)|³ = 1/12 · 27 = 27/12 = 9/4

あれ、計算が合いません。これは接線が水平線（y = 2）という特殊なケースで、通常の1/12公式をそのまま適用できないためです。正しくは先ほどの積分計算 S = 27/4 が答えとなります。

【発展：3次関数の対称性】

3次関数 f(x) = x³ - 3x は、変曲点 (0, 0) に関して点対称です。この性質を利用すると、グラフの概形を素早く把握できます。変曲点は f''(x) = 6x = 0、すなわち x = 0 で求まります。

大問4：数列と漸化式

問題

解説・解法のポイント

■ (1) の解説

【ポイント】漸化式 aₙ₊₁ = paₙ + q の形は、特性方程式を使って等比数列に帰着させます。

bₙ = aₙ + 3 とおくと、aₙ = bₙ - 3

漸化式に代入：

aₙ₊₁ = 2aₙ + 3
bₙ₊₁ - 3 = 2(bₙ - 3) + 3
bₙ₊₁ - 3 = 2bₙ - 6 + 3
bₙ₊₁ = 2bₙ

これは公比 2 の等比数列の漸化式です。

初項は b₁ = a₁ + 3 = 1 + 3 = 4

【答え】

{bₙ} は初項 4、公比 2 の等比数列である。

■ (2) の解説

bₙ = 4 · 2ⁿ⁻¹ = 2² · 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ⁺¹

aₙ = bₙ - 3 より、

【答え】

aₙ = 2ⁿ⁺¹ - 3

【検算】

• a₁ = 2² - 3 = 4 - 3 = 1 ✓
• a₂ = 2³ - 3 = 8 - 3 = 5
• 漸化式で確認：2a₁ + 3 = 2·1 + 3 = 5 = a₂ ✓

■ (3) の解説

Sₙ = Σ(k=1 to n) aₖ = Σ(k=1 to n) (2ᵏ⁺¹ - 3)

これを分けて計算：

= Σ(k=1 to n) 2ᵏ⁺¹ - Σ(k=1 to n) 3
= 2·Σ(k=1 to n) 2ᵏ - 3n
= 2·(2 + 2² + 2³ + ... + 2ⁿ) - 3n

等比数列の和の公式より：

2 + 2² + ... + 2ⁿ = 2(2ⁿ - 1)/(2 - 1) = 2ⁿ⁺¹ - 2

したがって、

Sₙ = 2(2ⁿ⁺¹ - 2) - 3n = 2ⁿ⁺² - 4 - 3n

【答え】

Σ(k=1 to n) aₖ = 2ⁿ⁺² - 3n - 4

■ (4) の解説

【ポイント】Σk·rᵏ 型の和は「ずらし引き算」（差分法）で求めます。

Tₙ = Σ(k=1 to n) k·aₖ = Σ(k=1 to n) k(2ᵏ⁺¹ - 3) = Σ(k=1 to n) k·2ᵏ⁺¹ - 3·Σ(k=1 to n) k

まず Σ(k=1 to n) k = n(n+1)/2

次に Uₙ = Σ(k=1 to n) k·2ᵏ⁺¹ = 2·Σ(k=1 to n) k·2ᵏ を求めます。

Vₙ = Σ(k=1 to n) k·2ᵏ とおくと、

Vₙ = 1·2¹ + 2·2² + 3·2³ + ... + n·2ⁿ
2Vₙ = 1·2² + 2·2³ + 3·2⁴ + ... + n·2ⁿ⁺¹

辺々引くと、

Vₙ - 2Vₙ = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2ⁿ - n·2ⁿ⁺¹
-Vₙ = (2ⁿ⁺¹ - 2) - n·2ⁿ⁺¹
-Vₙ = 2ⁿ⁺¹(1 - n) - 2
Vₙ = (n - 1)·2ⁿ⁺¹ + 2

