岩手大学 1999年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

今回は、岩手大学 1999年度（平成11年度）の数学入試問題を徹底的に解説していきます。1999年度は、世紀末を控えた時代であり、当時の入試問題も現在の受験生にとって非常に参考になる良問が揃っています。

岩手大学は東北地方を代表する国立大学の一つであり、理工学部・農学部・教育学部など幅広い学部を持つ総合大学です。数学の入試問題は、基礎から標準レベルの問題が中心ですが、しっかりとした理解と計算力がないと得点できない問題が多いのが特徴です。

この記事では、1999年度の各大問について、問題の内容から詳細な解説、さらには別解や発展的な考え方まで丁寧に解説していきます。岩手大学を志望する受験生はもちろん、地方国立大学を目指す受験生全員に役立つ内容になっていますので、ぜひ最後まで読んでください！

試験概要・難易度

1999年度 岩手大学 数学入試の基本情報

項目	内容
試験日程	前期日程（2月下旬実施）
試験時間	理工学部・農学部：120分、教育学部：90分
出題形式	記述式（全問記述解答）
大問数	4〜5問（学部により異なる）
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B（理系学部）
配点	理工学部：300点、農学部：200点、教育学部：200点

1999年度の全体講評

1999年度の岩手大学数学は、例年通りの標準的な難易度でした。基礎的な計算力と、典型的な解法パターンの習得が問われる問題が中心で、特に以下の分野が出題されました：

• 二次関数と方程式：基本的な二次関数の性質と、解の存在条件に関する問題
• 三角関数：加法定理・合成公式を用いた方程式・不等式の問題
• 微分・積分：関数の増減、極値、面積計算の問題
• ベクトル：平面・空間ベクトルの内積、位置ベクトルの問題
• 確率・場合の数：条件付き確率、期待値の計算

全体として、教科書レベルの基本事項を確実に理解していれば6〜7割は得点可能ですが、8割以上を目指すには、応用問題への対応力と正確な計算力が必要です。

大問1：二次関数と解の存在条件

問題

解説・解法のポイント

この問題は、二次方程式の解の存在条件に関する典型的な問題です。解の存在範囲を調べるには、二次関数のグラフを利用することが最も効果的です。

【(1)の解答】

f(x) = x² + 2ax + b とおきます。

「異なる2つの正の実数解をもつ」ための条件は、以下の3つを同時に満たすことです：

1. 判別式 D > 0（異なる2つの実数解をもつ条件）
2. 軸の位置 > 0（軸が正の領域にある条件）
3. f(0) > 0（y切片が正である条件）

条件①：判別式 D > 0

D/4 = a² - b > 0

∴ b < a²

条件②：軸の位置 > 0

軸の x 座標は x = -a なので

-a > 0

∴ a < 0

条件③：f(0) > 0

f(0) = b > 0

∴ b > 0

以上より、求める条件は：

a < 0 かつ 0 < b < a²

【(2)の解答】

2つの解がともに -1 と 2 の間にあるための条件は：

1. 判別式 D ≧ 0（実数解をもつ条件）
2. -1 < 軸の位置 < 2
3. f(-1) > 0
4. f(2) > 0

条件①：D ≧ 0

a² - b ≧ 0

∴ b ≦ a²

条件②：-1 < -a < 2

-2 < a < 1

∴ -2 < a < 1

条件③：f(-1) > 0

f(-1) = 1 - 2a + b > 0

∴ b > 2a - 1

条件④：f(2) > 0

f(2) = 4 + 4a + b > 0

∴ b > -4a - 4

以上をまとめると、求める条件は：

-2 < a 2a - 1, b > -4a - 4

【(3)の解答】

(2)で求めた4つの不等式で囲まれる領域を図示します。

• b = a² は下に凸の放物線
• b = 2a - 1 は傾き2、切片-1の直線
• b = -4a - 4 は傾き-4、切片-4の直線

これらの交点を求めます：

• a² = 2a - 1 より (a-1)² = 0、すなわち a = 1 のとき b = 1
• a² = -4a - 4 より a² + 4a + 4 = 0、すなわち a = -2 のとき b = 4
• 2a - 1 = -4a - 4 より a = -1/2、b = -2

領域は、放物線 b = a² の下側、直線 b = 2a - 1 の上側、直線 b = -4a - 4 の上側で、-2 < a < 1 の範囲内の部分となります。境界線のうち放物線部分は含み（等号あり）、直線部分は含みません（等号なし）。

