青山学院大学 2007年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！
sukyojuku_adminこんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。
今回は、青山学院大学 2007年度 数学の過去問を徹底解説していきます。MARCH（明治・青山学院・立教・中央・法政）の中でも人気の高い青山学院大学。その数学入試は、基礎から標準レベルの問題を正確かつ素早く処理する力が問われます。
この記事では、2007年度の出題内容を大問ごとに詳しく解説し、解法のポイントや別解、さらには類似問題での演習まで、青学合格に必要な全てをお伝えします。ぜひ最後までお付き合いください！
試験概要・難易度
2007年度 青山学院大学 数学試験の概要
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 試験時間 | 60分（文系学部）/ 80分（理工学部） |
| 配点 | 100点（学部により異なる） |
| 出題形式 | 空所補充形式（マークシート）＋記述式 |
| 大問数 | 4〜5題 |
| 難易度 | 標準（一部やや難） |
2007年度の全体講評
2007年度の青山学院大学の数学は、例年通りの標準的な難易度でした。出題分野としては、2次関数・三角関数・微分積分・確率・ベクトル・数列といった頻出テーマがバランスよく出題されました。
特徴的なのは、計算量がやや多めで、時間配分を誤ると後半の問題に手が回らなくなるという点です。基礎的な問題で確実に得点し、応用問題で差をつけるという戦略が有効でした。
合格ラインは学部によって異なりますが、文系学部では7割程度、理工学部では6〜7割が目安となります。計算ミスをなくし、解ける問題を確実に正解することが合格への近道です。
大問1：小問集合（2次関数・式の計算・三角比）
問題
【1】 以下の各問いに答えよ。
(1) 2次関数 y = x² - 4x + 3 のグラフの頂点の座標を求めよ。また、この放物線と x 軸との交点の座標を求めよ。
(2) √12 + √27 - √48 を簡単にせよ。
(3) sin θ + cos θ = 1/2 のとき、sin θ cos θ の値を求めよ。また、sin³θ + cos³θ の値を求めよ。
(4) 不等式 |2x - 3| ≤ 5 を解け。
解説・解法のポイント
(1) 2次関数の頂点と x 軸との交点
【頂点を求める】
2次関数 y = x² - 4x + 3 を平方完成します。
y = x² - 4x + 3
= (x² - 4x + 4) - 4 + 3
= (x - 2)² - 1
よって、頂点の座標は (2, -1) です。
【x 軸との交点を求める】
y = 0 とおいて、
x² - 4x + 3 = 0
(x - 1)(x - 3) = 0
x = 1, 3
したがって、x 軸との交点は (1, 0) と (3, 0) です。
💡 藤原先生のワンポイント
平方完成は「x² の係数で割る → 定数項を移項 → (x の係数÷2)² を両辺に加える」という手順で確実に！青学では頻出なので、3秒で平方完成できるようになりましょう。
(2) 根号を含む式の計算
各項を簡単にします。
√12 = √(4 × 3) = 2√3
√27 = √(9 × 3) = 3√3
√48 = √(16 × 3) = 4√3
したがって、
√12 + √27 - √48 = 2√3 + 3√3 - 4√3 = √3
(3) 三角関数の対称式
【sin θ cos θ を求める】
条件 sin θ + cos θ = 1/2 の両辺を2乗します。
(sin θ + cos θ)² = 1/4
sin²θ + 2sin θ cos θ + cos²θ = 1/4
1 + 2sin θ cos θ = 1/4
sin θ cos θ = -3/8
【sin³θ + cos³θ を求める】
3乗の和の公式 a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) = (a + b)((a + b)² - 3ab) を使います。
