青山学院大学 2009年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は青山学院大学 2009年度の数学入試問題を徹底解説していきます。青山学院大学（通称：青学）はMARCHの一角として人気が高く、数学の問題は基礎力と計算力を問う良問が多いのが特徴です。

この記事では、2009年度の出題傾向を踏まえながら、各大問の詳細な解説と、合格に向けた対策法をお伝えします。最後まで読んでいただければ、青学数学の攻略法がしっかり身につくはずです！

試験概要・難易度

2009年度 青山学院大学 数学入試の基本情報

2009年度の全体講評

2009年度の青山学院大学数学は、例年通りの標準的な難易度でした。特に以下の特徴が見られました：

• 計算量がやや多め：時間配分が重要
• 基礎的な公式の運用力を問う問題が中心
• 小問集合で幅広い分野から出題
• 二次関数・確率・数列・ベクトルが頻出
• 誘導に乗れば解きやすいが、計算ミスに注意

全体として、教科書レベルの基礎がしっかり身についていれば7割以上の得点は十分可能です。ただし、時間内にすべての問題を解ききるには、迅速かつ正確な計算力が求められます。

合格ライン目安

学部によって異なりますが、2009年度の数学では以下が目安でした：

• 文系学部：65〜75%程度
• 理工学部：60〜70%程度

理工学部は数学Ⅲ・Cの範囲も含まれるため、やや難易度が上がりますが、文系学部は標準的な問題が中心です。

大問1：小問集合（二次関数・三角比・確率）

問題

解説・解法のポイント

【問1】二次関数の頂点と最大・最小

ステップ1：平方完成で頂点を求める

$f(x) = x^2 - 4x + 3$ を平方完成します。

$$f(x) = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 = (x - 2)^2 - 1$$

よって、頂点は $(2, -1)$ です。

ポイント！ 平方完成は $x^2 + bx$ の形を $(x + frac{b}{2})^2 - frac{b^2}{4}$ に変形する操作です。係数を半分にして二乗、その分を引くという流れを体に染み込ませましょう。

ステップ2：定義域内での最大・最小

$0 leq x leq 5$ の範囲で考えます。頂点の $x$ 座標は $2$ で、これは定義域内に含まれています。

• $x = 2$ のとき、$f(2) = -1$（最小値）
• $x = 0$ のとき、$f(0) = 3$
• $x = 5$ のとき、$f(5) = 25 - 20 + 3 = 8$（最大値）

頂点が定義域の中央より左寄りにあるため、右端 $x = 5$ で最大値をとります。

【問2】余弦定理

三角形の3辺が与えられたとき、角度を求めるには余弦定理を使います。

$$cos A = frac{AB^2 + CA^2 - BC^2}{2 cdot AB cdot CA}$$

値を代入すると：

$$cos A = frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 cdot 5 cdot 8} = frac{25 + 64 - 49}{80} = frac{40}{80} = frac{1}{2}$$

補足： $cos A = frac{1}{2}$ より、$A = 60°$ であることもわかります。余弦定理は「向かい合う辺の二乗を引く」と覚えておくと間違えにくいですよ。

【問3】確率（組合せ）

ステップ1：全事象の場合の数

9個の玉から3個を選ぶ場合の数：

$$_9C_3 = frac{9!}{3! cdot 6!} = frac{9 times 8 times 7}{3 times 2 times 1} = 84$$

ステップ2：3色すべてが含まれる場合の数

赤玉1個、白玉1個、青玉1個を選ぶ場合の数：

$$_3C_1 times _4C_1 times _2C_1 = 3 times 4 times 2 = 24$$

ステップ3：確率の計算

$$P = frac{24}{84} = frac{2}{7}$$

別解・発展

【問1の別解】微分を使った最大・最小

数学Ⅱの微分を学習済みの場合、$f'(x) = 2x - 4 = 0$ より $x = 2$ で極値をとることがわかります。端点と極値点を比較することで、最大・最小を求められます。

【発展】 定義域が変数（パラメータ）を含む場合の最大・最小問題は、場合分けが必要になります。例えば「$0 leq x leq a$ における最小値を $a$ の関数で表せ」といった問題は、頂点が定義域内にあるかどうかで場合分けします。

大問2：数列（等差・等比数列と漸化式）

問題

解説・解法のポイント

(1) 特性方程式を利用した変換

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 4$ は「$a_{n+1} = pa_n + q$」型です。このタイプは特性方程式を解いて等比数列に帰着させます。