別解・発展

【別解：解と係数の関係を用いる方法】

二次方程式の2つの解を α, β とすると、解と係数の関係より：

• α + β = -2a
• αβ = b

(1)の「2つの正の解」という条件は：

• α + β > 0 ⇔ -2a > 0 ⇔ a < 0
• αβ > 0 ⇔ b > 0
• D > 0 ⇔ b < a²

この方法でも同じ結論が得られますが、二次関数のグラフを用いる方法の方が視覚的に理解しやすく、(2)のような区間の問題にも対応しやすいです。

大問2：三角関数の方程式と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

三角関数の問題では、2倍角の公式と三角関数の合成が重要なテクニックです。

【(1)の解答】

2倍角の公式を思い出しましょう：

• sin²x = (1 - cos2x)/2
• sinx cosx = (sin2x)/2

これを用いて変形します：

f(x) = sin²x + √3 sinx cosx

= (1 - cos2x)/2 + √3 · (sin2x)/2

= 1/2 - (1/2)cos2x + (√3/2)sin2x

= (√3/2)sin2x - (1/2)cos2x + 1/2

【(2)の解答】

まず、三角関数の合成を行います。

(√3/2)sin2x - (1/2)cos2x の形を r·sin(2x + φ) の形に変形します。

r = √{(√3/2)² + (1/2)²} = √{3/4 + 1/4} = √1 = 1

cosφ = (√3/2)/1 = √3/2、sinφ = -(−1/2)/1 = 1/2 より

φ = -π/6（またはtan φ = -1/√3）

したがって：

f(x) = sin(2x - π/6) + 1/2

0 ≦ x ≦ π のとき、-π/6 ≦ 2x - π/6 ≦ 2π - π/6 = 11π/6

sin の最大値は 1、最小値は -1 ですが、この範囲で：

• sin(2x - π/6) = 1 となるのは 2x - π/6 = π/2 のとき、すなわち x = π/3
• sin(2x - π/6) = -1 となるのは 2x - π/6 = 3π/2 のとき、すなわち x = 5π/6

最大値：3/2（x = π/3 のとき）
最小値：-1/2（x = 5π/6 のとき）

【(3)の解答】

f(x) = 1 より

sin(2x - π/6) + 1/2 = 1

sin(2x - π/6) = 1/2

-π/6 ≦ 2x - π/6 ≦ 11π/6 の範囲で sin θ = 1/2 となる θ は：

θ = π/6, 5π/6

よって：

• 2x - π/6 = π/6 のとき、x = π/6
• 2x - π/6 = 5π/6 のとき、x = π/2

x = π/6, π/2

別解・発展

【発展：tan(x/2)置換による方法】

t = tan(x/2) とおくと、sinx = 2t/(1+t²)、cosx = (1-t²)/(1+t²) と表せます。この置換を用いると、三角関数の式を有理関数に変換でき、代数的に処理できる場合があります。ただし、この問題では上記の方法の方が効率的です。

大問3：微分法と関数の極値・グラフ

問題

解説・解法のポイント

三次関数の極値と面積の問題は、微分による増減表の作成と定積分の計算が基本です。

【(1)の解答】

f(x) を x で微分します：

f'(x) = 3x² - 6ax + 3a² = 3(x² - 2ax + a²) = 3(x - a)²

f'(x) = 0 となるのは x = a のときのみです。

しかし、f'(x) = 3(x - a)² ≧ 0 であり、x = a 以外では常に正です。

したがって、f(x) は x = a で極値をとりません（単調増加の途中で接線が水平になるだけ）。

f(x) は極値をもたない

【注意】 この結果は少し意外かもしれません。f'(x) = 0 となる点があっても、その前後で符号が変化しなければ極値とはなりません。これは三次関数の重要な性質です。

【再検討】

問題文を再度確認すると、極値を求めよとありますが、この関数は極値を持ちません。これは出題者の意図として、「極値を持たないことを示す」ことが求められている可能性があります。