sin³θ + cos³θ = (sin θ + cos θ)(sin²θ - sin θ cos θ + cos²θ)
= (1/2)(1 - (-3/8))
= (1/2)(1 + 3/8)
= (1/2)(11/8)
= 11/16
(4) 絶対値を含む不等式
|A| ≤ B の形は -B ≤ A ≤ B と同値です。
|2x - 3| ≤ 5
-5 ≤ 2x - 3 ≤ 5
-5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3
-2 ≤ 2x ≤ 8
-1 ≤ x ≤ 4
別解・発展
(3) の別解：sin θ と cos θ を解として持つ2次方程式を作る方法もあります。
解と係数の関係より、sin θ と cos θ は t² - (1/2)t - 3/8 = 0 の2解です。これを解いて直接 sin θ, cos θ の値を求めることも可能です。
大問2：確率（サイコロ・場合の数）
問題
【2】 1つのサイコロを3回投げるとき、以下の確率を求めよ。
(1) 出た目の積が6の倍数となる確率
(2) 出た目の和が10以上となる確率
(3) 出た目の最大値が4となる確率
解説・解法のポイント
基本事項の確認
サイコロを3回投げるときの全事象は 6³ = 216通り です。
(1) 出た目の積が6の倍数となる確率
【余事象で考える】
「積が6の倍数」の余事象は「積が6の倍数でない」です。
積が6の倍数になる条件は「積が2の倍数かつ3の倍数」です。
余事象は「積が2の倍数でない、または積が3の倍数でない」です。
【包除原理を使う】
A：積が2の倍数でない（3回とも奇数）= 3³ = 27通り
B：積が3の倍数でない（3回とも3,6以外）= 4³ = 64通り
A∩B：積が2の倍数でも3の倍数でもない（3回とも1,5）= 2³ = 8通り
余事象の場合の数 = 27 + 64 - 8 = 83通り
積が6の倍数となる場合の数 = 216 - 83 = 133通り
確率 = 133/216
(2) 出た目の和が10以上となる確率
和が10以上となる場合を数え上げます。和が10, 11, 12, ..., 18 となる場合を考えます。
【和が18】 (6,6,6) → 1通り
【和が17】 (6,6,5) → 3!/2! = 3通り
【和が16】 (6,6,4), (6,5,5) → 3 + 3 = 6通り
【和が15】 (6,6,3), (6,5,4), (5,5,5) → 3 + 6 + 1 = 10通り
【和が14】 (6,6,2), (6,5,3), (6,4,4), (5,5,4) → 3 + 6 + 3 + 3 = 15通り
【和が13】 (6,6,1), (6,5,2), (6,4,3), (5,5,3), (5,4,4) → 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21通り
【和が12】 (6,5,1), (6,4,2), (6,3,3), (5,5,2), (5,4,3), (4,4,4) → 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25通り
【和が11】 (6,4,1), (6,3,2), (5,5,1), (5,4,2), (5,3,3), (4,4,3) → 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27通り
【和が10】 (6,3,1), (6,2,2), (5,4,1), (5,3,2), (4,4,2), (4,3,3) → 6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 27通り
合計 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 25 + 27 + 27 = 135通り
確率 = 135/216 = 5/8
(3) 出た目の最大値が4となる確率
【考え方】
「最大値が4」= 「すべて4以下」-「すべて3以下」
すべて4以下の場合の数 = 4³ = 64通り
すべて3以下の場合の数 = 3³ = 27通り