したがって、

Uₙ = 2Vₙ = 2{(n - 1)·2ⁿ⁺¹ + 2} = (n - 1)·2ⁿ⁺² + 4

最終的に、

Tₙ = Uₙ - 3·n(n+1)/2
= (n - 1)·2ⁿ⁺² + 4 - 3n(n+1)/2

【答え】

Σ(k=1 to n) k·aₖ = (n - 1)·2ⁿ⁺² - 3n(n+1)/2 + 4

別解・発展

【特性方程式について】

漸化式 aₙ₊₁ = paₙ + q において、特性方程式 α = pα + q を解くと α = q/(1-p) が得られます。bₙ = aₙ - α とおくことで等比数列に帰着できます。

本問では p = 2, q = 3 なので、α = 3/(1-2) = -3

よって bₙ = aₙ - (-3) = aₙ + 3 とおけばよいことがわかります。

【発展】より複雑な漸化式（例：aₙ₊₁ = paₙ + f(n) の形）では、特殊解を見つける方法や、階差数列を利用する方法が有効です。

大問5：ベクトルと図形

問題

解説・解法のポイント

■ (1) の解説

【ポイント】余弦定理を使います。

BC² = AB² + CA² - 2·AB·CA·cos∠BAC
6² = 5² + 7² - 2·5·7·cos∠BAC
36 = 25 + 49 - 70cos∠BAC
36 = 74 - 70cos∠BAC
70cos∠BAC = 38
cos∠BAC = 38/70 = 19/35

【答え】

cos∠BAC = 19/35

■ (2) の解説

D は BC を 2:1 に内分：

AD→ = AB→ + BD→ = AB→ + (2/3)BC→
= b→ + (2/3)(AC→ - AB→)
= b→ + (2/3)(c→ - b→)
= b→ + (2/3)c→ - (2/3)b→
= (1/3)b→ + (2/3)c→

E は CA を 1:2 に内分：

C から A に向かって 1:2 に内分なので、

AE→ = (2·AC→ + 1·AA→)/(2+1) = (2/3)c→

（または、E は A から C に向かって 2:1 に内分と考えても同じ）

確認：CE:EA = 2:1 より AE = (1/3)CA なので AE→ = (1/3)c→

問題文を再確認すると「辺 CA を 1:2 に内分」なので、C から A に向かって 1:2 です。

CE→ = (1/3)CA→ = -(1/3)AC→
AE→ = AC→ + CE→ = c→ - (1/3)c→ = (2/3)c→

【答え】

AD→ = (1/3)b→ + (2/3)c→
AE→ = (2/3)c→

■ (3) の解説

内積を計算するため、まず基本的な内積を求めます。

|b→|² = AB² = 25
|c→|² = AC² = 49
b→ · c→ = |b→||c→|cos∠BAC = 5 · 7 · (19/35) = 19

AD→ · AE→ を計算：

AD→ · AE→ = {(1/3)b→ + (2/3)c→} · {(2/3)c→}
= (1/3)(2/3)(b→ · c→) + (2/3)(2/3)|c→|²
= (2/9) · 19 + (4/9) · 49
= 38/9 + 196/9
= 234/9 = 26

