秋田大学 2016年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は、秋田大学 2016年度（平成28年度）前期日程の数学について、徹底的に解説していきます。秋田大学は、医学部・理工学部・教育文化学部・国際資源学部を擁する国立総合大学であり、数学の入試問題は基本から標準レベルの良問が多いことで知られています。

この記事では、2016年度に出題された各大問を丁寧に解説し、解法のポイントや別解、さらには類似問題での練習まで網羅していきます。秋田大学を志望する受験生の皆さん、ぜひ最後までお読みください！

試験概要・難易度

2016年度 秋田大学 数学試験の基本情報

項目	内容
試験日程	前期日程（2016年2月25日実施）
試験時間	120分（医学部）/ 100分（理工学部等）
出題形式	記述式（小問誘導型が中心）
大問構成	4〜5問（学部により異なる）
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B（医学部・理工学部理系） 数学Ⅰ・Ⅱ・A・B（教育文化学部文系）

2016年度の全体講評

2016年度の秋田大学数学は、全体的に標準レベルの出題でした。特に以下の特徴が見られました：

• 基本に忠実な出題：教科書レベルの公式や定理を正しく理解していれば解ける問題が多い
• 計算力重視：複雑な発想は不要だが、正確な計算力が求められる
• 小問誘導型：(1)→(2)→(3)と段階的に解き進める形式で、部分点が取りやすい
• 微分積分・二次曲線の重視：理系数学では数学Ⅲの範囲から多く出題

難易度としては、医学部受験生にとっては8割以上の得点が目標となり、理工学部受験生でも7割程度は確保したいところです。時間配分を意識し、解ける問題から確実に得点していく戦略が重要でした。

大問1：二次関数と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

この問題は、二次関数の最大・最小に関する典型的な問題です。軸の位置と定義域の関係を正しく把握することが解法の鍵となります。

【(1)の解答】

まず、f(x) を平方完成します。

f(x) = x² - 2ax + a + 2

= (x - a)² - a² + a + 2

よって、f(x) は x = a で最小値をとり、その最小値は

-a² + a + 2

【(2)の解答】

0 ≤ x ≤ 2 における最大値を求めます。二次関数 f(x) = (x - a)² - a² + a + 2 は下に凸の放物線なので、最大値は区間の端点で取ります。

場合分け：

軸 x = a が区間の中点 x = 1 より左側にある場合（a ≤ 1）：

最大値は x = 2 で取る

M(a) = f(2) = 4 - 4a + a + 2 = 6 - 3a

軸 x = a が区間の中点 x = 1 より右側にある場合（a > 1）：

最大値は x = 0 で取る

M(a) = f(0) = a + 2

したがって、

【(3)の解答】

0 ≤ x ≤ 2 における最小値を求めます。軸 x = a の位置で場合分けします。

① a < 0 の場合：

軸が区間の左外側にあるので、最小値は x = 0 で取る

m(a) = f(0) = a + 2

② 0 ≤ a ≤ 2 の場合：

軸が区間内にあるので、最小値は頂点で取る

m(a) = -a² + a + 2

③ a > 2 の場合：

軸が区間の右外側にあるので、最小値は x = 2 で取る

m(a) = f(2) = 6 - 3a

【(4)の解答】

M(a) - m(a) を各場合について計算し、最小値を求めます。

詳細な計算を省略しますが、結論として：

a = 1 のとき、M(a) - m(a) の最小値は 1

別解・発展

【グラフを活用した解法】

この問題では、二次関数のグラフを実際に描いて、軸の位置が変化したときの様子を視覚的に捉えることが有効です。特に(4)では、M(a) と m(a) の差が最小になるのは、グラフの対称性から軸が区間の中点 x = 1 にあるときと推測できます。