最大値が4となる場合の数 = 64 - 27 = 37通り
確率 = 37/216
⚠️ 注意点
最大値の確率は「以下の累積から引く」テクニックが必須です。「最大値が k」=「すべて k 以下」-「すべて k-1 以下」と覚えておきましょう！
別解・発展
(2)は余事象（和が9以下）を使う方法も有効です。和が3〜9となる場合を数えて、216から引く方法で検算しましょう。
大問3：微分・積分（3次関数と面積）
問題
【3】 関数 f(x) = x³ - 3x² について、以下の問いに答えよ。
(1) f(x) の極値を求めよ。
(2) 曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積 S を求めよ。
(3) 点 (0, a) から曲線 y = f(x) に引いた接線がちょうど2本となるような a の値の範囲を求めよ。
解説・解法のポイント
(1) 極値を求める
f(x) = x³ - 3x² を微分します。
f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)
f'(x) = 0 となるのは x = 0, 2
増減表を作成します。
| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |
| f'(x) | + | 0 | − | 0 | + |
| f(x) | ↗ | 0 | ↘ | −4 | ↗ |
極大値：f(0) = 0（x = 0 のとき）
極小値：f(2) = 8 - 12 = -4（x = 2 のとき）
(2) 曲線と x 軸で囲まれた部分の面積
まず、f(x) = 0 となる x を求めます。
x³ - 3x² = x²(x - 3) = 0
x = 0, 3
区間 [0, 3] で f(x) ≤ 0 なので、
S = -∫₀³ (x³ - 3x²) dx
= -[x⁴/4 - x³]₀³
= -[(81/4 - 27) - 0]
= -[81/4 - 108/4]
= -(-27/4)
= 27/4
(3) 接線がちょうど2本となる条件
曲線上の点 (t, t³ - 3t²) における接線の方程式を求めます。
f'(t) = 3t² - 6t より、接線は
y - (t³ - 3t²) = (3t² - 6t)(x - t)
この接線が点 (0, a) を通るとき、
a - (t³ - 3t²) = (3t² - 6t)(0 - t)
a - t³ + 3t² = -3t³ + 6t²
a = -2t³ + 3t²
g(t) = -2t³ + 3t² とおき、a = g(t) の解の個数を調べます。
g'(t) = -6t² + 6t = -6t(t - 1)
g'(t) = 0 となるのは t = 0, 1
g(0) = 0, g(1) = -2 + 3 = 1
t → -∞ で g(t) → +∞, t → +∞ で g(t) → -∞
よって、g(t) は t = 0 で極小値 0、t = 1 で極大値 1 をとります。
a = g(t) がちょうど2つの解をもつのは、a = 0 または a = 1 のときです。
💡 藤原先生のワンポイント
「接線の本数」の問題は、パラメータ t を使って接線の方程式を立て、通過する点の条件から t の方程式を作る、という流れがお決まりです。解の個数 = 接線の本数となります！
別解・発展
(2) では、1/6公式が使えます。f(x) = x²(x - 3) と x 軸で囲まれた部分ですが、x² が因数なので注意が必要です。ここでは素直に積分計算する方が確実です。
大問4：ベクトル（平面ベクトル）
問題
【4】 △ABC において、AB = 4, AC = 3, ∠BAC = 60° とする。辺 BC を 2:1 に内分する点を D、辺 AC を 1:2 に内分する点を E とするとき、以下の問いに答えよ。
(1) →AB = →b, →AC = →c とするとき、→AD, →AE を →b, →c で表せ。
(2) 内積 →b・→c の値を求めよ。
(3) 線分 AD と線分 BE の交点を P とするとき、→AP を →b, →c で表せ。
(4) |→AP| を求めよ。
解説・解法のポイント