ステップ1：特性方程式を解く

$alpha = 3alpha - 4$ を解くと $alpha = 2$

ステップ2：変換

$b_n = a_n - 2$ とおくと、

$$b_{n+1} = a_{n+1} - 2 = (3a_n - 4) - 2 = 3a_n - 6 = 3(a_n - 2) = 3b_n$$

よって、${b_n}$ は公比 $3$ の等比数列です。

ステップ3：初項の確認

$b_1 = a_1 - 2 = 2 - 2 = 0$

あれ？ 初項が $0$ ですね。これは重要なポイントです！

初項が $0$ の等比数列は、すべての項が $0$ になります。

(2) 一般項の導出

$b_n = a_n - 2 = 0$ より、

検証： $a_1 = 2$、$a_2 = 3 times 2 - 4 = 2$、$a_3 = 3 times 2 - 4 = 2$ ... 確かにすべて $2$ です！

(3) 和の計算

すべての項が $2$ なので、

$$sum_{k=1}^{n} a_k = underbrace{2 + 2 + cdots + 2}_{n個} = 2n$$

別解・発展

【別の初期条件の場合】

もし $a_1 = 5$ だったら、$b_1 = 5 - 2 = 3$ となり、

$$b_n = 3 cdot 3^{n-1} = 3^n$$

したがって $a_n = 3^n + 2$ となります。

このように、初期条件によって結果が大きく変わるのが漸化式の面白いところです。

【発展】 「$a_{n+1} = pa_n + q$」型の漸化式の解法は、特性方程式 $alpha = palpha + q$ を解いて $alpha = frac{q}{1-p}$（$p neq 1$）を求め、$b_n = a_n - alpha$ とおくのが定石です。これをマスターしておけば、多くの漸化式に対応できます。

大問3：図形とベクトル

問題

解説・解法のポイント

(1) 内分点の位置ベクトル

点 $D$ は辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点なので、

$$overrightarrow{AD} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{BD} = overrightarrow{AB} + frac{2}{3}overrightarrow{BC}$$

ここで、$overrightarrow{BC} = overrightarrow{AC} - overrightarrow{AB} = vec{c} - vec{b}$ なので、

$$overrightarrow{AD} = vec{b} + frac{2}{3}(vec{c} - vec{b}) = vec{b} + frac{2}{3}vec{c} - frac{2}{3}vec{b} = frac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}$$

(2) 2直線の交点

点 $P$ は直線 $AD$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$$overrightarrow{AP} = s cdot overrightarrow{AD} = sleft(frac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}right) = frac{s}{3}vec{b} + frac{2s}{3}vec{c}$$

また、$M$ は辺 $AB$ の中点なので $overrightarrow{AM} = frac{1}{2}vec{b}$

点 $P$ は直線 $CM$ 上にもあるので、実数 $t$ を用いて

$$overrightarrow{AP} = overrightarrow{AC} + t cdot overrightarrow{CM} = vec{c} + tleft(frac{1}{2}vec{b} - vec{c}right) = frac{t}{2}vec{b} + (1-t)vec{c}$$

$vec{b}$、$vec{c}$ は一次独立なので、係数を比較します：

$$frac{s}{3} = frac{t}{2} quad cdots ①$$

$$frac{2s}{3} = 1 - t quad cdots ②$$

①より $t = frac{2s}{3}$ を②に代入：

$$frac{2s}{3} = 1 - frac{2s}{3}$$

$$frac{4s}{3} = 1$$

$$s = frac{3}{4}$$

したがって、

$$overrightarrow{AP} = frac{3/4}{3}vec{b} + frac{2 times 3/4}{3}vec{c} = frac{1}{4}vec{b} + frac{1}{2}vec{c}$$

(3) ベクトルの大きさ

$$|overrightarrow{AP}|^2 = left|frac{1}{4}vec{b} + frac{1}{2}vec{c}right|^2$$

$$= frac{1}{16}|vec{b}|^2 + 2 cdot frac{1}{4} cdot frac{1}{2} cdot vec{b} cdot vec{c} + frac{1}{4}|vec{c}|^2$$

$$= frac{1}{16} times 9 + frac{1}{4} times 6 + frac{1}{4} times 16$$

$$= frac{9}{16} + frac{6}{4} + 4 = frac{9}{16} + frac{24}{16} + frac{64}{16} = frac{97}{16}$$

$$|overrightarrow{AP}| = frac{sqrt{97}}{4}$$

別解・発展

【チェバの定理による検証】

$P$ が $triangle ABC$ の内部にあることは、チェバの定理でも確認できます。直線 $AD$、$CM$、および頂点 $B$ を通る直線が一点で交わる条件を使います。