【発展：パラメータを含む問題への一般的アプローチ】

このような問題では、以下の手順が基本となります：

1. まず平方完成して頂点と軸を求める
2. 軸と定義域の位置関係で場合分け
3. 各場合で最大値・最小値を求める
4. 場合分けの境界での連続性を確認

大問2：確率と期待値

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解答】

5枚から2枚を選ぶ組み合わせの総数は ₅C₂ = 10 通り

X = 7 となる組み合わせは：

• (2, 5)：2 + 5 = 7
• (3, 4)：3 + 4 = 7

よって2通りなので、

P(X = 7) = 2/10 = 1/5

【(2)の解答】

X がとりうる値とその確率を整理します。

X	組み合わせ	確率
3	(1,2)	1/10
4	(1,3)	1/10
5	(1,4), (2,3)	2/10
6	(1,5), (2,4)	2/10
7	(2,5), (3,4)	2/10
8	(3,5)	1/10
9	(4,5)	1/10

期待値 E(X) は：

E(X) = 3·(1/10) + 4·(1/10) + 5·(2/10) + 6·(2/10) + 7·(2/10) + 8·(1/10) + 9·(1/10)

= (3 + 4 + 10 + 12 + 14 + 8 + 9)/10

= 60/10 = 6

【別解：公式を利用】

2枚のカードの数字をそれぞれ X₁, X₂ とすると、X = X₁ + X₂

1から5の平均は (1+2+3+4+5)/5 = 3

対称性より E(X₁) = E(X₂) = 3

よって E(X) = E(X₁) + E(X₂) = 3 + 3 = 6

【(3)の解答】

Y = X₁ + X₂（X₁：1回目の和、X₂：2回目の和）

Y ≥ 14 となる確率を求めます。各試行は独立なので、

P(Y ≥ 14) = P(X₁ + X₂ ≥ 14)

X₁, X₂ はそれぞれ 3 から 9 の値をとるので、X₁ + X₂ の最大値は 18、Y ≥ 14 となる組み合わせを数え上げます：

• (X₁, X₂) = (5, 9), (6, 8), (6, 9), (7, 7), (7, 8), (7, 9), (8, 6), (8, 7), (8, 8), (8, 9), (9, 5), (9, 6), (9, 7), (9, 8), (9, 9)

各確率を計算して合計すると、

P(Y ≥ 14) = 17/100

別解・発展

【余事象を利用した解法】

(3)では、P(Y ≥ 14) = 1 - P(Y ≤ 13) として、Y ≤ 13 となる確率を求めて引く方法もあります。場合によってはこちらの方が計算が楽になることがあります。

【発展：モーメント母関数の利用】

確率論をより深く学ぶと、期待値や分散の計算にモーメント母関数を用いることがあります。大学入試のレベルを超えますが、興味のある方は学んでみてください。

大問3：ベクトルと空間図形

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解答】

まず、ベクトル AB と AC を求めます。

AB = B - A = (-1, 2, 0)

AC = C - A = (-1, 0, 3)

三角形 ABC の面積は、外積の大きさの 1/2 で求められます。

AB × AC を計算：

AB × AC = (2·3 - 0·0, 0·(-1) - (-1)·3, (-1)·0 - 2·(-1))

= (6, 3, 2)

|AB × AC| = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7

よって、三角形 ABC の面積は

S = 7/2

【(2)の解答】

平面 ABC の方程式を求めます。法線ベクトルは AB × AC = (6, 3, 2) です。

点 A(1, 0, 0) を通るので、平面の方程式は：

6(x - 1) + 3(y - 0) + 2(z - 0) = 0

6x + 3y + 2z = 6

点 O から平面への垂線は、法線ベクトル方向に進むので、パラメータ t を用いて：

(x, y, z) = (0, 0, 0) + t(6, 3, 2) = (6t, 3t, 2t)

これが平面上にあるとき：

6(6t) + 3(3t) + 2(2t) = 6

36t + 9t + 4t = 6

49t = 6

t = 6/49

よって、H の座標は

H = (36/49, 18/49, 12/49)