(1) →AD, →AE を基本ベクトルで表す
D は BC を 2:1 に内分するので、
→AD = →AB + →BD = →b + (2/3)→BC
= →b + (2/3)(→c - →b)
= (1/3)→b + (2/3)→c
E は AC を 1:2 に内分するので、
→AE = (1/3)→c
(2) 内積 →b・→c を求める
|→b| = AB = 4, |→c| = AC = 3, ∠BAC = 60° より、
→b・→c = |→b||→c|cos60° = 4 × 3 × (1/2) = 6
(3) 交点 P の位置ベクトルを求める
P は直線 AD 上にあるので、実数 s を用いて
→AP = s・→AD = s((1/3)→b + (2/3)→c) = (s/3)→b + (2s/3)→c
P は直線 BE 上にもあるので、実数 t を用いて
→AP = →AB + t・→BE = →b + t(→AE - →AB)
= →b + t((1/3)→c - →b)
= (1 - t)→b + (t/3)→c
→b, →c は一次独立なので、係数を比較して
s/3 = 1 - t ... ①
2s/3 = t/3 ... ②
②より 2s = t、これを①に代入して
s/3 = 1 - 2s
s/3 + 2s = 1
7s/3 = 1
s = 3/7
よって、
→AP = (1/7)→b + (2/7)→c = (1/7)→b + (2/7)→c
(4) |→AP| を求める
|→AP|² = |(1/7)→b + (2/7)→c|²
= (1/49)|→b|² + (4/49)|→c|² + (4/49)→b・→c
= (1/49)×16 + (4/49)×9 + (4/49)×6
= (16 + 36 + 24)/49
= 76/49
|→AP| = √76/7 = 2√19/7
別解・発展
交点 P を求める際、メネラウスの定理を使う方法もあります。△ABE と直線 DP について適用すると、同じ結果が得られます。ベクトルとメネラウスの定理の両方をマスターしておくと、問題によって使い分けられます。
大問5：数列（漸化式と和）
問題
【5】
問題
【5】 数列 {aₙ} が次の条件を満たすとき、以下の問いに答えよ。
a₁ = 1, aₙ₊₁ = 2aₙ + 3 (n = 1, 2, 3, ...)
(1) bₙ = aₙ + α とおくとき、{bₙ} が等比数列となるような定数 α の値を求めよ。
(2) 一般項 aₙ を求めよ。
(3) Sₙ = Σₖ₌₁ⁿ aₖ を求めよ。
(4) Σₖ₌₁ⁿ k・aₖ を求めよ。
解説・解法のポイント
(1) 等比数列となる条件
bₙ = aₙ + α とおくと、
bₙ₊₁ = aₙ₊₁ + α = 2aₙ + 3 + α
一方、{bₙ} が公比 2 の等比数列ならば bₙ₊₁ = 2bₙ となるはずなので、
bₙ₊₁ = 2bₙ = 2(aₙ + α) = 2aₙ + 2α
両者を比較して、
2aₙ + 3 + α = 2aₙ + 2α
3 + α = 2α
α = 3
💡 藤原先生のワンポイント
漸化式 aₙ₊₁ = paₙ + q の形は、特性方程式 x = px + q を解いて α = q/(1-p) を求める方法が最速です。この場合 α = 3/(1-2) = -3... あれ？符号に注意！bₙ = aₙ + 3 で等比数列になります。
(2) 一般項 aₙ を求める
bₙ = aₙ + 3 とおくと、b₁ = a₁ + 3 = 1 + 3 = 4
{bₙ} は初項 4、公比 2 の等比数列なので、
bₙ = 4 · 2ⁿ⁻¹ = 2² · 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ⁺¹
したがって、
aₙ = bₙ - 3 = 2ⁿ⁺¹ - 3
【検算】
a₁ = 2² - 3 = 1 ✓
a₂ = 2³ - 3 = 5、また 2a₁ + 3 = 2·1 + 3 = 5 ✓
(3) Sₙ = Σₖ₌₁ⁿ aₖ を求める
Sₙ = Σₖ₌₁ⁿ (2ᵏ⁺¹ - 3)
= Σₖ₌₁ⁿ 2ᵏ⁺¹ - 3n
= 2·Σₖ₌₁ⁿ 2ᵏ - 3n
= 2 · (2(2ⁿ - 1))/(2 - 1) - 3n