【発展：メネラウスの定理】

直線が三角形の辺（またはその延長）と交わる点の比に関する問題では、メネラウスの定理が有効な場合があります。ベクトルとの使い分けができると、より効率的に解けます。

大問4：微分・積分（文系：数学Ⅱ範囲）

問題

解説・解法のポイント

(1) 極値の計算

ステップ1：導関数を求める

$$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$$

ステップ2：$f'(x) = 0$ となる点を求める

$3x(x - 2) = 0$ より、$x = 0$ または $x = 2$

ステップ3：増減表を作成

ステップ4：極値を計算

• $f(0) = 0 - 0 + 4 = 4$（極大値）
• $f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$（極小値）

(2) 面積の計算

まず、$f(x) = 0$ となる点を求めます。

$$x^3 - 3x^2 + 4 = 0$$

$f(2) = 0$ より、$(x - 2)$ が因数です。因数分解すると：

$$x^3 - 3x^2 + 4 = (x - 2)(x^2 - x - 2) = (x - 2)(x - 2)(x + 1) = (x - 2)^2(x + 1)$$

よって、$x = -1$ または $x = 2$（重解）

$-1 leq x leq 2$ の範囲で $f(x) geq 0$ なので、

$$S = int_{-1}^{2} f(x) , dx = int_{-1}^{2} (x - 2)^2(x + 1) , dx$$</p

置換積分を使って計算します。$x - 2 = t$ とおくと、$x = t + 2$、$dx = dt$ となり、

$x = -1$ のとき $t = -3$、$x = 2$ のとき $t = 0$

また、$x + 1 = t + 3$ なので、

$$S = int_{-3}^{0} t^2(t + 3) , dt = int_{-3}^{0} (t^3 + 3t^2) , dt$$

$$= left[frac{t^4}{4} + t^3right]_{-3}^{0}$$

$$= left(0 + 0right) - left(frac{81}{4} - 27right)$$

$$= -left(frac{81}{4} - frac{108}{4}right) = -left(-frac{27}{4}right) = frac{27}{4}$$

(3) 接線の方程式

ステップ1：接点の座標

$f(1) = 1 - 3 + 4 = 2$ より、接点は $(1, 2)$

ステップ2：接線の傾き

$f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3$

ステップ3：接線の方程式

点 $(1, 2)$ を通り、傾き $-3$ の直線：

$$y - 2 = -3(x - 1)$$

$$y = -3x + 3 + 2$$

$$y = -3x + 5$$

別解・発展

【面積の別解：1/12公式】

3次関数と接線で囲まれた面積、あるいは重解を持つ3次関数と $x$ 軸で囲まれた面積には、公式が存在します。

$y = a(x - alpha)^2(x - beta)$ と $x$ 軸で囲まれた面積（$alpha < beta$）は：

$$S = frac{|a|}{12}(beta - alpha)^4$$

本問では $a = 1$、$alpha = -1$、$beta = 2$ なので：

$$S = frac{1}{12}(2 - (-1))^4 = frac{1}{12} times 81 = frac{27}{4}$$

計算が圧倒的に速くなります！青学の入試では時間との勝負なので、こうした公式を知っておくと有利です。

【発展：接線が曲線と再び交わる点】

接線 $y = -3x + 5$ が曲線 $y = x^3 - 3x^2 + 4$ と再び交わる点を求めるには、

$$x^3 - 3x^2 + 4 = -3x + 5$$

$$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0$$

$$(x - 1)^3 = 0$$

$x = 1$ は3重解なので、接線は $x = 1$ でのみ曲線と接し、他に交点はありません。これは変曲点での接線の特徴です。

大問5：場合の数と確率（発展）

問題

解説・解法のポイント

(1) 和が10になる場合

全事象：$6^3 = 216$ 通り

$a + b + c = 10$ を満たす $(a, b, c)$ の組を数えます（$1 leq a, b, c leq 6$）

$a$ の値で場合分けします：

• $a = 1$ のとき：$b + c = 9$
  $(b, c) = (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ → 4通り
• $a = 2$ のとき：$b + c = 8$
  $(b, c) = (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ → 5通り
• $a = 3$ のとき：$b + c = 7$
  $(b, c) = (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ → 6通り
• $a = 4$ のとき：$b + c = 6$
  $(b, c) = (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ → 5通り（$(6, 0)$ は不可）
• $a = 5$ のとき：$b + c = 5$
  $(b, c) = (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ → 4通り
• $a = 6$ のとき：$b + c = 4$
  $(b, c) = (1, 3), (2, 2), (3, 1)$ → 3通り