【(3)の解答】

四面体 OABC の体積は、スカラー三重積を使って求められます。

V = (1/6)|OA · (OB × OC)|

OA = (1, 0, 0), OB = (0, 2, 0), OC = (0, 0, 3)

OB × OC = (2·3 - 0·0, 0·0 - 0·3, 0·0 - 2·0) = (6, 0, 0)

OA · (OB × OC) = 1·6 + 0·0 + 0·0 = 6

V = 6/6 = 1

【(4)の解答】

体積の公式 V = (1/3) × 底面積 × 高さ を利用します。

底面を三角形 ABC とすると、高さが点 O から平面 ABC までの距離 h です。

1 = (1/3) × (7/2) × h

h = 6/7

d = 6/7

【別解：点と平面の距離公式】

平面 6x + 3y + 2z = 6 と点 O(0,0,0) の距離は：

d = |6·0 + 3·0 + 2·0 - 6| / √(36 + 9 + 4) = 6/7

別解・発展

【座標を使わない解法】

四面体 OABC が直交座標系の3軸に沿った形をしていることに注目すると、体積は V = (1/6) × OA × OB × OC = (1/6) × 1 × 2 × 3 = 1 と直接求められます。

大問4：楕円と媒介変数表示

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解答】

a = (2/3)b より a < b なので、この楕円は y 軸方向に長い縦長の楕円です。

焦点は y 軸上にあり、c² = b² - a² を計算します。

c² = b² - (2b/3)² = b² - 4b²/9 = 5b²/9

c = (√5/3)b

よって、焦点の座標は

(0, (√5/3)b) と (0, -(√5/3)b)

【(2)の解答】

θ = π/4 のとき、

x = a cos(π/4) = (2b/3) · (√2/2) = (√2/3)b

y = b sin(π/4) = b · (√2/2) = (√2/2)b

楕円上の点 (x₀, y₀) における接線の公式：

x₀x/a² + y₀y/b² = 1

を適用すると：

((√2/3)b · x) / (4b²/9) + ((√2/2)b · y) / b² = 1

整理して：

(3√2x)/(4b) + (√2y)/(2b) = 1

3x + 2y = 2√2 b

【(3)の解答】

第1象限の楕円の面積は、楕円全体の面積の 1/4 です。

楕円の面積は πab なので：

S = (1/4) · π · (2b/3) · b = (1/4) · (2πb²/3) = πb²/6

【別解：積分による計算】

媒介変数表示を用いて：

S = ∫₀^(π/2) y · (-dx/dθ) dθ = ∫₀^(π/2) b sin θ · a sin θ dθ

= ab ∫₀^(π/2) sin²θ dθ = ab · π/4 = (2b/3) · b · π/4 = πb²/6

【(4)の解答】

OP² = x² + y² = a²cos²θ + b²sin²θ

= (4b²/9)cos²θ + b²sin²θ

= (4b²/9)cos²θ + b²(1 - cos²θ)

= (4b²/9 - b²)cos²θ + b²

= -(5b²/9)cos²θ + b²

cos²θ = 0、つまり θ = π/2 または 3π/2 のとき、OP² は最大値 b² をとります。

よって、

θ = π/2 のとき、OP の最大値は b

別解・発展

【離心率の観点から】

この楕円の離心率 e は e = c/b = √5/3 ≈

この楕円の離心率 e は e = c/b = √5/3 ≈ 0.745 です。離心率が1に近いほど細長い楕円になり、0に近いほど円に近づきます。この楕円は比較的円に近い形状をしています。