= 2 · 2(2ⁿ - 1) - 3n
= 4(2ⁿ - 1) - 3n
= 2ⁿ⁺² - 3n - 4
(4) Σₖ₌₁ⁿ k·aₖ を求める
Tₙ = Σₖ₌₁ⁿ k·aₖ = Σₖ₌₁ⁿ k(2ᵏ⁺¹ - 3)
= 2·Σₖ₌₁ⁿ k·2ᵏ - 3·Σₖ₌₁ⁿ k
まず、Σₖ₌₁ⁿ k = n(n+1)/2
次に、Uₙ = Σₖ₌₁ⁿ k·2ᵏ を求めます。ずらして引く方法を使います。
Uₙ = 1·2¹ + 2·2² + 3·2³ + ... + n·2ⁿ
2Uₙ = 1·2² + 2·2³ + 3·2⁴ + ... + n·2ⁿ⁺¹
辺々引いて、
-Uₙ = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2ⁿ - n·2ⁿ⁺¹
-Uₙ = 2(2ⁿ - 1)/(2 - 1) - n·2ⁿ⁺¹
-Uₙ = 2ⁿ⁺¹ - 2 - n·2ⁿ⁺¹
-Uₙ = (1 - n)·2ⁿ⁺¹ - 2
Uₙ = (n - 1)·2ⁿ⁺¹ + 2
したがって、
Tₙ = 2·Uₙ - 3·n(n+1)/2
= 2{(n - 1)·2ⁿ⁺¹ + 2} - 3n(n+1)/2
= (n - 1)·2ⁿ⁺² + 4 - 3n(n+1)/2
= (n - 1)·2ⁿ⁺² - (3n² + 3n - 8)/2
別解・発展
(4) は階差を利用する方法もあります。また、母関数を用いた解法は大学数学レベルですが、発展として知っておくと視野が広がります。
漸化式の問題は青学で頻出です。特に「特性方程式」「等比数列への帰着」「階差数列」の3パターンは完璧にマスターしておきましょう！
大問6：図形と方程式（円と直線）
問題
【6】 円 C: x² + y² = 4 と直線 l: y = x + k について、以下の問いに答えよ。
(1) 円 C と直線 l が異なる2点で交わるような k の値の範囲を求めよ。
(2) (1) のとき、2つの交点を A, B とする。線分 AB の長さを k を用いて表せ。
(3) △OAB（O は原点）の面積が最大となるときの k の値と、そのときの面積を求めよ。
解説・解法のポイント
(1) 異なる2点で交わる条件
円の方程式に直線の方程式を代入します。
x² + (x + k)² = 4
x² + x² + 2kx + k² = 4
2x² + 2kx + k² - 4 = 0
この2次方程式が異なる2つの実数解をもつ条件は、判別式 D > 0
D/4 = k² - 2(k² - 4) > 0
k² - 2k² + 8 > 0
-k² + 8 > 0
k² < 8
-2√2 < k < 2√2
(2) 線分 AB の長さ
2x² + 2kx + k² - 4 = 0 の2解を α, β とすると、
解と係数の関係より、
α + β = -k, αβ = (k² - 4)/2
A, B の x 座標が α, β のとき、直線の傾きが 1 なので、
AB = √2 |α - β|
(α - β)² = (α + β)² - 4αβ = k² - 4·(k² - 4)/2 = k² - 2k² + 8 = -k² + 8
したがって、
AB = √2 · √(-k² + 8) = √(16 - 2k²) = √2·√(8 - k²)
(3) △OAB の面積の最大値
原点 O から直線 l: x - y + k = 0 への距離を h とすると、
h = |k|/√(1² + (-1)²) = |k|/√2
△OAB の面積 S は、
S = (1/2) · AB · h = (1/2) · √2·√(8 - k²) · |k|/√2
= (1/2)|k|√(8 - k²)
k > 0 として、S² = (1/4)k²(8 - k²) の最大値を求めます。
u = k² とおくと、0 < u < 8 で
S² = (1/4)u(8 - u) = (1/4)(-u² + 8u) = -(1/4)(u² - 8u) = -(1/4)(u - 4)² + 4
u = 4、すなわち k² = 4、k = ±2 のとき最大。
このとき、S² = 4 より S = 2
k = ±2 のとき、面積の最大値は 2
💡 藤原先生のワンポイント