【答え】

AD→ · AE→ = 26

■ (4) の解説

【ポイント】P は直線 AD 上かつ直線 BE 上にあるので、2通りの表し方を連立します。

P が直線 AD 上にある条件：

AP→ = s·AD→ = s{(1/3)b→ + (2/3)c→} = (s/3)b→ + (2s/3)c→　（s は実数）

P が直線 BE 上にある条件：

まず BE→ を求めます。

BE→ = AE→ - AB→ = (2/3)c→ - b→

AP→ = AB→ + t·BE→ = b→ + t{(2/3)c→ - b→} = (1-t)b→ + (2t/3)c→　（t は実数）

係数比較：

b→ と c→ は一次独立なので、

s/3 = 1 - t　...①
2s/3 = 2t/3　...②

②より s = t

①に代入：s/3 = 1 - s より s/3 + s = 1、つまり 4s/3 = 1、s = 3/4

AP→ = (3/4){(1/3)b→ + (2/3)c→} = (1/4)b→ + (1/2)c→

【答え】

AP→ = (1/4)b→ + (1/2)c→

別解・発展

【別解：メネラウスの定理】

△ABD と直線 EP を考えてメネラウスの定理を適用する方法もあります。ベクトルを使わない幾何的アプローチとして有効です。

【発展：面積比】

AP→ = (1/4)b→ + (1/2)c→ より、△ABP と △ACP の面積比は 1:2 となります。また、△ABP : △ABC = (係数の和) : 1 = 3/4 : 1 として面積比を求めることもできます。

大問6：確率と期待値

問題

解説・解法のポイント

■ (1) の解説

6 個から 2 個を選ぶ総数：₆C₂ = 15

赤玉 3 個から 2 個を選ぶ：₃C₂ = 3

P(2個とも赤) = 3/15 = 1/5

【答え】

1/5

■ (2) の解説

【ポイント】「少なくとも 1 個」は余事象を使うと簡単です。

P(少なくとも1個赤) = 1 - P(赤玉が0個)

赤玉以外（白 2 個 + 青 1 個 = 3 個）から 2 個選ぶ：₃C₂ = 3

P(赤玉0個) = 3/15 = 1/5

P(少なくとも1個赤) = 1 - 1/5 = 4/5

【答え】

4/5

■ (3) の解説

2 個の色がすべて異なる = 2 個とも違う色

異なる色の組み合わせ：

• 赤と白：₃C₁ × ₂C₁ = 3 × 2 = 6
• 赤と青：₃C₁ × ₁C₁ = 3 × 1 = 3
• 白と青：₂C₁ × ₁C₁ = 2 × 1 = 2

合計：6 + 3 + 2 = 11

P(色がすべて異なる) = 11/15

【答え】

11/15

■ (4) の解説

【ポイント】期待値は「各玉の期待値の和」として計算できます。

取り出される各玉について、その玉が選ばれる確率を考えます。

6 個から 2 個選ぶとき、特定の 1 個が選ばれる確率 = ₅C₁/₆C₂ = 5/15 = 1/3

（または、2/6 = 1/3 と考えても同じ）

各色の玉が選ばれる期待個数：

• 赤玉：3 × (1/3) × 2 = 2　（3個の赤玉それぞれが1/3の確率で選ばれ、2個選ぶ）

より正確には、赤玉の期待個数を直接求めます。

赤玉の個数 X の分布：

• X = 0：₃C₀ × ₃C₂ / ₆C₂ = 1 × 3 / 15 = 3/15
• X = 1：₃C₁ × ₃C₁ / ₆C₂ = 3 × 3 / 15 = 9/15
• X = 2：₃C₂ × ₃C₀ / ₆C₂ = 3 × 1 / 15 = 3/15

赤玉の期待個数 E[X] = 0 × (3/15) + 1 × (9/15) + 2 × (3/15) = 15/15 = 1

同様に計算すると、

• 白玉の期待個数：2 × 2/6 = 2/3
• 青玉の期待個数：1 × 2/6 = 1/3

（6個中2個選ぶので、各玉が選ばれる確率は 2/6 = 1/3）

得点の期待値：

E[得点] = 3 × (赤の期待個数) + 2 × (白の期待個数) + 1 × (青の期待個数)
= 3 × 1 + 2 × (2/3) + 1 × (1/3)
= 3 + 4/3 + 1/3
= 3 + 5/3 = 14/3