【極座標表示への変換】

楕円の極座標表示（焦点を極とする場合）は r = a(1-e²)/(1-e·cosθ) となります。惑星の軌道計算など、物理学でよく用いられる表現です。

大問5：微分法と関数の増減

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解答】

f(x) を微分します。

f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

f'(x) = 0 とすると、x = 0 または x = 2

増減表を作成します：

x	...	0	...	2	...
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大	↘	極小	↗

極大値：f(0) = 0 - 0 + k = k（x = 0 のとき）

極小値：f(2) = 8 - 12 + k = k - 4（x = 2 のとき）

【(2)の解答】

方程式 f(x) = 0 が異なる3つの実数解をもつためには、グラフが x 軸と3点で交わる必要があります。

これは、極大値と極小値の符号が異なることと同値です。

つまり：

• 極大値 > 0 かつ 極小値 < 0

k > 0 かつ k - 4 < 0

k > 0 かつ k < 4

0 < k < 4

【(3)の解答】

3次方程式 x³ - 3x² + k = 0 の解と係数の関係より：

α + β + γ = 3（x²の係数の符号を変えたもの）

αβ + βγ + γα = 0（xの係数）

αβγ = -k（定数項の符号を変えたもの）

よって、

α + β + γ = 3, αβγ = -k

【(4)の解答】

α² + β² + γ² を求めるには、次の公式を使います：

α² + β² + γ² = (α + β + γ)² - 2(αβ + βγ + γα)

解と係数の関係より：

• α + β + γ = 3
• αβ + βγ + γα = 0

したがって、

α² + β² + γ² = 3² - 2·0 = 9

α² + β² + γ² = 9

（注：この値は k によらず一定となります）

別解・発展

【グラフの平行移動による理解】

f(x) = x³ - 3x² + k は、基本関数 g(x) = x³ - 3x² を y 軸方向に k だけ平行移動したものです。k を変化させることで、グラフが上下に動き、x 軸との交点の数が変わります。

【ニュートン法への発展】

3次方程式の数値解を求める際には、ニュートン法（ニュートン・ラフソン法）が有効です。初期値 x₀ から始めて、x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n) を繰り返すことで、解に収束していきます。

大問6：積分法と面積・体積

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解答】

e^x = e·x を解きます。

x = 1 のとき：e^1 = e, e·1 = e で一致します。

x = 0 のとき：e^0 = 1, e·0 = 0 で一致しません。

関数 h(x) = e^x - e·x の増減を調べると：

h'(x) = e^x - e = 0 より x = 1

h(1) = e - e = 0

h''(x) = e^x > 0 より、x = 1 で最小値 0 をとります。

したがって、曲線と直線は x = 1 でのみ接します。

交点（接点）：(1, e)

【(2)の解答】

0 ≤ x ≤ 1 の範囲で、e^x ≥ e·x です（x = 0 で e^0 = 1 > 0 = e·0）。

面積 S は：

S = ∫₀¹ (e^x - e·x) dx

= [e^x - (e/2)x²]₀¹

= (e - e/2) - (1 - 0)

= e/2 - 1

S = (e - 2)/2

【(3)の解答】

x 軸周りの回転体の体積は、バウムクーヘン積分（ワッシャー法）を用います。

V = π∫₀¹ {(e^x)² - (e·x)²} dx

= π∫₀¹ (e^{2x} - e²x²) dx

= π[(1/2)e^{2x} - (e²/3)x³]₀¹

= π{((1/2)e² - e²/3) - (1/2 - 0)}

= π{e²/6 - 1/2}

V = π(e² - 3)/6

別解・発展

【接線の意味】

直線 y = e·x は、曲線 y = e^x の x = 1 における接線です。これは、f(x) = e^x, f'(x) = e^x より、f'(1) = e なので、接線が y - e = e(x - 1)、整理すると y = e·x となることからわかります。

【パップス・ギュルダンの定理】

回転体の体積を求める別の方法として、パップス・ギュルダンの定理があります：「平面図形を、その平面上の軸の周りに回転させてできる立体の体積は、（図形の面積）×（重心が動いた距離）」という定理です。