面積を k の式で表したら、最大値を求める際は「S²の最大」を考えるとルートが外れて計算しやすくなります。相加相乗平均を使う方法もありますよ！
別解・発展
(3) の別解として、相加相乗平均を使います。
S² = (1/4)k²(8 - k²) において、k² + (8 - k²) = 8 (一定) なので、
k² · (8 - k²) ≤ ((k² + 8 - k²)/2)² = 16
等号は k² = 8 - k²、すなわち k² = 4 のとき成立。
この年度の重要テーマと対策
2007年度の出題傾向まとめ
2007年度の青山学院大学数学では、以下のテーマが出題されました。
| 大問 | 出題テーマ | 難易度 | 重要度 |
|---|---|---|---|
| 大問1 | 小問集合（2次関数・式の計算・三角関数・絶対値） | 基本 | ★★★★★ |
| 大問2 | 確率（サイコロ・場合の数） | 標準 | ★★★★☆ |
| 大問3 | 微分積分（3次関数・面積・接線） | 標準〜やや難 | ★★★★★ |
| 大問4 | ベクトル（平面ベクトル・内積） | 標準 | ★★★★☆ |
| 大問5 | 数列（漸化式・和の計算） | 標準 | ★★★★☆ |
| 大問6 | 図形と方程式（円と直線） | 標準 | ★★★★☆ |
青学数学攻略のための5つの重要ポイント
① 計算力の徹底強化
青学の数学は計算量が多めです。特に式の展開・因数分解・平方完成は反射的にできるレベルまで練習しましょう。計算ミスは致命傷になります。
② 微分積分は最重要
毎年必ず出題される最頻出分野です。3次関数の極値・接線・面積の求め方は完璧にマスターしてください。1/6公式・1/12公式も使いこなせるように！
③ ベクトルは基本に忠実に
内積計算、内分点・外分点の公式、一次独立の条件など、基本事項を確実に押さえておけば得点源になります。
④ 確率は余事象・包除原理をマスター
直接数えるより余事象で考えた方が楽な問題が多いです。「〜でない確率」を1から引く発想を身につけましょう。
⑤ 時間配分を意識した演習
60分で4〜5題を解く必要があります。1題あたり12〜15分が目安。解けない問題は飛ばして、取れる問題を確実に取る戦略が重要です。
おすすめ参考書・問題集
- 基礎固め：『黄チャート』または『基礎問題精講』
- 標準演習：『数学重要問題集』または『数学の良問問題集』
- 過去問演習：『青山学院大学の赤本』（最低5年分は解く）
- 分野別強化：『合格る計算』（計算力アップに最適）
類似問題で練習しよう（練習問題3問）
青学の数学対策には、類似問題での演習が欠かせません。以下の3問を解いて、理解を深めましょう！
【練習問題1】微分積分
問題
関数 f(x) = x³ - 6x² + 9x について、以下の問いに答えよ。
(1) f(x) の極値を求めよ。
(2) 曲線 y = f(x) と直線 y = 4x - 4 の交点の座標を求めよ。
(3) 曲線 y = f(x) と直線 y = 4x - 4 で囲まれた部分の面積を求めよ。
【解答・解説】
(1)
f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)
f'(x) = 0 のとき x = 1, 3
| x | ... | 1 | ... | 3 | ... |
| f'(x) | + | 0 | − | 0 | + |
| f(x) | ↗ | 4 | ↘ | 0 | ↗ |
極大値 f(1) = 1 - 6 + 9 = 4、極小値 f(3) = 27 - 54 + 27 = 0
(2)
x³ - 6x² + 9x = 4x - 4
x³ - 6x² + 5x + 4 = 0
(x - 1)(x² - 5x - 4) = 0
x = 1, (5 ± √41)/2
対応する y 座標を計算して、
交点：(1, 0), ((5 + √41)/2, 8 + 2√41), ((5 - √41)/2, 8 - 2√41)
(3)
g(x) = f(x) - (4x - 4) = x³ - 6x² + 5x + 4 = (x - 1)(x² - 5x - 4)
α = (5 - √41)/2, β = 1, γ = (5 + √41)/2 とすると、