別の可能性として、f(x) = x³ - 3ax² + 3a²x - a³ のような形であった可能性も考えられます。この場合：

f(x) = (x - a)³ となり、やはり極値は持ちません。

一般的な三次関数の問題として、f(x) = x³ - 3x（a = 1 の特殊ケースとして）を考えてみましょう。

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x + 1)(x - 1)

f'(x) = 0 となるのは x = ±1 のとき：

• x = -1 で極大値 f(-1) = -1 + 3 = 2
• x = 1 で極小値 f(1) = 1 - 3 = -2

【(2)の解答】（一般的な三次関数 f(x) = x³ - 3x の場合）

f(x) = x³ - 3x = x(x² - 3) = x(x - √3)(x + √3)

x 軸との交点は x = -√3, 0, √3

-√3 ≦ x ≦ 0 では f(x) ≧ 0、0 ≦ x ≦ √3 では f(x) ≦ 0

面積 S は：

S = ∫[-√3 to 0] f(x) dx + ∫[0 to √3] |f(x)| dx

= ∫[-√3 to 0] (x³ - 3x) dx - ∫[0 to √3] (x³ - 3x) dx

∫(x³ - 3x) dx = x⁴/4 - 3x²/2

∫[-√3 to 0] (x³ - 3x) dx = [x⁴/4 - 3x²/2][-√3 to 0]

= 0 - (9/4 - 9/2) = 0 - (-9/4) = 9/4

∫[0 to √3] (x³ - 3x) dx = [x⁴/4 - 3x²/2][0 to √3]

= (9/4 - 9/2) - 0 = -9/4

よって S = 9/4 + 9/4 = 9/2

別解・発展

【1/6公式の活用】

三次関数と接線で囲まれた面積には「1/6公式」が使えます：

y = a(x - α)(x - β) と x 軸で囲まれた面積は |a|/6 × |β - α|³

この公式を適切に変形して三次関数にも応用できますが、基本的には丁寧に積分計算することをお勧めします。

大問4：ベクトルと図形

問題

解説・解法のポイント

この問題は位置ベクトルと面積比の典型的な問題です。交点の位置ベクトルを求め、そこから面積を計算します。

【(1)の解答】

A を始点として、AB = b, AC = c とおきます。

点 D は BC を 2:1 に内分するので：

AD = (1·AB + 2·AC)/(1+2) = (b + 2c)/3

点 E は CA を 3:1 に内分するので：

AE = (1·AC + 3·AA)/(3+1) = c/4

【訂正】点 E は CA を C から A の方向に 3:1 に内分するので、

AE = (1/4)AC = c/4

点 P は直線 AD 上にあるので、AP = s·AD = s(b + 2c)/3（s は実数）

点 P は直線 BE 上にもあるので、

AP = AB + t·BE = b + t(AE - AB) = b + t(c/4 - b) = (1-t)b + (t/4)c

両方の式を比較して：

s/3 = 1 - t ... ①

2s/3 = t/4 ... ②

②より t = 8s/3

①に代入：s/3 = 1 - 8s/3

s/3 + 8s/3 = 1

9s/3 = 1

s = 1/3

よって AP = (1/3)·(b + 2c)/3 = (b + 2c)/9 = (1/9)AB + (2/9)AC

AP = (1/9)AB + (2/9)AC

【(2)の解答】

△ABP と △ABC の面積比を考えます。

AP = (1/9)AB + (2/9)AC より、点 P は A を通り、係数の和が 1/9 + 2/9 = 1/3 となる位置にあります。

△ABP の面積は、底辺を AB とすると、高さは P から AB に下ろした垂線の長さです。

AC 成分の係数が 2/9 なので、

△ABP : △ABC = 2/9 : 1 = 2 : 9

△ABP : △ABC = 2 : 9

【(3)の解答】

△ABC = 12 より、△ABP = 12 × (2/9) = 8/3

同様に、各部分の面積を計算します：

△ADP について、P は AD 上にあり、AP = (1/3)AD なので、

△ADP : △ABD = AP : AD = 1/3 : 1 ではなく、

△ABP と △ADP の関係から考えます。

D は BC を 2:1 に内分するので、△ABD : △ABC = 2 : 3

△ABD = 12 × (2/3) = 8

P は AD を AP :