【答え】

期待値 = 14/3

別解・発展

【(4) の別解：直接計算】

すべての場合を列挙して期待値を求めることもできます。

E = (18 + 30 + 12 + 4 + 6)/15 = 70/15 = 14/3

同じ答えが得られました。

この年度の重要テーマと対策

2015年度の出題から見る重要ポイント

2015年度の岩手県立大学数学では、以下のテーマが特に重要でした：

1. 場合分けを伴う最大・最小問題

二次関数の

1. 場合分けを伴う最大・最小問題

二次関数の軸が動く問題では、軸の位置と定義域の関係によって場合分けが必要になります。この「場合分け」は岩手県立大学に限らず、多くの大学入試で頻出です。

【対策ポイント】

• 軸が「定義域の左外」「定義域内」「定義域の右外」の3パターンを意識する
• 最大値は端点、最小値は軸または端点で取ることを理解する
• グラフを描いて視覚的に確認する習慣をつける

2. 三角関数の合成と倍角公式

三角関数の問題では、合成公式と倍角・半角公式の使い分けが重要です。「sin と cos が混在」「2乗が出てくる」などの特徴を見て、適切な変形を選択しましょう。

【対策ポイント】

• a sinθ + b cosθ = √(a²+b²) sin(θ+α) の合成公式を確実に
• sin²θ, cos²θ, sinθcosθ は倍角公式で統一
• 変形後の角度の範囲に注意（θ の範囲から 2θ+α の範囲を求める）

3. 微分・積分の計算力

3次関数の極値、接線、面積計算は定番中の定番です。計算量が多いので、ミスなく素早く処理する力が求められます。

【対策ポイント】

• 3次関数の増減表は素早く正確に作成できるように
• 接線の公式 y - f(a) = f'(a)(x - a) を使いこなす
• 面積計算では被積分関数の符号に注意（絶対値の処理）
• 1/6公式、1/12公式などの公式も覚えておくと時短になる

4. 漸化式の解法パターン

aₙ₊₁ = paₙ + q 型の漸化式は、特性方程式を使って等比数列に帰着させるのが定石です。より複雑な漸化式にも対応できるよう、複数の解法パターンを身につけましょう。

【対策ポイント】

• 特性方程式 α = pα + q から α を求め、bₙ = aₙ - α とおく
• Σk·rᵏ 型の和は「ずらし引き算」で対応
• 階差数列、隣接3項間漸化式なども練習しておく

5. ベクトルの図形への応用

位置ベクトルを使った図形問題では、内分点・外分点の公式、内積の計算、交点の求め方が頻出です。

【対策ポイント】

• 内分点の公式：P が AB を m:n に内分 → OP→ = (nOA→ + mOB→)/(m+n)
• 2直線の交点は「2通りの表し方を連立」して係数比較
• 内積計算では |a→|², |b→|², a→·b→ の3つを先に求めておく

6. 確率の計算と期待値

「少なくとも〜」は余事象、期待値は「線形性」を利用するのがポイントです。

【対策ポイント】

• 余事象の活用：P(少なくとも1つ) = 1 - P(1つもない)
• 期待値の線形性：E[X+Y] = E[X] + E[Y]（独立でなくても成立）
• 場合分けを丁寧に行い、数え漏れ・重複に注意

時間配分の目安

試験時間90分で6問の場合、1問あたり約15分が目安です。ただし、難易度に差があるので、以下の戦略を推奨します：

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2015年度の出題傾向を踏まえ、練習問題を3問用意しました。実際に手を動かして解いてみてください。