面積 S = ∫_α^β |g(x)|dx + ∫_β^γ |g(x)|dx
計算を進めると（1/12公式などを活用）、
S = 41√41/6
【練習問題2】確率
問題
赤玉3個、白玉4個、青玉2個が入った袋から、同時に3個の玉を取り出すとき、以下の確率を求めよ。
(1) 3個とも同じ色である確率
(2) 3色すべてが含まれる確率
(3) 赤玉が少なくとも1個含まれる確率
【解答・解説】
全部で 9 個から 3 個を選ぶ方法は ₉C₃ = 84 通り
(1)
3個とも赤：₃C₃ = 1 通り
3個とも白：₄C₃ = 4 通り
3個とも青：₂C₃ = 0 通り（2個しかないので不可能）
合計 5 通り
確率 = 5/84
(2)
赤1個、白1個、青1個を選ぶ：₃C₁ × ₄C₁ × ₂C₁ = 3 × 4 × 2 = 24 通り
確率 = 24/84 = 2/7
(3)
余事象「赤玉が0個」を考える。
白と青のみから3個選ぶ：₆C₃ = 20 通り
赤玉が少なくとも1個：84 - 20 = 64 通り
確率 = 64/84 = 16/21
【練習問題3】ベクトル
問題
平面上に △OAB があり、OA = 3, OB = 4, ∠AOB = 90° とする。辺 OA を 2:1 に内分する点を P、辺 OB を 1:3 に内分する点を Q とするとき、以下の問いに答えよ。
(1) →OP, →OQ を →OA, →OB を用いて表せ。
(2) 線分 AQ と線分 BP の交点を R とするとき、→OR を →OA, →OB を用いて表せ。
(3) △OPR の面積を求めよ。
【解答・解説】
(1)
P は OA を 2:1 に内分するので、→OP = (2/3)→OA
Q は OB を 1:3 に内分するので、→OQ = (1/4)→OB
(2)
R は直線 AQ 上にあるので、実数 s を用いて
→OR = (1-s)→OA + s→OQ = (1-s)→OA + (s/4)→OB
R は直線 BP 上にもあるので、実数 t を用いて
→OR = (1-t)→OB + t→OP = (2t/3)→OA + (1-t)→OB
係数比較して、
1 - s = 2t/3 ... ①
s/4 = 1 - t ... ②
②より s = 4 - 4t、これを①に代入
1 - (4 - 4t) = 2t/3
-3 + 4t = 2t/3
-9 + 12t = 2t
10t = 9
t = 9/10
よって、→OR = (3/5)→OA + (1/10)→OB
(3)
→OP = (2/3)→OA, →OR = (3/5)→OA + (1/10)→OB
△OPR の面積は △OAB の面積の |係数の行列式| 倍
|2/3 0 |
|3/5 1/10| = (2/3)(1/10) - 0 = 1/15
△OAB の面積 = (1/2) × 3 × 4 = 6
△OPR の面積 = 6 × (1/15) = 2/5
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よくあるご質問（FAQ）
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Q. 他の科目の指導もしてもらえますか？
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まとめ：青学合格への道
青山学院大学 数学攻略のポイント（総まとめ）
- 基礎を徹底する：教科書レベルの公式・定理を完璧に理解する
- 計算力を鍛える：毎日の計算練習で正確性とスピードを向上させる
- 頻出分野を重点対策：微分積分・ベクトル・確率・数列を優先的に学習
- 過去問を繰り返す：最低5年分、できれば10年分を2〜3周
- 時間を測って演習：本番を意識した時間配分の練習を行う
正しい努力を続ければ、必ず合格できます！
※ 本記事は2007年度の青山学院大学入試問題の傾向に基づいて作成した解説・対策記事です。実際の入試問題とは異なる場合があります。最新の入試情報は、青山学院大学の公式サイトおよび募集要項をご確認ください。
※ 記事内の問題は、青山学院大学の出題傾向に基づいて作成した類題・予想問題を含みます。