この年度の重要テーマと対策

2016年度に頻出だったテーマ

2016年度の秋田大学数学では、以下のテーマが重点的に出題されました：

効果的な対策法

対策項目	具体的な学習方法
基礎の徹底	教科書の例題・練習問題を完璧に解けるようにする。公式は導出過程も含めて理解する。
計算力強化	毎日15分程度の計算練習を継続。特に積分計算、三角関数の変形に慣れる。
過去問演習	秋田大学の過去問を最低5年分解く。時間を計って本番を想定した練習をする。
類題演習	同レベルの地方国立大学（弘前大学、山形大学など）の問題も解いてみる。
答案作成力	記述式なので、論理的で読みやすい答案を書く練習をする。添削を受けることが効果的。

時間配分の目安

120分で4〜5問を解く場合の時間配分：

• 最初の5分：全問題に目を通し、解く順番を決める
• 各問題20〜25分：標準的な問題にはこの程度をかける
• 最後の10分：見直しと計算チェック

得意な問題から解き始め、確実に得点を積み重ねることが合格への近道です。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

ここでは、2016年度秋田大学の出題傾向に合わせた練習問題を3問用意しました。実際に解いて、理解度を確認してください。

【練習問題1】二次関数の最大・最小

【解答・解説】

f(x) = -(x - 2a)² + a² と平方完成できます。

軸は x = 2a で、上に凸の放物線です。

場合分け：

① 2a < 0 の場合（a < 0）：条件 a > 0 に反するので該当なし

② 0 ≤ 2a ≤ 3（0 ≤ a ≤ 3/2）の場合：

軸が区間内にあるので、最大値は頂点で取る

M(a) = a²

③ 2a > 3（a > 3/2）の場合：

軸が区間の右外にあるので、最大値は x = 3 で取る

M(a) = f(3) = -9 + 12a - 3a² = -3(a² - 4a + 3) = -3(a-1)(a-3)

【練習問題2】空間ベクトルと平面の方程式

【解答・解説】

Step 1：平面の方程式を求める

AB = (-2, 3, 0), AC = (-2, 0, 4)

法線ベクトル n = AB × AC を計算：

n = (3·4 - 0·0, 0·(-2) - (-2)·4, (-2)·0 - 3·(-2)) = (12, 8, 6)

簡略化して n = (6, 4, 3) としても良い。

点 A(2, 0, 0) を通るので：

6(x - 2) + 4(y - 0) + 3(z - 0) = 0

6x + 4y + 3z = 12

Step 2：垂線の足 H を求める

O から平面への垂線のパラメータ表示：

(x, y, z) = t(6, 4, 3)

平面上にあるとき：

6(6t) + 4(4t) + 3(3t) = 12

36t + 16t + 9t = 12

61t = 12

t = 12/61

【練習問題3】積分と面積

【解答・解説】

Step 1：交点を求める

x² = 2x - x² より 2x² - 2x = 0

2x(x - 1) = 0

x = 0, 1

Step 2：上下関係を確認

0 < x 0

よって、2x - x² が上側にあります。

Step 3：面積を計算

S = ∫₀¹ {(2x - x²) - x²} dx

= ∫₀¹ (2x - 2x²) dx

= [x² - (2/3)x³]₀¹

= 1 - 2/3

【別解：1/6公式の利用】

2つの放物線 y = x² と y = 2x - x² の交点が x = 0, 1 なので、被積分関数は -2(x - 0)(x - 1) = -2x² + 2x の形になります。

1/6公式より：S = (1/6) × 2 × |1 - 0|³ = 1/3

日本数学塾・数強塾で秋田大学合格を目指そう

最後に ー 藤原進之介からのメッセージ

秋田大学を目指す皆さん、最後までお読みいただきありがとうございました。

数学は、正しい方法で努力すれば必ず伸びる科目です。今回解説した問題を見て「難しい」と感じた方も、基礎からコツコツ積み上げていけば、必ず解けるようになります。

大切なのは：

1. 基本公式を正確に覚える（導出過程も含めて）
2. 典型問題のパターンを身につける（繰り返し演習）
3. 計算ミスを減らす工夫をする（検算の習慣化）
4. 過去問で出題傾向を把握する（秋田大学の「クセ」を知る）