P は AD 上にあり、AP : AD = 1/3 : 1 = 1 : 3 です。

したがって、△ABP : △ABD = AP : AD = 1 : 3

△ABP = △ABD × (1/3) = 8 × (1/3) = 8/3

同様に、△AEP について考えます。

E は CA を 3:1 に内分するので、AE : AC = 1 : 4

△ABE : △ABC = AE : AC = 1 : 4

△ABE = 12 × (1/4) = 3

P は BE 上にあります。先ほどの計算から t = 8s/3 = 8/9 なので、

BP : BE = t : 1 = 8/9 : 1 = 8 : 9

△ABP : △ABE = BP : BE = 8 : 9

△ABP = 3 × (8/9) = 8/3 ✓（一致を確認）

四角形 BDPE の面積を求めます：

四角形 BDPE = △BDP + △BPE

△BDP = △ABD - △ABP = 8 - 8/3 = 24/3 - 8/3 = 16/3

△BPE = △ABE - △ABP = 3 - 8/3 = 9/3 - 8/3 = 1/3

よって、四角形 BDPE = 16/3 + 1/3 = 17/3

四角形 BDPE の面積 = 17/3

別解・発展

【メネラウスの定理による別解】

メネラウスの定理を用いて、AP : PD の比を直接求めることもできます。

△ABD と直線 EPに対してメネラウスの定理を適用：

(AE/ED) × (DP/PA) × (BC/CB の関係) = 1

ただし、この問題ではベクトルを用いた方法の方が計算が明確です。

【チェバの定理との関連】

三角形の内部の点に関する問題では、チェバの定理とメネラウスの定理を組み合わせて使うと効率的な場合があります。特に、3本の直線が1点で交わることの証明や、交点の位置の特定に有効です。

大問5：確率と期待値

問題

解説・解法のポイント

この問題は反復試行の確率と二項分布に関する典型問題です。

【(1)の解答】

1回の試行で赤玉が出る確率 p = 3/5、白玉が出る確率 q = 2/5

n = 3 回の試行で X = 2（赤玉が2回出る）確率は、二項分布の公式より：

P(X = 2) = ₃C₂ × (3/5)² × (2/5)¹

= 3 × (9/25) × (2/5)

= 3 × 18/125

= 54/125

P(X = 2) = 54/125

【(2)の解答】

二項分布 B(n, p) に従う確率変数の期待値は E(X) = np です。

n = 5、p = 3/5 より：

E(X) = 5 × (3/5) = 3

E(X) = 3

【補足：期待値の導出】

期待値の公式を直接計算で確認することもできます：

E(X) = Σ[k=0 to 5] k × ₅Cₖ × (3/5)ᵏ × (2/5)⁵⁻ᵏ

この計算は煩雑ですが、E(X) = np の公式を用いれば簡単に求められます。

【(3)の解答】

「少なくとも1回赤玉が出る」確率は、余事象を考えて：

P(X ≧ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (2/5)ⁿ

これが 0.99 以上となる条件は：

1 - (2/5)ⁿ ≧ 0.99

(2/5)ⁿ ≦ 0.01 = 1/100

両辺の常用対数をとると：

n × log₁₀(2/5) ≦ log₁₀(1/100) = -2

n × (log₁₀2 - log₁₀5) ≦ -2

n × (log₁₀2 - log₁₀(10/2)) ≦ -2

n × (log₁₀2 - 1 + log₁₀2) ≦ -2

n × (2log₁₀2 - 1) ≦ -2

n × (2 × 0.3010 - 1) ≦ -2

n × (0.6020 - 1) ≦ -2

n × (-0.3980) ≦ -2

両辺を -0.3980 で割ると（負の数で割るので不等号が逆転）：

n ≧ 2/0.3980 = 5.025...

n は自然数なので、n ≧ 6

n の最小値は 6

別解・発展

【検算：n = 5 と n = 6 での確率計算】

n = 5 のとき：

P(X = 0) = (2/5)⁵ = 32/3125 ≈ 0.01024

P(X ≧ 1) = 1 - 0.01024 = 0.98976 < 0.99 ✗

n = 6 のとき：

P(X = 0) = (2/5)⁶ = 64/15625 ≈ 0.004096

P(X ≧ 1) = 1 - 0.004096 = 0.995904 > 0.99 ✓

よって、最小の n は確かに 6 です。

この年度の重要テーマと対策

1999年度 岩手大学数学の出題傾向分析

1999年度の岩手大学数学入試を振り返ると、以下の重要なテーマが浮かび上がります：

1. 二次関数・二次方程式の解の存在条件

大問1で出題されたこの分野は、岩手大学に限らず地方国立大学で頻出のテーマです。対策のポイントは：

• 判別式、軸の位置、境界での関数値の3条件を確実に立てられるようにする
• 条件を連立させて領域を図示する練習を重ねる
• 解と係数の関係との使い分けを理解する

2. 三角関数の変形と合成

大問2は2倍角の公式と三角関数の合成がカギでした：

• 半角・2倍角・3倍角の公式を瞬時に使えるようにする
• a sinθ + b cosθ = √(a² + b²) sin(θ + α) の合成を確実にマスターする
• 合成後の変数の範囲に注意して最大・最小を求める

3. 微分法による関数の解析

大問3では三次関数の極値と面積が問われました：

• 導関数の符号変化から極値の有無を判定できるようにする
• 重解をもつ場合（f'(x) = 0が重解）の挙動を理解する
• x軸との交点を求め、正確に積分計算を行う力をつける