【練習問題1】二次関数の最大・最小

【解答・解説】

f(x) = -x² + 4x + a = -(x² - 4x) + a = -(x - 2)² + 4 + a

頂点は (2, 4 + a) で、x² の係数が負なので上に凸のグラフです。

定義域 1 ≤ x ≤ 4 において、軸 x = 2 は定義域内にあるので、

• 最大値は頂点 x = 2 でとり、f(2) = 4 + a
• 最小値は端点のうち軸から遠い方、すなわち x = 4 でとる

（x = 1 と x = 4 で、|1-2| = 1, |4-2| = 2 より x = 4 が軸から遠い）

最大値が 7 なので、

4 + a = 7 より a = 3

最小値は f(4) = -(4-2)² + 4 + 3 = -4 + 7 = 3

【答え】a = 3、最小値 = 3

【練習問題2】数列の和

【解答・解説】

(1) の解答

特性方程式 α = 3α - 4 を解くと、-2α = -4 より α = 2

bₙ = aₙ - 2 とおくと、

bₙ₊₁ = aₙ₊₁ - 2 = (3aₙ - 4) - 2 = 3aₙ - 6 = 3(aₙ - 2) = 3bₙ

{bₙ} は公比 3 の等比数列で、b₁ = a₁ - 2 = 2 - 2 = 0

初項が 0 なので、bₙ = 0 for all n

したがって、aₙ = bₙ + 2 = 0 + 2 = 2（定数列）

(2) の解答

aₙ = 2 より、

Σ(k=1 to n) aₖ = Σ(k=1 to n) 2 = 2n

【答え】(1) aₙ = 2　(2) Σaₖ = 2n

【補足】この問題は、初項が特性方程式の解と一致する特殊なケースです。このとき数列は定数列になります。計算で確認：a₂ = 3×2 - 4 = 2, a₃ = 3×2 - 4 = 2, ... となり確かに定数列です。

【練習問題3】ベクトルと面積

【解答・解説】

(1) の解答

P は OA を 2:1 に内分するので、OP→ = (2/3)a→

Q は OB を 1:3 に内分するので、OQ→ = (1/4)b→

PQ→ = OQ→ - OP→ = (1/4)b→ - (2/3)a→ = -(2/3)a→ + (1/4)b→

(2) の解答

|PQ→|² = |-(2/3)a→ + (1/4)b→|²
= (4/9)|a→|² - 2·(2/3)·(1/4)(a→·b→) + (1/16)|b→|²
= (4/9)·9 - (1/3)·6 + (1/16)·16
= 4 - 2 + 1 = 3

よって |PQ→| = √3

(3) の解答

まず △OAB の面積を求めます。

cos∠AOB = (a→·b→)/(|a→||b→|) = 6/(3×4) = 1/2

よって ∠AOB = 60°、sin∠AOB = √3/2

△OAB の面積 = (1/2)|a→||b→|sin∠AOB = (1/2)·3·4·(√3/2) = 3√3

△OPQ と △OAB の面積比を求めます。

△OPQ / △OAB = (OP/OA) × (OQ/OB) = (2/3) × (1/4) = 2/12 = 1/6

（同じ頂角を共有する三角形の面積比は、その2辺の比の積）

△OPQ の面積 = (1/6) × 3√3 = √3/2

【答え】(1) PQ→ = -(2/3)a→ + (1/4)b→　(2) |PQ→| = √3　(3) △OPQ = √3/2

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3. 過去問演習（1ヶ月）：岩手県立大学の過去問を5年分以上
4. 弱点補強（1ヶ月）：苦手分野を集中的に対策

【残り3ヶ月の場合】

1. 頻出分野に集中（1.5ヶ月）：二次関数、三角関数、微積分、数列、ベクトル
2. 過去問演習（1ヶ月）：時間を計って本番形式で
3. 総仕上げ（0.5ヶ月）：間違えた問題の復習と公式の確認

【残り1ヶ月の場合】

1. 過去問中心（3週間）：過去問を解き、出題パターンを把握
2. 公式・解法の確認（1週間）：頻出公式を完璧に暗記

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岩手県立大学の数学は、基礎〜標準レベルの問題が中心です。つまり、正しい方法で十分な演習を積めば、必ず得点できるということです。

大切なのは、

1. 基礎を疎かにしない：公式の丸暗記ではなく、「なぜそうなるか」を理解する
2. 典型問題を繰り返す：同じ問題を3回解けば、解法が定着する
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日本数学塾・数強塾 講師
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