秋田大学の数学は、「当たり前のことを当たり前にできる」受験生が合格を勝ち取ります。奇をてらった解法は不要です。基本に忠実に、着実に力をつけていきましょう。

皆さんの合格を心より応援しています！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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※ 本記事は2016年度秋田大学前期日程の数学入試問題を参考に、出題傾向の分析と類似問題の作成を行ったものです。実際の入試問題の詳細については、秋田大学公式サイトまたは過去問題集をご確認ください。
※ 最新の入試情報については、必ず秋田大学の公式サイトおよび募集要項をご確認ください。

補足：秋田大学 学部別の数学対策

秋田大学には複数の学部があり、それぞれ数学の出題範囲や難易度が異なります。ここでは、学部別の対策ポイントを詳しく解説します。

医学部医学科

理工学部

教育文化学部（理数系以外）

国際資源学部

秋田大学数学の年度別難易度推移

過去の出題傾向を把握することで、効率的な対策が可能になります。以下に、2014年度から2018年度までの難易度推移をまとめました。

年度	全体難易度	主な出題テーマ	特記事項
2014年度	標準	二次関数、微分積分、確率	計算量はやや多め
2015年度	やや易	数列、ベクトル、三角関数	基本問題中心
2016年度	標準	二次関数、確率、ベクトル、楕円、微分積分	バランスの良い出題
2017年度	標準〜やや難	複素数平面、積分、確率漸化式	複素数平面からの出題増加
2018年度	標準	微分法、数列、空間ベクトル	融合問題が増加傾向

分析結果：

• 秋田大学の数学は、年度による難易度の変動が比較的小さい
• 微分積分は毎年必ず出題される最重要分野
• ベクトル（平面・空間）も頻出
• 近年は融合問題（複数の分野にまたがる問題）が増加傾向
• 基本〜標準レベルの問題を確実に解ければ合格圏内

合格者の声 ー 先輩たちの勉強法

おすすめ参考書・問題集

秋田大学の数学対策に効果的な参考書・問題集を、レベル別にご紹介します。

基礎固め（偏差値40〜50の方向け）

書名	特徴	使い方
やさしい高校数学（学研）	図解が豊富で分かりやすい	苦手分野の基礎固めに
基礎問題精講（旺文社）	必要最小限の問題で効率的	全問完璧に解けるまで繰り返す
黄チャート（数研出版）	例題と練習問題のバランスが良い	例題を中心に学習

標準レベル（偏差値50〜60の方向け）

書名	特徴	使い方
青チャート（数研出版）	網羅性が高く定番	コンパス3〜4を中心に
標準問題精講（旺文社）	入試標準レベルを効率的に	基礎問題精講の後に
1対1対応の演習（東京出版）	典型問題のパターン習得に最適	解法を完全に身につける

実戦レベル（偏差値60以上・医学部志望の方向け）

書名	特徴	使い方
重要問題集（数研出版）	入試頻出問題を厳選	A問題を完璧に、B問題も挑戦
プラチカ（河合出版）	良問揃いで実力が付く	時間を計って演習
秋田大学過去問	傾向把握に必須	最低5年分は解く

学習スケジュール例

秋田大学合格を目指す受験生のための、1年間の学習スケジュール例を示します。

高3生・浪人生向け年間スケジュール

よくある質問（FAQ）

まとめ

皆さんの合格を心より応援しています！
一緒に頑張りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原 進之介

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【免責事項】
※ 本記事は2016年度秋田大学前期日程の数学入試問題の出題傾向を分析し、学習指導の参考として作成したものです。
※ 掲載している問題は、実際の入試問題を参考に作成した類似問題を含みます。正確な過去問については、秋田大学公式サイトまたは市販の過去問題集をご確認ください。
※ 入試制度・出題範囲・配点等は変更される場合があります。最新情報は必ず秋田大学の公式発表をご確認ください。
※ 本記事の内容に基づく学習の結果について、当塾は責任を負いかねます。

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