合計：$4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 = 27$ 通り

(2) 等差数列となる場合

$a$, $b$, $c$ が等差数列 ⟺ $2b = a + c$（$b$ が中央値）

$b$ の値で場合分けします：

• $b = 1$：$a + c = 2$ → $(a, c) = (1, 1)$ → 1通り
• $b = 2$：$a + c = 4$ → $(1, 3), (2, 2), (3, 1)$ → 3通り
• $b = 3$：$a + c = 6$ → $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ → 5通り
• $b = 4$：$a + c = 8$ → $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ → 5通り
• $b = 5$：$a + c = 10$ → $(4, 6), (5, 5), (6, 4)$ → 3通り
• $b = 6$：$a + c = 12$ → $(6, 6)$ → 1通り

合計：$1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$ 通り

(3) 積が3の倍数となる確率

余事象を使う！

「$abc$ が3の倍数」の余事象は「$abc$ が3の倍数でない」

$abc$ が3の倍数でない ⟺ $a$, $b$, $c$ のいずれも3の倍数でない

1〜6のうち、3の倍数でないのは ${1, 2, 4, 5}$ の4個

余事象の確率：$left(dfrac{4}{6}right)^3 = left(dfrac{2}{3}right)^3 = dfrac{8}{27}$

したがって、求める確率は：

$$P = 1 - frac{8}{27} = frac{19}{27}$$

別解・発展

【(1)の別解：母関数】

母関数 $(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^3$ の $x^{10}$ の係数を求める方法もあります。大学入試レベルでは不要ですが、組合せ論の強力なツールです。

【発展：条件付き確率】

「$a + b + c = 10$ のもとで、$a < b < c$ となる確率」のような条件付き確率の問題も頻出です。条件を満たす全事象を分母に置くことを忘れずに。

この年度の重要テーマと対策

2009年度の出題分析

2009年度の青山学院大学数学を分析すると、以下のテーマが重要であることがわかります：

青学数学攻略のための5つのポイント

学部別の対策ポイント

【文系学部（経済・経営・法・文など）】

• 出題範囲：数学Ⅰ・Ⅱ・A・B
• 試験時間：60分
• 特徴：計算量は多いが、難易度は標準的
• 対策：基礎の徹底と計算練習。微積分の面積計算、数列の和、確率が頻出。

【理工学部】

• 出題範囲：数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B・C
• 試験時間：80〜100分
• 特徴：数Ⅲの微積分、複素数平面、2次曲線も出題
• 対策：数Ⅲの計算力を徹底強化。特に積分計算（置換・部分積分）は必須。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

ここからは、2009年度の出題傾向を踏まえたオリジナル練習問題を3問用意しました。解答・解説付きなので、ぜひ挑戦してみてください！

【練習問題1】二次関数の最大・最小

【解答・解説】

(1) の解答

$f(x) = (x - a)^2 - a^2 + 3$ と平方完成できるので、頂点は $(a, -a^2 + 3)$

頂点の $x$ 座標 $a$ と定義域 $[0, 2]$ の位置関係で場合分け：

【場合1】$a 0$ より該当なし）

【場合2】$0 leq a leq 2$ のとき

頂点が定義域内にあるので、$m(a) = -a^2 + 3$

【場合3】$a > 2$ のとき

定義域の右端より頂点が右にあるので、$x = 2$ で最小

$m(a) = f(2) = 4 - 4a + 3 = 7 - 4a$

まとめると：

$$m(a) = begin{cases} -a^2 + 3 & (0 2) end{cases}$$

・$0 0$ より $a to +0$ で $m(a) to 3$（最大値には達しない）。$a = 2$ で $m(2) = -4 + 3 = -1$

おわりに

2009年度の青山学院大学数学を通じて、青学数学の傾向と対策をお伝えしてきました。

青学の数学は、派手な難問は少ないものの、基礎力と計算力が問われる試験です。日々の学習で基礎を固め、過去問演習で実戦力を養えば、必ず合格点に到達できます。

受験勉強は長く辛い道のりですが、正しい方法で努力を続ければ、必ず結果はついてきます。この記事が、皆さんの学習の一助となれば幸いです。

青山学院大学合格を目指して、一緒に頑張りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

※ 本記事で扱った問題は、2009年度青山学院大学入試の出題傾向を参考に作成したものです。実際の入試問題とは異なる場合があります。
※ 最新の入試情報は、青山学院大学公式サイトおよび各種入試情報サイトでご確認ください。