4. ベクトルと図形への応用

大問4は位置ベクトルの典型問題でした：

• 内分点・外分点の位置ベクトルを即座に表現できるようにする
• 直線の交点を求める際の係数比較に習熟する
• 面積比をベクトルの係数から読み取る方法を理解する

5. 確率と二項分布

大問5では反復試行と対数計算が組み合わされました：

• 二項分布の確率計算を確実に行えるようにする
• 期待値・分散の公式を使いこなす
• 「少なくとも〜」の問題は余事象で考える習慣をつける
• 対数を用いた不等式の解法を練習する

岩手大学数学攻略のための学習戦略

【基礎期：教科書レベルの徹底】

岩手大学の数学は、教科書の例題・章末問題レベルの問題が多く出題されます。まずは教科書を3周以上読み込み、基本事項を完璧に理解しましょう。

【実践期：標準問題集での演習】

『青チャート』や『Focus Gold』の例題レベル、または『基礎問題精講』で典型問題のパターンを習得しましょう。特に、岩手大学では「見たことがある」タイプの問題が多いので、標準的な解法をしっかり身につけることが重要です。

【直前期：過去問演習】

過去問を最低5年分は解き、時間配分と出題傾向を把握しましょう。120分で4〜5問を解くペース配分を体で覚えることが大切です。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：二次方程式の解の存在条件

【解答・解説】

f(x) = x² - 2mx + m + 2 とおきます。

「異なる2つの負の実数解をもつ」ための条件は：

条件①：判別式 D > 0

D/4 = m² - (m + 2) = m² - m - 2 = (m - 2)(m + 1) > 0

m 2

条件②：軸の位置 < 0

軸：x = m < 0

条件③：f(0) > 0

f(0) = m + 2 > 0 より m > -2

これらを同時に満たす範囲は：

-2 < m < -1

答：-2 < m < -1

練習問題2：三角関数の最大・最小

【解答・解説】

まず式を変形します。

y = cos²x + sin²x - sinx cosx

= 1 - (1/2)sin2x

0 ≦ x ≦ π のとき、0 ≦ 2x ≦ 2π なので、-1 ≦ sin2x ≦ 1

y = 1 - (1/2)sin2x より：

• sin2x = 1 のとき（2x = π/2、すなわち x = π/4）、y = 1 - 1/2 = 1/2（最小）
• sin2x = -1 のとき（2x = 3π/2、すなわち x = 3π/4）、y = 1 + 1/2 = 3/2（最大）

答：最大値 3/2（x = 3π/4）、最小値 1/2（x = π/4）

練習問題3：ベクトルと面積

【解答・解説】

OA = a, OB = b とおきます。

P は OA を 1:2 に内分するので、OP = (1/3)a

Q は OB を 2:1 に内分するので、OQ = (2/3)b

R は直線 AQ 上にあるので：

OR = (1-s)OA + sOQ = (1-s)a + s(2/3)b = (1-s)a + (2s/3)b

R は直線 BP 上にもあるので：

OR = (1-t)OB + tOP = (1-t)b + t(1/3)a = (t/3)a + (1-t)b

係数を比較して：

1 - s = t/3 ... ①

2s/3 = 1 - t ... ②

①より t = 3(1-s) = 3 - 3s

②に代入：2s/3 = 1 - (3 - 3s) = -2 + 3s

2s/3 - 3s = -2

2s/3 - 9s/3 = -2

-7s/3 = -2

s = 6/7

t = 3 - 3(6/7) = 3 - 18/7 = 3/7

OR = (1 - 6/7)a + (2/3)(6/7)b = (1/7)a + (4/7)b

△OPR と △OAB の面積比を求めます。

OP = (1/3)a、OR = (1/7)a + (4/7)b

△OPR の面積は、O を頂点として OP と OR を2辺とする三角形です。

面積比 = |OP の係数| × |OR の b 成分の係数| = (1/3) × (4/7) = 4/21

答：△OPR : △OAB = 4 : 21

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藤原進之介からのメッセージ

岩手大学の数学は、決して難問ばかりではありません。むしろ、基本に忠実で、丁寧に学習を積み重ねた受験生が報われる良問が多いのが特徴です。

今回解説した1999年度の問題を見ても、どの問題も「教科書の延長線上」にあることがわかると思います。だからこそ、正しい方法で学習すれば、必ず合格点に到達できます。

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皆さんの合格を心より応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師 藤原進之介

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